(RESUMO) EXEMPLOS DE EDO S IMPORTANTES NESSE CONTEXTO: Equação de Bessel de ordem p: x 2 y 00 + xy 0 + (x 2 p 2 )y = 0 ; p > 0

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1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica / Departamento de Matemática / o. Fund / 007. RESOLUÇÃO DE EDO S POR SÉRIES (RESUMO). EXEMPLOS DE EDO S IMPORTANTES NESSE CONTEXTO: Equação de Bessel de ordem p: x y 00 + xy 0 + (x p )y = 0 ; p > 0 Equação de Legendre de grau p: ( x )y 00 xy 0 + p(p + )y = 0 Equação de Hermite de ordem p: y 00 xy 0 + py = 0 Equação de Chebyshev: ( x )y 00 xy 0 + m y = 0 ; m = ; ; : : : Equação de Airy: Equação de Euler: y 00 xy = 0 x y 00 + xy 0 + y = 0 ; ; constantes reais Equação Hipergeométrica (ou de Gauss): x( x)y 00 + [ ( + + )x] y 0 + y = 0 ; ; ; constantes reais Equação de Laguerre: xy 00 + ( x)y 0 + my = 0 Equação de Jacobi: x( x)y 00 + [a ( + b)x] y 0 + m(b + m)y = 0. CLASSIFICAÇÃO DOS PONTOS DO DOMÍNIO DA EDO:

2 Lembramos dos cursos de cálculo que dizemos que uma função f é analítica em um ponto x o se existir um raio de convergência > 0 tal que vale a convergência f(x) = a n (x x o ) n = f (n) (x o ) (x x o ) n ; jx x o j < n! De nição. Um ponto x o é ponto ordinário da equação y 00 (x) + p(x)y 0 (x) + q(x)y(x) = 0 se p(.) e q(.) são funções analíticas em x o. Caso contrário, dizemos que x o é um ponto singular. Além disto, x o é chamado de ponto singular regular se x o não é um ponto ordinário e as funções dadas por (x x o )p(x) e (x x o ) q(x) são analíticas em x o. Se x o não é um ponto ordinário e pelo menos uma destas funções não for analítica em x o, diremos que ele é um ponto singular irregular. No caso da equação com coe cientes polinomiais, esta de nição pode ser reformulada de maneira mais especí ca como: De nição. Considere P (x)y 00 (x) + Q(x)y 0 (x) + R(x)y(x) = 0 onde P (:); Q(:) e R(:) são polinômios. (i) x o é um ponto singular da equação acima se P (x o ) = 0: (ii) Um ponto singular x o é dito regular se existem os limites lim (x x!x o x o ) Q(x) P (x) e lim (x x!xo x o ) R(x) P (x) (iii) Se um ponto singular não é regular, dizemos que ele é um ponto singular irregular.. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO ORDINÁRIO Se os coe cientes são analíticos, procurar solução analítica em torno de um ponto ordinário x o, ou seja: Supor solução formalmente representada por uma série de potências y(x) = a n (x x o ) n e tentar identi car os coe cientes a n s e validar o resultado. Exemplo CB Resolver a equação de Airy y 00 xy = 0 ; x R fazendo expansão em série de potências na vizinhança de x o = :

3 3 Temos: y(x) = y 0 (x) = y 00 (x) = a n (x ) n na n (x ) n = n= (n + )a n+ (x ) n n(n )a n (x ) n = n= (n + )(n + )a n+ (x ) n Substituindo na equação, (n + )(n + )a n+ (x ) n x a n (x ) n = 0 Fazendo x = + (x ), que é a série de Taylor de f(x) = x em torno de x o =, (n + )(n + )a n+ (x ) n [ + (x )] a n (x ) n = 0 X (n + )(n + )a n+ (x ) n a n (x ) n + X (n + )(n + )a n+ (x ) n a n (x ) n +! a n (x ) n+ n=! a n (x ) n = 0 = 0 Igualando os coe cientes de mesma potência de (x ), obtemos a = a o (3 )a 3 = a + a o (4 3)a 4 = a + a (5 4)a 5 = a 3 + a o que fornece a seguinte fórmula de recorrência (equação indicial): (n + )(n + )a n+ = a n + a n ; n Resolvendo para os primeiros a n em termos de a o e a, resulta onde y (x) = + (x ) y (x) = (x ) + y(x) = a o y (x) + a y (x) + (x )3 6 (x ) (x )4 4 (x )4 + + (x )5 30 (x ) Único senão: estamos em di culdade para estabelecer através do critério da razão, por exemplo a convergência das séries, pois não temos uma fórmula geral para os a n s. Isto, porém, ca resolvido por causa do chamado teorema de Fuchs.

4 4. CB Teorema (Teorema de existência, de Fuchs) Se p(.) e q(.) são funções analíticas em x o, então a solução geral de é dada por y = y 00 (x) + p(x)y 0 (x) + q(x)y(x) = 0 a n (x x o ) n = a o y (x) + a y (x) ; onde a o e a são constantes arbitrárias e y = y (x) e y = y (x) são duas soluções em séries linearmente independentes que são analíticas em x o : Além disto, o raio de convergência para cada uma das soluções em séries y e y é no mínimo igual ao menor dos raios de convergência das séries de p(.) e q(.). Prova. (v. ref.). Exercício Analisar, sob o ponto de vista do teorema., a equação y 00 + (sen x)y 0 + ( + x )y = 0 Este teorema nos motiva a proceder à seguinte generalização da de nição de pontos ordinários e singulares: Exercício Analisar a equação x y 00 y = 0. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO SINGULAR REGULAR: Conforme desenvolvida no curso MAT-3, a resolução de equação de Cauchy-Euler pode ser assim resumida: Para a resolução equação de Cauchy-Euler x y 00 + xy 0 + xy = 0 em qualquer intervalo que não contenha a origem, procuramos solução na forma y = x r, para r conveniente. A nal, não seria este o tipo de função que se poderia esperar de maneira que a soma dela e suas derivadas, multiplicadas por polinômios, desse zero? Seguindo este procedimento, pudemos obter que a solução geral da EDO é determinada pelas raízes r e r da equação algébrica r(r ) + r + = 0 Se as raízes são reais e distintas, então a solução geral é dada por y = c jxj r + c jxj r

5 5 Se as raízes são reais iguais, então y = (c + c ln jxj) jxj r Se as raízes são complexas, r ; r = i, então y = jxj [c cos( ln jxj) + c sen ( ln jxj)] Aqui, nada mais vamos fazer do que uma generalização deste procedimento. Assim, vamos supor que x o é um ponto de singularidade regular de que pode ser escrita na forma normal fazendo P (x)y 00 + Q(x)y 0 + R(x)y = 0 y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 () p(x) = Q(x) P (x) e q(x) = R(x) P (x) Como x o é ponto singular regular da equação, temos que pelo menos uma das funções p(:) e/ou q(:) não é analítica em x o, mas as funções dadas por (x x o )p(x) = (x x o ) Q(x) P (x) e (x x o ) q(x) = (x x o ) R(x) P (x) são analíticas em x o : Sem perda de generalidade, vamos supor que x o = 0 (a nal, se este não for o caso, basta fazer uma mudança de variáveis conveniente para termos a singularidade na origem). Assim, temos que xp(x) e x q(x) são representadas por suas séries de Taylor xp(x) = P p nx n x q(x) = P q nx n () Note que se multiplicarmos () por x, camos com x y 00 + x(xp(x))y 0 + x q(x)y = 0 (3) que, no caso particular de p o ; q o 6= 0 e p n = q n = 0 ; 8 n ; recai na equação de Cauchy-Euler x y 00 + xp o y 0 + q o y = 0 Esta particularização traz alguma luz sobre por que fazemos menção aos termos xp(x) e x q(x) na classi cação de um ponto singular regular. Vamos, agora, desenvolver um algoritmo para resolver (3) numa vizinhança do ponto singular regular x o = 0, conhecido como método de Frobenius. O método consiste em procurar solução na forma y = x r X a n x n = a n x r+n ; a o 6= 0 (4) Substituindo (4) e suas derivadas em (3), vem P (r + n)(r + n )a nx r+n ( P p nx n ) ( P + ( P q nx n ) ( P (r + n)a nx r+n ) + a nx r+n ) = 0

6 6 Multiplicando as séries e separando os termos, obtemos ( ) nx a o F (r)x r + F (r + n)a n + a k [(r + k)p n k + q n k ] x r+n = 0 (5) onde n= F (r) = r(r k=0 ) + p o r + q o Como a o 6= 0, igualando a zero o coe ciente de x r fornece a equação r(r ) + p o r + q o = 0 (6) a qual chamaremos de equação indicial. (Note que ela é exatamente a mesma equação em r obtida no estudo da equação de Cauchy-Euler). As raízes de (6) são chamadas de expoentes da equação na singularidade. Elas fornecem uma condição necessária para a EDO possuir solução na forma (4), no sentido de que somente para estas raízes podemos esperar encontrar soluções do tipo (4).. Se a equação indicial possui raízes reais r e r, r r, procedemos como segue. Igualando a zero os coe cientes de x r+n em (5) resulta na relação de recorrência Xn F (r + n)a n + a k [(r + k)p n k + q n k ] = 0 ; n (7) k=0 que fornece, em princípio, os valores de a n em função do valor de r e de todos os coe cientes precedentes a o ; a ; : : : ; a n ; : : :, desde que F (r + n) 6= 0 ; 8 n. Como as únicas possibilidades do trinômio do o. grau se anular é F (r ) = F (r ) = 0 e como r r, então r + n nunca é igual a r ou r, para n. Portanto, F (r + n) 6= 0 ; 8 n, e, consequentemente, sempre podemos determinar uma solução de () na forma " # y = y (x) = x r + a n (r )x n ; x > 0 n= Usamos a notação a n (r ) para indicar que os coe cientes a n s são obtidos de (7) com r = r. Também, usamos em vez de a o na expressão acima porque todos os a n s terão a o como fator em sua determinação, de forma que podemos colocá-lo em evidência e deixá-lo para a especi cação da constante arbitrária na solução geral. Se r 6= r e r r não é um inteiro positivo, então r + n 6= r ; 8 n ; e portanto F (r + n) 6= 0 ; 8 n ; de forma que podemos também obter uma segunada solução " # y = y (x) = x r + a n (r )x n ; x > 0 n= Pode-se mostrar que as duas séries de potências que aparecem nas expressões de y (:) e y (:) convergem, no mínimo no intervalo jxj < de convergência onde ambas as séries de xp(x) e x q(x) convergem, e de nem funções analíticas em x o = 0. Desta forma, qualquer eventual comportamento singular das soluções estará ligado aos fatores x r e x r.

7 7 Para obter soluções reais para x < 0, basta fazer a substituição x =, com > 0; obtendo os mesmos coe cientes a n (r ) e a n (r ).. Se a equação indicial possui raízes complexas (conjugadas), então r r nunca é um inteiro positivo. Neste caso, sempre poderemos achar duas soluções do tipo (4), embora sejam funções complexas. Para obter soluções reais, basta tomar as partes real e imaginária das soluções complexas. (Um melhor desenvolvimento destas considerações cam como sugestão para parte de um trabalhinho). 3. Se r = r = r R, então um procedimento análogo ao que foi feito no estudo da equação de Cauchy-Euler fornece a segunda solução como sendo y (x) = y (x) ln jxj + jxj r X n= b n (r)x n Os coe cientes b n s são calculados substituindo-se a expressão acima na EDO, separando os termos e igualando â zero os coe cientes de cada potência de x. (Também vale como sugestão para parte de um trabalhinho desenvolver estas considerações). 4. Se r r = N, um inteiro positivo, o caso é estudado em livros avançados e não veremos aqui. Mas podemos adiantar que a segunda solução vai ser da forma " # y (x) = ay (x) ln jxj + jxj r + c n (r )x n EXERCÍCIOS n=. Resolver a seguinte equação na vizinhança de x o = 0: x y 00 xy 0 + ( + x)y = 0 (Soluções linearmente independentes: " # ( ) n x n y (x) = x + [3 5 7 : : : (n + )] n! y (x) = x = " + n= n= # ( ) n x n [ 3 5 : : : (n )] n! ; x > 0 ; x > 0 ). Discuta a natureza das soluções da equação perto dos pontos singulares. x( + x)y 00 + (3 + x)y 0 xy = 0. EQUAÇÃO DE BESSEL:

8 8 Friedrich Wilhelm Bessel (alemão, ), matemático e astrônomo, introduziu em 84 as agora chamadas funções de Bessel em seu trabalho sobre as perturbações observadas nos sistemas planetários. Estas funções, porém, aparecem numa ampla variedade de problemas físicos, tais como: separação da equação de Helmholtz ou da onda em coordenadas cilíndricas circulares; equação de Helmholtz em coordenadas polares. Embora o estudo das funções de Bessel pode ser introduzido de maneira bastante instrutiva através do conceito de funções geradoras, vamos aqui priviligiar seu estudo como soluções da equação diferencial x y 00 + xy 0 + (x p )y = 0 ; p 0 (8) chamada de equação de Bessel de ordem p, onde p é um número real nãonegativo. Por simplicidade, vamos considerar apenas o intervalo x > 0. Note que xp(x) = e x q(x) = p + x de forma que x o = 0 é um ponto singular regular da equação de Bessel. Desta foma, o método de Frobenius visto no capítulo III, que consiste em procurar soluções da forma X y = x r a n x n = a n x r+n ; a o 6= 0 ; fornece a equação indicial r(r ) + p o r + q o = 0 r(r ) + r p = 0 com os expoentes (raízes características) reais r p = 0 r = p 0 e r = p 0 Primeira solução da equação de Bessel. espécie. Função de Bessel de primeira Substituindo r = p na fórmula de recorrência Xn F (r + n)a n + a k [(r + k)p n k + q n k ] = 0 ; n k=0 obtemos, para n = ; ((p + ) p )a + a o [(p + )p + q ] = 0 (p + )a + a o [(p + ) 0 + 0] = 0 a (r ) = 0

9 9 Para n = ; Para n = 3; (p + ) p a + a o [(p + 0)p + q ] + a [(p + )p + q ] = 0 4(p + )a + a o [p 0 + ] + a [(p + ) 0 + 0] = 0 a (r ) = (p + ) a o (p + 3) p a 3 + a o [(p + 0)p 3 + q 3 ] + +a [(p + )p + q ] + a [(p + )p + q ] = 0 3(p + 3)a 3 + a o 0 + a [0 + ] + a 0 = 0 a 3 (r ) = 3(p + 3) a = 0 Assim, sucessivamente, podemos chegar a a = a 3 = = a n+ = = 0 e, para os termos pares a n (r ) = n(p + n) a n ; n o que fornece a n (r ) = ( ) n a o n :n!(p + )(p + ) (p + n) ; n = ; ; : : : Assim, a primeira solução da equação de Bessel ca sendo y (x) = a o x p x (p + ) + x 4 4!(p + )(p + ) x 6 6 3!(p + )(p + )(p + 3) + o que pode ser reescrito numa forma compacta como # y (x) = a o x " p ( ) n x n + n! n (p + )(p + ) (p + n) n= (9) Vamos escolher a o como sendo a o = p (p + ) (0) onde (:) denota a função gama de nida por e (p) = (p) = Z (p + n) p(p + )(p + ) (p + n ) 0 x p e x dx ; p > 0 ; n < p < 0 ; p 6= ; ; : : : ; n + Lembrar do curso de integrais impróprias que a função gama aparece ocasionalmente em problemas físicos tais como a normalização das funções de onda de Coulomb e o cômputo de probabilidades em mecânica estatística, embora sua importância, na verdade, é derivada de sua utilidade no desenvolvimento de outras funções que

10 0 apresentam aplicações físicas diretas, como a de Bessel. Além desta de nição em termos de integral imprópria, devida a Euler, temos no mínimo outras duas de nições equivalentes da função gama, uma através de um limite in nito (também devida a Euler) e outra através de um produto in nito (devida a Weierstrass) (ver, por exemplo, Arfken[4]). Muito da importância da função gama provem da seguinte fórmula facilmente demonstrável usando-se integração por partes, (p) = (p ) (p ) Daí resulta que, quando p = n é um inteiro não-negativo, (n + ) = n! ; de maneira que a função gama generaliza o fatorial de números inteiros positivos para valores reais. A gura seguinte mostra o grá co da função gama. Figura. Grá co da função gama. Pode-se provar que, para qualquer N inteiro positivo, lim p! N (p) = 0 Assim, a função dada por f(p) = = (p) ; se p 6= N 0 ; se p = N é de nida e contínua, de forma que podemos adotar a seguinte fórmula: ( p) = 0 ; p = 0; ; ; : : : () Voltemos à expressão da solução da equação de Bessel para a raiz característica r = p. Substituindo (0) em (9), temos nalmente y (x) = J p (x) = ( ) n x n+p () n! (n + p + ) que é chamada de função de Bessel de primeira espécie de ordem p, denotada J p (:): Aplicando o teste da razão, é fácil ver que esta série converge absolutamente

11 em toda a reta. Em particular, quando p é um inteiro positivo, a série representa uma função analítica na origem. As funções de Bessel mais importantes são os casos particulares p = 0 e p =, que fornecem: x J 0 (x) = + x4 x 6 4 (!) 6 (3!) + J (x) = x 3 :! + x5 5 :!:3! Notem a semelhança com as expansões em séries de Taylor de cos x e sen x : x 3 cos x = x + x4 4! x 6 6! + x 3 sen x = x 3! + x5 5! Assim, é de se esperar que estas funções de Bessel de a espécie compartilhem algumas das propriedades destas funções trigonométricas. De fato, pode-se mostrar (ou, no mínimo, observar plotando-se os grá cos) as seguintes propriedades das funções de Bessel de a espécie de ordem p:. As funções J p (:) possuem uma in nidade de zeros. Além disso, cada zero de J p (:) situa-se entre dois zeros consecutivos de J p+ (:):. J 0 (x) = e J p (x) = 0 ; 8 p > 0, de forma que toda J p (:) é nita na origem para p Embora as funções J p (:) não sejam periódicas, elas no entanto apresentam comportamento oscilatório amortecido. Figura.Grá co das funções J p (:) para p = 0 ; p = e p =. EXERCÍCIOS:. (Sugestão para trabalhinho) Prove que se y (x) e y (x) são duas soluções linearmente independentes de y 00 + P (x)y 0 + Q(x)y = 0

12 então os zeros destas funções são distintos e ocorrem alternativamente, no sentido de y (x) se anula exatamente uma vez entre dois zeros consecutivos de y (x) e reciprocamente. (Sug.: Discuta o wronskiano W (y ; y ) = y (x)y 0 (x) y (x)y 0 (x)).. (Sugestão para trabalhinho) Mostre que qualquer equação da forma padrão pode ser escrita na forma normal (Sug.: Fazer a mudança y(x) padrão para obter y 00 + P (x)y 0 + Q(x)y = 0 u 00 + q(x)u = 0 u(x)v(x) e substituir na equação na forma vu 00 + (v 0 + P v)u 0 + (v 00 + P v 0 + Qv)u = 0 e igualar o coe ciente de u 0 para obter v = e R P dx ). 3. (Sugestão para trabalhinho) Prove que se q(x)<0 e u(x) é uma solução nãotrivial de u +q(x)u=0, então u(x) tem no máximo um zero. 4. (Sugestão para trabalhinho) Prove o seguinte resultado: Seja u(x) uma solução não-trivial de u +q(x)u=0, com q(x)>0 para todo x>0. Se Z q(x)dx = então u(x) tem um número in nito de zeros no eixo x>0. 5. (Sugestão para trabalhinho) Mostre que toda solução não-trivial da equação de Bessel de ordem p tem um número in nito de zeros positivos. 6. (Sugestão para trabalhinho) Seja y(x) uam solução não-trivial de u +q(x)u=0 num intervalo fechado [a,b]. Mostre que y(x) tem no máximo um número nito de zeros neste intervalo. 7. (Sugestão para trabalhinho) Sejam y(x) e z(x) soluções não-triviais de e y 00 + q(x)y = 0 z 00 + r(x)z = 0 onde q(x) e r(x) são funções positivas tais que q(x)>r(x). Mostre que y(x) se anula no mínimo uma vez entre quaisquer dois zeros sucessivos de z(x). 8. (Sugestão para trabalhinho) Seja y p (x) uma solução não-trivial da equação de Bessel de ordem p em x>0. Mostre que (i) Se 0 p =, então todo intervalo de comprimento contém no mínimo um zero de y p (x): (ii) Se p = =, então a distância entre zeros sucessivos de y p (x) é exatamente : (iii) Se p > =, então todo intervalo de comprimento contém no máximo um zero de y p (x).

13 3 9. (Sugestão para trabalhinho) Sejam x e x dois zeros consecutivos de uma solução não-trivial y p (x) da equação de Bessel de ordem p. Mostre que (i) Se 0 p < =, então x x é menor do que e tende a quando x!. (ii) Se p > =, então x x é maior do que e tende a quando x!. Segunda solução linearmente independente da equação de Bessel. Funções de Bessel de segunda espécie. Nossa preocupação agora é encontrar uma outra solução y = y (x) da equação de Bessel de ordem p, que vamos chamar de função de Bessel de segunda espécie de ordem p, tal que o conjunto de soluções fj p (:); y (:)g seja linearmente independente, de forma que a solução geral da equação de Bessel seja dada por y = c J p (x) + c y (x) ; c ; c constantes arbitrárias A candidata natural é tomar y (x) = J p (x) = ( ) n x n p ; n! (n p + ) uma vez que a outra raiz característica da equação indicial é r = p. Em alguns casos, este procedimento irá mesmo resultar na segunda solução linearmente independente, como é o caso da equação de ordem = proposta no exercício seguinte. Exercício Estude a equação de Bessel de ordem /. Em particular, mostre que sua solução geral é dada por y = c J = (x) + c J = (x) ; x > 0 com = J = (x) = sen x ; x > 0 x = J = (x) = cos x ; x > 0 x Porém, nem tudo é assim tão simples. Por exemplo, note que no caso de uma equação de Bessel de ordem N, com N sendo um inteiro positivo, temos que y (x) = J N (x) é solução, mas fj N (:); J N (:)g é linearmente dependente. De fato, de () vem que Daí, segue que J N (x) = n=n (n N + ) = 0 para n = 0; ; : : : ; N ( ) n x n N = ( ) N n! (n N + ) k=0 ( ) k x k+n k! (k N + )

14 4 onde zemos a mudança k = n N para obter a segunda igualdade. Conclusão: J N (x) = ( ) N J N (x) ou seja, J N (:) e J N (:) são soluções linearmente dependentes da equação de Bessel, de forma que ainda estamos em falta de uma segunda solução linearmente independente para gerar o espaço de soluções. No que segue, veremos que J p (:) poderá ser a procurada segunda solução linearmente independente nos casos em que r r = p for diferente de zero ou de qualquer inteiro positivo e quando p for um inteiro ímpar, mas que teremos que procurar outra função para o papel de segunda solução l.i. no caso em que p for igual a zero ou um inteiro positivo. Analisemos, então, cada caso em detalhe. I. Caso r r = p = f0; ; ; 3; : : :g: A fórmula de recorrência Xn F (r + n)a n + a k [(r + k)p n k + q n k ] = 0 ; n k=0 fornece: para n = : ( p)a + 0 = 0 ; de onde a = 0 para n = : ( p + ) p a + a o [( p + 0):0 + ] + 0 = 0 ; de onde a = a o ( p) e, de maneira geral, temos a fórmula de recorrência a = 0 e a n = a n n(n p) ; n = ; 3; : : : Note que para todos os índices ímpares temos a = a 3 = a 5 = = 0: Assim, construimos a série J p (x) = ( ) n x n n! (n p + ) p que é absolutamente convergente em toda a reta e também é solução da equação de Bessel de ordem p. Por outro lado, note que J p (x) possui termos na forma x p, de maneira que jj p (x)j! quando x! 0 +. Disto decorre que fj p (:); J p (:)g é linearmente independente, pois se ; R são tais que J p (:) + J p (:) = 0 ; então J p (x) + J p (x) = 0 ; 8 x > 0 ; e lim x!0 + jj p (x) + J p (x)j = 0 se e somente se = = 0: Assim, a solução geral da equação de Bessel de ordem p no caso em que p 6= 0; ; ; : : : é dada por y = c J p (x) + c J p (x)

15 5 com c ; c constantes arbitrárias. II. Caso r r = p = N + ; N = 0; ; ; : : : : Temos, para n = : " N + # N + + a + 0 = 0 o que resulta Para n = : Na = 0 " # N + N + + a + a o + a :0 = 0 resultando De maneira geral, camos com a = a o ( N) Na = 0 e a n = a n n(n N) ; n = ; 3; : : : ; n 6= N + (3) Assim, se N = 0, ou seja, p =, temos que a é arbitrário e podemos, então, tomar a = 0. Isto acarretará a = a 3 = a 5 = = 0: Se N =, temos que a = 0 necessariamente, e n(n )a n = a n n(n 3)a n = a n ; n = ; 3; : : : ( )a = a o ; portanto, a = a o = 3 0 a 3 = 0 ; de forma que a 3 é arbitrário. Tomemos a 3 = 0. Com isto, todos os coe cientes com índices ímpares são nulos e obtemos novamente J p (:) como segunda solução l.i. Se N =, teremos que a = a 3 = 0 necessariamente, e a 5 é arbitrário. Tomando a 5 = 0, todos os coe cientes com índices ímpares são nulos. Assim, sucessivamente temos a solução geral y = c J p (x) + c J p (x) da equação de Bessel de ordem p, para qualquer p = N+ ; N = 0; ; ; 3; : : : III. Caso r r = N ; ou seja, p = N ; N = 0; ; ; : : : : Aqui temos um problema porque, como já vimos, fj N (:); J N (:)g forma um conjunto linearmente dependente. Há no mínimo três maneiras de contornar este impasse. Vamos ver uma delas.para isto, repare que a função dada por Y p (x) := J p(x) cos p sen p J p (x) ;

16 6 conhecida como função de Weber, também é uma solução da equação de Bessel de ordem p quando p não é um número inteiro, pois neste caso ela está bem de nida e é uma combinação linear de soluções de uma equação linear. É fácil ver que fj p (:); Y p (:)g é linearmente independente, de forma que a solução geral da equação de Bessel nesta caso também pode ser dada por y = c J p (x) + c Y p (x) Quando p = N ; N = 0; ; ; : : :, de nimos Y N (x) := lim Y p (x) p!n ; p=z Pode-se mostrar que este limite existe e de ne uma solução da equação de Bessel de ordem N, linearmente independente a J N (:), de forma que a solução geral é dada por y = c J N (x) + c Y N (x) Esta demonstração é bastante trabalhosa. Para se ter uma idéia do procedimento, repare que no caso N = 0, usando a regra de L Hospital, temos J p (x) cos p Y N (x) = lim p!n sen p o que fornece J p (x) = lim j p p=n cos p J p (x) sen p cos p Y N (x) = A derivação de J p e J p com respeito a p implica na derivação com respeito ao parâmetro p da integral imprópria que de ne a função gama. Assim, de nimos a função digama (x) como sendo de onde vem que (p) := d dp ln (p + ) = 0 (p + ) (p + ) (p) = 0 (p) (p) + p Assim, de maneira geral, efetuando as derivações com respeito ao parâmetro p da fórmula de Y N (x) e uma série de algebrismos, chegamos a ( Y N (x) = x N X (N n )! x n N J N (x) + ln n! onde ( ) n [(n) + (n + N)] n!(n + N)! = lim + n! + + n é a constante de Euler-Mascheroni e x n+n ) ln n = 0:57756 : : : (n) = (n) + = n

17 7 A gura seguinte mostra os grá cos de Y o (:) e Y (:). Note que ambas tendem a quando x! 0 +. Propriedades das funções de Bessel Nesta seção, estaremos desenvolvendo algumas propriedades das funções de Bessel que são úteis em suas aplicações. Vamos começar com algumas identidades. Derivando em relação a x a identidade vem x p J p (x) = d dx [xp J p (x)] = = = ( ) n n+p n! (n + p + ) xn+p ( ) n (n + p) n+p n! (n + p + ) xn+p = ( ) n n+p n! : (n + p) (n + p + ) xn+p = = x p X Assim, temos nossa primeira identidade: De modo análogo, obtemos ( ) n n+p n! (n + p) xn+p = Expandindo as derivadas em (4) e (5), vem ( ) n x n+p = x p J p (x) n! (n + p) d dx [xp J p (x)] = x p J p (x) (4) d x p J p (x) = x p J p+ (x) (5) dx e J 0 p(x) = J p (x) p x J p(x) (6) J 0 p(x) = p x J p(x) J p+ (x) (7)

18 8 Subtraindo (6) - (7) resulta na seguinte fórmula de recorrência J p+ (x) = p x J p(x) J p (x) (8) Como ilustração, note que p = 0 em (4) fornece Jo(x) 0 = J (x) o que pode ser expresso como Z J (x)dx = J o (x) + c Analogamente, para p = e p =, temos Z xj o (x)dx = xj (x) + c Z x J (x)dx = x J (x) + c Também, da fórmula de recorrênccia (8), podemos, por exemplo, expressar J 3 (x) em função de J o (x) e J (x) : resultando em J 3 (x) = 4 x J (x) J (x) = 4 x x J (x) J o (x) J 3 (x) = 4 x J o(x) J (x) 8 J x (x) Exercício. Obtenha R xj (x)dx Solução: De (5), temos que R x J (x)dx = x J (x) + c: Assim, podemos usar integração por partes: Z Z xj (x)dx = x x J (x) dx = Z = xj (x) + J (x)dx Z xj (x)dx = xj (x) J o (x) + c Exercício Obtenha Z J (x) dx x Solução: Não temos diretamente nenhuma informação sobre R x J (x)dx, mas de (4) temos que d x J (x) = x J (x) dx

19 9 Assim, podemos explorar esta identidade fazendo Z Z J (x) x dx = J x (x) x dx 4 e resolver por integração por partes para obter Z J (x) dx = x 3x J (x) 3 J (x) + Z 3 J o (x)dx Exercício Prove que entre cada par de zeros positivos consecutivos de J p (x) existe uma raiz de J p (x) e uma de J p+ (x). (Sug.: Aplicar o teorema de Rolle a f(x) = x p J p (x)). Função geradora das funções de Bessel Temos que as seguintes expansões em séries de t (de Taylor e Laurent, respectivamente) convergem absolutamente: exp exp x: t = x : = t j=0 k=0 Daí, multiplicando formalmente as duas séries,! x exp t = t j! :xj j tj j=0 j! :xj j tj ( ) k : xk k! t k k! ( ) k : xk k! t k k o resultado é uma chamada série dupla, cujos termos são todos os produtos possíveis de um termo da primeira série por um termo da segunda série. A convergência absoluta de cada uma das séries garante que esta série dupla converge independentemente da ordem de seus termos. Pode-se provar que este produto fornece onde Daí, temos nalmente x exp t x exp t ' n (x) = n(x) = k=0 = t k=0 ' n (x) t n + n= n(x) t n :xn+k )k :( : xk (n + k)! n+k k! = J n(x) k j! :xj j=0 = J o (x) + t :xn+j (n + j)! = ( n+j )n J n (x) j :( )n+j J n (x) t n + ( ) n t n = n= n= ; J n (x) t n (9)

20 0 A partir daí, podemos deduzir a fórmula integral de Bessel. Para isto, fazendo a mudança t = e i, o argumento de exp(.) em (9) ca sendo de maneira que (9) passa a ser x ei e i = ix sen cos (x sen ) + i sen (x sen ) = n= J n (x) e in = Igualando as partes reais e imaginárias, camos com cos (x sen ) = sen (x sen ) = n= n= n= J n (x) cos n = J o (x) + J n (x) sen n = J n (x) ((cos n) + isen n) J n (x) cos n (0) n= J n (x) sen (n ) () Multiplicando (0) por cos m e () por sen m e somando o resultado membro a membro, vem cos (m x sen ) = J n (x) cos (m n) n= o que, integrando na variável de 0 a, resulta na seguinte importante representação integral da função de Bessel J n (x) = Z 0 n= cos (n x sen ) d () Foi na forma destas integrais que, em seus trabalhos de astronomia, Bessel encontrou as funções J n (x) e a partir delas que ele estabeleceu muitas das suas propriedades. CAPÍTULO VI EQUAÇÃO DE LEGENDRE Equação de Legendre de ordem p 0: ( x )y 00 xy 0 + p(p + )y = 0 Aparece na resolução da EDP do potencial (i.e., equação de Laplace) com simetria esférica, tais como temperaturas em estado permanente (steady-state) numa esfera

21 e o potencial eletrostático devido a duas cargas pontuais de mesma magnitude mas sinais opostos. Em geral, aparecem dissimuladas por meio de variáveis não retangulares. Exercício 6. Mostre que a mudança de variáveis x = cos ; jxj < ; transforma a equação d sen dy + n(n + )y = 0 sen d d na equação de Legendre de ordem n. 6. Resolução em séries da equação de Legendre Como x o = 0 é ponto ordinário da equação de Legendre, é natural procurarmos uma solução na forma y = a n x n Fazendo as substituições e os agrupamentos cabíveis, chegamos a a n+ = (p n)(p + n + ) a n ; n = 0; ; ; : : : (n + )(n + ) que resultam em duas soluções linearmente independentes (o wronskiano W (u p ; v p ) é igual a quando x = 0), que convergem em jxj < : u p (x) = p(p + ) x +! (p )p(p + )(p + 3) x 4 4! (p )(p + ) v p (x) = x x 3 (p 3)(p )(p + )(p + 4) + x 5 3! 5! Desta forma, de acordo com a teoria desenvolvida para expansão em séries na vizinhança de pontos ordinários, a solução geral da equação de Legendre de ordem p é y(x) = a o u p (x) + a v p (x) Note que, quando p = n, um número inteiro não-negativo, uma e só uma das séries se reduz a um polinômio. Daí, temos a seguinte de nição: De nição 6. Os polinômios de Legendre,denotados P n (x), são de nidos como sendo P n (x) = u n(x) ; se n é par u n () P n (x) = v n(x) v n () ; se n é ímpar A escolha destes denominadores é para que os polinômios de Legendre apresentem valor unitário quando x =. Os P n (x) são polinômios de grua n que contêm apenas

22 potências ímpares ou pares de x, dependendo de n se par ou ímpar. Também, é bom reparar que cada P n (x), com n 0, é uma solução da equação de Legendre de ordem n, de forma que a solução geral é y = a o P n (x) + a Q n (x) Assim, podemos também chamar cada polinômio de Legendre de função de Legendre de primeira espécie. Com respeito à solução l.i. correspondente, Q n (x), que podemos chamar de função de Legendre de segunda espécie, de nimos como sendo Q n (x) = vn ()u n (x) ; se né ímpar u n ()v n (x) ; se né par ; jxj < A razão dos fatores v n () e u n () é para que tanto y = P n (x) quanto y = Q n (x) satisfaçam as relações de recorrências (n + )y n+ = (n + )xy n ny n y 0 n+ y 0 n = (n + )y n válidas para n = ; ; : : :, e que serão provadas na seção 6.3. Note que as funções de Legendre de segunda espécie são séries convergentes em jxj <. 6. Fórmula de Rodrigues Existe ma maneira alternativa e mais prática de encontrar os polinômios de Legendre. Para isto, observe que o polinômio v n de nido por satisfaz v n (x) := dn dx n (x ( x ) d v n x dv n dx dx + n(n + )v n = 0 que é a equação de Legendre de ordem n: Consequentemente, devemos ter que v n (x) e P n (x) devem ser linearmente dependentes, ou seja, ) n Daí, segue que P n (x) = C dn dx n (x ) n = C dn dx n [(x + )n (x ) n ] P n (x) = C(x + ) n dn dx n (x )n + termos com o fator (x ) Como P n () = e levando-se em conta que d n dx n (x )n = n! ; temos facilmente que = C: n :n!. Desta forma, temos que o polinômio de Legendre de grau n satisfaz P n (x) = d n n n! dx n (x ) n

23 3 que é chamada de Fórmula de Rodrigues em homenagem ao matemático Alexandre Rodrigues da ELE 04. Exercício 6. Use a fórmula de Rodrigues para mostrar que (i) P (x) = (3x ) (ii) x = 3 P (x) + 3 P o(x) Z (iii) x m P n (x)dx = 0 ; se m < n 6.3 Função geradora Propriedades importantes dos polinômios de Legendre podem ser estabelecidas usando a noção de função geradora. Para isto, considere uma carga elétrica q localizada no eixo z no ponto z = a: O potencial eletrostático desta carga num ponto P é ' = 4" o : q r onde r é a distância de z = a até P. Usando a lei dos cossenos, podemos expressar o potencial eletrostático em termos das coordenadas polares esféricas r e (a outra coordenada pode ser deixada de lado por causa da simetria em torno do eixo z) como sendo ' = q : p 4" o r + a ar cos = q 4" o r : q + a a r r cos com r > a ou, mais precisamente, r > ja ar cos j. Esta ligeira digressão serve para motivar considerarmos a função de x e y dada por F (x; z) = p xz + z = p (xz z ) ; com jxz z j < e sua expansão em série de série de Taylor na variável z, na vizinhança de z = 0: F (x; z) = A n (x)z n (3) Vamos mostrar que A n (x) = P n (x). Para isto, a rmamos que:. A n (x) é um polinômio de grau n: Isto segue do teorema binomial generalizado (cf. MAT-6), ( + v) p = + pv + p(p ) v +! (p )(p ) v 3 + ; jvj < 3!

24 4 com v = z(x z) p =. A n () =, para cada n. De fato, F (; z) = z = + z + z + + z n + ; jzj < 3. A n (x) satisfaz a equação de Legendre de ordem n. Para mostrar isto, as fornecem ( xz + @z = (x z)f (x; z) (4) = Substituindo (3) em (4) e igualando os coe cientes de mesma potência de z, resulta (5) A (x) = xa o (x) (6) na n (x) (n )xa n (x) + (n )A n (x) = 0 ; n = ; 3; : : : (7) Analogamente, substituindo (3) em (5) e igualando os coe cientes de mesma potência de z, resulta ou, trocando n por n, xa 0 o(x) = 0 (8) A 0 n (x) = xa 0 n(x) na n (x) ; n = ; ; : : : (9) A 0 n (x) = xa 0 n (x) (n )A n (x) ; n = ; 3; : : : (30) A 0 n (x) = x(xa 0 n(x) na n (x)) (n )A n (x) ; n = ; 3; : : : A 0 n (x) = x A 0 n(x) nxa n (x) (n )A n (x) ; n = ; 3; : : : (3) Por outro lado, derivando (7) em relação a x, temos na 0 n(x) (n )xa 0 n (x) + (n )A 0 n (x) = 0 ; n = ; 3; : : : (3) Finalmente, substituindo as expressões de A 0 n (x) de (9) e A 0 n (x) de (3) em (3) e fazendo as devidas simpli cações, segue que A 0 n(x) = x A 0 n(x) nxa n (x) + na n (x) ; n = ; 3; : : : Derivando novamente esta expressão em relação a x e substituindo A 0 n (x) de (9), chegamos nalmente que ( x )A 00 n xa 0 n + n(n + )A n = 0 ; n = ; 3; : : :

25 5 de forma que A n é uma solução polinomial da equação de Legendre para n = ; 3; : : : Por outro lado, (8) fornece que A o (x) = constante e, como A n () =, vem que e, usando (6), A o (x) = A (x) = x o que prova que A n satisfaz a equação de Legendre de ordem n. Desta forma, de acordo com o que foi mostrado nos ítens acima, segue que A n P n e, portanto, temos a seguinte relação geradora dos polinômios de Legendre: p = X P n (x)z n (33) xz + z que é válida para jxj e jzj <. Em particular, todas as fórmulas de recorrências obtidas acima para A n também se aplicam para P n. Por exemplo, temos a seguinte fórmula de recorrência P n+ (x) = n + n + xp n(x) n n + P n (x) ; n = :: : : : (34) que permite determinar todos os P n a partir do conhecimento de P o e P. Exercício 6. Determine P (x) e P 3 (x). 6.4 Ortogonalidade dos polinômios de Legendre Basicamente, nesta seção estaremos preocupados em calcular a integral R P m(x)p n (x)dx. De maneira geral, se f C n [ ; ], temos que I = Z f(x)p n (x)dx = Z d n f(x) n n! dx n (x ) n dx e, fazendo integrações por parte sucessivamente, chegamos a I = ( )n n n! Z f (n) (x)(x ) n dx No caso em que f(x) = P m (x), com m < n, temos que f (n) (x) = 0. Assim, sem perda de generalidade, segue que Z Consideremos agora o caso m = n: P m (x)p n (x)dx = 0 ; se m 6= n I n = Z P n (x) dx

26 6 Como temos que Mas, como I n = P n (x) = n xp n n Z = n n (x) n P n (x) xp n n Z (x) xp n (x)p n (x)dx + 0 n n P n (x) n n P n (x) dx xp n (x) = n + [np n (x) + (n + )P n+ (x)] ; n podemos facilmente mostrar por indução a seguinte recorrência: ou ainda e I n = n n + I n ; n I n = n n + :n 3 n :n 5 n 3 I n 3 I n = n (n ) I o ; n 0 n + Como I o =, segue que I n = ; n 0 n + Daí, concluindo, temos que, para n = 0; ; ; : : : ; 8 Z < P m (x)p n (x)dx = : 0 ; se m 6= n ; se m = n n+ Muitos problemas da teoria do potencial dependem da possibilidade de se expandir um dada função numa série de polinômios de Legendre. É fácil ver que isto sempre pode ser feito quando a função dada é ela mesma um polinômio (cf. o capítulo VIII, sobre polinômios ortogonais). O problema que surge é saber para que classe de funções f(x) é válida (i.e., temos a convergência) a chamada expansão em série de Legendre: f(x) = a n P n (x) Embora não seja o objetivo deste curso apresentar uma demonstração, enunciamos abaixo o chamado teorema de expansão de Legendre, que apresenta uma condição su ciente para que uma função f = f(x) admita uma expansão em série de Legendre. Teorema de expansão de Legendre. Se f(x) e f (x) têm ambas no máximo um número nito de descontinuidades do tipo salto no intervalo x, então os coe cientes a n s existem e a série de Legendre converge nos seguintes termos 8 < [f(x ) + f(x+ )] ; se < x < a n P n (x) = f( + ) ; se x = : f( ) ; se x =

27 7 Em particular, a série converge para f(x) em todos os pontos de continuidade. 6.5 Função associada de Legendre Chamamos de equação associada de Legendre à equação ( x )v 00 xv 0 + n(n + ) m x v = 0 ; m; n inteiros não-negativos (35) Sua relação com a equação de Legendre é que, através de uma mudança de variáveis conveniente, ela pode ser transformada numa nova equação que é obtida da equação de Legendre por derivações sucessivas. Mais precisamente, a aplicação direta da regra da cadeia fornece que a mudança de variáveis v = ( x ) m= u transforma (35) na equação Daí, temos o seguinte: ( x )u 00 (m + )xu 0 + (n m)(n + m + )u = 0 (36) Proposição 6. A solução geral de (35) é onde v = ap m n (x) + bq m n (x) P m n (x) = ( x m= dm ) dx P n(x) m Q m n (x) = ( x m= dm ) dx Q n(x) m (Estas funções são chamadas de função de Legendre associada de primeira e de segunda espécie, respectivamente). Prova. Derivando m vezes a equação de Legendre resulta onde ( x ) d dx y(m) ( x )y 00 xy 0 + n(n + )y = 0 (m + )x d dx y(m) + (n m)(n + m + )y (m) = 0 y (m) = dm dx m y Daí, u = y (m) é solução de (36), com y = ap n (x) + bq n (x). Portanto, e o resultado segue. v = ( x ) m= u = ( x m= dm ) dx (ap n(x) + bq m n (x))

28 8 Exercício 6.3 Sabendo que P (x) = (3x ) mostre que Q (x) = x ln + x x + x x P (x) = 3x p x Q (x) = ( x ) = ln + x x + x x