1. MODELAGEM MATEMÁTICA E A PRÁTICA INVESTIGATIVA

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1 MODELAGEM NO ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL: CONSTRUINDO MODELOS VIRTUAIS 3D COM SKETCHUP Danilo Lemos Batista 1 Universidade Tiradentes Daniel Silveira Soares Nascimento 2 Universidade Federal de Sergipe Enio Pereira Andrade Santos 3 Universidade Tiradentes Resumo: O presente trabalho procura apresentar alguns aspectos relacionados ao uso de um software de modelagem 3D em atividades que sejam referenciadas no uso da modelagem matemática como metodologia aplicada no ensino de conceitos da Geometria Espacial. As reflexões se baseiam no trabalho de alunos da licenciatura em Matemática, que tinham como objetivo a elaboração de um projeto de modelagem em que deveriam usar edificações ou monumentos históricos que fossem referência nas cidades em que esses estudantes residissem para servir de objeto de estudo. As representações virtuais dessas construções serviram de base para a análise de situações-problema que permitissem a identificação dos conceitos estudados em sala e a apresentação de um modelo matemático que auxiliasse na resolução do problema apontado. Palavras-chave: Geometria Espacial; Modelagem 3d; Modelo Matemático. 1. MODELAGEM MATEMÁTICA E A PRÁTICA INVESTIGATIVA Dentre as diferentes maneiras apontadas de se fazer uso da prática de modelagem matemática para promover a aprendizagem de conteúdos matemáticos, uma delas defende a idéia de que para caracterizar a atividade como sendo de modelagem, a problemática deve ser inspirada de uma situação real. Segundo Biembengut e Hein, O trabalho de modelagem tem como objetivo principal criar condições para que os alunos aprendam a fazer modelos matemáticos, aprimorando seus conhecimentos. Os alunos escolhem o tema e a direção do próprio 1 Professor da disciplina Geometria Espacial, orientador da prática investigativa. 2 Aluno do 1º período da UFS (então aluno do 2º período da UNIT) 3 Aluno do 3º período da UNIT 1

2 trabalho, cabendo ao professor promover essa autonomia. (BIEMBENGUT e HEIN, 2003, p. 23) Bassanezi define modelagem matemática como a arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual (2006, p. 24). Dessa forma, ao perceber as construções geométricas em três dimensões nos ambientes reais, fica evidente o uso dessa metodologia para promover o debate acerca dos conteúdos referentes à Geometria Espacial. Este trabalho traz o relato de uma atividade desenvolvida por alunos do curso de licenciatura em Matemática da Universidade Tiradentes, cujo objetivo era apresentar uma atividade de modelagem matemática que fizesse uso do software SketchUp (versão 6.0, em português) para elaboração de modelos virtuais em 3D que permitissem uma análise mais aprofundada de uma situação-problema apontada pelos próprios alunos. Borba e Penteado, afirmam, sobre as vantagens no uso das novas tecnologias em atividades fundamentadas na modelagem matemática, que elas podem ser vistas como sendo a possibilidade de experimentar, de visualizar, e de coordenar de forma dinâmica as representações algébricas, tabulares, gráficas (2005, p.44). O ensino e a pesquisa, nessas atividades estão sempre presentes, visto que o software é apresentado ao grupo apenas superficialmente 4, e os alunos têm a liberdade de identificar a situação-problema e escolher o modelo real utilizado como referência. O Ensino permeará praticamente todo o processo, considerando que a modelagem em si só serve como pano de fundo para se estabelecer um ambiente de aprendizagem, com debates e explanações acerca dos temas que permearão as teorias utilizadas na resolução do problema; A Pesquisa se verifica na prática de investigação acerca das especificidades do problema e da identificação dos elementos (variáveis, métodos, estratégias, etc) que comporão o modelo, que deve ser ainda validado, considerando algumas projeções que podem ser feitas ainda na interpretação do problema. 4 Os alunos foram orientados a manipularem o software, explorando sua interface, e a procurarem tutoriais e manuais para conhecer melhor as suas funcionalidades. 2

3 A seguir será apresentado o trabalho desenvolvido por uma das duplas de alunos que desenvolveu uma atividade de modelagem durante o semestre. O relato das ações da dupla aponta os aspectos relacionados às etapas de modelagem. 2. MODELANDO O FORRÓDROMO Tivemos que escolher alguma construção real para depois então podermos transformamos o real em um modelo em 3D, utilizando o software Sketchup. Decidimos criar o palco do Forródromo de Estância-SE, local em que são realizados os eventos culturais da cidade. Figura 1: Forródromo da cidade de Estância-SE O primeiro passo foi identificar as figuras geométricas espaciais existentes para a construção do modelo em 3D. Dentre as figuras geométricas encontradas, estão: paralelepípedo, prismas de bases diferentes: uma quadrada e outra triangular, e uma escada que é formada por paralelepípedos de mesmo comprimento e largura, mas com altura proporcional. Abaixo estão algumas das figuras geométricas utilizadas na elaboração do modelo: 3

4 Figura 2: Base (paralelepípedo retângulo) Figura 3: Coluna (prisma de base quadrada) Para a montagem do modelo virtual segue os seguintes passos: Cria-se a base formada por um paralelepípedo; Logo após cria-se quatro prismas de bases quadradas, que será as colunas da construção; Depois a parede do fundo, formada por dois paralelepípedos separados; Em seguida, o teto da construção constituída por um prisma de base triangular; E por último a escada, que é obtida a partir da junção de vários paralelepípedos de tamanhos proporcionais. Para podermos elaborar alguma situação problema com relação ao assunto abordado na 2ª Unidade da matéria Geometria Espacial, primeiro atribuímos incógnitas para cada aresta do modelo para que depois possamos calcular, por exemplo, a área total da construção ou o volume, através da fórmula criada a partir dessas incógnitas. A situaçãoproblema associada à estrutura foi a seguinte: 4

5 Como determinar a despesa que teria a prefeitura de Estância-SE ao decidir fazer uma reforma no Forródromo referente à pintura da construção? Antes de calcularmos quanto iria ser gasto nessa reforma, primeiro tem que se elaborar uma fórmula geral para esse problema, utilizando como pressuposto a fórmula das áreas das figuras geométricas. Área do paralelepípedo: A = l x h Área do prisma: - Base: depende de que base seja - Lateral: A = b x h CÁLCULO DA FÓRMULA GERAL Consideremos as incógnitas representando as dimensões do forródromo: Figura 7: Modelo virtual com incógnitas (lateral e fundo) 5

6 Figura 8: Modelo virtual com incógnitas (frente) A área total da construção para a realização da pintura é a igual à soma das áreas laterais de cada figura geométrica existente no modelo. Somando todas as áreas laterais, obteremos a seguinte fórmula geral : A = 2xz + cy + 16nz + w(c + x) + z(e + d + 3n) + h(n + d +e) + b(z + a) + 9ay/8 A = z(e + d + 3n + 2x + 16n) + y(c + 9a/8) + w(c + x) + h(n + d +e) + b(z + a) A = z(e + d + 19n + 2x) + y(c + 9a/8) + w(c + x) + h(n + d +e) + b(z + a) Depois de ter calculado a fórmula geral que irá encontrar a área total de toda a construção a qual será pintada, temos que atribuir valores para cada incógnita. Supondo que: a = 4m, b = 2m, c = 20m, d = 15,5m, e = 2,5, x = 10m, y = 3m, z = 8m, w = 0,5m, h = 11m, n = 0,9m. Substituindo na fórmula geral, obteremos a área total das paredes do modelo: A = 8(2,5 + 15,5 + 17,1 + 20) + 3(20 + 4,5) + 0,5( ) + 11(0,9 + 15,5 + 2,5) + 2(8 + 4) A = 8(55,1) + 3(24,5) + 0,5(30) + 11(18,9) + 2(12) A = 440,8 + 73, , A = 761,2 m² A área total a ser pintada é 761,2m². O valor gasto, por exemplo, se a cada m² o pintor cobra R$5,00, será: R$ = área total x R$5,00 R$ = 761,2 x 5 R$ = 3.806,00 O orçamento dessa pintura será de R$ 3.806,00. 6

7 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS A atividade proposta aos alunos tinha como finalidade fazê-los perceber as relações e conceitos abordados durante as aulas de Geometria Espacial em um ambiente real. A estratégia de utilizar as representações virtuais para isso se deve ao fato de que as construções elaboradas usando o SketchUp permitiam uma manipulação impossível de ser realizada nos objetos reais. As variações das dimensões e as formas como os objetos do modelo virtual se combinaram para formar a edificação foram aspectos apontados desde o início da atividade, quando foram dadas as orientações de uso do software. O software também permitiu uma discussão acerca de alguns princípios e relações estudadas na teoria, visto que algumas formas de manipulação de objetos reproduziam propriedades referentes aos sólidos estudados. Isso pôde ser identificado, por exemplo, ao apresentar a opção de construção de um paralelepípedo retângulo que, no ambiente do software, era feito a partir da construção de um retângulo que servia de base, seguido do uso do botão de Puxar/Empurrar, que fazia com que fossem levantadas arestas a partir dos vértices do retângulo definido, seguindo o movimento do mouse. A flexibilidade e a facilidade do uso do SketchUp são, certamente, as maiores vantagens do uso do programa, e mesmo não sendo um recurso criado especificamente para promover a aprendizagem de Matemática, pode ser identificado como uma opção aos docentes, inclusive associando-o a outros conteúdos da disciplina. 4. REFERÊNCIAS BASSANEZI, Carlos Rodney. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. 3 ed. São Paulo: Contexto, BIEMBENGUT, Maria Salett. HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. 3 ed. São Paulo: Contexto, BORBA, Marcelo de Carvalho. PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática.3. ed. Belo Horizonte: Autêntica,

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