A GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO E OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

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1 A GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO E OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA Joseide Justin Dallemole 1 Claudia Lisete Oliveira Groenwald 2 Resumo Este artigo faz parte da pesquisa a ser desenvolvida para o doutorado em Ensino de Ciências e Matemática, a qual visa investigar como desenvolver o processo de ensino e aprendizagem da Geometria Analítica no Ensino Médio, de tal forma que contribua para a formação do estudante. Os dados serão coletados através de entrevistas com professores de Matemática do Ensino Médio das escolas da região metropolitana de Porto Alegre, análise da grade curricular do Ensino Médio destas escolas no que se refere aos conteúdos de Geometria Analítica, análise dos livros didáticos para o Ensino Médio, análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio no que tange os conteúdos de Geometria Analítica, entrevistas com professores e alunos de cursos de Ensino Profissionalizante (Técnico e Superior) da região metropolitana de Porto Alegre, filmagens realizadas durante o experimento com a sequência didática eletrônica embasada nas principais tendências metodológicas para a área de Educação Matemática e nos registros de representação semiótica com o grupo de alunos de uma turma do Ensino Médio, protocolo das observações dos encontros presenciais e produções dos alunos investigados. Palavras-chave: Geometria Analítica. Registros de Representação Semiótica. Ensino e Aprendizagem. Introdução O ensino da Geometria Analítica, objeto de estudo no Ensino Médio e Superior, justifica-se por apresentar uma riqueza conceitual relevante para o desenvolvimento cognitivo do pensamento matemático, está presente em muitas áreas da ciência, como na medicina em exames por imagem computadorizadas, na engenharia desde a fabricação de peças de aço até a construção de cenários virtuais, na astronomia, no GPS, nos radares dos aeroportos e dos aviões, na física em movimentos de corpos em função do tempo. Segundo Eves (2007) as ideias concebidas por Descartes e Fermat acerca da Geometria Analítica moderna constituem um método da Geometria. E, para o autor, poucas experiências escolares podem ser mais emocionantes para um aluno do curso colegial avançado ou início de faculdade do que uma introdução a esse novo e poderoso método de 1 Doutoranda do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Luterana do Brasil- campus Canoas-RS 2 Professora e Coordenadora do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Luterana do Brasil- campus Canoas-RS

2 enfrentar problemas geométricos. Conforme o autor, a essência da ideia quando aplicada ao plano consiste em estabelecer uma correspondência entre pontos do plano e pares ordenados de números reais, viabilizando assim uma correspondência entre curvas do plano e equações em duas variáveis, além disso, estabelece-se uma correspondência entre as propriedades algébricas e analítica da equação e as propriedades geométricas da curva associada. Dessa forma passou-se da tarefa de provar um teorema em geometria para a de provar um teorema correspondente em álgebra e análise. Silva (2006) constatou que muitos alunos do Ensino Médio mostram dificuldades em articular com as diversas representações gráficas e algébricas de curvas planas, além da dificuldade para compreender a diferença entre o objeto matemático e sua representação. De acordo com Dallemole (2010) em pesquisa com alunos de Licenciatura em Matemática, constatou que estes ainda apresentam dificuldades em realizar tratamentos e conversões entre os registros língua natural, representação algébrica e representação gráfica envolvendo os conceitos de Geometria Analítica, mesmo já tendo visto tais conceitos no Ensino Médio. Para Bezerra (2009), sua experiência como professora no Ensino Médio, constatou que quase sempre o ensino e aprendizagem da Geometria Analítica é um ensino centrado na transmissão de fórmulas, descontextualizado da realidade e da própria Matemática, em total descompasso com os avanços tecnológicos (BEZERRA, 2009, p. 2). A autora afirma ainda que o desenvolvimento dos conceitos neste conteúdo se dá de forma mecanicista, priorizando a memorização de fórmulas e algoritmos, deixando de lado o raciocínio lógico e espacial. Com base nas exigências atuais do mundo globalizado, o qual requer cada vez mais o domínio de habilidades matemáticas pelo indivíduo, e ciente da importância da Geometria Analítica para diferentes áreas da Ciência, entende-se necessário investigar o tema Geometria Analítica no atual sistema de Ensino Médio, seu papel no currículo, o processo de ensino e aprendizagem e sua contribuição para a formação do estudante, bem como, desenvolver uma proposta metodológica para este ensino, que favoreça o desenvolvimento dessas habilidades. Entende-se que a escola deve assegurar aos seus alunos o domínio dos conhecimentos científicos e culturais, promover o desenvolvimento de habilidades mentais que levem o pensamento autônomo, ou seja, no processo de ensino e aprendizagem a escola e o professor devem desenvolver objetivos relativos a formação do aluno como um todo, abrangendo o aspecto cognitivo, afetivo, ético e social. E isto, obviamente remete ao que Coll (1997) chama de elementos básicos do currículo: o que ensinar, quando ensinar, como ensinar, o que, como e quando avaliar. Estes elementos, segundo o autor, são fundamentais e devem ser bem planejados para que se possa esperar bons resultados do processo educacional.

3 Nesta pesquisa, o como ensinar a Geometria Analítica no Ensino Médio está intrinsicamente ligada à teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval. Para Coll (1997) o como ensinar estabelece a metodologia de trabalho e os recursos necessários para desencadear a ação educativa. Conforme o autor o currículo deve proporcionar informações sobre como ensinar, sobre a maneira de estruturar as atividades de ensino e aprendizagem das quais participarão os alunos para alcançar os objetivos selecionados. Assim, a prática metodológica para o ensino da Geometria Analítica deve levar em consideração essa teoria, pois este conteúdo por si só contém uma diversidade de registros que devem trabalhados, especialmente no que diz a respeito da conversão entre esses registros. Especificamente, para a Geometria Analítica as Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (2006), afirma que esta possibilita a articulação entre a geometria e álgebra, devendo o professor trabalhar o entendimento de figuras geométricas por meio de equações, e o entendimento de equações por meio de figuras geométricas, abandonando a simples apresentação de equações sem explicações fundadas no raciocínio lógico, evitando memorizações excessivas de fórmulas. Evidencia-se nesta afirmação, com base na teoria dos Registros de Representação Semiótica, uma necessidade de utilização de diferentes Registros de Representação Semiótica, o registro gráfico e o registro algébrico, e um trabalho, por parte do professor, que promova a articulação, ou seja, a conversão entre esses registros. Os Registros de Representação Semiótica A teoria de Raymond Duval (2004) sobre Registros de Representações Semióticas é definida por ele como produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas dificuldades próprias de significado e de funcionamento (Duval, 1993 apud DAMM, 2002, p.143). Tem se mostrado, de acordo com Machado (2003), um importante instrumento de pesquisas concernentes à aquisição de conhecimentos matemáticos e à organização de situações de aprendizagem desses conhecimentos. De acordo com Duval (2004, p. 43), a formação de uma representação semiótica é o recurso a um signo para atualizar a visão de um objeto ou substituir a visão desse objeto. D Amore (2005) complementa, afirmando que o conhecimento é a intervenção e a utilização dos signos. Assim, para ele, na aprendizagem da Matemática, os alunos são introduzidos em um mundo novo, conceitual e simbólico, sobretudo representativo. Para Duval (2003, p. 13), é suficiente observar a história do desenvolvimento da

4 Matemática para ver que o desenvolvimento das representações semióticas foi uma condição essencial para a evolução do pensamento matemático. Especificamente na Matemática, Duval (2004) afirma que ela permite uma grande variedade de representações: sistemas de numeração, figuras geométricas, escritas algébricas e formais, representações gráficas e língua natural. Assim, conforme Duval (2003, p.14), a originalidade da atividade Matemática está na mobilização simultânea de, ao menos, dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar, a todo momento, de registro de representação. Segundo Duval (2003), existem quatro tipos muito diferentes de Registros de Representações Semióticas, conforme apresentadas na figura 1. Figura 1- Quadro da classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático. Representação Discursiva Representação não-discursiva REGISTROS MULTIFUNCIONAIS: Os tratamentos não são algoritmizáveis. Língua Natural Associações verbais (conceituais). Forma racional: argumentação a partir de observações, de crenças...; dedução válida Figuras geométricas planas ou em perspectiva. Apreensão operatória e não somente perspectiva; REGISTROS MONOFUNCIONAIS: Os tratamentos são principalmente algoritmos. Duval (2003, p.14). a partir de definições ou uso de teoremas. Sistemas de escritas: numéricas (binárias, decimal, fracionária...); algébricas; simbólicas (línguas formais). Cálculo Construção com instrumentos. Gráficos cartesianos. Mudanças de sistema de coordenadas; Interpolação, extrapolação. Duval (2004) estabelece três atividades cognitivas inerentes a semiosis, ou seja, para que um sistema semiótico seja um registro de representação é necessária a formação de representações em um registro semiótico particular e as duas transformações de representações semióticas, uma denominada tratamento e a outra, conversão, as quais correspondem a atividades cognitivas diferentes. A formação da representação de um registro está atrelada ao que Duval (2004) chama de regras de conformidade, definidas por ele como sendo aquelas que definem um sistema de representação e, em consequência, os tipos de unidades constituídas de todas as representações possíveis em um registro (DUVAL, 2004, p. 43). Assim, ele segue afirmando que essas regras permitem o reconhecimento das representações como em um registro determinado e que a formação das representações semióticas implica, então, a seleção de um certo número de caracteres de um conteúdo percebido, imaginado ou já representado em função das possibilidades de representação próprias ao registro determinado (DUVAL, 2004, p. 44). Com relação ao tratamento, Duval (2004) estabelece que é a transformação de uma representação inicial em outra representação terminal, respectiva a uma questão, a um problema, ou seja, é a transformação de uma representação dentro de um mesmo registro. Por

5 exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números; resolver uma equação ou um sistema da equações; completar uma figura segundo critérios de conexidade e de simetria (DUVAL, 2003, p. 16). Já a conversão, para Duval (2004), é a transformação externa relativa ao registro da representação de partida, isto é, consiste em mudar de registro, conservando os mesmos objetos matemáticos, como, por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica ou de uma representação linguística a uma figural. Damm (2002) considera que a conversão [...] é um passo fundamental no trabalho com representações semióticas, pois a transformação de um registro em outro, conservando a totalidade ou uma parte do objeto matemático que está sendo representado, não pode ser confundida com o tratamento. O tratamento estabelece internamente ao registro, já a conversão se dá entre os registros, ou seja, é exterior ao registro de partida (DAMM, 2002, p.147). Assim, no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, deve-se levar em conta não só a formação de representações e os tratamentos, como também, a conversão entre os diferentes registros de representação de um mesmo objeto matemático, e isso, de acordo com Damm (2002), estabelece um problema no ensino dessa disciplina, pois somente são levadas em consideração as duas primeiras atividades cognitivas, e ainda, segundo Duval (2004), principalmente para o registro em língua natural, para os registros numéricos e para os registros de escrita simbólica, enquanto que o que garante a apreensão do objeto matemático e a conceitualização, é a coordenação, pelo aluno, entre os vários registros de representação. Metodologia da Investigação Para o desenvolvimento desta investigação será adotado o enfoque qualitativo, pois se pretende responder a perguntas do tipo o que, como e quando. Este enfoque de acordo com Bogdan e Biklen (1998, p.38) tem como alvo melhor compreender o comportamento e a experiência humana. Esta investigação terá o seu foco no processo de ensino e aprendizagem da Geometria Analítica no Ensino Médio, como é estudado e quando é estudado, na utilização deste conteúdo por cursos de Ensino Profissionalizante (Técnico e Superior), nas dificuldades que os alunos destes cursos apresentam neste conteúdo, e na implementação (desenvolvimento, aplicação e avaliação) de um experimento com uma sequência didática que busque favorecer a compreensão e apreensão 3 deste conteúdo no Ensino Médio para ampliação dos 3 Apreensão está sendo utilizado fundamentado em Duval (2003).

6 conhecimentos matemáticos e formação integral do estudante. Os dados serão coletados através de entrevistas com professores de Matemática do Ensino Médio das escolas da região metropolitana de Porto Alegre, análise da grade curricular do Ensino Médio destas escolas no que se refere aos conteúdos de Geometria Analítica, análise dos livros didáticos nacionais para o Ensino Médio, análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) no que tange os conteúdos de Geometria Analítica, entrevistas com professores e alunos de cursos de Ensino Profissionalizante (Técnico e Superior) da região metropolitana de Porto Alegre, filmagens realizadas durante o experimento com a sequência didática com o grupo de alunos de uma turma do Ensino Médio, protocolo das observações dos encontros presenciais e produções dos alunos investigados durante a aplicação do experimento. A presente pesquisa será desenvolvida segundo as etapas descritas a seguir: levantamento bibliográfico sobre as origens e evolução dos conceitos da Geometria Analítica, aplicações da Geometria Analítica, o processo de ensino e aprendizagem do tema e fundamentação teórica; entrevistas com professores de Matemática do Ensino Médio das escolas da região metropolitana de Porto Alegre e análise da grade curricular destas escolas para identificar quais conteúdos de Geometria Analítica são ensinados, quais os objetivos a serem alcançados com o estudo destes conteúdos, como são ensinados (as metodologias utilizadas), quando são ensinados (em que momento do Ensino Médio), e o que, como e quando estes conteúdos estão sendo avaliados; investigação em livros didáticos nacionais para o Ensino Médio para identificar os conteúdos de Geometria Analítica propostos, em que momento do Ensino Médio sugerem que sejam abordados e quais metodologias propõem para o ensino destes conteúdos; investigação das propostas curriculares para o Ensino Médio contrastando com os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio no que se refere ao Ensino da Matemática e particularmente da Geometria Analítica; entrevistas com alunos e professores de cursos profissionalizantes (Técnico e Superior) da região metropolitana de Porto Alegre para identificar a utilização dos conteúdos de Geometria Analítica abordados no Ensino Médio e quais as dificuldades apresentadas por estes alunos nestes conteúdos; análise dos dados coletados nestas etapas, e, embasada na fundamentação teórica que sustenta a pesquisa; construção do ambiente de investigação: mapa conceitual com os conteúdos de Geometria Analítica abordados no Ensino Médio com base nos dados coletados nas etapas anteriores, abordando os conteúdos de Geometria Analítica ensinados nas escolas da região metropolitana de Porto Alegre, propostos pelos livros didáticos para o Ensino Médio e pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, e os utilizados pelos cursos

7 profissionalizantes; construção do banco de questões para os testes adaptativos; desenvolvimento de uma sequência didática eletrônica, a partir do mapa conceitual construído, e embasada nas principais tendências metodológicas para a área de Educação Matemática e nos registros de representação semiótica, que busque favorecer a compreensão e apreensão dos conteúdos de Geometria Analítica no Ensino Médio; aplicação do ambiente de investigação com um grupo de alunos de uma turma do Ensino Médio; análise dos dados coletados durante a aplicação do experimento com as filmagens realizadas, observações e produções dos alunos investigados para identificação do desenvolvimento de habilidades matemáticas por estes alunos. O Ambiente de Investigação Para a implementação da experiência será construído inicialmente um mapa conceitual com os conteúdos de Geometria Analítica do Ensino Médio ensinados nas escolas da região metropolitana de Porto Alegre, propostos pelos livros didáticos para o Ensino Médio, pelos PCNEM, e os utilizados pelos cursos profissionalizantes; a seguir serão desenvolvidos o banco de questões com diferentes níveis de dificuldades para os testes adaptativos para cada conceito do mapa e as atividades didáticas para a sequência didática eletrônica, também para cada conceito do mapa, embasada nas principais tendências metodológicas para a área de Educação Matemática e na teoria dos Registros de Representação Semiótica, com o auxílio de softwares como: power point salvo em html, JClic, winplot, flash, além de disponibilizar sites que abordam o conteúdo estudado, para possível consulta pelos alunos. Uma sequência didática é um conjunto de atividades pedagógicas organizadas, de maneira sistemática, com a finalidade de ajudar o aluno a dominar melhor um conteúdo (DOLZ; SCHNEUWLY, 2004). Para planejar uma sequência didática, Flemming e Mello (2003) afirmam que é necessário que o professor tenha claramente estruturado o tema, o objetivo, o conteúdo e sua contextualização no curso em que está trabalhando, visualizando as inter-relações do tema, enquanto novo conhecimento para os aprendizes, com o desenvolvimento de competências e habilidades requeridas. No contexto da Matemática, afirmam que para uma sequência didática propiciar que professor e aluno busquem novos espaços e conhecimentos, várias estratégias didáticas podem ser usadas, como trabalhar com projetos de estudos, com resolução de problemas ou com jogos didáticos. A seguir apresentam-se exemplos de questões e atividades didáticas que irão compor o cenário virtual de investigação.

8 A figura 2 apresenta dois exemplos de questões com quatro opções de respostas referentes aos conceitos de reta, em que a questão 1 aborda a conversão do registro língua natural para o registro algébrico e a questão 2 aborda a conversão inversa destes registros. Figura 2- Exemplos de questões com a Conversão da Representação Língua Natural para a Representação Algébrica e vice-versa da Reta. A figura 3 apresenta o jogo batalha naval abordando a conversão da representação gráfica para a representação algébrica da reta, em que o aluno deve escrever a equação da reta que permita lançar o míssil, em linha reta pelo submarino, atingir e explodir o navio, caso não escreva a equação correta, o aluno recebe a informação míssil perdido devendo tentar outra vez, ao acertar, é apresentado ao aluno uma nova imagem com posições diferentes para o submarino e o navio, para que encontre outra equação da reta correspondente a nova trajetória que o míssil percorrerá para atingir o alvo. Figura 3-Jogo batalha naval desenvolvida com o software flash.

9 Na figura 4, apresenta-se uma atividade com uma animação gráfica que representa a translação de uma circunferência paralelamente ao eixo das abscissas, simulando uma bicicleta andando em um plano, desenvolvido com os softwares winplot e flash, para a atividade de conversão do registro gráfico para o algébrico da circunferência, em que o aluno deve escrever a equação que representa a animação gráfica, de acordo com exemplo em vermelho, que utiliza o registro algébrico. Caso o aluno erre a equação, receberá a mensagem tente novamente e, ao acertar, parabéns por concluir, tendo a opção de reiniciá-la. Para melhor observação da animação gráfica, pelo aluno, criou-se um botão de pausa, assim, o aluno pode, por exemplo, visualizar com maior facilidade no gráfico que, embora o ponto do centro das circunferências muda a medida em que vai ocorrendo a translação, as ordenadas desses pontos têm sempre o mesmo valor, modificando apenas o valor da abscissa. Figura 4- Atividade com animação gráfica desenvolvida com os softwares winplot e flash. Referências BEZERRA, Nilra Jane Figueira. O GPS como Instrumento Didático Auxiliar no Processo de Significação Conceitual do Ensino da Geometria Analítica. In: IV SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Brasília. Anais. Distrito Federal: 2009.

10 BODGAN, Roberto C.; BIKLEN, Sari Knopp. Investigação Qualitativa em Educação: uma introdução à teoria e aos métodos. Porto: Porto Editora, BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/ Seb, COLL, César. Psicologia e Currículo. São Paulo: Ática, DALLEMOLE, Joseide Justin. Registros de Representação Semiótica: uma experiência com o ambiente virtual SIENA. Canoas: ULBRA,2010.Dissertação (Mestrado em Ensino de de Ciências e Matemática), Universidade Luterana do Brasil, Canoas, DAMM, Regina Flemming. Registros de Representação. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara et al. Educação Matemática: uma introdução. 2.ed. São Paulo: EDUC, p D AMORE, Bruno. Epistemologia e Didática da Matemática. 1. ed. São Paulo: Escrituras Editora, DOLZ, Joaquim; NOVERRAZ, Michele; SCHNEUWLY, Bernard. Seqüências didáticas para o oral e a escrita: apresentação de um procedimento. In: SCHNEUWLY, Bernard; DOLZ, Joaquim. Gêneros orais e escritos na escola. Tradução de Roxane Rojo e Glaís Sales Cordeiro. Campinas, SP: Mercado das Letras, 2004, p DUVAL, Raymond. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara (Org). Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas, SP: Papirus, p DUVAL, Raymond. Semiosis y Pensamiento Humano: Registros Semióticos y Aprendizajes Intelectuales. Tradução em casteliano de Myriam Veja Reestrepo. Universidade Del Valle: Peter Lang, EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Editora da Unicamp, FLEMMING, Diva Marília; MELLO, Ana Cláudia Collaço de. Criatividade e Jogos Didáticos. São José: Ed. Saint Germain, MACHADO, Silvia Dias Alcântara (Org.). Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas, SP: Papirus, SILVA, Carlos Roberto da. Explorando Equações Cartesianas e Paramétricas em um Ambiente Informático. São Paulo: PUC, Dissertação (Mestrado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2006.