Alfredo Volpi. Volpi morreu em 1988, em São Paulo.

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1 1 nasceu em Lucca, Itália, em Chegou ao Brasil com pouco mais de um ano, fixando-se em São Paulo. Aos 15 anos começou a trabalhar como pintor/decorador de paredes e aos 18 pintou seu primeiro quadro: uma paisagem. Autodidata, Volpi construía suas próprias telas, molduras e tintas. Seus primeiros trabalhos eram figurativos, mas ao final da década de 1940 passou a se distanciar da função de representação da realidade natural. Suas obras passam a ser uma soma de formas geométricas, em cores harmoniosas. Ele transformou as portas e as janelas dos casarios que pintou em incisões retangulares. No começo da década de 1950, Volpi acrescentou em suas obras as bandeirinhas, formas que até hoje são associadas a ele. Em 1953, Volpi recebeu o prêmio de melhor pintor na II Bienal de São Paulo. Em suas mãos triângulos, losangos e outras formas geométricas se transformaram em barcos, mastros, casas, brinquedos, e nas famosas bandeirinhas. Volpi morreu em 1988, em São Paulo.

2 16 Após ler o texto e observar a obra, responda: Com quantos anos Volpi morreu? Com que idade Volpi recebeu o prêmio de melhor pintor na II Bienal de São Paulo? Em que século Volpi nasceu? E em que século morreu? Em que ano foi comemorado o centenário de Volpi? Há quantos anos isso ocorreu? Quantos anos se passaram desde sua morte? Agora, vamos explorar algumas obras de Volpi, mas antes faça uma pesquisa mais detalhada sobre vida e obra desse grande artista e crie, junto com seus amigos, uma linha do tempo ilustrada do período em que Volpi viveu, destacando os fatos mais importantes desse período histórico. Figura 1.1 Fachada das bandeiras brancas Final da década de 1950, têmpera sobre tela, cm.

3 17 Cata-vento Atividades 1 Qual a área e o perímetro do quadro Cata-vento? 2 O quadro de Volpi é formado por muitos cata-ventos. Que tal construir um cata-vento de dobraduras? Pesquise na internet o passo a passo da dobradura do cata-vento, siga as orientações e responda às questões: Iniciamos a dobradura do cata-vento utilizando um papel na forma quadrangular. Figura 1.2 Cata-vento Meados da década de 1950, têmpera sobre tela, 73 50cm. Quantos lados essa forma possui? Quantos ângulos tem? Qual a medida de cada um de seus ângulos? Quantos eixos de simetria ela possui? Observe a medida de cada lado, o que você pode concluir? Esse polígono é regular, isto é, tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais? O próximo passo é traçar as duas diagonais dessa figura, e dar sequência às dobras até chegar na penúltima. Chegamos a um hexágono. Qual a medida de cada ângulo? Quantos eixos de simetria o hexágono possui?

4 18 Esse hexágono é regular? Que outros polígonos aparecem durante as dobras? Finalmente chegamos ao cata-vento. 3 Agora você irá construir outro cata-vento e, ao final, desfazer sua dobradura. Depois trace, com a ajuda de uma régua, as marcas deixadas durante as dobras, obtendo assim a seguinte malha: Figura 1.3 Cata-vento Figura 1.4 Esquema da dobradura

5 19 Identifique na malha e responda: Um triângulo retângulo. Um triângulo cuja área é o dobro da área do triângulo que você identificou. Um quadrado cuja área é o dobro da área do triângulo que você identificou primeiramente. Um retângulo. Um trapézio. Quanto mede cada um dos ângulos desse trapézio? Um paralelogramo. Quanto mede cada um dos ângulos desse paralelogramo? Um polígono regular. Um pentágono. Ele é regular? Uma figura convexa e uma não-convexa. Duas figuras diferentes que tenham a mesma área do paralelogramo que você destacou. Duas figuras de mesma área e perímetros diferentes. Agora, considerando como unidade de medida o menor triângulo da malha, diga qual a área de cada uma das figuras que você identificou. Qual a área da malha? Quantos eixos de simetria tem essa malha? 4 Você e seus amigos irão criar mosaicos. Pinte, da forma que preferir, uma outra malha de cata-vento e, ao final, monte um bonito painel com todos os mosaicos construídos.

6 20 5 Recortando completamente a malha do cata-vento podemos obter um quebra-cabeça chinês formado por sete peças, que tem sido muito utilizado na Matemática: o TANGRAM. Com esse material podemos formar muitas figuras. Crie outras figuras. 6 O tangram é formado por cinco triângulos, e dois paralelogramos. Determine a medida dos ângulos de cada peça do tangram. Agora, classifique os triângulos quanto à medida de seus lados e de seus ângulos. Um dos paralelogramos recebe um nome especial. Que nome é esse? Figura 1.5 Tangram 7 Com duas peças do tangram forme: um quadrado; um triângulo; um trapézio; um paralelogramo; um pentágono. 8 Com três peças forme: um retângulo; um triângulo; um trapézio. Figura 1.6

7 21 Registre todas as soluções que você encontrou. Quantos graus tem cada ângulo do trapézio que você formou? 9 Considerando o triângulo pequeno do tangram como unidade de área, calcule a área de cada uma das peças desse quebra-cabeça. 10 Responda as questões a seguir: Note que para recobrir o tangram necessitamos de quatro triângulos grandes. Que fração do tangram o triângulo grande representa? Para recobrir o tangram necessitamos de oito triângulos médios. Que fração do tangram o triângulo médio representa? Para recobrir o tangram necessitamos de 16 triângulos pequenos. Que fração do tangram o triângulo pequeno representa? Para recobrir o quadrado necessitamos de dois triângulos pequenos. Que fração do tangram o quadrado representa? Para recobrir o paralelogramo necessitamos de dois triângulos pequenos. Que fração do tangram o paralelogramo representa? 11 Monte uma casa com as seguintes peças do tangram: o quadrado e um triângulo pequeno, e depois escreva que fração do tangram essa casa representa. 12 Agora, monte uma figura qualquer com três peças do tangram e depois escreva que fração do quebra-cabeça essa figura representa.

8 22 13 Destacamos agora da obra de Volpi um cata-vento. Classifique cada um desses triângulos que formam o cata-vento, quanto à medida de seus lados e de seus ângulos. Agora, numere no sentido horário os triângulos que formam o cata-vento. Do 1 para o 2, qual o ângulo de rotação? E do 2 para o 3? E do 3 para o 4? E do 1 para o 3? 14 O quadro de Volpi é formado apenas por triângulos. Essas formas têm uma propriedade bastante interessante, que é amplamente aplicada por engenheiros, arquitetos, marceneiros e carpinteiros em construções que precisam ser firmes como telhados, portões, pontes e torres. Para verificar essa propriedade, monte diferentes polígonos, recortando pedaços de canudos de refrigerante e ligando-os através de um fio de linha: triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. Observe que, de todas as figuras montadas, a única figura rígida é o triângulo, já que nele não foi possível mudar a medida dos ângulos internos movendo os canudos. Figura 1.7 Detalhe de Cata-vento de Volpi O interessante é que podemos transformar qualquer polígono em uma figura rígida bastando para isso traçar algumas diagonais. Pesquise em revistas algumas figuras que ilustram a rigidez do triângulo.

9 23 15 A grande artista brasileira Tarsila do Amaral ( ), que transitou por muitas fases em sua pintura, registrou em uma delas a vida nas grandes cidades. Em muitas obras desse período, ela utilizou essa importante propriedade característica dos triângulos. Observe a rigidez do triângulo sendo empregada no quadro A gare. Pesquise obras em que Tarsila e outros artistas plásticos empregaram essa propriedade. Figura 1.8 A gare Tarsila do Amaral, 1925 Óleo sobre tela, 84,5 65cm. 16 Para essa atividade você precisará de um triângulo gerador. Amplie essa figura utilizando material de desenho. Com ela você irá criar várias outras figuras planas e espaciais, basta dobrá-la. Tente montar as seguintes figuras: Figura 1.9 Triângulo gerador um paralelogramo; um trapézio; um losango; um pentágono; um hexágono; um triângulo cuja área seja igual à quarta parte da área do triângulo gerador; uma pirâmide.