Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV) Macroeconomia I / Professor: Rubens Penha Cysne

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1 Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV) Macroeconomia I / 2015 Professor: Rubens Penha Cysne Lista de Exercícios 6 Crescimento com Inovações Verticais (Modelo Schumpeteriano) Economia Descentralizada 1 1 ) Uma economia apresenta um grande número de rmas com função de produção: NX Y i = AL 1 a ( X ~ ij ) a ; 0 < a < 1 i j=1 X ij representa a quantidade de insumo j usado na produção do produto i, agora corrigido pela qualidade do mesmo. N é xo. A qualidade de cada um dos n insumos X j varia com potências de q (onde q>1): 1, 1, q 2 ; :::q k j : Tais variações se dão como resultado de esforços de pesquisa. O tempo entre cada aumento de qualidade é incerto. Para simpli car, considere a mão de obra total da economia medida em unidades tal que L = 1. Cada inventor de uma nova qualidade do insumo é um empresário diferente (e não o líder, ou seja, aquele responsável pela produção atual). Em função desta hipótese a competição entre os inovadores gera, neste modelo, a "destruição criativa" à qual se referiu Schumpeter: quando k j se eleva, o provedor do insumo j, estágio k j ; sai do mercado e perde a posição de monopolista e os lucros para o novo provedor do insumo j, no estágio k j + 1. Isto porque, por hipótese, apenas a melhor qualidade X j :=q k j X j de cada insumo é usada na produção. Segue daí que a produção pode ser dada por: Y i = AL 1 i a NX (q k j X ij ) a (1) j=1 1 Este primeiro exercício, tal como na lista passada com relação ao modelo de inovações horizontais, deduz o modelo de inovações verticais da forma como apresentado pelo livro texto de Barro e Sala-i-Martin. 1

2 a) Mostre que a otimização de lucro de cada rma i leva à função de demanda agregada pelo input X j : X j = L(Aaq ak j =P j ) 1=(1 a) (2) O produto nal é usado para consumo, para a produção de bens intermediários X e para a produção de pesquisa e desenvolvimento (setor responsável pelo aumento da qualidade de N). Admite-se que o custo para produzir um insumo, uma vez descoberto, seja uma unidade de produto (que tem o preço igual a 1). Logo, o lucro na produção de X j ; função de P j ; é dado por: onde X j é dado por (2). (k j ) = (P j 1)X j (3) b) Escolha P j de tal forma a maximizar este lucro da rma produtora do insumo j em cada ponto do tempo. Mostre que P j = 1=a (4) Observe também que o preço de venda de X j ; 1=a, supera o seu custo marginal (em unidades de produto) 1. Isto implica uma oferta de X j inferior àquela socialmente ótima. A solução do planejador central, desta forma, deverá diferir desta solução descentralizada. c) Substitua (4) e (2) em (3) para calcular (k j ) :=(k j ; L; parâmetros):faça := (0): Conclua que: (k j ) = A 1=(1 a) ( 1 a a )a2=(1 a) Lq k ja=(1 a) = q k ja=(1 a) onde = A 1=(1 a) ( 1 a a )a2=(1 a) L (6) d) Faça t kj representar o instante do tempo no qual surge a inovação k j : A inovação k j sobrevive entre t kj e t kj +1: Conclua que a receita do inventor da inovação k j em valor atual do instante t kj será (em função da variável estocástica t kj +1): V kj = Z tkj +1 t kj (k j )R tkj ;vdv (5) 2

3 R v t kj r x dx)): Mostre que para um taxa de juros r con- onde (R tkj ;v = exp( stante tem-se: V kj = (k j )(1 e rt (k j) )=r (7) onde (k j ) é dado por (5) e T (k j ) = t kj +1 t kj. e) De na o índice de inovações Q: Q := X N j=1 qk ja=(1 a) (8) Faça L = L i em (2) e use (4) para obter X i;j : Substitua esta expressão em (1) para obter Y i : Em seguida, some em i para mostrar a proporcionalidade entre Y e Q. Y = A a=(1 a) a 2a=(1 a) LQ Tome log e diferencie esta expressão em relação ao tempo para concluir que (como L é constante) a taxa de crescimento de Y é igual à taxa de crescmento de Q. f) Use (4) em (2) e agregue em j para obter: X = A 1=(1 a) a 2(1 a) LQ Tome log e diferencie esta expressão em relação ao tempo para concluir que (como L é constante) a taxa de crescimento de X é igual à taxa de crescimento de Q. g) De na por p(k j ) a probabilidade de se criar um novo design quando o estado da arte (último design disponível) é k j :Calcule, em função de p(k j ); o valor esperado de V kj ; EV kj ; assumindo que as inovações sigam um processo de Poisson. Use (5) para obter: E(V kj ) = qk ja=(1 a) r + p(k j ) (9) h) Tome um empresário que, quando o estado da arte é k j ; decide se vale a pena ou não investir recursos para lançar um novo design, k j + 1: Observe que tal novo design, se obtido, lhe permitirá obter lucros apenas entre t kj +1 e t kj +2; quando por de nição outro empresário deverá tomar o seu lugar (lançando a inovação k j + 2). O tempo t kj +2 no qual outra invenção surgirá não está sob controle deste empresário. 3

4 Admite-se que o empresário consegue alterar a probabilidade de criar um novo design k j + 1 (tal probabilidade denota-se, como vimos, por p(k j ) 2 ) se ele investir recursos Z(k j ); de acordo com a função: p(k j ) = Z(k j )h(k j ) (10) onde Z 0 > 0 e h 0 pode ter qualquer sinal (inclusive ser zero). A função h traduz a possibilidade de novas inovações carem mais fáceis (h 0 > 0) ou mais difíceis (h 0 < 0) à medida em que avança o estado da arte k j. Assumindo-se livre entrada e um esforço de pesquisa de inúmeros potenciais entrantes no mercado, o lucro esperado deste empresário deve ir para zero de acordo com: Lucro Esperado = p(k j )E(V kj +1) Z(k j ) = 0 (11) Observe que na equação acima usamos E(V kj +1) ao invés de E(V kj ): Isto porque a probabilidade p(k j ) re ete a entrada no mercado no tempo t kj +1 e a saída do mercado no tempo t kj +2 : Ou seja, o primeiro termo em (11), p(k j )(E(V kj +1); traduz a probabilidade de o empresário conseguir, na data t kj +1; criar uma inovação e auferir as receitas esperadas (E(V kj +1); em moeda da data t kj +1); pela operação entre t kj +1 e t kj +2: O segundo termo, Z(k j ); re ete o custo incorrido, também em moeda da data t kj +1; para majorar a probabilidade de obter a inovação k j+1 na data t kj +1: Reescreva (9) trocando k j por k j +1: Em seguida, use esta nova expressão, (10) e o fato de estarmos considerando Z(k j ) > 0; para concluir que: r + p(k j + 1) = h(k j )q (k j+1)a=(1 a) i) De na h(k j ) de tal forma que h(k j ) = 1 dq (k j+1)a=(1 a) (12) Nesta expressão 3, a constante positiva d traduz uma medida do custo da inovação. Obtenha: r + p(k j + 1) = r + p = =d (13) e observe que decorre das hipóteses efetuadas que p é igual para todos os setores. Conclua também, do fato de p(k j + 1) ser constante (e igual a p) em 2 Uma forma alternativa de escrever tal probabilidade seria p(k j ; k j + 1): 3 De nindo-se h desta forma implica assumir que quanto mais elevado o design, mais difícil ca fazer uma inovação. Isto decorre de (10). 4

5 (13), e da equação (10), que sob tal especi cação os gastos de pesquisa Z(k j ) são mais elevados nos setores com maior k j. j) Use (10) para mostrar, agregando em j, que o gasto total de desenvolvimento de novos produtos se dá por: Z = q a=(1 a) ( rd)q Tome log e diferencie esta expressão em relação ao tempo para concluir que a taxa de crescimento dos gastos em pesquisa Z é igual à taxa de crescmento de Q. k) Neste modelo o PIB é igual a Y-X e este termo igual a C+Z. Conclua, em função do que vimos anteriormente que, em um BGP no qual Q cresce à taxa constante ; então Y, X, Z e C devem crescer a esta mesma taxa. Em particular: _C=C = _ Q=Q (14) Dada a usual otimização intertemporal do consumidor _C=C = (1=)(r ) (15) Logo, neste BGP r também deve ser constante ao longo do tempo. Resta agora (assumingo crescimento constante e igual a de Q), apenas determinarmos p, r e em função dos parâmetros do modelo. Para determinarmos estas três incógnitas, precisamos de apenas uma equação adicional: a equação de determinação de E( _ Q=Q): Usando (8), como p é constante ao longo dos setores: E(Q) = X N j=1 p(q(k j+1)a=(1 a) q k ja=(1 a) ) = p((q a=(1 a) 1)Q Assumindo N grande o su ciente aproxima-se _ Q=Q por E(Q=Q): Usando (13): _Q=Q = (=d r)(q a=(1 a) 1) (16) Use (15), (14) e (16) para mostrar que: r = + d (qa=(1 a) 1) 1 + (q a=(1 a) 1) = (qa=(1 a) 1)(=d ) 1 + (q a=(1 a) 1) 5

6 =d p = 1 + (q a=(1 a) 1) l) Interprete economicamente estes três resultados em relação a cada um dos parâmetros. Este modelo apresenta uma dinâmica de transição? Economia Centralizada 2- Analisemos agora o ótimo de Pareto do problema anterior, para isto considerando uma economia centralizada. O consumidor, como de costume, resolve: Z 1 max ( c1 c 1 )e t dt (17) 0 onde c = C=L, L xo. Para simpli car, podemos medir L de tal forma que L=1, quando então c=c. As mesmas hipóteses feitas anteriormente valem aqui: Assume-se a validade de (10) e (12). A equação que iguala a oferta nal de produtos à demanda agregada lê-se: X N X N AL 1 a (q k j X j ) a X j = C + X N j=1 j=1 j=1 Z(k j) := C + Z (18) a) Mostre que, tal como ocorria no modelo de variedades, a escolhe de cada X j pelo planejador central é superior à escolha descentralizada, o mesmo valendo para X = P N j=1 X j. Sugestão: a otimização intertemporal do consumo exige que, a cada ponto no tempo, a escolha de X j (cujo custo marginal de produção em unidades de produto é igual a 1) seja feita de forma a maximizar a produção. Conclua que X j = LA 1=(1 a) a 1=(1 a) q k ja=(1 a) (19) e que X = X N j=1 X j = LA 1=(1 a) a 1=(1 a) Q (20) Compare com o resultado obtido na primeira parte desta lista. b) Mostre que, tal como ocorria no modelo de variedades, o produto Y determinado pelo planejador central é superior à escolha descentralizada. Sugestão: Após obter a escolha ótima de X j do planejador central em (a), substitua em (1) e calcule o produto Y determinado pelo planejador central. Mostre que: Y = LA 1=(1 a) a a=(1 a) Q (21) 6

7 Compare com o resultado obtido na primeira parte desta lista. c) Usando-se a de nição de Q, tem-se que: E(Q) = X N j=1 p(q(k j+1)a=(1 a) q k ja=(1 a) ) Calcule a esperança de Q usando a de nição de Q, (10) e (12). Aproxime _Q por tal esperança para mostrar que: _Q = Z(1 q a=(1 a) )=d (22) d) Resolva o problema de maximizar (17) sujeito a (18) e (22). Sugestão: (18) lê-se como Y = X + C + Z. Use os valores de Y e X disponíveis em (21) e (20), bem como o valor de Z disponível em (22) para escrever (dado que c = C): c = LA 1=(1 a) a a=(1 a) (1 a)q _Q (1 q a=(1 a) )=d (23) Substitua (23) em (17) e use cálculo de variações para obter a taxa de crescimento de Q, X, Y, Z e C determinada pelo planejador central )( pl ): pl = 1 d LA1=(1 a) a a=(1 a) (1 q a=(1 a) ) A despeito do que você mostrou nos itens a e b acima, neste modelo a taxa de crescimento determinada pelo mercado pode ser superior à taxa de crescimento determinada pelo planejador central. Isto ocorre porque o empresário privado tem um incentivo para inovar superior ao incentivo social. Por exemplo, aquele que inova em t kj +1 visualiza apenas os seus ganhos da inovação. O planejador central, entretanto, subtrai de tais ganhos as perdas do incumbente em t kj +1 (ou seja, daquele que produzia anteriormente até a data t kj +1) 4. 4 Na verdade, o simétrico deste argumento se dará em t kj+2; quando aquele que inovou em t kj+1 perder seu negócio. Ele visualizará uma perda total. O planejador central, entretanto, visualizará um ganho líquido para a economia. Tal ganho se calcula pela soma da perda do empresário que invou em t kj+1 com o ganho do empresário que estará entrando no negócio em t kj+2. Ocorre que tal simétrico se dá, temporalmente, após o excesso do ganho do empresário privado sobre o ganho social descrito no corpo deste exercício. Como a condição de transversalidade do problema privado implica r > ; o que prevalece liquidadmente em valor atual, é o excesso do ganho privado sobre o social. A economia pode então crescer mais na solução privada porque tal ganho pode superar a perda decorrente da provisão de X no caso privado ser inferior à provisão de X no caso do planejador central. 7

8 3) Como você mediria inovações em uma economia? O número de patentes por ano seria uma proxy adequada? 4) Considere a Figura 1 a seguir: Figura Crescimento Médio do PIB Real (% de 1995 a 2008) , ,9 6, ,6 3,7 3,2 3, ,9 1,5 1, China Índia BRIC Sud. Asia Rússia Fonte: FMI, World Economic Outlook Database, April 2009 Am. Lat. OCDE Brasil US Alem. Japão Fato: A Figura mostra um crescimento do PIB (produto) real brasileiro de 1995 a 2008 inferior a vários países e inferior à média da América Latina. Pergunta-se: O modelo de inovação vertical visto neste lista pode lhe ser útil na explicação do fato acima? De que forma? Justi que a sua resposta. 8