Princípio Fundamental da Contagem: conhecimentos de professores de Matemática sobre seu uso em situações Combinatórias

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1 Princípio Fundamental da Contagem: conhecimentos de professores de Matemática sobre seu uso em situações Combinatórias Ana Paula Barbosa de Lima 1 GD7 - Formação de Professores que Ensinam Matemática RESUMO: No presente texto, apresenta-se um estudo de mestrado em desenvolvimento que tem como objetivo principal investigar o conhecimento que professores de Matemática têm sobre o uso do Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também conhecido como principio multiplicativo, como estratégia válida para a resolução de situações Combinatórias simples e condicionais envolvendo problemas do tipo produto cartesiano, arranjo, permutação e combinação. Estes conhecimentos são analisados à luz dos tipos de conhecimentos propostos por Ball, Thames e Phelps (2008), conhecimento comum do conteúdo, conhecimento especializado do conteúdo, conhecimento horizontal do conteúdo, conhecimento do conteúdo e alunos, conhecimento do conteúdo e seu ensino e conhecimento do conteúdo e currículo. Foi realizada uma entrevista semiestruturada com três professores de Matemática que estavam lecionando em turmas dos anos finais do Ensino Fundamental e/ou Ensino Médio. A entrevista foi composta por protocolos com resoluções incorretas de alunos e também resolução de problemas representados por fórmulas e pelo PFC. É apresentada, neste texto, a análise preliminar de um dos professores participantes. Nessa análise, pode-se perceber como o professor, em alguns problemas, reconhece o PFC como uma estratégia válida para resolução de problemas combinatórios. Palavras-chave: Princípio Fundamental da Contagem. Conhecimentos Docentes. Combinatória Introdução O ensino de Combinatória é recomendado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1997) desde os primeiros anos da escolarização básica, sem definições do que seriam os diferentes tipos de problemas combinatórios, produto cartesiano, arranjo, permutação e combinação e que estes problemas abordem questões simples de contagem. Os PCN (BRASIL, 1998) para os anos finais do Ensino Fundamental, indicam a continuidade do ensino destes tipos de problemas com números um pouco maiores dos que foram vistos pelos estudantes em anos anteriores, para que eles percebam o princípio multiplicativo implícito nos problemas apresentados e que este se torne uma estratégia para auxiliar a resolução de problemas combinatórios. 1 Discente do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática e Tecnológica (Edumatec) - Universidade Federal de Pernambuco (UFPE). Integrante do Grupo de Estudos em Raciocínio Combinatório (Geração). anapaulalima@outlook.com. Orientadora: Rute Elizabete de Souza Rosa Borba. resrborba@gmail.com Agência de Fomento: CAPES

2 Borba (2010) recomenda, além desta continuidade no ensino de Combinatória nos diversos níveis de ensino, que os professores aproveitem as estratégias usadas por seus alunos, como listagens, desenhos, diagramas e operações matemáticas para que, a partir dai, se possa, gradativamente, construir os conceitos mais formais e generalizados da Combinatória. Borba (2010, p. 14) ressalta, ainda, que Estas generalizações possibilitarão o reconhecimento da natureza multiplicativa de problemas de Combinatória, o que facilitará a compreensão que nas diversas situações Combinatórias o Princípio Fundamental da Contagem é válido. A partir do exposto, considera-se o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também conhecido como princípio multiplicativo, como sendo uma estratégia para a resolução de problemas combinatórios e também base para as fórmulas usadas no ensino de Combinatória. Documentos curriculares oficiais, como as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2002), o Programa Nacional do Livro Didático - PNLD para o Ensino Médio (BRASIL, 2014) e os Parâmetros para a Educação Básica de Pernambuco (PERNAMBUCO, 2013) desaconselham o ensino de Combinatória apenas com o uso de fórmulas e que as mesmas devem ser consequência do raciocínio combinatório desenvolvido pelos estudantes e para simplificar cálculos quando os problemas apresentarem dados muito grandes. A partir das avaliações, o PNLD para o Ensino Médio (BRASIL, 2011) indica que há uma introdução do PFC nos livros didáticos como sendo uma estratégia de resolução para problemas combinatórios. Porém, observa que o PFC é apresentado apenas na introdução ao Ensino de Combinatória, em problemas simples de contagem e seu uso acaba ficando de lado e volta-se ao método tradicional baseado no uso de fórmulas para o ensino de problemas do tipo arranjo, permutação e combinação. O Princípio Fundamental da Contagem O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) pode ser aplicado a diferentes situações Combinatórias, desde problemas simples até os que apresentem algum tipo de condição. Lima (2006, p. 125) enuncia, assim, o PFC, como, Se uma decisão D 1 pode ser tomada de p modos e, qualquer que seja esta escolha, a decisão D 2 pode ser tomada de q modos, então o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisões D 1 e D 2 é igual a pq. Esta definição pode ser ampliada para outras decisões, D3, D4, D5 e assim por diante. De acordo com Borba e Braz (2012), o PFC é uma estratégia válida para a resolução de problemas condicionais, uma vez que a aplicação direta de fórmulas nem sempre é útil

3 COM BINAÇÃO CONDICIONAL ARRANJO CONDICIONAL COMBINAÇÃO PERMUTAÇÃO ARRANJO PRODUTO CARTESIANO para resolver um problema que apresente condições de ordem e/ou proximidade, por exemplo. No Quadro 01, são apresentados alguns problemas combinatórios simples e condicionais e sua representação a partir do uso do PFC. Quadro 1. Representação de problemas combinatórios com o uso do PFC TIPO PROBLEMAS REPRESENTAÇÃO USANDO O PFC Joaquim foi à livraria comprar seu material escolar. Para montar seu kit a livraria lhe ofereceu: 3 modelos de caderno, 4 modelos de lápis, 8 modelos de borracha e 2 modelos de caneta azul. De quantas formas diferentes Joaquim pode montar seu kit? Na final do campeonato de judô, 5 meninas estão disputando os 3 primeiros lugares do torneio. De quantas formas diferentes podemos ter os três primeiros colocados? De quantos modos distintos 5 pessoas podem se posicionar em um banco de 5 lugares? Um técnico tem que escolher, dentre 12 atletas, 5 para compor a equipe titular de um time de basquete. Qual o total de possibilidades que o técnico tem para montar sua equipe? Ana, Julia, Marcos, Pedro e Laís estão participando de uma corrida. De quantos modos diferentes podemos ter os 3 primeiros colocados se Julia sempre chegar em primeiro lugar? Marta precisa escolher entre seus 8 amigos (Tiago, Simone, Daniele, Jéssica, Pedro, Amanda, Rafael e Felipe), 4 para ir ao cinema com ela. De quantas formas diferentes Marta pode escolher esses três amigos desde que Jéssica sempre esteja entre os escolhidos? Segundo Lima e Borba (2014, p. 5), "É preciso, entretanto, que professores tenham conhecimento de como o PFC pode ser utilizado para a resolução de distintas situações Combinatórias e como este princípio é base das fórmulas". A partir do exposto, é preciso investigar as concepções e conhecimentos que professores têm de Combinatória, tanto em sua formação inicial quanto na continuada. Acredita-se, assim, que estas concepções

4 podem, de forma direta, influenciar o modo como a Combinatória é trabalhada em sala de aula. Conhecimentos Docentes Ainda são poucos os estudos que se propõem a investigar o conhecimento e saberes de professores de Matemática sobre a Combinatória. Alguns estudos que investigaram os saberes e conhecimentos docentes referentes à Combinatória, são as pesquisas de Sabo (2010), Rocha e Ferraz (2011), Rocha (2011) e Moreira (2014). Ball, Thames e Phelps (2008), propuseram tipos de conhecimentos docentes, refinados a partir das categorias do conhecimento do conteúdo e do conhecimento pedagógico do conteúdo propostos por Shulman (1987). O refinamento proposto por Ball, Thames e Phelps (2008), parte da prática que o professor de Matemática tem em sua sala de aula para uma melhor investigação do conhecimento do professor. Os domínios são os que seguem. Da categoria conhecimento do conteúdo, os domínios definidos foram: 1_Conhecimento comum do conteúdo (em inglês: common content knowledge), definido como conhecimento e habilidade matemática usada em uma ampla variedade de configurações e que não é exclusivo para o ensino; 2_Conhecimento especializado do conteúdo (em inglês: specialized content knowledge), conhecimento e habilidade matemática usada exclusivamente para o ensino; 3_Conhecimento horizontal do conteúdo (em inglês: horizon content knowledge), definido como o conhecimento de como os temas matemáticas estão relacionados e a previsão de aprofundamento destes conteúdos com o avançar da escolaridade. Da categoria conhecimento pedagógico do conteúdo, os domínios definidos foram: 1_Conhecimento do conteúdo e alunos (em inglês: knowledge of content and students), domínio que combina o conhecimento da Matemática e o conhecimento sobre o aluno; 2_Conhecimento do conteúdo e seu ensino (em inglês: knowledge of content and teaching), definido como o domínio que combina o conhecimento do conteúdo matemático com a compreensão pedagógica para o ensino deste conteúdo;

5 4_Conhecimento do conteúdo e currículo (em inglês: knowledge of content and curriculum), definido como o conhecimento que o professor precisa ter sobre os materiais e programas curriculares. Segundo Ball, Thames e Phelps (2008), durante a análise de uma situação, estes domínios na maioria das vezes aparecem imbricados. Sobre o conhecimento quanto ao uso do PFC na resolução de problemas Combinatórios, foi feita uma categorização preliminar, a partir dos domínios propostos por Ball, Thames e Phelps (2008), os quais seriam: 1_Conhecimento comum do Princípio Fundamental da Contagem - conhecimento da estrutura multiplicativa dos problemas combinatórios e do PFC como estratégia básica para resolução de problemas combinatórios; 2_Conhecimento especializado do Princípio Fundamental da Contagem - conhecimento matemático de como o PFC pode ser aplicado nos diferentes tipos de problemas combinatórios: arranjo, combinação, permutação e produto cartesiano; 3_Conhecimento horizontal do Princípio Fundamental da Contagem - conhecimento de como, a partir do PFC, pode-se construir procedimentos formais da Combinatória; 4_Conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e aluno conhecimento das dificuldades dos estudantes em reconhecer as propriedades multiplicativas dos problemas combinatórios e como estes estudantes usam o PFC na resolução destes problemas; 5_Conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e ensino conhecimento de como o professor avalia as vantagens e desvantagens do uso do PFC no processo de ensino e aprendizagem; 6_Conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e currículo conhecimento de como orientações curriculares e outros documentos oficiais tratam do ensino da Combinatória a partir do uso do PFC. A partir desta categorização procura-se identificar quais destes tipos de conhecimentos são mobilizados ao analisar situações de resolução de problemas Combinatórios com o PFC como principal estratégia de resolução.

6 Método O objetivo geral do estudo é a investigação do conhecimento que professores do Ensino Básico mobilizam sobre o uso o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) na resolução de problemas combinatórios dos tipos: produto cartesiano, arranjo, permutação e combinação. Está sendo verificado como professores relacionam o PFC como estratégia válida na resolução dos problemas combinatórios; sondado como professores relacionam o PFC com as fórmulas gerais usadas no ensino tradicional de Combinatória e examinado como professores avaliam resoluções de problemas combinatórios por estudantes usando, ou não, o PFC na resolução de diferentes tipos de problemas. Para o desenvolvimento deste estudo, foram realizadas entrevistas semiestruturadas com professores de formação em Matemática que estavam atuando em escolas públicas e/ou privadas (do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental e do Ensino Médio). Além da formação em Matemática, estavam lecionando Matemática no mínimo há cinco anos. Dessa forma, acredita-se que os participantes teriam uma base de conhecimentos já desenvolvida em sua prática de ensino. A entrevista foi dividida em quatro momentos com objetivos distintos. Vale ressaltar que, o instrumento de pesquisa foi elaborado de forma a contemplar o estudo dos seis tipos de conhecimentos propostos por Ball, Thames e Phelps (2008). O primeiro momento da entrevista tinha como objetivos identificar a formação inicial e continuada e também a experiência profissional dos professores participantes. No segundo momento foi investigado o conhecimento que os professores mobilizam ao serem questionados sobre o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) como estratégia para resolução de problemas e também seus conhecimentos sobre os tipos de problemas combinatórios. Os protocolos 2 usados apresentavam respostas e/ou justificativas incorretas de resolução empregadas por estudantes. Assim, acredita-se ser provável identificar, de maneira indireta, se estes professores conseguem diferenciar os tipos de problemas combinatórios apresentados e, também, seus conhecimentos sobre o uso do PFC como estratégia de resolução de problemas combinatórios e não como um tipo de problema. 2 Protocolos retirados de Pontes e Evangelista (2012) e Assis e Azevedo (2012). Pesquisas apresentadas, no semestre , na disciplina Tópicos em Educação Matemática (do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica - EDUMATEC, UFPE), coordenada pelas professoras Dra. Rute Elizabete de Souza Rosa Borba e Dra. Cristiane Azevêdo dos Santos Pessoa.

7 Os protocolos, abaixo, foram utilizados na entrevista semiestruturada, sendo um de cada tipo de problema combinatório (produto cartesiano, arranjo, permutação e combinação). Figura 1. Exemplo de justificativa usando a adição de dados como estratégia incorreta na resolução de um problema de produto cartesiano. Fonte: Pontes e Evangelista (2012). Figura 2. Exemplo de justificativa incorreta na qual o aluno multiplica os valores no enunciado para resolver um problema de arranjo. Fonte: Assis e Azevedo (2012). Figura 3. Exemplo de justificativa incorreta quanto ao uso do PFC na resolução de um problema de combinação. Fonte: Pontes e Evangelista (2012).

8 Figura 4. Exemplo de justificativa incorreta usando dados do enunciado em um problema de permutação. Fonte: Assis e Azevedo (2012). Neste ponto da entrevista, foi necessário dividi-la em duas novas etapas. Primeiro, os protocolos foram apresentados separadamente para que o professor fizesse o reconhecimento do tipo do problema apresentado questionamentos, como "Que tipo de problema é este?" e "A partir de que ano pode-se trabalhar com este tipo de problema". Estas questões tinham como intuito identificar os conhecimentos mobilizados pelo professor sobre cada uma das situações. Aqui, os conhecimentos investigados foram: o conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e currículo e conhecimento horizontal do Princípio Fundamental da Contagem, quando fazem o reconhecimento do tipo de problemas, sua estrutura multiplicativa e a relação de continuidade do estudo da Combinatória desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Na segunda etapa, os problemas foram postos lado a lado e o professor foi questionado sobre: semelhanças e diferenças entre os problemas; classificação em um bloco de conteúdos; acertos e erros cometidos pelos estudantes ao resolver os problemas propostos; e a melhor forma de auxiliar o estudante no processo de aprendizado deste conteúdo matemático. Aqui os tipos de conhecimentos que pretendia-se investigar foram: conhecimento comum do Princípio Fundamental da Contagem; conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e currículo; conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e alunos; conhecimento especializado do Princípio Fundamental da Contagem e conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e ensino. No terceiro momento da entrevista, foram apresentados mais quatro protocolos contendo o enunciado dos problemas, seguidos de duas estratégias: a fórmula matemática usual e resolução usando o princípio fundamental da contagem (PFC), como apresentados a seguir.

9 Problema 01 - Produto Cartesiano Para a festa de São João da escola, tem 3 meninos (Pedro, Gabriel e João) e 4 meninas (Maria, Luiza, Clara e Beatriz) que querem dançar quadrilha. Se todos os meninos dançarem com todas as meninas, quantos pares diferentes poderão ser formados? Exemplo de fórmula Matemática. Exemplo de Estratégia usando o PFC. Fonte Pessoa (2009). Problema 02 - Arranjo As semifinais da Copa do Mundo serão disputadas pelas seguintes seleções: Brasil, França, Alemanha e Argentina. De quantas maneiras diferentes podemos ter os três primeiros colocados? Exemplo de fórmula Matemática. Exemplo de Estratégia usando o PFC. Fonte Pessoa (2009). Problema 03 - Permutação Na prateleira do meu quarto, desejo colocar fotos dos meus 5 artistas favoritos. Sabendo que posso organizar as fotos de diferentes maneiras, uma ao lado da outra, qual alternativa abaixo indica a operação necessária para obter o total de possibilidades? Exemplo de fórmula Matemática. Exemplo de Estratégia usando o PFC. Fonte: Assis e Azevedo (2012). Problemas 04 - Combinação Na seleção brasileira de Basquete, o técnico convocou 12 atletas. Sabendo que poderão ser formados diferentes grupos com 5 desses jogadores que irão compor a equipe titular, qual alternativa abaixo indica a operação necessária para obter o total de possibilidades? Exemplo de fórmula Matemática. Exemplo de Estratégia usando o PFC. Fonte: Assis e Azevedo (2012).

10 Primeiro os problemas foram apresentados um a um e o professor era questionado se existia, ou não, relação entre as fórmulas matemáticas apresentadas e a estratégia utilizada pelos estudantes na resolução do mesmo tipo de problema. Com os problemas juntos, o questionamento foi se a estratégia usada pelos estudantes era válida para todos os problemas e como, a partir dela, era possível generalizar e se chegar a uma formularização dos conceitos. Aqui, novamente, a intenção foi investigar os tipos de conhecimentos expressados pelo professor. Os dados coletados estão sendo analisados à luz dos tipos de conhecimentos propostos por Ball, Thames e Phelps (2008), a fim de levantar informações sobre como o professor de Matemática concebe o PFC como estratégia na resolução de problemas combinatórios. Análises preliminares Apresenta-se aqui uma análise preliminar feita a partir dos dados coletados de um dos professores entrevistados, o qual será denominado de P1. Sobre o conhecimento comum do Princípio Fundamental da Contagem, procurou-se identificar em quais momentos P1 demonstra conhecimento do PFC como sendo uma estratégia válida e comum a todos os tipos de problemas apresentados. No reconhecimento dos tipos de problemas apresentados, P1 reconhece a propriedade multiplicativa dos problemas de produto cartesiano e arranjo, porém não cita esta propriedade nos problemas de permutação e combinação. Ao analisar os erros cometidos pelos alunos, tem-se aqui, implícito, além do conhecimento comum do Princípio Fundamental da Contagem, o conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e alunos, no qual P1 reconhece o PFC e afirma que problemas de produto cartesiano, arranjo e permutação simples, podem ser resolvidos usando apenas o PFC. Percebe-se também a mobilização por parte de P1 para o conhecimento especializado do Princípio Fundamental da Contagem, quando analisa matematicamente o erro dos estudantes, relaciona as fórmulas com as estratégias usadas pelos estudantes e reconhece algumas propriedades dos problemas apresentados. Sobre o conhecimento horizontal do Princípio Fundamental da Contagem, P1 reconhece que apenas os problemas de produto cartesiano, arranjo e permutação podem ser trabalhados desde os anos iniciais da Educação Básica. Quanto aos problemas de

11 combinação, P1 os considera muito complexos e afirma que seu ensino deve ser apenas em turmas dos anos finais do Ensino Fundamental e turmas do Ensino Médio. Percebe-se ainda uma mobilização do conhecimento horizontal do Princípio Fundamental da Contagem e do conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e seu aluno, quando P1 faz algumas ressalvas quanto ao ensino de problemas de combinação nos anos iniciais do Ensino Fundamental e quando propõe que a fórmula de arranjo seja dispensada no Ensino Médio por considerá-la, muito complexa para ser ensinada aos estudantes. O conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e ensino e o conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem e currículo aparecem expressos quando P1, ao analisar os erros dos estudantes e fazer relação entre fórmulas e estratégias, aponta alternativas de ensino como o uso de quadro de posição, e árvores de possibilidades a fim de mostrar ao aluno o PFC implícito nas questões e como estratégia para resolver boa parte dos problemas combinatórios. Porém, P1 não diz como se dá o uso destas estratégias no ensino da Combinatória. As análises, aqui feitas, são preliminares, pois ainda há muito o que se identificar de conhecimentos na fala de P1, uma vez que os conhecimentos não aparecerem em apenas uma das situações propostas. Com o avançar das análises, pretende-se fazer um cruzamento dos tipos de conhecimento mobilizados pelos professores participantes, a fim de aprofundar os conhecimentos que eles mobilizam sobre o uso do PFC na resolução de problemas combinatórios. Referências ASSIS, Adryanne; AZEVEDO, Juliana. Princípio fundamental da contagem: alunos do curso de graduação em Pedagogia resolvendo problemas combinatórios. UFPE, Trabalho não publicado. BALL, Deborah; THAMES, Mark; PHELPS, Geoffrey. Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? In: Journal of Teacher Education. 2008, v.59 n.5 pp BORBA, Rute. O raciocínio combinatório na Educação Básica. Anais... Encontro Nacional de Educação Matemática - ENEM, 10., Salvador, BORBA, Rute; BRAZ, Flávia. O que é necessário para compreender problemas combinatórios condicionais? Anais... Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática - SIPEMAT, 3., Fortaleza, 2012.

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