É no trabalho com números variados que as crianças exploram os procedimentos de cálculos e de leitura, associando-os à representação escrita.

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2 1. Reflexões didáticas sobre adição e subtração nos anos iniciais 1.1 A visão do professor e a visão do aluno Os conhecimentos a respeito das operações no conjunto N dos Números Naturais são construídos num processo em que eles aparecem com um instrumento útil para resolver determinados problemas e como um objeto que pode ser estudado por si mesmo. Règine Douady (1994) descreve a dialética da matemática como ferramenta-objeto no que se refere ao saber matemático. Como ferramenta, as noções matemáticas funcionam como instrumento útil de resolução de problemas em um contexto, em um dado momento e sob a ação e controle de alguém. É como objeto de estudo que o sentido das noções matemáticas se amplia. A utilidade da matemática é percebida pelas crianças antes mesmo de chegarem à escola, mas o estudo das operações como objeto matemático, a partir de contextos significativos para os alunos, os ajuda na compreensão das ideias envolvidas nos processos operatórios. É importante que o professor dê a seus alunos a oportunidade de expor suas hipóteses sobre as operações em N, pois essas hipóteses constituem subsídios para a organização das atividades. Verificar como os alunos fazem os cálculos operatórios, sua compreensão das ideias, a efetivação dos algoritmos e que hipóteses possuem acerca dos procedimentos elementares de cálculos, contribuem para o desenvolvimento das operações em N. Explorar as escritas pessoais elaboradas pelos alunos não exclui outro aspecto fundamental que é o de caminhar em direção às escritas convencionais, sem as quais não terão referência para se apropriarem do conhecimento socialmente estabelecido. É no trabalho com números variados que as crianças exploram os procedimentos de cálculos e de leitura, associando-os à representação escrita. 1.2 As orientações curriculares As orientações curriculares nacionais presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais PCN (BRASIL, 1997), atualmente reformuladas e incorporadas na Base Curricular Nacional Comum - BCN (BRASIL, 2017) e na cidade do Rio de Janeiro por meio das Orientações Curriculares da Secretaria Municipal de Educação (SMERJ, 2016) indicam que se explore alguns dos significados das operações, colocando-se em destaque, inicialmente, a adição e a subtração, em função das características da situação. Os alunos constroem os fatos básicos das operações (as conhecidas tabuadas - cálculos com dois termos, ambos menores do que dez), constituindo um repertório que dá suporte ao cálculo mental e escrito. O uso de materiais concretos e livros paradidáticos podem ser muito úteis. Da mesma forma, a calculadora usada como mais um recurso e não para substituir a construção de procedimentos de cálculo pelo aluno, pode ajudá-lo na significação das ideias matemáticas.

3 O trabalho com um bom repertório de problemas e com atividades que aproximem o aluno das operações, dos números, das medidas, das formas, do espaço e da organização de informações, pelo estabelecimento de vínculos com os conhecimentos com que ele chega à escola, é fundamental para o aluno adquirir confiança em sua própria capacidade para aprender Matemática e avançar no processo de formação de conceitos. Normalmente as pessoas acabam memorizando as técnicas dos cálculos das operações sem entender muito bem o que aqueles algoritmos significam. O bom de aprender o algoritmo acompanhado de significação das ideias que ele representa é o prazer de aprender entendendo os porquês das escolhas das estratégias utilizadas. Antes de analisarmos os algoritmos, vamos refletir sobre alguns significados das operações básicas em N. O desenvolvimento da investigação na área da Didática da Matemática (PAIS, 2001) traz novas referências para o tratamento das operações. Entre elas encontramse as que apontam os problemas aditivos e subtrativos como aspecto inicial a ser trabalhado na escola, concomitantemente ao trabalho de construção do significado dos números naturais. A justificativa para o trabalho com o conjunto dos problemas aditivos e subtrativos baseia-se no fato de que eles compõem uma mesma família, ou seja, há estreitas conexões entre situações aditivas e subtrativas. A construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução. Assim, o estudo da adição e da subtração deve ser proposto ao longo da alfabetização, juntamente com o estudo dos números e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os alunos dispõem. O Campo Aditivo não quer dizer que as ações desse campo são somente de adição. As estruturas cognitivas desse campo envolvem ações de adição e de subtração. 2. Teoria dos campos conceituais O Campo Aditivo Tradicionalmente temos observado e até mesmo vivenciado um ensino de Matemática baseado no conhecimento teórico que envolve conceitos, propriedades, regras, leis e princípios que obedecem uma estrutura hierárquica dos conteúdos curriculares. Em geral, a atividade prática é baseada em resolução de exercícios e resolução de problemas para aplicar os conteúdos teóricos estudados. Temos defendido a articulação dos conteúdos curriculares conceituais, didáticos e metodológicos, buscando, com base na análise curricular e nas produções textuais didáticas o equilíbrio no processo de formação de professores e da constituição do conhecimento científico e docente. Alguns teóricos têm nos ajudado nessa articulação.

4 Gérard Vergnaud é um deles. Matemático, filósofo e psicólogo francês, formado em Genebra, discípulo de Jean Piaget, professor emérito do Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS), em Paris, Vergnaud é pesquisador em didática da matemática, tendo elaborado a Teoria dos campos conceituais. Segundo Vergnaud (2009, p.86) o significado de um conceito não vem de uma única situação, mas de uma variedade de situações e, reciprocamente, uma situação não pode ser analisada com um conceito sozinho, mas com vários conceitos, formando sistemas. De acordo com Vergnaud o campo conceitual das estruturas aditivas referese ao conjunto de problemas cuja soluc a o implica explorac a o de adic a o e subtrac a o com diferentes graus de complexidade. Nessa perspectiva, a construção de um conceito envolve uma terna de conjuntos que, segundo a teoria dos campos conceituais de Vergnaud, é chamada simbolicamente de (S, I e R); onde S é um conjunto de situações que torna o conceito significativo, I é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) e R é um conjunto de representações simbólicas que podem ser usadas para pontuar e representar os invariantes. No sentido de estabelecer relação entre conceito e situação, Vergnaud apoiase nas ideias de Piaget, relacionando a terna (S, I, R) aos elementos básicos da função simbólica, onde S refere-se à realidade ou referente, e I e R referindo-se à representação. Representação essa vista como a interação entre dois aspectos do pensamento: o significado I e o significante R. O caso da adição e subtração são exemplos de conceitos onde não faz sentido estudá-los isoladamente, mas sim dentro de um campo conceitual, o das Estruturas Aditivas. (MENDONÇA et all, 2007, p. 225). S REFERENTE: conjunto das situações ou referências que dá sentido, que traz o contexto do conceito, o objeto de estudo. I SIGNIFICADO: conjunto das invariantes, propriedades e procedimentos em que se baseia a operacionalidade dos esquemas para definir o objeto de estudo. R REPRESENTAÇÃO OU SIGNIFICANTE: conjunto das representações simbólicas, das formas de linguagem (ou não) que permitem representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, suas características, as situações, as operações e os procedimentos de tratamento. Vergnaud (2009, p.197) entende por problemas de tipo aditivo, todos aqueles cuja soluc a o exige ta o somente adic ões ou subtrac ões. Da mesma forma entende por estruturas aditivas as estruturas em que as relac ões em jogo sa o formadas exclusivamente por adic ões ou subtrac ões. Seus estudos mostram que as diferentes relações aditivas não são habitualmente feitas no ensino básico, mas elas são importantes porque o trabalho cognitivo de cada ideia aditiva varia de caso a caso. A

5 seguir apresentaremos alguns esquemas fundamentais acompanhados de exemplos práticos. Transformação Alteração do estado inicial por meio de uma situação positiva ou negativa que interfere no resultado final. As ideias de acrescentar, retirar e completar fazem parte dessa categoria. Vergnaud (2009) defende que o significado de transformação envolve uma ação ocorrida a partir da situação, de forma direta ou indireta, causando aumento ou diminuição. O estado inicial da situação sofre uma transformação aditiva (ou subtrativa) para obter o resultado. Essa transformação pode ser uma ação decorrente de verbos que fazem a transformação ser acrescida ou reduzida. O autor afirma que as crianças, mesmo antes da educação formal, já constroem um pensamento intuitivo de adição e subtração, relacionando espontaneamente o ganho e a perda vivenciadas em sua rotina diária. São desse tipo de operação a Transformação Positiva (Ideia A), a Transformação Negativa (Ideia B) e o estado de Completar (Ideia C). Combinação de medidas Junção de conjuntos de quantidades préestabelecidas. Nessa ideia não há alteração de um estado inicial, não há transformação. O que há é uma junção de quantidades, junção de medidas, composição de estados para resultar em um terceiro estado. (Ideia D) Comparação - Confronto de duas quantidades para achar a diferença Nesse caso, as quantidades são comparadas entre duas partes, no sentido de relacionar essas partes. Nesse tipo de raciocínio, os valores não se transformam, apenas se estabelece a ideia de uma comparação entre dois estados. Segundo Vergnaud (2009), é difícil a criança discernir as relações existentes entre dois grupos e todas as combinações possíveis de se obter com o significado de comparação. A comparação será exemplificada na Ideia E. Composição de transformações Alterações sucessivas do estado inicial.

6 Vergnaud (2009) afirma que existem situações em que pode ocorrer mais de uma transformação sucessiva, gerando uma composição de transformações. Configura quatro ideias possíveis: a) Transformação positiva e positiva, quando a situac a o gera acrescentar e acrescentar (Ideia F1). b) Transformação positiva e negativa, quando ocorre a situação acrescentar, seguida de retirar (Ideia F2) c) Transformação negativa e positiva, quando a proposta é de retirar e a seguir de acrescentar (Ideia F3) d) Transformação negativa e negativa, quando a situac a o é de retirar e retirar (Ideia F4) Estados relativos Transformação de um estado relativo em outro estado relativo e é estudada no segundo segmento do Ensino Fundamental por envolver o conjunto dos números negativos. As transformações de estados relativos envolvem operações com números negativos que somente são estudados no programa curricular do 6º. Ano. Isso não quer dizer que não possa ocorrer em situações esporádicas de sala de aula, mas não há necessidade curricular de se aprofundar essa ideia nos anos iniciais. 3. Exemplos práticos das ideias do Campo Aditivo Vejamos então os exemplos das ideias do campo aditivo acima comentadas. Ideia A- Transformação positiva: Acrescentar a) 2011, p. 82

7 b) FONTE: PASSOS, Marinez Meneghello. De olho no futuro: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: Quinteto Editorial, 2011, p.37 Ideia B- Transformação negativa: Retirar Vamos nos deter com mais cuidado na subtração analisando estes problemas: a) 2011, p.90 b) FONTE: PASSOS, Marinez Meneghello. De olho no futuro: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: Quinteto Editorial, 2011, p. 141

8 Ideia C- Transformação com ação de Completar a) 2011, p 91 b) 2011, p 92

9 Ideia D- Combinação de medidas: Juntar, Reunir Vamos observar esses problemas: a) 2011, p. 80 b) FONTE: SOUZA, Maria Helena. Asas para voar: Alfabetização matemática, 3º ano. São Paulo: Ática, 2011, p. 62 a) Ideia E- Comparar 2011, p. 93

10 b) FONTE: SOUZA, Maria Helena. Asas para voar: Alfabetização matemática, 3º ano. São Paulo: Ática, 2011, p. 87 Ideia F- Composição de transformações Citaremos apenas quatro exemplos de possibilidades, mas essa ideia primária pode ter vários outros desdobramentos que envolvem diferentes combinações das ideias de acrescentar e retirar. Ideia F1- Acrescentar e acrescentar FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011, p. 142 Ideia F2- Acrescentar e Retirar 2011, p. 96

11 Ideia F3- Retirar e Acrescentar FONTE: DANTE, Luiz Roberto. Ápis: Matemática, 4º. Ano, 1ª. edição, Sâo Paulo: Ática, 2011, p.139 Ideia F4- Retirar e Retirar FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011, p Considerações finais Como cita Abrahão (2017, p.110), mesmo com o avanço em estudos sobre teorias didáticas e currículo interdisciplinar e sobre a necessidade de construir conceitos matemáticos desde a infância, as pesquisas revelam que ainda são pouco conhecidas possibilidades para desenvolver efetivamente uma formação matemática dos Pemie [professores que ensinam Matemática no início da escolarização]. Os resultados dos estudos implicam que é preciso ter mais pesquisadores nos programas de pós-graduação envolvidos em linhas de pesquisa voltadas para a formação inicial do Pemie. Nossos estudos reforçaram a importância de se trabalhar o Sistema de Numeração Decimal e as ideias do campo aditivo desde os anos iniciais reforçando o valor inestimável da formação de professores para a docência matemática no princípio da escolarização. Sugerimos, portanto, que sejam repensados e incentivados projetos de pesquisas, de ensino e de extensão que possam contribuir para a formação para a docência dos Pemie.

12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABRAHÃO, Ana M. C. e SILVA, Sandra A. F. Pesquisas sobre a formação inicial do professor que ensina matemática no princípio da escolarização. Zetetiké, Campinas, SP, v.25, n1, jan./abr.2017, p BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática / Ensino de primeira à quarta séries. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC / SEF, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Base Curricular Nacional Comum: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC / SEF, Consulta em setembro de 2017 BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, DANTE, Luiz Roberto. Ápis: Matemática, 4º. Ano, 1ª. edição, Sâo Paulo: Ática, DOUADY, Régine. Evolução da relação com o saber em matemática na escola primária: uma crônica sobre cálculo mental. Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun MENDONÇA, Tania M., PINTO, Sandra M., CAZORLA, Irene M. y RIBEIRO, Eurivalda. As estruturas aditivas nas series iniciais do ensino fundamental: um estudo diagnóstico em contextos diferentes. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. 2007, vol. 10, pp PAIS, Luiz C. Didática da Matemática. Uma análise da influência francesa. Coleção Tendências em Educação Matemática. Autêntica. Belo Horizonte PASSOS, Marinez Meneghello. De olho no futuro: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: Quinteto Editorial, SMERJ. Orientações Curriculares: Matemática. Prefeitura da Cidade do Rio de Janeiro. Secretaria Municipal de Educação. Subsecretaria de Ensino. Coordenadoria de Educação Acesso em setembro de &id=9A0409FEB089278%211762&parId=9A0409FEB089278%211740&o=OneUp SOUZA, Maria Helena. Asas para voar: Alfabetização matemática, 3º ano. São Paulo: Ática, VERGNAUD, G. A criança, a Matemática e a realidade. Tradução de: MORO, M. L. F. Curitiba: Editora UFPR, 2009.

13 VERGNAUD, G. The Theory of Conceptual Fields. Human Development. Karger, AG, Basel. 2009, vol.52, pp: