XII Encontro Gaúcho de Educação Matemática Inovar a prática valorizando o Professor Porto Alegre, RS 10 a 12 de setembro de 2015

Transcrição

1 Inovar a prática valorizando o Professor MODELAGEM GEOMÉTRICA E GRÁFICOS DE FUNÇÕES SEM LEI : CRIANDO SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS EM UM GEOGEBRABOOK. Resumo: Este minicurso aborda a criação de applets no GeoGebra para o estudo de funções. A partir de representações geométricas dinâmicas no software, se busca identificar (ou criar) variáveis que apresentem relação de dependência, e a partir disso obter a representação gráfica desta possível função sem a utilização de alguma lei expressa algebricamente. Ou seja, o gráfico da função é obtido diretamente da modelagem geométrica. O principal objetivo é enfatizar o estudo das taxas de variação presentes na relação entre as variáveis, possibilitando o estudo do comportamento de funções sem analisar a expressão algébrica. Ao mesmo tempo, o minicurso apresenta o processo de organização destas situações criadas em uma sequência didática, a ser editada e publicada em um GeoGebraBook. Palavras-chave: funções; taxa de variação; sequência didática; GeoGebraBook. 1. Introdução O conceito de função é um dos mais importantes da matemática, e pode ser encontrado nas mais diferentes áreas da matemática (Lima, et al, 2005). Este conceito perpassa todo o currículo escolar de matemática, e se faz presente nas mais diferentes áreas de conhecimento. Segundo Caraça (2003), o conceito de função é perceptível em tudo que nos cerca, já que tudo evolui e vai mudando. Caraça (2003, p. 103) destaca duas ideias centrais neste sentido: a interdependência e a fluência. A interdependência indica que todas as coisas estão conectadas em algum sentido, e por isso é possível identificar relações de dependência entre estes elementos. A fluência trata da fluidez, de como tudo varia ao longo do tempo. Mesmo uma rocha, que pode parecer totalmente estática, apresenta mudanças ao longo do tempo. A partir destas ideias iniciais, o minicurso pretende explorar o conceito de função principalmente identificando variáveis que possuam alguma relação de dependência, e analisando a forma com que uma destas variáveis muda (taxa de variação). De forma mais específica, se pretende explorar representações geométricas feitas no GeoGebra, buscando identificar variáveis que apresentem algum grau de relação. E a

2 partir destas variáveis geométricas, obter a representação gráfica no GeoGebra, sem que se estabeleça a expressão algébrica presente. Objetivos gerais do minicurso: criar representações geométricas no GeoGebra, identificando variáveis em relação; obter a representação gráfica destas funções, sem a utilização de expressão algébrica; criar uma sequência didática com estas representações em um GeoGebraBook; E em um contexto mais específico, pretende: analisar o comportamento dos gráficos obtidos, tentando identificar os diferentes tipos de variação e taxas de variação presentes; discutir com os participantes sobre a tipo de abordagem viável em contexto escolar: como organizar a sequência didática, que tipo de perguntas são importantes, o que é preciso explorar, etc A seção seguinte aborda superficialmente o aporte teórico que norteia este estudo, e nas seções sequentes temos a ilustração de algumas situações geométricas a serem exploradas no minicurso, e comentários sobre o processo de criação da sequência didática em um GeoGebraBook. 2. Aprendizagem matemática e representações semióticas A matemática precisa de sistemas de representação distintos de outras áreas de conhecimento, tais como sistemas de numeração, notações algébricas e geométricas, gráficos, símbolos, diagramas, esquemas, constituindo desta maneira uma rede particular e complexa de representação. E elas passam a ser mais importantes ainda se considerarmos que não são utilizadas apenas para comunicação ou registro, mas são fundamentais na atividade matemática. Pela característica abstrata do objeto de estudo, a única forma de acessar o objeto na matemática é através dos signos que os representam, ou seja, da representação semiótica utilizada. Segundo Duval (2009), o objeto e sua representação são distintos ao ponto que uma representação semiótica de um objeto é sempre uma representação parcial do mesmo. Para ilustrar tome como exemplo a representação gráfica de uma função. Ela evidencia

3 características diferentes que a representação algébrica da mesma, além de permitirem abordagens distintas. O autor salienta que, não é possível ter compreensão em matemática quando não se distingue o objeto de sua representação, dado que este é sempre uma representação parcial do mesmo. No contexto da aprendizagem matemática, Duval afirma que não há noesis sem semiosis (2009, p. 27). Ou seja, não é possível apreender completamente um objeto sem a utilização de representações semióticas. Por causa da grande variedade de representações semióticas que são utilizadas em matemática, Duval utiliza o termo registro para classificar os diferentes tipos destas representações, e que em termos amplos são: língua natural (argumentação), sistemas de escritas (numérica, algébrica e simbólica), figuras geométricas e gráficos. Quando há a mudança de representação, ou a transformação de uma representação semiótica em outra, se observa dois tipos que são bem diferentes (Duval, 2009): tratamento e conversão. O tratamento é a mudança de representação dentro de um mesmo registro, por exemplo, é o que ocorre na mudança de uma equação para um sistema de equações. A conversão envolve a mudança de registro para outro, e um exemplo é a mudança da expressão algébrica de uma função para a sua representação gráfica. Mesmo que muitas vezes matematicamente seja considerada uma atividade lateral e evidente, para efeitos cognitivos e de aprendizagem a conversão é a transformação que conduz aos mecanismos subjacentes e à compressão, e por isso deve ter atenção especial nas pesquisas em didática e ensino de matemática (Duval, 2003). Considerando tudo isso, Duval conclui que a articulação dos registros constitui uma condição de acesso à compreensão em matemática (2003, p. 21). O autor afirma que é a partir da coordenação de diversas representações semióticas de um mesmo objeto, que se tem acesso de fato ao conceito do objeto considerado, e que a compreensão integral ocorre quando a coordenação de registros se manifesta com a velocidade e espontaneidade da atividade cognitiva de conversão. Ou seja, para que ocorra aprendizagem em matemática há a necessidade da coordenação de diversos registros de representação semiótica, e a conversão tem papel importante para este processo. Dado este aporte teórico, que é muito mais amplo do que as poucas linhas aqui apresentadas, este minicurso traz destaque para o processo de conversão no estudo de funções. Em um primeiro momento ocorre o processo de conversão do registro geométrico

4 para o registro gráfico. Há de se salientar que este tipo de conversão não é muito comum no contexto escolar, já que poucas são as situações em que as atividades escolares costumam misturar geometria e funções. Por outro lado, a escola costuma enfatizar a obtenção do gráfico de uma função (e faz o estudo deste gráfico) a partir da expressão algébrica da mesma, e as situações que o minicurso não utilizam as expressões algébricas para a obtenção do gráfico. Deste modo, se privilegia um sentido de conversão que não costuma se explorado no contexto escolar, e que segundo Duval (2009) é importante para a aprendizagem em matemática. Na estruturação do minicurso, a expressão algébrica poderá ser obtida em um segundo momento, mas não é o foco central da atividade aqui proposta. 3. Obtendo gráfico de funções a partir de representações geométricas O minicurso propõe o desenvolvimento de diferentes situações geométricas para a identificação de diferentes variáveis que tenham alguma relação de dependência. A partir disso, o valor numérico destas variáveis (medidas de segmentos, de áreas, etc) é utilizado para estabelecer as coordenadas de pontos no sistema cartesiano. Quando os elementos geométricos são movimentados, a variação das medidas faz com que as coordenadas destes pontos variem, e o ponto descreve o gráfico da função em questão 1. Figura 1: retângulo em uma circunferência. Na figura 1, há a representação inicial de uma circunferência com diâmetro AB. Sobre esta circunferência, o ponto P se move livremente, modificando a área do retângulo ACBP. Ao lado, o ponto G é editado com as coordenadas G(a, b), em que a é a medida do segmento AP, e b é a medida da área do retângulo. 1 Nos exemplos ilustrados nas figuras, é utilizado o recurso rastro do GeoGebra para que se possa visualizar a representação gráfica da função. Outra possibilidade é utilizar o recurso lugar geométrico.

5 Numa primeira impressão, poderíamos achar que o gráfico obtido é parte de uma parábola. Isto não é verdade, pois o mesmo não possui um eixo de simetria. A partir deste ponto, poderia se propor o desafio de obter a expressão algébrica do gráfico em questão. Veja outro exemplo: Figura 2: triângulo e quadrado em outro quadrado. Na figura 2, a variável independente é o segmento DP. O ponto K descreve o comportamento da área do triângulo ABP, quando o ponto P se move sobre a diagonal BD. O ponto G descreve o comportamento das somas das áreas do triângulo ABP e do quadrado HPFD, quando o ponto P se move. Neste caso, são duas representações distintas, uma delas com uma variação constante decrescente (segmento de reta azul), e outra com taxas de variações que se modificam, formando parte de uma parábola. As figuras 1 e 2 apresentam situações exemplos do que este minicurso espera articular. No entanto, esta exploração ocorrerá de forma mais gradativa, partindo de situações mais elementares, em que seja possível discutir questões de variação, tal como ocorre em contexto escolar de situações mais elementares para mais complexas. Vejamos algumas destas situações, em ordem crescente de complexidade. Na figura 3, temos um retângulo em que o ponto P se move sobre o lado AB do mesmo. O ponto G utiliza os valores da área do retângulo ADFP em função da medida AP.

6 Figura 3: área de um retângulo. O retângulo ABCD possui fundo com retângulos apenas como finalidade didática. Observe que quanto mais o segmento AP aumenta, a área do retângulo ADFP aumenta a taxa constante, pois para cada incremento do segmento AP, a área do retângulo é sempre incrementada com a mesma área dos pequenos retângulos de fundo. Desta forma, a área do retângulo crescer, e este crescimento ocorre à taxas constantes (o que caracteriza uma função afim). Observe que quando a altura do retângulo ADCB for alterada, também será alterada a taxa com que a área aumenta, já que os retângulos de fundo serão aumentados ou diminuídos em sua altura, o que reflete em uma representação gráfica com diferentes inclinações. Figura 4: área de um triângulo Na figura 4, o ponto P se move sobre o lado AB do triângulo retângulo ABC. No gráfico vermelho, temos a área do triângulo BPD em função do segmento BP. Deste modo, a cada aumento do segmento BP, a área do triângulo vermelho aumenta, mas vai aumentando á taxas crescentes, pois a sua área é incrementada com trapézios cada vez

7 maiores. No gráfico azul, trapézio ACDP em função do segmento AP. Desta vez, a área cresce, mas a cada incremento do segmento a área é incrementada com trapézios cada vez menores. Em ambas as situações, a área do triângulo ABC é percorrida, mas os sentidos contrários deste percurso acarretam em taxas de variação inversas. Figura 5: área de triângulo escaleno Na figura 5, estas variações das taxas de variação ocorrem no mesmo gráfico Criando sequências didáticas em um GeoGebraBook O minicurso pretende explorar situações como as apresentadas na seção anterior, outras sugeridas pelos participantes, e principalmente discutir o contexto de aplicação na sala de aula. Como fazer, que tipo de perguntas e orientações devem ser encaminhadas aos alunos, etc. Deste modo, se espera coletivamente produzir uma sequência didática para abordar o conceito de funções com este enfoque, destacando a importância da taxa de variação no comportamento dos gráficos obtidos. Com os applets produzidos no minicurso, e o desenvolvimento desta sequência didática, o minicurso também contemplará a criação de GeoGebraBooks no GeoGebratube. O GeoGebraTube é o espaço de compartilhamento de applets do GeoGebra, e os GeoGebraBooks são as sequências didáticas criadas com a utilização destes applets e outros recursos. 2 Isto possibilitaria inclusive abordar o conceito de ponto de inflexão de Cálculo Diferencial, que é quando ocorre a mudança da variação da taxa de variação. De incrementos positivos para incrementos negativos.

8 Figura 6: exemplo de interface de um GeoGebraBook O GeoGebraBook permite a incorporação de textos, vídeos, ou outros recursos da web. Para esta edição, serão apresentados os passos iniciais para a criação de sequências didáticas que cada participante queira utilizar com seus alunos, ou compartilhar na web. 5. Considerações Finais Consideramos que o minicurso tenha contribuições importantes para a discussão do conceito de função, apresentando uma abordagem diferente do que se costuma ver no contexto escolar, e enfatizando a análise do comportamento de funções através da interpretação da taxa de variação. A criação da sequência didática e a possibilidade de compartilhá-la na web, incorporando outros recursos digitais, pretende fomentar a utilização de recursos tecnológicos pelo professor em contexto escolar. 6. Referências CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 5ª ed. Lisboa: Gradiva, DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, p DUVAL, R. Semiósis e Pensamento Humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais. São Paulo: Livraria da Física, LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino Médio. Vol 1, 8ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2005.