NÍVEIS DO PENSAMENTO COMBINATÓRIO: uma análise sob o olhar das representações semiótica e a resolução de problemas

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1 NÍVEIS DO PENSAMENTO COMBINATÓRIO: uma análise sob o olhar das representações semiótica e a resolução de problemas G7 - Ensino e Aprendizagem de Matemática no Ensino Médio e no Ensino Superior RESUMO Carlos Alberto de Miranda Pinheiro (DINTER PUC/ UEPA)/ Prof.mirandapinheiro@gmail.com Orientadora: Celina Aparecida Almeida Pereira Abar (PUCSP) abarcaap@gmail.com Neste trabalho apresentamos uma proposta de pesquisa, em processo de construção, que tem como principal objetivo identificar os níveis do pensamento combinatório nos alunos que já desenvolveram as habilidades básicas dos conceitos da combinatória escolar por meio da resolução de problemas como ponto de partida; e procura respostas para seguinte questão: Quais são os níveis do pensamento combinatório instaurado nos alunos que já desenvolveram as habilidades básicas dos conceitos da combinatória escolar? A raiz da referida proposta parte da crença que sujeitos, quando submetido à resolução de um determinado problema, da combinatória escolar, podem apresentar estratégias diferentes para resolvê-lo, mas no processo cognitivo de elaboração dessas estratégias existem pontos em comum, que denominamos níveis do pensamento combinatório. Defendemos que tais níveis são revelados quando os sujeitos passam por uma atividade de ensino e aprendizagem do objeto matemático em questão. Optamos por desenvolver a pesquisas com a colaboração de alunos que estão cursando o ensino médio e ainda não passaram pelo ensino da combinatória escolar. Pensamos em utilizar, o design experiments como metodológica da investigação científica e o software ATLAS.ti 6 como ferramenta para organização, seleção e tratamento dos dados. O aporte teórico é composto por alguns aspectos da teoria de Vygotsky, dos registros de representações semióticas, da teoria das situações didáticas e da teoria da resolução de problemas. PALAVRAS-CHAVE: pensamento combinatório, representações semióticas e resolução de problemas. INTRODUÇÃO Do final dos anos 90, século passado, até os dias atuais, os estudos interessados nas questões, envolvendo o ensino e aprendizagem de Análise Combinatória, vêm se constituindo num forte campo de investigação com a finalidade de minimizar as dificuldades encontradas por alunos e professores. Os alunos sentem dificuldades ao se depararem com uma parte da matemática escolar que necessita de uma forma particular de pensamento, denominada de raciocínio combinatório. 1

2 Os professores, na sua maioria, encontram-se fragilizados pela formação inicial que só considerava importante o profundo conhecimento matemático em detrimento das questões metodológicas para o ensino dos tópicos da matemática, estudados nas escolas. Com isso, ainda predomina um ensino de Análise combinatória apresentando a definição, seguida de exemplos e exercícios de fixação. Ou seja, sem proporcionar um caminho metodológico que leve os alunos ao desenvolvimento do raciocínio combinatório. Objetivando alargar as pesquisas no campo da Combinatória escolar, passamos a investigar, dentro de nossas possibilidades de acesso, os estudos acerca do ensino e da aprendizagem de Análise Combinatória. Encontramos pesquisas que investigaram as estratégias, as dificuldades e o desenvolvimento dos alunos quando resolvem problemas de Análise Combinatória (Correia e Fernandes, 2007; Batanero et al. 1996; Pacheco, 2001; Moro e Soares, 2006; Borba e Pessoa, 2009) e às que investigaram seqüências de ensino de Análise Combinatória (Esteves, 2001; Dornelas, 2004; Rocha, 2002; Sturm, 1999). As pesquisas que investigaram estratégias, dificuldades e o desenvolvimento dos alunos quando resolvem problemas de análise combinatória tiveram como principal instrumento de produção de dados fichas contendo problemas de análise combinatória. O procedimento culminava na resolução dos problemas pelos alunos que em alguns casos ainda não haviam passado por uma atividade de ensino e de aprendizagem da combinatória; e em outros casos por alunos que já haviam estudado combinatória. Nestes estudos não houve nenhuma pesquisa que procurou investigar o desenvolvimento dos alunos submetendo-os numa atividade de ensino e de aprendizagem em consonância com os objetivos da investigação cientifica, No que se refere às pesquisas que investigaram sequências de ensino de Análise Combinatória devemos ressaltar que foram desenvolvidas nas salas de aulas, de escolas do Ensino Fundamental e Médio; analisaram alguns fenômenos inerentes ao ensino e aprendizagem da Análise Combinatória dentro da realidade escolar que vive professor e aluno, com o intuito de validar as seqüências de ensino desenvolvidas por meio de resoluções de problemas e potencializar o principio fundamental da contagem (P.F.C), como principal ferramenta introduzir os demais conceitos básicos da combinatória escolar(arranjo simples, permutação simples e combinação simples), sem a prévia apresentação das fórmulas. Para os autores, é necessária a continuidade das investigações cientificas que procurem utilizar o P.F.C., por meio da metodologia da 2

3 resolução de problemas, na introdução dos conceitos básicos da combinatória escolar, pois esta estratégia de metodológica caminha no sentido inverso ao método tradicional de ensinar (definição, aplicação, exercícios), isto é, parte do problema e faz o aluno chegar às definições e às fórmulas. Seguindo esta linha de investigação desenvolvemos uma pesquisa de campo (PINHEIRO, 2008), numa escola pública da região metropolitana de Belém do Pará, procurando respostas para as seguintes questões: Uma sequência de ensino, enfatizando a resolução de problemas como ponto de partida, proporciona condições favoráveis para que sejam institucionalizados os conceitos básicos de Análise Combinatória? E como questão derivada da primeira É possível a partir do ensino oferecido, que os alunos tenham desenvolvido habilidades básicas para resolverem os problemas de Análise Combinatória? Os resultados dessa pesquisa apontaram que a seqüência de ensino proporciona condições favoráveis para o desenvolvimento das habilidades básicas dos conceitos de combinatória e nos iluminou no sentido de perceber que existem similaridades no pensamento combinatório dos alunos após o desenvolvimento de tais habilidades. Pois, quando os sujeitos são submetidos à resolução de um determinado problema, da combinatória escolar, podem apresentar estratégias diferentes para resolvê-lo, mas no processo cognitivo de elaboração dessas estratégias existem pontos em comum, que denominamos níveis do pensamento combinatório. Mas, acreditamos que tais níveis são revelados quando os sujeitos passam por uma atividade de ensino e aprendizagem do objeto matemático em questão. É diante dessa crença que continuamos nossos estudos envolvendo a Análise Combinatória escolar, procurando responder a seguinte questão: Quais são as níveis do pensamento combinatório instaurado nos alunos que já desenvolveram as habilidades básicas dos conceitos e já construíram as fórmulas do arranjo simples e da combinação simples? OBJETIVOS Geral: Identificar os níveis do pensamento combinatório nos alunos que já desenvolveram as habilidades básicas dos conceitos da combinatória escolar por meio da resolução de problemas como ponto de partida Específicos: 3

4 1. Elaborar uma seqüência didática, por meio da resolução de problemas como ponto de partida, que proporcione condições favoráveis a institucionalização dos conceitos básicos da analise combinatória, utilizando ambiente virtual de aprendizagem. 2. Aplicar a seqüência de ensino junto aos alunos da segunda série do ensino médio. 3. Analisar os resultados da seqüência utilizando alguns aspectos da teoria dos registros de representações semióticas. 4. Elaborar e aplicar um grupo de problemas envolvendo combinatória com um nível acima do exigido pelas habilidades básicas. 5. Verificar a padronização do raciocínio combinatório dos sujeitos APORTE TEÓRICO A pesquisa será fundamentada, no contexto da Educação Matemática, pela teoria das Situações Didáticas (BROUSSEAU, 1996), dos Registros de Representação Semióticas (DUVAL, 2011) e da Resolução de Problemas (POLYA, 1995). METODOLOGIA No que tange aos aspectos metodológicos da pesquisa, o estudo será desenvolvido por meio do design experiments. A ideia é produzir uma descrição densa das etapas universais do pensamento combinatório. Por questão de convencia, os sujeitos participantes da pesquisa são alunos de uma escola estadual de ensino tecnológico da região metropolitana de Belém, no Estado do Pará, pois trata-se da escola que o primeiro autor desenvolve suas atividades docentes, na esfera da Educação Básica. Pretende-se utilizar entrevistas, questionários e roteiros de problemas para efeito de produção e coleta de dados e o software ATLAS.ti 6 1 como ferramenta para organização, seleção e tratamento dos dados. REFERÊNCIAS BATANERO, C.; GODINO, J.D.; NAVARRO-PELAYO, V.; Razonamiento Combinatorio en Alumnos de Secundaria. Educación Matemática, México, v.8, pp ,

5 BORBA, Rute; PESSOA, Cristiane. QUEM DANÇA COM QUEM: o desenvolvimento do raciocínio combinatório de crianças de 1ª a 4ª série. Campinas: Zetetikê, v. 17, n. 31, 21 jun Disponível em: < Acesso em: 20 abr BROUSSEAU, Guy; Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática. In: BRUN, Jean.Lisboa: Instituto Piaget, CORREIA, Paulo Ferreira; FERNANDES, José Antônio. Estratégias Intuitivas de Alunos do 9.º Ano de Escolaridade na Resolução de Problemas de Combinatória. In: BARCA, A.; PERALBO, M.; PORTO, A.; Duarte da Silva, B. e Almeida, L. (Org.). Congreso Internacional Galego-Portugués de Psicopedagoxía. A.Coruña/Universidade da Coruña: Revista Galego-Portuguesa de Psicoloxía e Educación, p , 2007 DORNELAS. A.C.B.; O Principio Multiplicativo como Recurso Didático Para a Resolução de Problemas de Contagem. 127 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências). Departamento de Educação, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, DUVAL, Raymond. Ver e ensinar a matemática de outra forma: entrar no modo matemático de pensar: os registros de representações semióticas. São Paulo: PROEM, ESTEVES, I. Investigando os fatores que influenciam no raciocínio combinatório em adolescentes de 14 anos - 8 a série do ensino fundamental 194 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)-Centro das Ciências Exatas e Tecnologias, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, MORO, M.L.F; SOARES, M.T.C. Níveis de Raciocínio Combinatório e Produto Cartesiano na Escola Fundamental. São Paulo: Educação Matemática Pesquisa, v. 8, n. 1, 21 jun Disponível em: < Acesso em: 20 abr PACHECO, A.B.; Uma investigação sobre erros apresentados por estudantes na resolução de problemas verbais e não-verbais no campo da Análise Combinatória. 257 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências). Departamento de Educação, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, PINHEIRO, C. A. M. O ensino de análise combinatória a partir de situaçõesproblema. 164 f. Dissertação (Mestrado em Educação)- Universidade do Estado do Pará, Belém, ROCHA, J. C. O ensino de análise combinatória: uma discussão sobre o uso do principio multiplicativo na resolução de problemas. 96 p. Dissertação (Mestrado em Educação) Faculdade de educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, STURM, Wilton. As possibilidades de um ensino de análise combinatória sob uma abordagem alternativa. 94 p. Dissertação (Mestrado em Educação) - Faculdade de Educação, Universidade de Campinas, Campinas,