UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

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1 O REGISTRO GRÁFICO EM ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA UM ESTUDO DA CONVERSÃO ENTRE REGISTROS SEGUNDO A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA RODOLFO EDUARDO VERTUAN 1, KARINA ALESSANDRA PESSÔA DA SILVA 2, LOURDES MARIA WERLE DE ALMEIDA 3 RESUMO Para que ocorra a compreensão do objeto matemático que se está estudando é necessário, segundo Raymond Duval, que os alunos realizem as atividades cognitivas de tratamento e conversão. O tratamento ocorre quando há transformações de representações dentro de um mesmo sistema de registros. A conversão corresponde a transformações de representações onde há mudanças de sistemas de registros, conservando o objeto matemático estudado. Neste texto, são discutidas as conversões realizadas por alunos do primeiro ano do curso de Licenciatura em Matemática em atividades de Modelagem Matemática, mais especificamente, aquelas conversões que têm como registro de chegada ou de partida, o registro gráfico. Conclui que o registro gráfico, embora seja pouco utilizado pelos alunos, são importantes por possibilitarem compreensões da situação em estudo e do objeto matemático diferentes daquelas advindas da análise de outros registros. Além disso, conclui que para realizar conversões do registro algébrico para o gráfico e vice-versa, fazem uso, muitas vezes, de um terceiro registro, de uma representação intermediária o registro tabular. Palavras-chave: Educação Matemática, Modelagem Matemática, Registros de Representação Semiótica, Registro Gráfico. 1. Introdução Partindo do pressuposto de que ensinar não é transferir conhecimentos, mas criar possibilidades para a sua construção ou produção, é que tomamos, neste trabalho, a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Trata-se de enxergar situações do cotidiano através de lentes matemáticas, ou seja, de interpretar, analisar e tomar decisões acerca de situações do cotidiano por meio do ferramental matemático. A perspectiva de Modelagem Matemática que adotamos diz respeito à suas potencialidades enquanto oportunidade para os alunos compreenderem os objetos matemáticos, conhecer e relacionar as várias representações destes objetos e utilizá-los para interpretar fatos da realidade. Logo, não se trata de encarar os objetos matemáticos simplesmente como ferramentas necessárias para a resolução de um problema, mas de tomá-los, também, como objetos de estudo com um fim em si mesmos. Visando contribuir para a compreensão do objeto matemático presente nas atividades de Modelagem Matemática, é que faremos uso da Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval. Para o autor, a utilização de diferentes registros de representação associados a um 1 Universidade Estadual de Londrina, Departamento de Matemática, rodolfovertuan@yahoo.com.br 2 Universidade Estadual de Londrina, Departamento de Matemática, karinapessoa@gmail.com 3 Universidade Estadual de Londrina, Departamento de Matemática, lourdes@uel.br

2 mesmo objeto matemático, o tratamento, a conversão e a coordenação adequada entre estes registros representa uma possibilidade do aluno compreender o objeto matemático como um todo. Neste artigo apresentamos, à luz da fundamentação teórica pertinente, como os alunos lidam com situações de Modelagem Matemática no que tange às atividades de conversão 4, mais especificamente, às conversões ligadas ao registro gráfico. 2. Registros de Representação Semiótica e Modelagem Matemática Segundo Davis e Hersh (1998) [...] a Matemática provém da conexão da mente com o mundo externo... (p. 293) e, neste sentido, a presença da Matemática na realidade não pode ser ignorada no âmbito da Educação Matemática e, especialmente, quando se trata de aspectos relativos ao ensino e à aprendizagem da Matemática. Neste cenário, para evidenciar a conexão entre Matemática, mente e mundo externo é necessário o uso de representações. A abordagem dessas representações, num sentido amplo, remete à Semiótica ciência de toda e qualquer linguagem e que usa de signos para realizar estas representações. Devem-se ao norte-americano Charles Sanders Peirce ( ), as argumentações mais contemporâneas sobre Semiótica. No que diz respeito ao uso de diferentes representações para o estudo de objetos matemáticos 5, uma abordagem ampla deve-se ao francês Raymond Duval, que desenvolveu a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Para Duval (2003), o acesso aos objetos matemáticos passa necessariamente por representações semióticas. As representações semióticas são externas e conscientes da pessoa. Elas realizam uma função de tratamento intencional, fundamental para a aprendizagem humana. As representações semióticas desempenham o papel de comunicar, exteriorizar as representações mentais, a fim de torná-las acessíveis às outras pessoas, bem como possibilitar o acesso e a comunicação do objeto matemático. No entanto, de modo geral, um registro de representação semiótica pode não ser suficiente para abordar diferentes características e propriedades de um objeto matemático. Dessa forma, se faz necessário o uso de diferentes registros 6 para um mesmo objeto matemático. É importante transitar entre os diferentes tipos de registros de representação, fazendo transformações de um sistema de registros para outros sistemas de registros. Esse tipo de transformação é chamado conversão e é uma das atividades cognitivas fundamentais para a compreensão dos objetos matemáticos. Para Duval (2003), do ponto de vista cognitivo, é a atividade de conversão que aparece 4 A conversão é uma das atividades cognitivas fundamentais para que uma representação seja considerada um registro de representação semiótica. 5 O objeto matemático é qualquer entidade ou coisa à qual nos referimos, ou da qual falamos, seja real, imaginária ou de qualquer outro tipo, que intervém de alguma maneira na atividade matemática (GODINO, BATANERO & FONT, 2006, p. 5). 6 Quando utilizarmos os termos registro e registro de representação estaremos nos referindo aos registros de representação semiótica.

3 como atividade de transformação representacional fundamental, aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão. O acesso aos diferentes registros de representação semiótica em uma atividade matemática geralmente não ocorre naturalmente e o professor pode incentivar esse acesso. Nessa perspectiva, consideramos a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica adequada a esse fim. A Modelagem 7, possibilita a oportunidade de, a partir de um tema escolhido, desenvolver um trabalho de investigação e possibilita o uso de diferentes registros de representação. Esse fato é evidenciado em pesquisa desenvolvida por Vertuan (2007), que aponta que diferentes registros associados a um objeto matemático se tornam presentes em atividades de Modelagem, além de possibilitar o tratamento, a conversão e a coordenação entre os registros. Interessamo-nos, neste texto, de modo particular, pela atividade de conversão realizada por alunos do 1º ano do curso de Licenciatura em Matemática ao participarem de um curso em que atividades de Modelagem Matemática eram desenvolvidas por eles. Atentamos, especificamente, para as conversões ligadas ao registro gráfico. 3. A atividade de conversão em atividades de Modelagem Matemática considerações sobre conversões que tem o registro gráfico como registro de chegada ou de partida Embora Duval (2003) reconheça a importância do tratamento em atividades de matemática, o autor enfatiza que é a conversão entre registros que constitui uma condição essencial para a compreensão do objeto matemático. Segundo Duval (2003), [...] do ponto de vista cognitivo, é a conversão que [...] aparece como a atividade de transformação representacional fundamental, aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão (p. 16), devido às relações que os alunos estabelecem entre as características de cada registro envolvido nas conversões. Em curso realizado com alunos do primeiro ano do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Londrina, em 2005, como parte da dissertação de um dos autores deste texto, foi possível perceber que, no inicio das atividades, os alunos evitavam realizar conversões e procuravam resolver a situação-problema por meio de poucos registros. Como o registro algébrico era considerado um registro necessário e suficiente, as conversões se davam sempre entre o registro inicial, ora gráfico e ora língua natural, e o registro algébrico, no qual se davam os tratamentos para obtenção de uma expressão matemática que representasse a situação estudada. Obtida esta expressão, muitos alunos consideravam o problema resolvido. 7 Em alguns momentos utilizamos o termo Modelagem para nos referirmos à Modelagem Matemática.

4 Como os alunos consideravam o registro algébrico suficiente para a resolução dos problemas, o registro gráfico foi muito pouco utilizado inicialmente. Mesmo quando estimulados pelos professores a construírem a representação do objeto matemático neste registro, poucos o faziam. No decorrer das atividades do curso, a prática de utilizar tal registro, seja como forma de complementar a resolução ou como meio de melhor interpretar a situação, tornou-se mais freqüente. Este registro, geralmente, surgia de conversões do registro algébrico. A conversão do registro algébrico para o registro gráfico, na maioria das situações de Modelagem, não apresentou dificuldades para os alunos, embora os mesmos, às vezes, por não utilizar uma escala adequada para a construção do gráfico, faziam interpretações equivocadas a respeito da situação. Exemplificamos a conversão do registro algébrico para o gráfico, na figura abaixo, em que podem ser observadas as anotações realizadas por um aluno numa atividade de Modelagem intitulada solidão feminina. Figura 1: Conversão do registro algébrico para o gráfico Neste caso, podemos notar também uma conversão do registro gráfico para o algébrico, quando o aluno procura estabelecer o domínio, o contradomínio e a imagem da função. Embora o domínio esteja correto e o contradomínio incompleto, percebe-se que para escrever a imagem o aluno considerou somente os valores de f(x) para x=30 e x=60, como se f(x) estivesse sempre entre f(30) e f(60), ou seja, f(30) < f(x) < f(60). A conversão neste sentido (do registro gráfico para o algébrico) não era muito utilizada pelos alunos. Quando necessário construir uma expressão algébrica de uma situação, dado sua representação no registro gráfico, por exemplo, os alunos realizavam, primeiramente, uma conversão do registro gráfico para o tabular, para, a partir de então, realizar uma conversão para o registro algébrico. Neste caso, dizemos que o aluno utilizou uma representação intermediária.

5 Segundo Duval (2003), quando estamos diante do fenômeno de não congruência 8, muitas vezes, a passagem de um registro a outro não pode ser feita diretamente é necessário passar para um terceiro registro que permita uma representação intermediária. Entendemos, no entanto, que a ordem das conversões não é linear como parece. Vejamos: ao invés do esquema contido na figura 2, referente à ordem em que as conversões são realizadas nas resoluções dos alunos, apresentamos o esquema na figura 3 para esta situação, com a ordem em que, acreditamos, as conversões foram realizadas. Figura 2: Esquema de conversão na ordem em que se encontram nas atividades dos alunos Figura 3: Inferência sobre o esquema de conversão utilizado pelos alunos Segundo este esquema, os alunos realizam a conversão do registro gráfico para o tabular e, a partir da mobilização conjunta destes dois registros, realizam uma nova conversão para o registro algébrico. Segundo Duval (2003), [...] é necessário distinguir cuidadosamente o que sobressalta [...] em uma conversão, esta consistindo em uma simples mudança de registros ou em uma mobilização em paralelo de dois registros diferentes (p. 24). Os acertos dos alunos foram maiores quando a conversão acontecia do registro algébrico para o gráfico. Isto vai ao encontro da argumentação de Duval de que realizar a conversão em um sentido não garante que o aluno saiba realizá-la no sentido contrário. Nem sempre a conversão se efetua quando se invertem os registros de partida e chegada. Isso pode mesmo conduzir a contrastes muito fortes de acerto quando se inverte o sentido de conversão (DUVAL, 2003, p.20). Embora as conversões entre os registros gráfico e algébrico tenham acontecido mais no sentido algébrico/gráfico do que no sentido gráfico/algébrico, reconhecemos a importância em se utilizar conversões nos dois sentidos, uma vez que as dificuldades e os custos cognitivos de cada conversão são distintos. Segundo Duval (2003) 8 Neste trabalho, adotamos a conversão como uma atividade cognitiva que envolve mudança de sistemas de registros. Embora consideremos que a atividade de conversão pode ser considerada mais complexa ou menos complexa de acordo com o fenômeno de congruência e não-congruência, não faremos essa análise neste trabalho.

6 [...] a conversão entre gráficos e equações supõe que se consiga levar em conta, de um lado, as variáveis visuais próprias dos gráficos (inclinação, intersecção com os eixos etc.) e, de outro, os valores escalares das equações (coeficientes positivos ou negativos, maior, menor ou igual a 1, etc.) (p.17). 4. Considerações finais Reconhecer relações entre os registros implica em perceber que representam o mesmo objeto matemático e à medida que tais relações são estabelecidas, os alunos passam a diferenciar a representação utilizada do objeto matemático representado (DUVAL, 2003). O estabelecimento destas relações faz com que as conversões passem a ser realizadas com maior facilidade, uma vez que os alunos já conhecem características próprias de cada registro. Para Duval (2003) a capacidade de converter implica a coordenação de registros mobilizados (p.15). Neste sentido, consideramos importante realizar conversões e coordenações para a aprendizagem em Matemática. No entanto, sabemos que estas transformações, de modo geral, não acontecem espontaneamente. Este trabalho apresenta a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica que possibilita a realização destas transformações. Na medida em que a matemática tende a diversificar os registros de representação, sua aprendizagem específica pode contribuir fortemente para o desenvolvimento das capacidades cognitivas globais dos indivíduos. Visar esse desenvolvimento sem se fixar de forma míope sobre a aquisição de tal ou tal noção particular é provavelmente o aporte maior que se pode esperar da aprendizagem matemática para a sua educação (DUVAL, 2003, p.29-30). As atividades de Modelagem Matemática imprimem, aos poucos, uma nova postura nos alunos diante das situações propostas, uma postura de reflexão em relação ao objeto matemático e em relação à situação-problema. Referências bibliográficas DAVIS, Philip. J.; HERSH, Reuben. O sonho de Descartes. Rio de Janeiro: Francisco Alves, DUVAL, Raymond. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silvia D. A. Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas, SP: Papirus, p , GODINO, Juan D.; BATANERO, Carmen; FONT, Vicenç. Um enfoque onto-semiótico do conhecimento e a instrução Matemática. Disponível em capturado em 1/5/2006. VERTUAN, Rodolfo E. Um olhar sobre a Modelagem Matemática à luz da Teoria dos Registros de Representação Semiótica Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Universidade Estadual de Londrina, Londrina.