DIÁLOGO E SIGNIFICAÇÃO NA RESOLUÇÃO DE POTÊNCIAS COM BASE RACIONAL E EXPOENTE NEGATIVO DE ESTUDANTES DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO

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1 SECCIÓN ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR DIÁLOGO E SIGNIFICAÇÃO NA RESOLUÇÃO DE POTÊNCIAS COM BASE RACIONAL E EXPOENTE NEGATIVO DE ESTUDANTES DO º ANO DO ENSINO MÉDIO Maria Helena Palma de Oliveira, Walter Aparecido Borges Universidade Anhanguera de São Paulo. (Brasil) mhelenapalma@gmail.com, w.borges.ltda@terra.com.br Palavras chave: Diálogo e significação, expoente negativo, potências Keywords: Dialogue and meaning, negative exponent, potential RESUMEN Oestudoanalisouodiálogopresentenaaprendizagemdepotênciascombaseracionaleexpoentesnegativosde estudantesdoºanodoensinomédiodeumaescoladesãopaulo,comopossibilidadedediscursomatemático.a interação verbal é fenômeno social que se realiza na enunciação, seu tema e significação. Um diálogo comporta réplicas,comparaçãodaprópriapalavraaumacontrabpalavra.evidencioubseaimportânciadodiálogodevozesque se expressaram sob condições específicas e únicas de produção da linguagem. As relações entre os participantes (inclusiveasdepoder)propiciaramacolaboraçãoecontribuíramparaaconstruçãodoconceitomatemático. ABSTRACT The study analyzed the dialogue present in learning of the potential with rational basis (fractions) and negative exponentsoffirstbyearstudentsinhighschoolinsãopaulo,asapossibilityofmathematicaldiscourse.theverbal interactionisasocialphenomenonthatrealizesitselfinenunciation,yourthemeandmeaning.adialogueinvolves replicas,thecomparisonoftheworditselftoacounterbword.thestudyhighlightedtheimportanceofdialogueof voicesthatexpressedunderspecificconditionsanduniquelanguageproduction.relationsbetweentheparticipants (including power relationship) propitiated to the collaboration and contributed to the construction of the mathematicalconcept. 38

2 SECCIÓN ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Introdução Oestudopropostofazpartedepesquisamaisamplavoltadaparaoentendimentodasrelaçõesentreos processosdelinguagemeosprocessoscognitivosnaaprendizagemdematemáticadealunosdoensino BásicodomunicípiodeSãoPaulo(Oliveira,Borges,03a).Dopontodevistateóricometodológico,a pesquisaobjetivaanalisar,descreverecaracterizarosprocessosdelinguagempresentesnosdiálogosde umgrupodealunosdeºanodeensinomédiodeumaescolaestadualdacidadedesãopaulo,em atividades de resolução de problemas com funções exponenciais e logarítmicas. O interesse fundamental recai sobre a relação entre o pensamento e a linguagem. A fala dos participantes é entendidacomomanifestaçãodecomoeleestápensandoedoqueestámudandoemseupensamento verbal.nessesentido,entendebsearelaçãopensamentoelinguagemcomoumprocessoindissociável. Entre os aportes teóricos do estudo mais amplo destacambse os estudos de Lev S. Vigotski, Mikail Bakhtin,LudwigWittgenstein(Oliveira;Borges,03b)edeJeromeBruner. Este trabalho, especificamente, analisa a interação verbal expressa nos diálogos presentes na aprendizagemdepotênciascombaseracionaleexpoentesnegativosdeestudantesdoºanodoensino MédiodeescolapúblicadeSãoPaulo,comidademédiade5anos.RecorremosaosestudosdeBakhtin, paraquemaverdadeirasubstânciadalínguaéainteraçãoverbalcomofenômenosocialqueserealiza naenunciação(bakhtin,006). Os estudos de Bakhtin (006) permitem o entendimento dos processos de linguagem envolvidos na aprendizagemdematemática.paraoautor,averdadeirasubstânciadalínguanãoéconstituídadeum sistema abstrato de formas linguísticas, mas pelo fenômeno social da interação verbal, cujo meio de realizaçãoéaenunciação.odiálogoéaformamaisimportantedeinteraçãoverbal.paraoteórico, não hápossibilidadedechegaraohomemeàsuavida,senãoatravésdetextossígnicos,criadosouporcriar (Bakhtin,99,p.05,comocitadoemOliveira,p.00).Alémdisso,averdadedofuncionamentoda linguagem é o diálogo, é a interação do homem com o homem, seja com ele próprio, seja com o semelhante(hartmann,007,p.8).bakhtin(00,p.57)destaca duasvozessãoomínimodevida,o mínimodeexistência. Referencialteórico Bakhtinentendeapalavracomosignosocial,umfenômenoideológico,eaindacomoinstrumentoda consciência. A relação dialética entre signo, palavra e psiquismo permitiu a Bakhtin compreender a construção da consciência humana. A palavra está presente em todos os atos de compreensão e em todososatosdeinterpretação(bakhtin,006). Bakhtin(006)afirmaqueacompreensãonãopodemanifestarBseanãoserpormeiodeummaterial semiótico,citandocomoexemploodiscursointerior. Paraele,aconsciênciasurgesomenterepresentadamaterialmenteporsignos.Compreenderumsigno significaaproximarosignoapreendidodesignosjáconhecidos.surgeumacadeiadecriatividadeede compreensão ideológicas que se movem de signo para signo. Essa cadeia ideológica transita entre consciências individuais, unindobas, fazendo emergir os signos desse processo de interação. A 39

3 SECCIÓN ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR consciênciaindividualestárepletadesignosesósetornaconsciênciaquando,noprocessodeinteração social,tornabseimpregnadadeconteúdoideológico. Sua lógica é a lógica da comunicação ideológica da interação semiótica de um grupo social. Para o teórico, nada sobra da consciência se for privada de seu conteúdo semiótico e ideológico. Seu único abrigo é constituído por imagem, gesto e a palavra. Os signos sociais são a realidade dos fenômenos ideológicos.suasleissãoasleisdacomunicaçãosemiótica.arealidadeideológicaéumasuperestrutura quesesituaimediatamenteacimadabaseeconômica. A palavra, entendida como instrumento de consciência, funciona como elemento que acompanha e comentatodaacriaçãoideológica.todofenômenoideológicocomoumquadro,umapeçamusical,um ritual,necessitadodiscursointerior. AunidadedaconsciênciaverbalmenteconstituídaapropriaBsedosignoculturalquandoapreendido;ela oabordaverbalmente. É fundamental na teoria de Bakhtin (00) o conceito de dialogismo, ou seja, o entendimento da estruturadafalacomodiálogo,oqueincluioautodialogismo,ouodiscursointeriorqueseconstituido falarconsigomesmo,comoelementoessencialdaconsciência. Para Bakhtin (006), a palavra está sempre carregada de conteúdo ou de sentido ideológico. É dessa forma que as compreendemos e somente damos importância àquelas que despertam em nós ressonâncias ideológicas. Afirma que a palavra comporta duas faces, é determinada pelo fato que procede de alguém e pelo fato de que se dirige a alguém. Ela constitui justamente o produto da interação do locutor e do ouvinte. Pode ser comparada a uma ponte entre quem fala e quem ouve, constituindobse como um território comum entre o locutor e o interlocutor. Ou seja, a enunciação, entendidacomoatodafala,édeterminadapelasituaçãoepelosparticipantes. DeacordocomBakhtin(006),acompreensãoéumaformadeinteraçãoverbal,umdiálogo.Estáparaa enunciaçãoassimcomoasréplicasestãoparaodiálogo.nodiálogo,compreenderécompararapalavra do locutor a uma contrapalavra. Por isso, não tem sentido dizer que a significação pertence a uma palavraenquantotal.éoefeitodeumainteraçãoentreolocutoreoreceptorproduzidopormeiodo materialdeumcomplexosonoro.asignificaçãopodepertenceraumapalavraseestaforumtraçode uniãoentreinterlocutores,poisasignificaçãoserealizaemumprocessodecompreensãoativa,nãoestá na palavra nem na intenção do falante, assim como também não está no interior do interlocutor. A significaçãoéresultadodoatodecompreensãoentreosinterlocutoresnoprocessodeinteraçãoverbal. A palavra procede de alguém e se dirige a alguém. A situação e os participantes determinam a enunciação que tem um sentido único e definido, próprio de um contexto específico. O tema da enunciaçãoincluiumasignificaçãoglobalconstituídatambémpeloselementosnãoverbaisdasituação. Gestos,entoações,pausas,expressõesfaciais,formasdefalaredevestir,tudoseincorporaaotemado enunciado(ribeiro,006). 40

4 SECCIÓN ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR A análise da interação verbal possibilita verificar as possibilidades de discurso matemático entre os participantesnaresoluçãodeatividadedeaprendizagem. Método Os dados foram coletados em 0 e constituembse de gravações de atividades desenvolvidas por estudantes de ª série do ensino médio de escola estadual, situada no município de São Paulo. O desenvolvimento da referida pesquisa e a consequente coleta de dados foi aprovada por parecer específicodacomissãodeéticadauniversidadeanhangueradesãopaulo. Os dados coletados trazem os discursos de 0 estudantes do Ensino Médio de uma escola pública estadualdacidadedesãopaulo,comidademédiade5anos,edoprofessorquandodarealizaçãode atividadessobrefunçõesexponenciaiselogarítmicas,emsaladeaula,emhoráriodiferentedohorário normal,apósotérminodaúltimaaula.arealizaçãodessasatividadespermitiuacoletadeinformações, ou seja, os diálogos possíveis que contemplaram também as pausas, silêncios, imagens, gestos, expressõesfaciaiseolhares. Foram planejadas e realizadas gravações dos episódios que envolveram a resolução das atividades propostas à turma de 0 alunos. Dois gravadores portáteis de áudio e duas câmaras de vídeo foram utilizadosparaasgravações. As atividades foram planejadas para que possibilitassem a interação verbal entre participantes. As atividadesdefunçõesexponenciaisiniciaramcomexpressões(conteúdosmatemáticos)paraosquaisos alunosjáapresentaramalgumdomínio,asaber,potênciacombaseeexpoentenaturais,porexemplo, 3 eevoluemparapotênciascomexpoentenegativo,porexemplo, B3,queencerraoutrasdificuldades. Análisesediscussões TranscreveBse um fragmento de um diálogo entre uma estudante (K) e o pesquisador (P), em sala de aula,ematividadecomfunçõesexponenciaisquandoabaseéumafraçãoeoexpoenteénegativo.o estudantedeveriadispordeconhecimentosrelativosàpotenciaçãocomnúmerosnaturais,trabalhados noensinofundamental,pelomenosemparte. A estudante K está no quadro resolvendo uma atividade com a participação de P (professorb pesquisador): 4

5 SECCIÓN ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR ' $ Figura:Figuraaeb Resoluçãodaexpressão Fonte:ArquivoPessoal. []P:Você(escreveu(que ' $ = 3.Como(você(chegou(nesse(resultado,(K? []K:Porque(é(negativo,(então(a(gente(tem(que(inverter. [3]P:Por(quê?(Você(consegue(dizer(o(porquê? [4]K:Porque(é(uma(divisão(de(mesma(base( [5]P:E(como(seria(essa(divisão?(Você(consegue(fazer(aí?((ReferindoBseaoquadro). PpediuqueKjustificasseoqueescrevera.Essetipoderesoluçãopodeapresentardificuldades,porque uma potência com o expoente negativo é uma possível representação da divisão entre potências de mesmabase.afaltadeclarezadoconhecimentopodelevaroalunoarealizaraoperaçãosemasua compreensão,utilizandotécnicasdememorizaçãomecânica,vaziasdesignificado.aperguntadepem []: Você(escreveu(que(' $ =( 3.(NessainteraçãoverbalentrePeK,pormeiodaenunciaçãodeP, (linha []), determinada pela situação e pelos participantes, o tema, que segundo Bakhtin (006), configuraaenunciaçãocompletacomsentidoesignificadoúnicos,poisaunidadefoidadapeloinstante noqualocorreu;istoé,imediatamenteapósaparticipantekescreveroresultadodaexpressão,oque permitiu que P pudesse expor as dúvidas de K ao grupo. Essa possibilidade, a da dúvida de K, foi reforçadapeloselementosnãoverbaisdessemomentoquedeterminaramotema,comoamaneiraque Kescreveuaresolução,osolharesdepreocupaçãoeexpressõesfaciaisqueKtrocoucomseuscolegas participantesdurantearesoluçãodaatividade,osinstantesdepausaduranteaescritaeaexpressão facialquandoobteveoresultado.tambémaexpressãoverbal,asformaslinguísticaseaentoaçãodas palavraspronunciadasporp.todosesseselementoscontribuíramparaaenunciaçãodep,cujoobjetivo eraverificaroentendimentodeknaresoluçãode ' $ =( 3.( PodemosobservarnafaladeKqueosignificadode inverter podeserapenasamudançadeposiçãodo numerador e do denominador, revelando uma visão vazia de significado. Para o saber escolar da 4

6 SECCIÓN ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR matemática,osignificadodeinverterapoiabseempropriedadesdedivisãodepotênciasdemesmabase ededivisãodefrações.asrespostasdekevidenciamummododeresolverporimitação,baseadoem metáforasdeorientaçãoespacialouordinal. Na réplica de K, transcrita na linha [], outros elementos entraram na composição. De acordo com Bakhtin(006),acompreensãoéumdiálogoeaenunciaçãoéapenasparteimportantedainteração verbal,naqualodiálogoexercepapelessencial.paraquekcompreendesseaenunciaçãodep(linha[]), foinecessárioqueestabelecesseumarelaçãocomassuasprópriaspalavras,umdiálogointerior.essa compreensão está relacionada com a profundidade e substancialidade das suas próprias palavras (Bakhtin,006).AréplicaincompletadeKpareceevidenciarpoucacorrelaçãodassuasprópriaspalavras comaresoluçãode ' $ =( 3.( A fala de K (linha []) pode ser entendida como a expressão de conceitos que estão em processo de construção, em formação. Nessa fala estão faltando elementos essenciais para a compreensão e explicação da resolução de ' $ =( 3.por exemplo, a clareza de que se trata de uma possível representaçãodeumadivisãodepotênciasdemesmabase.deacordocomvigotski(00),éimpossível ensinar conceitos de maneira direta e toda tentativa nesse sentido não conseguiria mais do que um verbalismooco,vaziodesentido,oqueprovavelmenteocorreunafaladek. A explicação para' $ =( 3. contida na resposta de K Porque( é( negativo,( então( a( gente( tem( que( inverter poderiatersidoumasíntesedeumaexplicaçãomaislonga.nessecaso,outroselementosque determinam o tema estavam presentes, como já citamos, expressões faciais, olhares, gestos, entre outros. OusodafaladeP(Linha[3]),( Por(que,(você(consegue(dizer(o(porquê?,(procuraseharmonizarcoma práticaescolardoensinodematemática,nocontextotranscritodofragmentodeepisódio,oqueexpõe anecessidadedepverificarsekcompreendeuaatividade.aproduçãodestaenunciaçãodepocorreu emvirtudedocontexto,dasituaçãonaqualosoutrosparticipantespermaneciameemsilênciodiante daexplicaçãodek.paraphaviaanecessidadedeumajustificativamatemáticaparaessaresolução. Nesse caso, P procura levantar uma discussão que de alguma forma possa trazer entendimento dos processos matemáticos que permitiriam a superação de formas repetitivas de resolução expressas na respostadek,(linha[]). OtemapossibilitaasignificaçãodessafaladeKeessafalapodeconfiguraraconstruçãodoconceito ainda em formação, uma compreensão em processo, pois parecem lhe faltar elementos para o seu diálogointerior.aparentementenãoestáclaroparakeparaosparticipantesdogrupoqueaexpressão ' $ podeserumarepresentaçãodeumapossíveldivisãoentrepotênciasdemesmabase.aforma mecânica de resolver ' $ =( 3,( isto é, simplesmente inverter a fração por imitação,( sem a 43

7 SECCIÓN ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR compreensão do que permite essa inversão, parece não permitir um avanço de K e dos demais participantesdogruponaconstruçãodesseconceito. NaarguiçãodeP,(linha[5]): E(como(seria(essa(divisão,(você(consegue(fazer(aí?,verificamosquetom de voz, a expressão facial de K, bem como outros aspectos envolvidos na construção do sentido interferemnasignificação.essaréplicadeptrazemseubojoacobrançadeumajustificativadeksobre aexplicaçãoqueacabaradeproferir.dequalquerforma,essediscursoécabívelnessecontextoescolar. Alémdisso,essediálogodopesquisadorcomaparticipanteecomaturmarevelaatentativadelevarKa explicar matematicamente o que significava a expressão divisão de mesma base. Com isso, o pesquisadorchamaparasiaresponsabilidadedosaberescolaraindanãoevidenciadopork. NoentendimentoinicialdeP,poderiasetratardeumarespostacomasupressãodapalavra potência. Aintençãodeesclareceressadúvidaolevouàenunciaçãorepresentadapelaperguntadalinha[5]: E( como( seria( essa( divisão?, pois, para P, ainda não estava suficientemente claro se K compreendera a resolução de ' $ =( 3.( Outra possibilidade é a de que a inexistência da palavra potência na expressão de K possa ter ocorrido por exclusão de uma palavra facilmente dedutível, porém o mais prováveléquetenhasidopeladificuldadedeexpressãoemtermoscientíficosdaspalavrasapropriadas. Considerando o fragmento de diálogo em análise, é possível verificar que a compreensão que se estabeleceuentrepekequegarantiuainteraçãoverbalentreosdois,épossibilitadapelasignificação únicadodiálogocomotraçodeuniãoentreosinterlocutores,nocaso,osquestionamentosdepeas réplicas de K. DestacaBse ainda a capacidade de P de antecipar e entender o que passa no discurso interiordek.ouseja,ppercebepeloselementosverbaisenãoverbaisdaenunciaçãodek,queelanão domina o entendimento matemático exigido pela resolução da atividade e, por isso, busca trazêbla à reflexão de que os processos tecnicistas, vazios de conteúdo matemático, não auxiliam na efetiva aprendizagem. Consideraçõesfinais Os dados mostraram que a estudante ficou presa a processos matemáticos de resolução próprios do EnsinoFundamental,que,seesperava,estivessemdominadosporelaepeloscolegas.DestacaBsequeos conteúdos em discussão representam fundamentos necessários para o entendimento e resolução de atividadesenvolvendofunçõesexponenciaiselogarítmicas. As análises dos processos de linguagem presentes indicaram a precariedade dos conhecimentos matemáticosretrospectivosdaalunaparaquepudessedarcontadaresoluçãodasatividades.aforma mecânica de resolver ' $ =( 3,( isto é, simplesmente inverter a fração por imitação,( sem a compreensãomatemáticadoporquêdessainversãonãofoipossíveloavançonoentendimentodaaluna enemdosdemaisparticipantesdogruponaconstruçãodesseconceito. 44

8 SECCIÓN ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Entretanto,osprocessosdelinguagemindicaramaindaumamotivação,presentetambémnosdemais episódiosanalisadosnapesquisamaior,nadireçãodoconhecimentoquandoosparticipantestentavam explicarmesmoquedeformaincompletaouequivocadadandorespostaàsatividadespropostas. Asanálisessobreosprocessosdelinguagemajudaramaencontrarpormeiodafala,gestoseexpressões uma aproximação significativa da dificuldade e da dúvida do aluno que pôde superábla, em muitos momentos,dopontodevistadamatemática,nodiálogopropiciadopelaparticipaçãonaatividade. As análises sobre os processos de linguagem ajudaram a resgatar a voz de quem aprende, ainda silenciadapelaspráticasescolaresmuitasvezesorientadaspormétodosedesenvolvidascommaterial didáticoquedesconsideramoalunoconcreto,asuasubjetividadeequemuitasvezesimpedemoaluno desairdasituaçãoincômodadonãoentendimento. Referênciasbibliogáficas Bakhtin,M.(006).Marxismo(e(filosofia(da(linguagem..ed.(M.Lahud,eY.F.Vieira,Trad.).São Paulo:Hucitec. Bakhtin,M.(00).Problemas(da(poética(de(Dostoiévski.3.ed.(P.BezerraTrad.)RiodeJaneiro:ForenseB Universitária. Hartmann,F.(007).AvozeodiscursointeriornaobradeMikhailBakhtin.Calidoscópio,(5(),77B83. Oliveira, M. H. P. (00).( Lembranças( do( passado:( a( infância( e( a( adolescência( na( vida( de( escritores( brasileiros.bragançapaulista,sp:edusf. Oliveira, M.H.P. e Borges, W.A. (03a). Processos( de( linguagem( na( aprendizagem( de( matemática. (ProjetodePesquisaUniversidadeAnhangueradeSãoPaulo). Oliveira, M. H. P.e Borges, W.A. (03b). Contribuições de Vigotski, Bakhtin e Wittgenstein para o entendimentodosprocessosdelinguagemnaaprendizagemdepotênciascomexpoentenegativo. Perspectivas(da(Educação(Matemática,6,9B34. Ribeiro,L.F.(006).OconceitodelinguagememBakhtin. Revista(Brasil(de(Literatura.(Disponívelem: Vigotski,L.S.(00).Psicologia(pedagógica.(P.BezerraTrad.).SãoPaulo:MartinsFontes. 45