Aula 2 20/08/2007. Tensões e deformações devidas à força normal. Resistência, estabilidade, estados limites, flambagem

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1 PEF2602 Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados 2º Semestre 2007 EP-USP FAU-USP Aula 2 20/08/2007 Tensões e deformações devidas à força normal Resistência, estabilidade, estados limites, flambagem Barras submetidas a carregametos axiais. (barra do engate do carro rebocador (tração compressão) e barra do trem de pouso (compressão) Olhal => articulação Eixo geométrico Eixo mecânico Exemplo 1-2. Tirante metálico (d) de suporte da carga W (balde). Fig. 1-2 Barra metálica com olhal submetida a carga de tração P

2 Modelo estrutural esquema estático Apoios no plano x - y Articulação fixa Eixo geométrico Articulação móvel Força P Articulação fixa R x Articulação móvel L : comprimento do eixo Engaste R y R y R x M z R y A (área) Barra prismática em tração (carga P): (a) diagrama de corpo livre de um segmento da barra; (b) segmento da barra antes do carregamento (configuração indeformada), (c) segmento da barra após o carregamento ΔL; (d) tensão normal atuante na barra σ. ΔL δ Conceito de tração e compressão simples Tensão normal é dada por: σ P A onde P é a força de tração ou compressão aplicada a barr e A a área de seção transversal da barra Deformação específica é dada pela relação: ε ΔL L onde ΔL é a variação do comprimento da barra quando submetida a força P e L é o comprimento de referência da base de medida Equação constitutiva - Lei de Hooke L i L f = Δ L L f L i ε = L L i Δ L (Deformação específica) σ E ε onde E é o módulo de elasticidade

3 Cálculo do deslocamento axial da barra σ E ε da lei constitutiva tem-se P A E ΔL L Distribuição uniforme da tensão normal na barra prismática: (a) força axial P; (b) seção transversal da barra. df σ da P EA L ΔL onde E*A é denominado como produto de rigidez axial e Lembrando da Física a equação de uma mola, tem-se F K x Nas barras, a rigidez será expressa por: onde K é o coeficiente de rigidez da mola e x o deslocamento K EA L e o deslocamento da extremidde ΔL por x df σ da M x Py c M y P x c P Ensaio de tração df σ da M x σ y da M y σ x da ΔL/2 P Py c σ y da Py c σ y da ΔP i Py c y c P A y da A y da x c x da A n ( y ci ΔA i ) i = 1 y c n ΔA i i = 1 L P L ΔL/2 ΔL i ΔL

4 Diagrama tensão deformação σ = P/A (tensão) σ ε f y σ e σ u Tensão última escoamento Limite de proporcionalidade Com A efetiva Com A nominal ruptura σ = E*ε ε = ΔL/L (deformação específica) Região linear Região plastica ou escoamento Região encruamento Região estricção Diagrama tensão-deformação típico do aço estrutural de baixo carbono (ASTM 36) determinado a tração (for a de escala). σ = MPa Exemplo de um ensaio de tração aço estrutural. Região de ruptura Região de estricção C a E do diagrama Diagrama tensão-deformação típico de aço estrutural em tração, desenhado em escala

5 σ = MPa trecho anelastico σ = MPa trecho elastico Diagrama tensão-deformação típico para uma liga de alumínio Determinação da tensão de escoalmente f y pelo método de uma reta paralela ao trecho elastico com deslocamento ε = 2/1000. σ = MPa Borracha dura Borracha mole Diagrama tensãodeformação para material frágil, com limite de proporcionalidade elastica em A e ruptura em B (com baixa ductilidade) Diagramas tensão-deformação a tração para dois tipos de borracha

6 σ = MPa Enrijecimento do material Diagrama tensão-deformação à compressão para o cobre. Loading = carregamento Unloading=descarregamento Diagrama tensãodeformação ilustrando os comportamentos: (a) Comportamento elástico;(b) comportamento parcialmente elástico. Residual strain = deformação residual; Elastic recovery = recuperação elástica Loading = carregamento Unloading=descarregamento Reloading = recarregamento alongamento Deslocamento inicial dentro do da região elástica tempo Diagrama tensão-deformação com recarregamento do material para elevação do limite elástico (tensão de escoamento) Fluência do material com carregamento constante P

7 Barra biengastada Relaxação de tensão em uma barra submetida a deformaão constante tensão Relaxação de tensão Tensão abaixo do limite elástico tempo Alongamento axial e contração lateral da barra prismática em tração: (a) barra antes do carregamento, (b) barra após o carregamento. (a deformação da barra esta exagerada.) P c = kn Exemplo Determinar a tensão normal (σ), a deformação específica (ε ) e estimar o módulo de elasticidade do tubo de alumínio da figura, considerando o carregamento de P c =240,20 kn e comprimento de 1016mm. Considerar que o encurtamento foi L = m Example 1-3. tubo em compressão

8 Exemplo 1-1 P c := 54kip P c = kn força de compressão atuante no tubo d 1 := 3.6in d 1 = mm diametro interno do tubo de alumínio d 2 := 5.0in d 2 = 127 mm diametro externo do tubo de alumínio L := 40in L = m comprimento inicial do tubo de alumínio ΔL c := 0.022in ΔL c = mm encurtamento para a força Pc ( ) 2 2 π d 2 d 1 A c := 4 A c = cm 2 área da seção transversal do tubo P c σ c := σ A c = MPa σ c = kn c cm 2 tensão normal de compressão σ c = psi tensão em pound square inch Determinação da deformação específica ΔL c ε c := ε L c m = ε m c = m ε m c = 550 μm m Equação constitutiva - Lei de Hooke σ E ε Determinação do módulo de elasticidade σ c E aluminio := ε c E aluminio = GPa módulo de elasticidade do alumínio Sistemas Materiais Os procedimentos de Engenharia podem ser classificados em quatro fases: -Planejamento (o que, onde e quando fazer?); -Projeto (como fazer?); -Produção (construção na engenharia civil materialização da idéia) -Operação (utilização e manutenção) Métodos de Projeto Métodos comparativos até meados do Século XIX; Métodos racionais (inicia-se durante o século XIX) - Método das tensões admissíveis (método determinístico), resulta da consolidação da mecânica das estruturas e construção de máquinas de ensaios de materiais; - Método probabilístico resulta da formação de juízos probabilísticos a partir de conhecimentos objetivos a respeito dos sistemas considerados, modos de ruptura, estados limites, o que levou ao método probabilístico dos estados limites)

9 Método das Tensões Admissíveis Estruturas existentes com sucesso de operação são cubadas para estimativa do peso próprio (peso [P]=F/L 3, carga distribuída em superfície [p]=f/l 2, carga uniformemente distribuída [g]=f/l) para a determinação das tensões atuantes σ act ; Materiais das estruturas existentes são ensaiados para determinação das resistências σ u (tensões últimas ruptura) Determinam-se os coeficientes de segurança globais pela relação entre as tensões últimas (ruptura) e tensões atuantes, dada por γ global = σ u / σ act Método das Tensões Admissíveis Determina-se a inequação de segurança para projeto de novos sistemas estruturais σ act σ admissivel onde a tensão admissível é dada por σ admissivel = σ u / γ global a tensão atuante σ act é dada em função dos carregamentos característicos nominais (valores de consenso no meio técnico da época normas), tais como g k e p k, por exemplo, carregamento acidental (público) de pisos acima de 12 m 2, considera-se p k = 1,5 kn/m 2 Método das Tensões Admissíveis Método das Tensões Admissíveis Além da inequação de segurança em relação as tensões, foi necessário também estabelecer uma inequação para as deformações, principalmente, pelas flechas admissíveis u existente u admissível onde u admissível normalmente é da ordem de L/250, sendo L o vão das obras (vigas, lajes, etc.) Além disso devem ser respeitadas as condições construtivas tais como espessuras mínimas, esbeltez das barras comprimidas, por exemplo.

10 Exemplo Determinar a dimensão do tirante metálico com resistência ao escoamento f y = 250 MPa e coeficiente de segurança de γ = 2, considerando a carga W = 100 kn. O Deslocamento admissível u adm = L/200, com L = 2000 mm e módulo de elasticidade do aço E = 210 GPa Exemplo W := 100kN peso do balde + massas adicionais L := 2000mm comprimento do tirante E := 210GPa modulo de elasticidade do aço L u admissivel := 200 u admissivel = 10 mm deslocamento admissível f y := 250MPa resistencia ao escoamento do aço γ := 2 coeficiente de segurança σ act σ adm W f y A γ inequação de segurança para as tensões A W γ área mínima do tirante W f A := γ A = 8cm 2 y f y d := A4 π d = mm d = in verificação do deslocamento limite F EA L ΔL sendo F=W, então WL ΔL := EA ΔL = 1.19 mm que é menor que u admissivel = 10 mm Método Probabilista dos Estados Limites Condições básicas de segurança - confiabilidade (probabilidade de permanecer em serviço) - capacidade de aviso de colapso (colapso não avisado) - não emitir falsos sinais de alarme (flechas excessivas, vibrações, etc.)

11 Método Probabilista dos Estados Limites Modelo Probabilista Estrutura segura 1) Durante a vida útil, a estrutura deve garantir a manutenção das características da construção, a um custo razoável de manutenção; 2) Em situações não previstas de utilização ou de manutenção, a estrutura deve apresentar sinais visíveis de advertência de eventuais estados de potencial colapso; 3) Em condições normais de utilização, a construção não deve ter aparência que cause inquietação aos usuários ou ao público em geral, nem apresentar falsos sinais de alarme que lancem suspeita sobre sua integridade dnorm( x, 45, 8) dnorm( x, 70, 8) S x 90 f ck f m R ( ) f ck f cm δ Método probabilista dos estados limites Situações de projeto S d R d S k γ f R d R k k mod γ w σ k γ f concreto 0.85 f c 1.4

12 Ações tempo de referencia Vida util das estruturas F F d Q exp Classe Vida útil (em anos) Exemplos limite de dano Q 1 1 a 5 Estruturas temporárias 2 25 Elementos estruturais substituíveis G ef 3 50 Concreto em estruturas correntes mudança da carga permanente Pontes e obras de arte G dano acumulado interdição da obra t i período de referência de projeto t u t Duração das edificações Vida do elementos construtivos Descrição das classes Vida útil da edificação Exemplos Acomodações temporárias até 5 anos Edificações utilizadas durante a construção, prédios para exibições temporárias Edifícios de curta duração 5 a 30 anos Salas de aulas temporárias, edificações de curta duração para processos industriais, edificações modulares Edifícios de média duração 30 a 60 anos Maioria dos edifícios industriais, armazéns Edificações de vida normal no mínimo 60 anos Hospitais e edificações de escolas, novas estruturas residenciais Edifícios de longa duração 60 a 120 anos Maioria dos teatros, edifícios públicos, fóruns e edificações institucionais de alta qualidade Sistema construtivo Vida de projeto (em anos) Fundações >100 Estrutura >100 Piso de estacionamento exposto 30 Alvenaria de blocos >100 Argamassa em alvenaria 25 Revestimento de madeira Portas 25 Janelas Asfalto poroso Telhado Acabamentos 7-20 Revestimentos de piso 5-10 Forro de teto Calha 40

13 Situações duradoura Situações transitórias F n [ + ] m d = γ F + Gi Gi, k γ Q F Q1, k ψ 0 i= 1 j= 2 jf Qj, k (normais) (equação 9) F = d m γ Gi i= 1 F Gi, k γ Q + F Q1, k + n ψ 0 j, ef F j = 2 Qj, k (construção) (equação 12) F m n = d, uti F + Gi, k ψ 2 i= 1 j= 1 jf Qj, k (longa duração) (equação 10) F m n = d, uti F + Gi k F +, Q1, k ψ 1 j i= 1 j= 2 F Qj, k (curta duração) (equação 13) F m n = d, uti F + Gi, k ψ F + 1 Q1, k ψ 2 i= 1 j= 2 jf Qj, k (média duração) (equação 11) Situações excepcionais F m n = d ψ i= 1 j= 1 γ F + F + Gi Gi, k Q, exc γ Q 0 j, ef F Qj, k (excepcionais) (equação 14) Fatores de combinação Ações em estruturas correntes Ψ 0 Ψ 1 Ψ 2 - Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local - Pressão dinâmica do vento 0,6 0,5 0,5 0,2 Cargas acidentais dos edifícios Ψ 0 Ψ 1 Ψ 2 - Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas - Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos, ou de elevadas concentrações de pessoas - Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,4 0,7 0,8 0,3 0,6 0,7 Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos Ψ 0 Ψ 1 Ψ 2 - Pontes de pedestres - Pontes rodoviárias - Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,4 0,6 0,8 * Admite-se Ψ 2 =0 quando a ação variável principal corresponde a um efeito sísmico 0,3 0,4 0,6 0,3 0 0,2 0,4 0,6 0,2* 0,2* 0,4*

14 F y a L x Flambagem F y M = F y y F/F cr Forma reta instável (a) (b) (c) F cr Forma curva estável regime elástico Ponto de bifurcação do equilíbrio Forma reta de estável a/l conceitos de flexão das barras M M Eixo -> configuração indeformada 1 = ± r Eixo -> configuração deformada r raio de curvatura parâmetro k = 1/ r A curvatura k é proporcional ao momento fletor M M EI M = k * EI EI é o produto de rigidez a flexão, onde E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia da seção Carga crítica P Comprimentos de flambagem 2 2 n π EI P = 2 L P E 2 π EI = 2 L

15 Índice de esbeltez Índice de esbeltez Critérios de projeto para estruturas de concreto e madeira: σ cr = FE A 2 π E I = L A 2 e 2 π E = 2 λ σ p λ lim = 2 π E σ p Peças curtas Esbeltez λ 40 Efeitos de segunda ordem dispensada a consideração σ σ p dσ E t = dε B A C σ cr σ p R S Limite de proporcionalidade Hipérbole de Euler medianamente esbeltas esbeltas 40 < λ < 80 λ 80 Obrigatória dispensada a consideração dos efeitos de fluência Obrigatória a fluência + 2a. ordem O E ε O curtas medianamente esbeltas esbeltas L e/i λ = L i i = I A Onde i é o raio de giração dado pela raiz quadrada da relação do momento de inércia e a área da seção transversal da barra Inequação de segurança P act P cr σ act σ cr P.act e a carga atuante no pilar e Pcr é a carga de Flambagem M y N y b M x x h M x σ M x σ M x + + N σ N σ M x + σ N σ M y M y σ M y y b M y M x x h σ N

16 Fig Bolted connection in which the bolt is loaded in double shear. Fig Bolted connection in which the bolt is loaded in single shear. Fig Failure of a bolt in single shear.

17 Fig Small element of material subjected to shear streses. Fig Element of material subjected to shear stresses and strains. Fig Example 1-4. (a) Pin connection between strut S and base plate B. (b) Cross section through the strut S. Fig Example 1-5. Punching a hole in a steel plate.

18 Fig Example 1-6. Bearing pad in shear. Fig Example 1-7. Vertical hanger subjected to a tensile load P: (a) front view of bolted connection, and (b) side view of connection. Fig Free-body diagram for Example 1-8. Fig Example 1-8. Two-bar truss ABC supporting a sign of weight W.

19 2001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Chapter 1 Problems Problem Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Problem Problem 1.2-3

20 Exercício 2 Problem Problem Problem 1.2-6

21 Problem and Problem Problem and Problem

22 Problem Problem Problem and Problem 1.3-6

23 Problem Problem Problem Problem 1.5-1

24 Problem Problem Problem and Problem 1.5-7

25 Problem Problem Problem Problem 1.6-3

26 Problem Problem Problem Problem 1.6-7

27 Problem Problem Problem Problem

28 Problem Problem Problem Problem

29 Problem Problem Problem Problem 1.7-4

30 2001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Problem Problem Problem Problem 1.7-8

31 2001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Problem Problem Problem Problem

32 Problem Problem Problem Problem 1.8-2

33 Problem Problem Problem Problem 1.8-7

34 Problem Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Problem Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Problem Problem

35 2001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Problem and Problem Problem Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Problem