Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV) Macroeconomia I / Professor: Rubens Penha Cysne. Lista de Exercícios 5

Transcrição

1 Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV) Macroeconomia I / 21 Professor: Rubens Penha Cysne Lista de Exercícios 5 Capital Humano Capital Humano no Modelo Neoclássico Moeda no Modelo Neoclássico Postada Dia 1/2/21 Obs: Na ausência de de nição de alguma variável, utilize aquela vista em sala de aula. 1) (Modelo de Mincer) Descreva, usando o modelo de Mincer (ACE seção 1.2) como se pode estabelecer uma relação entre formação de capital humano e expectativa de vida. Que implicações você poderia vislumbrar deste exercício no que diz respeito a crescimento? 2) (Modelo de Ben Porath) Na versão ACE do modelo de Ben Porath tem-se a otimização de e ( r+v)t (1 s)hdt sujeito a h _ = '(sh) h; ' estritamente crescente, estritamente côncava e satisfazendo Inada. a) Escreve o Hamiltoniano em valor corrente relativo a este problema b) Obtenha as condições de primeira ordem e a condição de transversalidade. c) Mostre como se pode concluir, a exemplo do Modelo de Mincer, que o capital humano aumenta com a expectativa de vida 1/v. d) O Hamiltoniano satisfaz à condição de su ciência de Mangasarian? Como resolver o problema de su ciência? 1

2 ) (Modelo Neoclássico com Capital Humano) a)mostre que a inserção de capital humano no modelo neoclássico, a exemplo do que faz ACE na seção 1.4, leva a uma relação monótona crescente e diferenciável entre capital físico e humano dada por h=a(k). b) Como você justi caria economicamente este balanceamento entre h e k em uma economia que iniciasse com um nível de capital humano muito inferior àquele dado por a(k)? ) Moeda no Modelo Noeclássico (Sidrauski). Acesse o JSTOR através da home page (no link FGV/MHS Library / Periódicos de A a Z (Automatic Download of Academic Papers)) para obter o paper "Capital Accumulation on the Transition Path in a Monetary Optimizing Model" publicado na Econometrica em 1979, de autoria de Stanely Fischer. Faça K representar o estoque real de capital, P o nível de preços, M o estoque (nominal) de moeda, c o consumo real per-capita (C/PN); m o estoque real per-capita de moeda (M=P N); y o produto real per-capita; N a população, que por hipótese cresce à taxa exógena n); x as transferências monetárias reais per-capita do governo para os agentes econômicos. Escreva a função de produção homogênea de primeiro grau que dá o produto real em função do estoque de capital real e em função da população Ny = F (K; N) De na k como igual a K/N e f(k) como igual a F (K=N; 1). Pede-se: De na, para qualquer variável z, _z como igual a dz=dt e ^z como igual a d(logz)=dt. Observe, por exemplo, que a in ação (variação relativa dos preços) se de ne como ^P : Tautologicamente, a elevação de ativos líquidos é igual à poupança corresponde. Isto se escreve como: P _ K + _ M = P Ny + P Nx P Nc (1) a) Divida ambos os membros da equação acima por P N e use a fórmula de derivada de uma fração (no caso, as frações K=N e M=P N, sendo a derivada tomada com relação ao tempo) para achar os valores de K _ /=N e M=P _ N em função de k _ e _m e obter a equação (5 ) do paper. b*) Mostre como obter as equações () e (4) do paper. Sugestão (não compulsória, usando cálculo de variações): Use o valor de c obtido a partir da equação 5 do texto para substituir em (1) para obter 2

3 um integrando que possa ser escrito como: f(k; _ k; m; _m) Maximize usando cálculo de variações a utilidade total da economia: e t N(t)U(c(t); m(t))dt Faça = n: Use a equação de Euler (d=dt)(f _x ) = f x uma vez com x = m e outra vez com x = k. c) Admita agora que os agentes econômicos desta economia (todos iguais por hipótese) possam tabém acumular riqueza sob a forma de títulos públicos. Denote por b o valor real per-capita de tais títulos e por r a taxa de juros que eles pagam. Tal modi cação implicará a existência dos termos adicionais _b (r ( + n))b no membro do lado esquerdo da equação (5 ) do paper. Seria verdadeiro que a taxa de juros se determina por? r = + f (k) (2) Porque? Obs.: Em muitos papers (por exemplo no paper "In ation and Welfare"), simplesmente omite-se o mercado de títulos públicos e de ne-se r a partir de uma equação semelhante a (2). d) Para simpli car, volte a assumir a inexistência de títulos públicos (b = ). A equação orçamentária do governo neste modelo iguala a senhoriagem M per capita ( _ ) aos gastos de transferências per-capita (x): P N _M P N fórmula de derivada de fração = _m + ( + n)m = x Como o autor, faça representar a taxa de crescimento monetário ( _ M M ): Mostre que x = m: e) Mostre como obter a equação 5 do paper. f) Fischer deseja estudar o comportamento do sistema de equações diferenciais dado por (), (4) e (5) de seu paper na vizinhança do steady state. Mostre como se pode escrever tal sistema de equações sob a forma:

4 2 4 _c _m _k 2 5 = 4 ( 1 )[f (k) n + 2 m( n + f (k) ( n + f u (k) 2 )m f(k) c nk u 2 )] 5 () 4 - Modelo Shopping Time: Acesse o JSTOR através da home page (no link FGV/MHS Library / Periódicos de A a Z (Automatic Download of Academic Papers)) para obter o paper "In ation and Welfare, " publicado na Econometrica em 2, de autoria de Robert Lucas. Obs. Lucas obtém a condição de primeira ordem do modelo de shopping time (seção 5 do paper) usando programação dinâmica. O exercício abaixo (escrito em ingles no original) sugere que você obtenha tal condição usando cálculo de variações ou controle. "Let r be the nominal interest rate, the rate of in ation, s the fraction of the initial endowment spent as transacting time (the total endowment of time being equal to the unity), y real output, m real balances as a fraction of output, c consumption as a fraction of output, U(cy) a strictly increasing and strictly concave function of real consumption, v the (exogenous) fraction of output transferred to the government by the household (lump-sum tax), g > a discount factor and > the (exogenous) rate of real output growth (so that y(t) = y e t ): 1 The consumer maximizes the discounted utility: e gt U(cy)dt (4) subject to the household s budget constraint (5) and to the transactingtechnology constraint (6): _m = 1 (c + s) ( + )m (5) c = mf(s) (6) 1 Note that in this model the potential real output (obtained when s = ) is equal to y and the e ective real output (which, in equilibrium, equals consumption) is given by (1 s)y. 4

5 As usual, the dot over a variables denotes its derivative with respect to time 2. Equation (6) stands for the constraint given by the transacting technology, with f (s) > and f s) : Lucas (2) assumes the utility function to be given by the (1 )-degree homogeneous function: U(cy) = (cy)1 ; 6= 1 (7) 1 in which case, by normalizing y to one, (4) can the written as a function of c alone: " e ( g+(1 ))t U(c)dt (8) Pede-se: a) Obtenha a condição de primeira ordem de equilíbrio do consumidor usando cálculo de variações (maís difícil) ou controle ótimo (sugerido). Interprete economicamente tal condição. b) O Hamiltoniano associado a este problema satisfaz à condição de su- ciência de Mangasarian? Como resolver então o problema de su ciência? Obs - Em seu paper, Lucas faz simulação numérica para garantir su - ciência. Este item b indaga se você seria capaz de resolver este probelma de forma mais simples e exata. write: 2 To obtain equation (5), make P stand for the price index, M for nominal balances and _M = P y cp y sp y vp y Next, divide both members by Py and use the formula of the derivative of a fraction with respect to M=P y. 5