A SINGULARIDADE DE CURVAS ALGÉBRICAS

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1 A SINGULARIDADE DE CURVAS ALGÉBRICAS Aluno: Victor Hugo Bastos de Deus Orientador: Marcos Craizer Introdução Foi realizado, por um grupo de alunos da PUC, um estudo dirigido com base no livro Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction, afim de aprender e estudar teoremas sobre curvas algébricas e suas aplicações. Explorando um tema que permite diversas vertentes e trabalhos no contexto do assunto, foi possível realizar uma boa divisão de tarefas entre os alunos. Em reuniões realizadas semanalmente (geralmente às sextas-feiras), cada aluno se responsabilizava em trazer suas análises do capítulo ou assunto do livro estudado, bem como realizar exercícios no quadro para uma boa explanação do assunto aos outros integrantes do grupo de iniciação. Dentre as diversas atividades realizadas destacou-se o estudo das singularidades de curvas algébricas, sabendo como utilizá-las nas diversas situações, e fazendo uso, quando necessário, de programas computacionais. Metodologia Com um seminário semanal onde participavam 7 alunos e o orientador, diversas atividades foram realizadas durante a Iniciação Científica, todas baseadas e dirigidas pelo texto trabalhado. Uma delas foi o estudo de movimento em curvas cinemáticas planares. O movimento, por exemplo, da curva de cartesiana: Onde X e Y são eixos ortogonais entre si, oriundos da aplicação de L e M em uma matriz de rotação, além disso temos B e C como pontos móveis distando d um do outro. Assim, o movimento que formaria a cônica (trajetória do ponto P) pode ser descrito pelo programa computacional Geogebra, como mostra a figura a seguir: Figura 1 Trajetória da cônica

2 Outra atividade desenvolvida foi o estudo aprofundado das cúbicas, tanto no corpo real quanto no corpo dos complexos, e algumas vezes até em corpo finito. Notamos que qualquer que seja o polinômio, quando no corpo complexo, o grau deste será exatamente o número de raízes que o polinômio assume, o único problema é que a verificação gráfica da cúbica por meio de programas computacionas se torna impossível, já que o corpo dos complexos é abstrato. Ainda sim, pudemos verificar algumas das cúbicas reais trabalhadas, utilizando os recursos do Maple, como mostram as figuras a seguir: Figura 2 Cúbica 1 Figura 3 Cúbica 2

3 No decorrer do trabalho científico foi utilizado tanto o plano afim quanto o projetivo. Apesar do plano projetivo ser tão abstrato que não nos permita sua visualização, nos serviu como uma ótima ferramenta para a comprovação de diversos teoremas, já que é somente nele que todas as retas se intersectam num mesmo ponto. Essa abstração se dá por conta do plano projetivo possuir pontos no infinito. Com o domínio do plano projetivo, iniciou-se um estudo em cima das singularidades das curvas algébricas, foi feito um estudo de algumas curvas algébricas conhecidas. Essa análise tornou possível a comprovação de algumas afirmações apresentadas no livro. Uma curva algébrica projetiva F com domínio em PK² de grau λ e uma reta L qualquer, também pertencente ao mesmo domínio, se intersectam em no máximo λ pontos, desde que L F. Cabe lembrar que algumas interseções não podem ser visualizadas no gráfico, é o exemplo de interseções em um ponto infinito. É importante esclarecer que a multiplicidade de um ponto P, interseção da curva F com a reta L, é λ e menor ou igual ao número de interseções de F com L. Quando desomogeneizamos uma curva F projetiva em relação à um plano qualquer, ou seja, transformamos em uma curva f afim, identificamos que suas relações de interseção ditas anteriomente se conservam, i.e. o número de interseções da curva desomogeneizada f (agora no espaço afim) com a reta L é igual ao número de interseções da curva projetiva F com a reta L, o que nos permite trabalhar tanto com a curva no espaço afim quanto no espaço projetivo, pois independentemente do espaço escolhido o número de interseções encontrado será sempre o mesmo. Quando falamos de singularidade, nos referimos à uma curva F e um ponto P, ambos PK² e P F, onde a multiplicidade do ponto P 2. Dessa forma classificamos tal curva F como uma curva singular. Para definirmos se o ponto P é singular na curva F fazemos as derivadas parciais nas respectivas coordenadas do ponto, também conhecida como matriz Jacobiana: Se essa igualdade é atendida, então o ponto P é por definição um ponto singular e se uma curva possui pelo menos um ponto singular, então essa curva é classificada como uma curva singular. Outra observação importante é que independentemente da escolha da parametrização utilizada para verificar a multiplicidade em um ponto escolhido, o valor dessa multiplicidade será o mesmo. Por vezes, foram colocadas curvas desomogeneizadas no Maple para que fosse possível classificá-las quanto à sua singularidade, verificando graficamente o número de pontos de interseção e suas respectivas multiplicidades, além da resolução minusciosa de exemplos do livro. Como dito anteriomente, algumas interseções não podem ser visualizadas, por isso é importante lembrar que em uma curva singular deve-se considerar inclusive os múltiplos pontos onde a curva cruza sobre si mesma, assim como vários tipos de cúspides.

4 Por exemplo, se trabalharmos com a curva em 8 projetivada em PR², ficariamos com Para acharmos a multiplicidade da curva no ponto Q = (0:1:0) desomogeneizamos a curva no plano y = 0, obtendo assim uma nova curva afim f, tal que Com a ajuda do programa Maple podemos visualizar as assíntotas superiores e inferiores desta nova curva como mostra na figura abaixo: Agora, com a curva afim em mãos, desomogeneizamos também a coordenada homogênea Q, ficando com q = (0,0). Em seguida, verificamos que o LOT (Low Order Term) da curva afim no ponto q é z², o que significa que esta curva possui multiplicidade 2 neste ponto. Sabendo que a multiplicidade de um ponto em uma curva afim se conserva quando a homogeneizamos, comprovamos que a curva se intercepta no ponto Q, já que a multiplidade no mesmo é 2 também. Utilizando a notação matemática, ficamos com:

5 Como foi dito anteriormente, para uma curva ser singular as derivadas parciais daquela curva em um dado ponto devem ser todas iguais a zero, sendo assim, vamos verificar se a curva em 8 é singular. Derivando a curva em x, y e z obtemos: Igualando as três derivadas a zero, verificamos que a curva possui dois pontos singulares: P = (0:0:1) e Q = (0:1:0). Notamos ainda que a curva afim para x = 0 intercepta os dois pontos duas vezes cada, pois cada um possui multiplicidade 2. Sendo assim, provamos que a curva em 8 é singular. Conclusões Tendo em vista todo o bom desempenho do grupo, bem como o esforço individual, notei que o trabalho de pesquisa realizado me abriu os horizontes para esse campo da matemática tão usado nos dias de hoje. E falando como aluno de Engenharia de Controle e Automação, sei que os conhecimentos adquiridos nesses estudos serão por diversas vezes utilizados, seja no decorrer da minha graduação ou em campo. Com a exata compreensão de singularidade de um ponto em uma curva projetiva, abrem-se portas para estudos mais aprofundados desses tipos de curva e, dessa forma, criamse maiores possibilidades de utilizacão dessa ferramenta em aplicações científicas. O estudo de curvas algébricas é muito vasto e seu avanço permite uma maior abstração em raciocínios lógicos, dentro e fora do âmbito tecnológico. Referências 1 - GIBSON, C. G. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. 1. Ed. New York: Cambridge University Press, 2001.