Porque é que a definição geométrica e a métrica são equivalentes?

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1 Comunicação: Cónicas: uma abordagem experimental Autor: Ana Cristina Oliveira Esta comunicação vem na sequência de uma Tese de Doutoramento que desenvolvi no âmbito da Divulgação da Matemática. Dado o tempo disponível para a comunicação, cingirme-ei a uma pequeníssima parte da Tese, especificamente a parte sobre cónicas. Um dos objectivos da minha Tese, e em particular da parte que apresentarei, é analisar conteúdo matemático, vastamente explorado a nível da Divulgação, mas para o qual é possível encontrar assunto matemático relevante, transmissível a um nível elementar e em geral não explorado. No que diz respeito ao tema das cónicas, é bastante comum o conhecimento da existência de três tipos de definição de cónica: algébrica, métrica e geométrica. Pretendendo enfatizar a parte geométrica, começaremos pela definição clássica, em que se considera a cónica como a curva resultante da intersecção de um cone com um plano (fig 1). No caso genérico, i.e., quando o plano não passa pelo vértice do cone, há três cenários possíveis: a cónica é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. fig 1 Centremo-nos no caso da elipse. Dados dois pontos F1 e F2 e uma constante positiva k, superior à distância entre F1 e F2, podemos ainda definir uma elipse como o conjunto de pontos para os quais a soma das distâncias, respectivamente a F1 e F2, é igual a k. Esta definição designa-se por definição métrica da elipse (fig 2). fig 2 Porque é que a definição geométrica e a métrica são equivalentes? Na bibliografia que consultámos, encontrámos várias referências ao porquê de a definição geométrica implicar a métrica. Apresentaremos, de seguida, uma breve justificação. Na figura 3 estão representados uma elipse e o respectivo plano e cone. Passaremos da situação descrita no espaço para um caso mais simples, no plano, seccionando os objectos representados por um plano perpendicular ao plano da cónica e que passa pelo eixo do cone. fig 3 fig 4 fig 5 1

2 Nas figuras 4 e 5, encontram-se representadas duas geratrizes VA e VB do cone, resultantes da secção referida, sendo V o vértice do cone e A e B dois pontos da elipse. A tracejado, encontra-se ainda o eixo do cone. Note-se que existem duas, e apenas duas, circunferências tangentes às três rectas representadas: uma no interior do triângulo e outra no seu exterior. Por revolução no eixo do cone, a recta VA (ou VB) gera o cone original. Por sua vez, as circunferências dão origem a duas esferas, designadas por esferas de Dandelin, que, em conjunto com a figura tridimensional original, formam algo do tipo representado na figura 6. Por construção, as esferas de Dandelin são tangentes ao cone e também ao plano da cónica em dois pontos, F1 e F2, que designaremos por focos da elipse. Para explicar o motivo pelo qual a definição geométrica fig 6 implica a métrica, consideremos um ponto genérico, P, da elipse e a recta VP, onde V é o vértice do cone. Tal recta intersecta as esferas de Dandelin em dois pontos, respectivamente T1 e T2. Aplicando novamente o método de passagem do espaço para o plano, consideremos o plano PT1F1 e a secção obtida por intersecção deste plano com a figura anterior (fig 7). Por construção, as rectas PT1 e PF1 são ambas tangentes à circunferência, de onde se conclui que PF1 = PT1. De modo análogo, obtemos PF2 = PT2 e, portanto, fig 8 PF1 + PF2 = PT1 + PT2 = T1T2. Ora, como T1T2 não depende do ponto P escolhido, conclui-se que a definição geométrica implica a métrica. O passo natural a seguir será mostrar a implicação contrária. Para tal, faremos uma pequena interrupção para referir uma questão, aparentemente desligada da anterior, mencionada por Lebesgue no seu livro Les Coniques [1]: dado um plano e uma elipse E (definida geometricamente) em, quais são os cones que intersectam segundo a elipse? Este é um problema que resolvi geometricamente. E o filme projectado durante a comunicação apresenta uma infinidade de cones que satisfazem a propriedade indicada (ver figs 9 e 10): note-se que todos eles contêm, em particular, os extremos do eixo maior da elipse e são tais que o seu vértice pertence à hipérbole representada na fig 10. Por sua vez, esta hipérbole tem como focos os extremos do eixo maior da elipse e a constante é igual à distância entre os focos da elipse. fig 7 2

3 Fig 9 Fig 10 Apresentemos então um método para construir tais cones (figs 11, 12, 13 e 14). Para isso, consideremos a elipse E e a recta F1F2, representando por F1 e F2 os focos. Tal recta intersecta, em particular, a elipse em dois pontos - A e B. Pretendendo passar do caso tridimensional para um mais simples - o do plano, consideremos um plano,, perpendicular a e passando por AB. Em, consideremos uma qualquer recta r que passa por A: existe uma só circunferência tangente a r e a AB em F1. fig 11 fig 12 fig 13 fig 14 Do mesmo modo, existe uma só recta, BV, tangente à circunferência obtida e uma só circunferência tangente a BV e a AB em F2. Regressando ao caso 3D, por revolução em torno de VC1, obtemos um cone que intersecta o plano inicial segundo a elipse (E) considerada (fig 14). Este é apenas um dos cones possíveis, uma vez que, de acordo com o filme projectado, existe uma infinidade de cones nestas circunstâncias. Como os obter? Note-se que, na construção utilizada, a recta r obedece apenas a uma condição: passar por A. Assim, diferentes escolhas de r levam a diferentes cones. Há, contudo, uma questão ainda sem resposta: qual a origem da hipérbole da figura 10? Dado o tempo disponível, tal questão não pode ser abordada na comunicação, contudo, ao leitor interessado, sugere-se a consulta do artigo [2]. 3

4 Um aspecto surpreendente no que diz respeito às cónicas prende-se com o facto de, na bibliografia consultada para a Tese, não terem sido encontradas referências ao porquê de a definição métrica implicar a geométrica, com a excepção do livro Les Coniques [1], já mencionado. Esta questão é também abordada no artigo [2] e passa pela resolução da questão de Lebesgue já exposta. Uma outra vertente que me interessou, ainda em relação às cónicas, foram actividades hands-on associadas a este tema. A este propósito, destaco a exposição Oltre il Compasso [5], patente no Museu Il Giardino di Archimede, em Florença. E, tendo o privilégio de trabalhar na Associação Atractor Matemática Viva, há vários anos, não poderia deixar de destacar os bilhares cónicos construídos por esta Associação no âmbito da sua exposição Matemática Viva [3], patente no Pavilhão do Conhecimento durante cerca de dez anos. Actualmente, estes bilhares encontram-se expostos no Museu dos Transportes e Comunicações, no Porto (o Pavilhão do Conhecimento produziu também réplicas destes módulos). Estes bilhares ilustram as propriedades reflectoras das cónicas descritas nas imagens ao lado. Tais propriedades apresentam inúmeras aplicações práticas conhecidas, desde os fornos solares, aos telescópios de reflexão, à própria construção da Whispering Gallery, na Catedral de S. Paulo em Londres. A este propósito, aconselho vivamente uma aplicação da autoria do Atractor [4],que permite ao utilizador construir o seu próprio bilhar virtual e jogar (fig 15). Escolhido um bilhar elíptico, uma potencialidade muito interessante do programa consiste em mostrar as trajectórias da bola, quer quando, inicialmente, se escolhe cruzar o interior do segmento que une os dois focos quer quando se escolhe cruzar o seu exterior. REFERÊNCIAS fig 15 [1] Henri Lebesgue, Les Coniques, Gauthier-Villars, [2] Ana Cristina Oliveira, O que é uma cónica?, Educação e Matemática, Revista da Associação de Professores de Matemática, nº 117, 22-25, Março-Abril de

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