ANÁLISE DO DESEMPENHO DOS ESTUDANTES EM QUESTÕES QUE ENVOLVEM CONHECIMENTOS SOBRE TRIGONOMETRIA

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1 ANÁLISE DO DESEMPENHO DOS ESTUDANTES EM QUESTÕES QUE ENVOLVEM CONHECIMENTOS SOBRE TRIGONOMETRIA Jocimar Albernaz Xavier Pós-graduando em Educação Matemática UEPA - Brasil jocimarxavier@yahoo.com.br Mario Oliveira Thomaz Neto Departamento de Matemática, Estatística e Informática UEPA - Brasil mthomazneto@uol.com.br RESUMO Neste artigo apresentamos os principais pontos envolvendo parte dos resultados de um estudo sobre trigonometria, com o objetivo de construir uma seqüência didática para o ensino desses conhecimentos utilizando o software Régua e Compasso. A pesquisa foi realizada com 45 estudantes do 2º ano do ensino médio de uma escola pública localizada no município de Belém, tendo por objetivo analisar o desempenho dos estudantes em questões que envolvem conhecimentos sobre trigonometria. Os dados foram coletados por meio de um teste escrito. Os resultados indicam que os estudantes possuem dificuldades em identificar as relações métricas nos triângulos retângulos, bem como não realizam os cálculos referentes à aplicação dessas relações na resolução de questões. Outro aspecto que os estudantes encontram certa dificuldade é para descrever corretamente seno, cosseno e tangente a partir da representação gráfica de um triângulo retângulo. No que diz respeito às razões trigonométricas na circunferência, os estudantes apresentam dificuldades para localizar arcos e valores das razões nos quadrantes. PALAVRAS-CHAVE: Trigonometria; Ensino e Aprendizagem; Régua e Compasso.

2 JUSTIFICATIVA DO ESTUDO Um ambiente de aprendizagem de matemática, propício ao desenvolvimento de aprendizagens significativas, deve implementar estratégias pedagógicas cujas ações possibilitem não apenas reproduzir modelos para determinar respostas padronizadas, mas, especialmente, ações que possibilitam desenvolver capacidades que caracterizam atos próprios do "fazer matemático" como estimar, experimentar, representar, analisar e concluir; ações que promovem o fazer e o compreender, o construir noções e conceitos matemáticos. Assim, o estudo da Trigonometria no ensino médio, como qualquer outro ramo da Matemática, consegue adquirir caráter significativo, quando possibilita o desenvolvimento de habilidades consideradas significativas no que diz respeito à leitura e à interpretação de fatos reais que envolvem não somente os conhecimentos matemáticos, mas as demais atividades da vida do aluno. Lindegger (2000), ao realizar um estudo com alunos da 8ª série do ensino fundamental, sobre os conceitos das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, a partir da manipulação de modelos, observou que a introdução destes conceitos ganha uma dimensão significativa para os alunos, quando se inicia a partir da resolução de problemas concretos, advindos da realidade, dirigindo-se para os problemas formais. A autora, em seu estudo, propõe uma seqüência de atividades diferenciadas para o ensino de trigonometria, daquela comumente apresentada pelos livros didáticos. De acordo com a mesma, as atividades vivenciadas proporcionaram aos alunos a descoberta das idéias existentes, a partir da aplicação prática dos conceitos da trigonometria na resolução de problemas por meio do manuseio de materiais concretos e da visualização das situações, através dos esquemas realizados no ciclo trigonométrico, além de estimular o pensamento reflexivo e o relacionamento entre os alunos por meio da troca de experiências em grupos. Sobrinho, Lima e Thomaz Neto (2005) realizaram um estudo com 56 alunos do 2º ano do ensino médio de duas escolas situadas na região metropolitana de Belém, sobre o desempenho destes na resolução de problemas verbais e não-verbais em trigonometria. O instrumento utilizado para a coleta de dados foi um teste escrito contendo seis problemas que focalizavam o conteúdo matemático razões trigonométricas no triângulo retângulo, sendo três com estrutura verbal e três com estrutura não-verbal. O objetivo desse estudo foi o de comparar o desempenho dos alunos por estrutura dos problemas verbal e não-verbal, além de investigar os erros presentes em suas tentativas de resoluções dos quesitos propostos. Os resultados apontam que os alunos apresentam desempenho melhor nos problemas não-verbal, além da existência de erros aqui denominados como erro na representação geométrica, erro na razão trigonométrica e erro de cálculo. Os resultados encontrados possibilitam uma visão do ponto de vista cognitivo das dificuldades encontradas

3 por alunos em suas tentativas de resoluções dos problemas aqui focalizados. Silva e Thomaz Neto (2006) apresentam os resultados de uma pesquisa realizada com 37 alunos do 2º ano do ensino médio de uma escola pública no Pará, tendo como objetivo verificar quais os conhecimentos destes quanto às definições, às relações e aos problemas envolvendo as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Os dados foram coletados por meio de um teste escrito. Os resultados, dentre outros, apontam que os alunos não conseguem identificar corretamente, os elementos (lados e ângulos) do triângulo retângulo e, por conseqüência, as definições das razões trigonométricas. Quanto às relações trigonométricas, os alunos não estabeleceram corretamente as relações entre os elementos, pois escreveram as razões trocando termos ou utilizando termos desconhecidos. A partir da análise destes e de outros estudos procuramos investigar os saberes de 45 estudantes da 2ª série do ensino médio da Escola Estadual Professora Hilda Vieira, para assim realizar uma proposta de estudo, que consiste na apresentação de uma seqüência didática para o ensino de trigonometria utilizando como recurso um software de geometria dinâmica, Régua e Compasso, esperando contribuir para minimizar as dificuldades de aprendizagem desse campo do saber matemático. METODOLOGIA Sujeitos investigados Foram sujeitos desta pesquisa 45 estudantes do 2º ano do ensino médio de uma escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio, localizada no Município de Belém. Quanto ao sexo dos sujeitos investigados foi observado que 36% eram do sexo masculino e 64% do sexo feminino. Levando em consideração a repetência e os que nunca foram reprovados, encontramos para os estudantes do sexo masculino o percentual de 37,5% para os que já haviam sido reprovados em alguma série e 62,5% para os que nunca foram reprovados. Quanto ao sexo feminino, 17,2% desses ficaram reprovados em alguma série e 82,8% nunca foram reprovados. Quanto ao tempo de aplicabilidade dos testes verificou-se que os estudantes do sexo masculino levaram 110,7 min. para resolvê-los; enquanto que os do sexo feminino levaram em média 109,6 min. Instrumento de pesquisa Para a coleta dos dados foi realizado um teste contendo sete questões, uma com 16 itens, duas com 3 itens e quatro com 4 itens. Cada uma das sete questões envolvia um assunto relacionado à Trigonometria.

4 Procedimento para coletas de dados Para a aplicação do teste, foi feito contato com a direção da escola que nos apresentou o professor de matemática que atua na série investigada, 2º ano do ensino médio. Após conversa informal com o mesmo, onde foram explicados os objetivos do trabalho, o referido professor nos cedeu um horário para a realização do teste. A aplicação do teste ocorreu em dia e hora previamente agendados com o professor responsável pela turma. Os estudantes levaram 180 minutos para resolver o teste aplicado, que continha as mesmas questões para todos, de maneira que se pudesse analisar a competência de cada estudante em relação ao tópico matemático investigado. PRODUÇÃO ESCRITA DOS ALUNOS EM RELAÇÃO À TRIGONOMETRIA A seguir será apresentado o desempenho dos estudantes da 2ª série do ensino médio nas questões que envolvem conhecimentos sobre trigonometria. Relações métricas no triângulo retângulo Nesta seção, serão analisadas as duas primeiras questões do teste, objetivando verificar o conhecimento do aluno acerca da identificação das relações métricas no triângulo retângulo (questão 1), bem como sua aplicabilidade na resolução de problemas (questão 2). Na questão 1, foi solicitado aos estudantes que indicassem se cada uma das 16 opções dadas era verdadeira ou falsa quanto à identificação das relações métricas nos três triângulos retângulos em variadas posições e com seus elementos nomeados de maneira distintas. Cada item apresentava uma relação que poderia ou não estar vinculada a um dos triângulos apresentados na questão. O gráfico a seguir, representa o desempenho dos estudantes em relação ao acerto, erro e ausência de resposta (em branco) considerando a questão GRÁFICO 1 ausencia de resposta (em branco) referentes a questão FONTE: PESQUISA DE CAMPO REALIZADA NA ESCOLA E.E.F.M. "PROFª HILDA VIEIRA"

5 Após o levantamento dos registros escritos, foi possível identificar que, o percentual de estudantes que acertaram foi de 2,22%, dos que erraram 97,78% e dos que não apresentaram resposta foi de. O percentual de erro demonstra que os estudantes possuem dificuldades em identificar as relações métricas existentes no triângulo retângulo. Um dos fatores dessa dificuldade é a não compreensão de que seria possível a generalização das relações métricas existentes entre os elementos de triângulos retângulos quaisquer. Este fato fica evidenciado no registro escrito abaixo: O registro escrito acima indica, dentre as 16 relações, qual delas corresponde adequadamente ao Teorema de Pitágoras aplicado aos elementos do triangulo roxo. No entanto, o estudante não conseguiu generalizar o raciocínio, no que diz respeito à mesma relação aplicada, aos outros dois triângulos (vermelho e verde), pois relações verdadeiras quando observadas no triângulo em questão, foi assinalada como falsa pelo mesmo estudante. A dificuldade dos estudantes na compreensão das relações métricas no triângulo retângulo é visível. Em um dos momentos, o estudante afirma serem validas duas relações para os mesmos elementos. O que pode ser verificado na produção escrita de um dos estudantes:

6 Na questão 2 temos quatro itens, nos quais eram dados valores de elementos relacionados a um mesmo triângulo, para que assim o estudante pudesse encontrar, utilizando as relações métricas, o outro elemento de valor desconhecido também relacionado ao mesmo triângulo. No gráfico abaixo está o desempenho dos estudantes no que concerne a acerto, erro e à ausência de resposta (em branco). GRÁFICO 2 10 ausência de resposta referentes a questão A B C D FONTE: PESQUISA DE CAMPO REALIZADA NA ESCOLA E.E.F.M. "PROFª. HILDA VIEIRA" A partir da observação dos resultados desta questão, tem-se que para o item A o percentual de estudantes que acertaram foi de 15,56%, o dos que erraram foi de 84,44% e os que não apresentaram resposta foi. Para o item B, o percentual dos estudantes que acertaram foi de e dos erros 10 e os que não apresentaram resposta foi, para o item C o percentual de acerto foi de 75,56% e dos erros 24,44% e os que não apresentaram resposta foi por fim para o item D o percentual de acerto foi de 77,78 % e dos erros 22,22% e os que não apresentaram resposta foi. A partir da análise individual das fichas e dos resultados é verificado que em relação aos dois primeiros itens a e b os estudantes não obtiveram um desempenho satisfatório e dentre os dois últimos itens c e d o desempenho é em sua maioria o esperado em relação às habilidades. Observe na figura abaixo um exemplo de resposta em um dos testes.

7 Verificamos no item a, cuja resposta era 15, que os estudantes em sua maioria efetuaram a identificação certa da relação a se utilizar, mas acabaram por finalizar o cálculo de forma errônea. Sobrinho, Lima e Thomaz Neto (2005) sinalizam a observação acima quando afirmam que esses erros de cálculos direcionam para a falta de preparação básica dos estudantes em relação aos conhecimentos básicos matemáticos das séries iniciais, ou ainda, por pura distração, causada pelo não envolvimento com a atividade proposta. Relações trigonométricas em um triângulo retângulo Nesta seção objetivamos analisar o conhecimento do estudante a respeito dos elementos e relações trigonométricas nos triângulos retângulos por meio da análise de duas questões (questão 3 e questão 4). A questão 3 apresentava três itens onde o estudante deveria, principalmente, demonstrar o conhecimento a respeito dos elementos do triângulo retângulo bem como as possíveis relações entre estes elementos. Todos os itens estavam no mesmo nível de dificuldade. No gráfico 3, a seguir, está o resultado do desempenho dos estudantes no que se refere a identificar os elementos de um triângulo retângulo bem como os valores das razões trigonométricas relacionadas a cada ângulo agudo. GRÁFICO 3 ausência de resposta (em branco) referentes a questão A B C FONTE: PESQUISA DE CAMPO REALIZADA NA ESCOLA E.E.F.M. "PROFª. HILDA VIEIRA"

8 Pela análise dos dados foi possível identificar que para o item A o percentual de acerto foi de 10, dos erros e ausência de resposta. Para o item B, o percentual de acerto foi de 46,67 %, dos erros 53,33% e de ausência de resposta. Para o item C, o percentual de acerto foi de 57,78%, dos erros 42,22% e para ausência de respostas. As produções escritas dos sujeitos investigados demonstram que os mesmos possuem dificuldades em identificar os elementos de um triângulo retângulo, bem como calcular as razões trigonométricas entre os ângulos. A questão 4 é o complemento das habilidades referentes à identificação das relações trigonométricas no triângulo retângulo. Temos quatro itens identificados por a, b, c e d onde em cada um existem duas razões trigonométricas relacionada ao triângulo retângulo da figura referente à questão. A questão tinha por objetivo que o estudante indicasse qual destes itens correspondia a razões corretas em relação ao triângulo. Os resultados do desempenho dos estudantes estão representados no gráfico 4, a seguir GRÁFICO 4 ausência de resposta (em branco) referentes a questão FONTE: PESQUISA DE CAMPO REALIZADA NA ESCOLA E.E.F.M. "PROFª HILDA VIEIRA" Através da análise dos resultados foi possível identificar na questão que o percentual de acerto foi de 57,78% e dos erros 42,22% e de ausência de resposta foi de. Observa-se que ocorre a mesma situação da questão anterior, na qual os estudantes não possuíam dificuldades em identificar as razões trigonométricas em triângulo retângulo. Seno e cosseno no ciclo trigonométrico Para analisar o conhecimento dos estudantes em relação à identificação das razões seno e cosseno em determinado quadrante no ciclo trigonométrico foram propostas três questões.

9 Na questão 5 há três itens identificados por a, b e c. Em cada um há uma simultaneidade entre o seno e o cosseno de um ângulo (senα < 0 e cosα<0, sen α > 0 e cosα> 0, senα < 0 e cosα > 0) sendo o objetivo da questão que o estudante indicasse em qual quadrante iria ocorrer cada simultaneidade. Todos os itens estavam no mesmo nível de dificuldade. O gráfico 5 abaixo exibe o desempenho dos estudantes no que se refere a acerto, erro e ausência de resposta (em branco) referentes à questão 5. GRÁFICO 5 ausência de resposta (em branco) referentes a questão A B C FONTE: PESQUISA DE CAMPO REALIZADA NA ESCOLA E.E.F.M. "PROFª. HILDA VIEIRA" Após a tabulação dos registros escritos dos estudantes foi possível identificar que para o item A o percentual de acerto foi de 8,89%, dos erros 86,67% e de itens em branco foram 4,44%. Para o item B o percentual de acerto foi de 31,11 %, dos erros 64,44% e de itens em branco foram de 4,44%. Para o item C o percentual de acerto foi de 46,67%, dos erros 48,89% e de itens em branco foram de 4,44%. Os dados nos remetem de modo geral as dificuldades que os estudantes possuem em situar os ângulos e os valores das razões trigonométricas em um determinado quadrante. Este fato pode estar relacionado à forma mecânica como esse conteúdo vem sendo ensinado nas escolas, o que não possibilita ao estudante a habilidade necessária para aplicar este conhecimento em determinada situações. Na questão 6, temos quatro itens identificados por a, b, c e d onde existe uma comparação entre senos de dois ângulos pertencentes ao segundo quadrante (sen a < sen b < 0, sen a > sen b > 0, sen b > sen a >0, sen b < sen a <0), sendo o objetivo da questão que o aluno indicasse qual destes itens era correto sabendo que π 2 < b < a <π. No gráfico 6, constam as respostas exibidas pelos estudantes no que se refere à localização de ângulos no quadrante (questão 6).

10 GRÁFICO 6 ausência de resposta (em branco) referentes a questão FONTE: PESQUISA DE CAMPO REALIZADA NA ESCOLA E.E.F.M. "PROFª HILDA VIEIRA" GRÁFICO 7 ausência de resposta (em branco) referentes a questão 7 Após a análise dos dados foi possível identificar na questão 6 que o percentual de acerto foi de 28,89% e dos erros 71,11% e ausência de resposta foi de. Novamente os resultados evidenciam as dificuldades encontradas pelos estudantes em relação aos conhecimentos trigonométricos, mais especificamente em comparar nos quadrantes os valores de razões trigonométricas. De certa forma isso pode se justificar novamente pelo exposto apresentado na questão anterior (5). Na questão 7, temos quatro itens identificados por a, b, c e d onde o estudante deveria assinalar um desses itens, que corresponderia desconhecido de sen x sendo que foi dado o valor do cos x e o quadrante em que o ângulo x está localizado como auxilio. O gráfico 7, apresenta o desempenho dos estudantes no que se refere às habilidades requeridas na questão FONTE: PESQUISA DE CAMPO REALIZADA NA ESCOLA E.E.F.M. "PROFª HILDA VIEIRA" Os resultados apontam que o percentual de acerto foi de 2,22% e dos erros 97,78%. Para essa questão não ocorreram respostas em branco. A análise dos dados obtidos nos remete a dificuldade que os estudantes possuem em identificar que para esta questão a relação fundamental da trigonometria seria o artifício mais adequado para a resolução dessa questão. Embora alguns estudantes tenham

11 identificado a maneira correta, não conseguiram realizar a manipulação algébrica de forma adequada. CONCLUSÃO Os resultados obtidos neste estudo indicam que os estudantes possuem dificuldades em identificar as relações métricas nos triângulos retângulos, bem como não realizam os cálculos referentes à aplicação dessas relações na resolução de questões. Outro aspecto que os estudantes encontram certa dificuldade é para descrever corretamente seno, cosseno e tangente a partir da representação gráfica de um triângulo retângulo. No que diz respeito às razões trigonométricas na circunferência, os estudantes apresentam dificuldades para localizar arcos e valores das razões nos quadrantes. Dessa forma, é necessário que seja repensado o modo como são abordados esses conteúdos em sala de aula, a fim de que se crie estratégias pedagógicas que garantam uma aprendizagem significativa por parte dos estudantes. Entendemos que uma estratégia pedagógica viável para a superação das dificuldades apresentadas pelos estudantes é a elaboração e execução de uma seqüência didática envolvendo o software régua e compasso. Neste sentido, o uso desse software deve possibilitar, dentre outros aspectos, um diálogo entre professor e aluno, aluno e aluno e aluno e computadores, rompendo assim com a forma estática na abordagem do professor e conduzindo o aluno, por meio do diálogo, a construção de seu próprio conhecimento. REFERÊNCIAS LINDEGGER, L. R. M. Construindo os conceitos básicos da trigonometria no triângulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação de modelos f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontífice Universidade Católica. São Paulo, SILVA, D.M.M. & THOMAZ NETO, M.O. Conhecimentos de Estudantes do Ensino Médio sobre Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação-Centro de Educação Universidade Federal de Pernambuco, CD-ROM. SOBRINHO, E. G. M; LIMA, J. P; THOMAZ NETO, M. O. Desempenho de alunos do ensino médio na resolução de problemas verbais e não-verbais em trigonometria. In: VII Congresso norte/nordeste de educação em ciências e matemáticas. Belém: UFPA/NPADC/CEJUP, 2004, p