A FÍSICA PRESENTE NO ENSINO DE FUNÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA 1

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1 A FÍSICA PRESENTE NO ENSINO DE FUNÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA 1 GT 01 Educação matemática no ensino fundamental: anos iniciais e anos finais Jonas Cegelka da Silva 2, jonasdaninha@hotmail.com Resumo: O conteúdo de funções, tanto no ensino fundamental quanto no ensino médio é teorizado de forma bem simplista, para não dizer equivocada. Na grande rede de navegação é possível encontrar vários softwares gratuitos para downloads, os quais são muito úteis no ensino de funções. Fazer o uso de computadores como uma ferramenta para um bom ensino-aprendizagem, torna as aulas mais dinâmicas, uma vez que estes dispositivos eletrônicos estão presentes quase que na totalidade no cotidiano dos alunos. O estudo de funções pode ser trabalhado de forma mais clara aos olhos dos alunos se surgir através de situações práticas ou com conexão com outros conteúdos trabalhados nas outras áreas do conhecimento, proporcionando maior assimilação e entendimento do conceito. A Matemática e a Física como ciências exatas e complementares, utilizam de linguagem comum na descrição de ferramentas úteis, o que as torna aplicáveis uma à outra. O objetivo deste trabalho é, situando a condição atual em que se dá o ensino de funções na educação básica, oferecer alguns subsídios conceituais da Física, bem como a exploração do uso das tecnologias, que sirvam de auxílio aos professores do ensino fundamental e médio para inserir este conceito matemático tão importante no entendimento de situações cotidianas. Palavras-chave: Ensino de Funções; Tecnologias; Exemplos Físicos. Introdução O conteúdo de funções, tanto no ensino fundamental quanto no ensino médio é teorizado de forma bem simplista, para não dizer equivocada, na qual o professor, ao trabalhar uma função matemática, pede para que os alunos construam tabelas atribuindo valores à variável e, com o resultado, façam o gráfico, marcando os pontos obtidos no eixo cartesiano. O conteúdo de Funções está explicitado dentro do bloco tratamento de informações, nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental. Este bloco traz como objetivos que os alunos aprendam a interpretar dados que são expressos em gráficos, bem 1 Trabalho produzido através de discussões em sala de aula e estágios sobre o ensino de funções algébricas nas escolas da educação básica. 2 Mestrando em Física na Universidade Federal de Sergipe e Licenciado em Física pela Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul.

2 como a organização desses dados e a construção de recursos visuais adequados, como gráficos para apresentar globalmente os dados, destacar aspectos relevantes, sintetizar informações e permitir a elaboração de inferências. O conceito matemático de Função é uma relação entre dois conjuntos em que, a cada valor do primeiro, corresponde somente um valor no segundo, ou seja, o estudo das funções pode ser entendido como o estudo de relações entre grandezas que variam. Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio, 2006, ainda sobre o ensino específico de funções dentro da própria matemática e até mesmo em outros campos do conhecimento, O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática (BRASIL, 2006, p.121). Funções é um conceito que pode ser trabalhado de forma bem explorada, desde o entendimento da forma geral da função, até a representação da variável no gráfico. Para fazer este estudo, o professor pode desenvolver, de forma articulada, múltiplas representações, as quais desencadeiam um entendimento mais abrangente do conceito e até mesmo das situações com que está trabalhando. Essas múltiplas representações podem ser descritas como encontrado em Barreto, 2008: As tabelas se apresentam como uma forma de representar relações funcionais e o seu uso é adequado quando se pretende encontrar relações generalizadas. Os gráficos são particularmente importantes, pois, além do apelo visual, favorecem a observação de determinados comportamentos, que em outras representações são difíceis de perceber. Os modelos matemáticos descrevem em termos matemáticos, através de representações numéricas, algébricas, gráficas e outras, um fenômeno, uma situação ou aquilo que se pretende representar. Quando se modela algebricamente um fenômeno, através de relações generalizadas, dá-se um passo importante em direção à abstração e à construção de modelos matemáticos (BARRETO, 2008, p ). O objetivo deste trabalho é, situando a condição atual em que se dá o ensino de funções na educação básica, oferecer alguns subsídios conceituais da Física, bem como a exploração do uso das tecnologias, que sirvam de auxílio aos professores do ensino

3 fundamental e médio para inserir este conceito matemático tão importante no entendimento de situações cotidianas. A forma matemática das funções lineares e quadráticas Estas classes de funções, assim como a função racional e a função cúbica são conhecidas como algébricas, ou seja, funções passíveis de serem obtidas por um número finito de operações algébricas. Ao ensinar funções (todo e qualquer tipo), os professores acabam trabalhando de forma puramente matemática, sendo que pouca ênfase é dada para a representação de fenômenos que podem ser descritos com sua utilização. Para a análise gráfica de qualquer função é necessário conhecer o que chamamos de domínio e imagem. O conjunto domínio são os valores que a variável pode assumir e o conjunto imagem são os valores que a função pode assumir (o resultado da operação). A partir dessa análise, podemos selecionar quais números são possíveis de serem escolhidos/obtidos, o que facilita a representação gráfica. Aqui, é preciso tomar cuidado ao se trabalhar com exemplos físicos, uma vez que alguns números não têm sentido, ficando sem interpretação. Uma função dita de primeiro grau ou linear tem a forma, onde a é conhecido como coeficiente angular, b é o coeficiente linear, x é a variável independente (também chamado de argumento) e y é a variável dependente em questão. A partir dessa expressão podemos fazer algumas colocações e análises interessantes: A variação de y é diretamente proporcional à variação de x, ou seja, aumentando o valor da variável (em módulo), o resultado também aumenta (em módulo), o que caracteriza uma função do tipo linear; O valor do coeficiente angular indica se a função é crescente ou decrescente, ou seja, um a positivo indica um comportamento crescente, enquanto que se o seu valor for negativo, a reta terá um comportamento decrescente; O valor do coeficiente linear indica em qual ponto, no gráfico, a reta interceptará o eixo das ordenadas, uma vez que, para obtermos esse ponto, a variável toma o valor zero.

4 Para encontrarmos a raiz da função (valor onde a reta intercepta o eixo das abscissas), basta igualar a função a zero e a expressão que dará a raiz da função é. Se o valor de a for igual a zero, a função é dita função constante, uma vez que não há variável, ou seja, o conjunto imagem será o mesmo valor constante; Quando a função não tiver o coeficiente linear, a reta passará pela origem dos eixos, com inclinação maior ou menor, dependendo do coeficiente angular. Se a aumenta (em módulo), a inclinação torna-se maior, enquanto que, no caso contrário, a inclinação diminui. No caso em que a reta passa exatamente pela bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, divide-os ao meio; Para esta função, tanto o domínio quanto a imagem são o conjunto dos números reais, uma vez que a variável pode assumir qualquer valor real, da mesma forma que o resultado. Uma função é conhecida como função quadrática ou função de segundo grau se tiver a forma sendo a, b e c constantes reais. Da mesma forma que fora analisada a função linear, será feito para a função quadrática: Se o valor do coeficiente a for igual a zero, a função toma a forma de uma função linear, cujas propriedades foram discutidas anteriormente. O valor do termo independente indica em qual ponto, no eixo y, a curva passará. Para obtermos a raiz da função, basta igualarmos y a zero. Fazendo isso, com algumas operações algébricas, obtemos a fórmula de Báskara, famosa e temida pelos alunos, dada por. Para esse tipo de função não tem sentido falar em crescente ou decrescente, mas sim em ponto de mínimo (concavidade voltada para cima) ou ponto de máximo (concavidade voltada para baixo). No primeiro caso, a é positivo e no segundo, negativo; No caso de termos uma função completa, a variação do parâmetro b translada a curva no eixo x; Muitas outras considerações podiam ser feitas aqui, no entanto, não o serão pelo fato de que o objetivo do trabalho é expor exemplos físicos que podem ser utilizados pelos professores, sejam do ensino fundamental ou do ensino médio, para trabalhar o conteúdo

5 de funções, que, como já foi explicitado, muitas vezes é trabalhado de forma desconectada, ficando lacunas no conhecimento produzido pelos alunos. Softwares como ferramenta para ensinar funções Na grande rede de navegação é possível encontrar vários softwares gratuitos para downloads, os quais são muito úteis no ensino de funções. Fazer o uso de computadores como uma ferramenta para um bom ensino-aprendizagem, torna as aulas mais dinâmicas, uma vez que estes dispositivos eletrônicos estão presentes quase que na totalidade no cotidiano dos alunos, ou seja, conforme Brasil (1998, p.43) o uso de diferentes tecnologias permite uma transformação da estrutura da sociedade, pelas modificações que exercem nos meios de produção e por suas conseqüências no cotidiano das pessoas. Um desses softwares gratuitos, disponível para download, que é de fácil utilização, é o Graphmatica. Com ele é possível fazer um estudo sistemático de funções tanto algébricas, quanto transcendentes, explorando as propriedades que permeiam cada função em relação aos parâmetros que as compõe, como aquelas citadas anteriormente para descrever as funções lineares e quadráticas. Em nível mais avançado, é possível também encontrar valores de derivadas 3 e integrais. É importante atentar aqui para a questão do preparo dos professores para trabalharem com o computador. Muitas escolas possuem um laboratório de informática, o qual, muitas vezes, está vazio, pelo fato de não se ter pessoas capazes de usá-lo para fins de estudo. A pergunta que fica é: será que falta investimento em cursos de formação continuada, capacitando os professores ao uso dos computadores ou é por acomodação destes professores que, com suas aulas tradicionais, preferem continuar utilizando aquele velho caderno de todo ano? Quanto ao computador, seu uso nas aulas de matemática 4 auxilia no processo de construção do conhecimento, à medida que serve como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitam pensar e criar soluções e, além disso, o mesmo traz significativas contribuições para o ensino das ciências, uma vez que: 3 Em alguns estados brasileiros, conteúdos de limites e derivadas são introduzidos já no Ensino Médio, o que possibilita aos estudantes, um contato com conceitos mais gerais do que aqueles conhecidos até então. 4 No estudo que está sendo feito, o computador é uma importante ferramenta dentro da Física, a qual se utiliza de ferramentas matemáticas para o entendimento dos seus fenômenos.

6 Relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica; Evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas; Permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo (BRASIL, 1998, p ). De uma forma mais geral, sobre o uso de tecnologias no ensino médio, encontramos nos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio das Ciências Naturais, Matemática e suas Tecnologias, 2000, (...) que em cada uma de suas disciplinas, pretende-se promover competências e habilidades que sirvam para o exercício de intervenções e julgamentos práticos, o que significa o entendimento de equipamentos e de procedimentos técnicos, a obtenção e análise de informações, a avaliação de riscos e benefícios em processos tecnológicos, de um significado amplo para a cidadania e também para a vida profissional (BRASIL, 2000, p.6-7). Exemplos físicos de funções lineares A seguir serão descritos alguns exemplos trabalhados na Física, os quais possuem equações representadas por funções algébricas lineares. Estes exemplos podem ser utilizados por professores tanto do ensino fundamental quanto do médio ao iniciar o estudo de funções. 1. Força Peso Um dos primeiros conceitos físicos que causa grande confusão para os alunos é a Força Peso. Enquanto a massa é uma característica intrínseca do corpo, o peso, sendo uma força dirigida para o centro da terra, depende da aceleração da gravidade onde o mesmo se encontra, ou seja, o peso de um corpo varia de um local para outro; a massa não. A relação entre essas grandezas é dada por onde m é a massa do corpo e g a aceleração gravitacional. É muito comum a comparação (errônea) de peso com massa. Por exemplo, ouvimos com muita freqüência vou me pesar ou estou pesando 55 kg. Se o professor não

7 explicar conceitualmente a diferença entre essas grandezas físicas, automaticamente, serão redundantes no cotidiano dos alunos. Para explicitar a diferença entre peso e massa, o professor pode discutir a diferença de peso de um objeto, de massa conhecida, em diferentes situações, como em diferentes altitudes ou na superfície de outros planetas. Na superfície da Terra, devido à sua rotação, seu movimento orbital e a não ser uma esfera perfeita, o valor da aceleração gravitacional varia de, aproximadamente até, aproximadamente Na superfície da Lua, por exemplo, o valor de g é de, aproximadamente, A construção deste tipo de gráfico mostra uma reta crescente que passa pela origem dos eixos cartesianos entre o primeiro e o terceiro quadrante, uma vez que a função não possui o coeficiente b. 2. Movimento com aceleração constante A velocidade de um corpo que descreve um movimento com aceleração constante é dada por onde é a velocidade do corpo no tempo é a taxa constante da variação da velocidade e t é o tempo. Esta equação, portanto, indica a variação total da velocidade desde o instante inicial ( até um tempo posterior t, ou, em outras palavras, a velocidade (para ), mais a variação da velocidade em qualquer instante t é igual à velocidade inicial A discussão dessa função graficamente se dá, considerando que a velocidade será igual a uma velocidade inicial (coeficiente b), mais a variação da velocidade. Se a velocidade for igual a zero, o gráfico será uma constante, com a reta sendo paralela ao eixo das abscissas, interceptando o eixo das ordenadas exatamente no valor da velocidade inicial. Exemplos físicos de funções quadráticas 1. Lançamento de Projéteis Fala-se em projétil quando quer se tratar de um corpo que é lançado com uma velocidade inicial e que tem sua trajetória determinada somente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar (YOUNG, 2008, p.224). Se desprezarmos a resistência do ar, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola. O movimento de um

8 projétil é a combinação de um movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com aceleração constante. O primeiro tipo de movimento é descrito por uma função linear, enquanto o segundo é descrito por uma função quadrática da forma onde o primeiro termo é a posição inicial (geralmente considerada a posição em que ), o segundo é a variação da velocidade e o terceiro é a dependência com a aceleração gravitacional, que tende a derrubar o objeto. O gráfico dessa função é uma parábola voltada para baixo, ou seja, possui um ponto de máximo, no qual a velocidade vertical é igual a zero, embora a aceleração vertical continue sendo g. O sinal negativo aparece indicando que a gravidade é positiva no sentido de y crescente. Conclusões O estudo de funções pode ser trabalhado de forma mais clara aos olhos dos alunos se surgir através de situações práticas ou com conexão com outros conteúdos trabalhados nas outras áreas do conhecimento, proporcionando maior assimilação e entendimento do conceito. A Matemática e a Física como ciências exatas e complementares, utilizam de linguagem comum na descrição de ferramentas úteis, o que as torna aplicáveis uma à outra. Segundo os PCNEM, 2000, A Matemática ciência, com seus processos de construção e validação de conceitos e argumentações e os procedimentos de generalizar, relacionar e concluir que lhe são característicos, permite estabelecer relações e interpretar fenômenos e informações. A Física, por sistematizar propriedades gerais da matéria, de certa forma como a Matemática, que é sua principal linguagem, também fornece instrumentos e linguagens que são naturalmente incorporados pelas demais ciências (BRASIL, 2000, p.9). É parte fundamental do ensino-aprendizagem a experimentação, o poder visual e de abstração. Sendo assim, o professor pode e deve utilizar dos recursos tecnológicos que tem para favorecer o entendimento gráfico que as funções podem ter no cotidiano. A forma geral da função, os efeitos da variação dos parâmetros e o conjunto domínio e imagem, são características que o aluno deve identificar ao olhar para o gráfico de uma curva e que

9 outras funções têm o mesmo comportamento. Pela análise gráfica, o domínio da função é o conjunto de todos os valores das abscissas, enquanto a imagem é o conjunto de todas as ordenadas. Além disso, é imprescindível que o aluno consiga identificar, analisar e aplicar conhecimentos sobre valores de variáveis representados em gráficos, diagramas ou expressões algébricas, realizando previsão de tendências, extrapolações, interpolações e interpretações (PCNEM, 2000, p.12). Referências bibliográficas BARRETO, Marina Menna. Matemática e Educação Sexual: modelagem do fenômeno da absorção/eliminação de anticoncepcionais orais diários Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre. BRASIL. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Fundamental. Brasília: Ministério da Educação, BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais do ensino médio: Parte III Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, YOUNG, Hugh D. Física I: mecânica. 12 ed. Sã Paulo: Addison Wesley, 2008.