2 Modelos de Volatilidade Condicional

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Antônia Esteves Santos
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1 Modelo de Volailidade Condicional Inodção A eoia de análie de éie eoai e aicla o odelo ARIMA Box-Jenkin eie a odelage de vaiávei de ineee a ai da folação exlícia da deendência linea aeenada ela ea Dene o odelo eegado odeo deaca o aoegeivo U oceo aoegeivo de ode (AR()) aa a deeinada vaiável e a egine foa: φ () c φ φ Onde ae a foa de ído banco E E ( w ) 0 ( w w ) τ λ 0 τ τ Dea foa ode-e afia qe: - O oceo eá eacionáio de egnda ode cao a aíze do olinôio e z eea localizada foa do cíclo niáio; φ z φ z φ z 0 ()

2 9 - A evião ao à fene condicional a oda infoação dionível no inane de eo - coeonde à oeção linea da vaiável de ineee obe a conane e e óio defaaeno (édia condicional); - Enqano o valo da édia condicional do oceo é exeo coo fnção daqele obevado aa o eecivo defaaeno a édia incondicional conideando o oceo coo endo eacionáio de egnda ode e oa conane Paa deeinada éie eoai e aicla aqela obevada no ecado financeio ode e ineeane a ealização de eviõe não oene elacionada ao nível da vaiável coo abé à vaiância da ea A vaiância de éie financeia eeena do ano de aio ioância na aalidade a vez qe inveidoe acionai exigião êio aio à edida qe a volailidade (inceeza) do eono de e inveieno aena Ao ono eneado acia oa-e o fao de qe dança no egie da volailidade afea a óia eficiência da infeência eaíica co elação ao aâeo do odelo (c φ φ φ ) Aoegeive Condiional Heeokedaici (ARCH) Inodzido o Engle (98) o odelo ARCH oõe a folação aoegeiva aa caa a ea de deendência linea exiene na vaiância do ído de a deeinada éie de ineee Dea foa endo o oceo eocáico definido ela eqação diz-e qe ege oceo ARCH () dede qe ee aa a egine foa fncional: ς w ()

3 0 Onde w coeonde a ído banco Eeança condicional: E [ I ] ς () Coo 0 enão e-e: Eqação deve e não-negaiva; Eqação deve e oiiva Pode-e gaani qe a condiçõe acia ea aendida e: < w ς ; 0 < ς ; 0 Eacionaidade de egnda ode (covaiância): Raíze do olinôio e Z deve coeonde a valoe foa do cíclo niáio z z z 0 (3) Coo 0 enão: < Ua vez aifeia a condiçõe de eacionaidade de egnda ode e aqela efeene à óia caaceíica do dado de ineee e-e: Vaiância incondicional de : σ E [ ] ς ( ) (4) Pevião ao-à-fene: E( ) ( σ ) ( σ ) ( σ ) ( σ ) (5) (6)

4 Dea foa σ (conideando o eoo aido) Reeenação alenaiva Coeonde a eoo ai foe obe a deendência de Sea: ( 0 ) ~ iid (7) 0 E E Se ς (8) Enão: ς (9) ARCH(): E( ) Sbiindo (7) e (8) e () ege: ( ) w w (0) E λ Ai a vaiância (condicional) de w eá: Cabe eala qe a vaiância incondicional de w (qao oeno coe) não exie aa odo o odelo ARCH eacionáio w

5 Eiação do aâeo (áxia veoiilança) é Gaiano: Sea a eqação de egeão X () Onde X vaiávei exlicaiva (inclindo defaaeno de ) ~ N( 0 ) () ξ Condicionando a eiação na ieia obevaçõe ( - - 0) Sea Y ( X X - X X 0 X - ) Enão endo ~ iid N(0 ) e indeendene de X e Y e-e qe a diibição condicional de é gaiana co édia X e vaiância f ( X ; Y ) π ex ( X ) (3) Onde X X ( X ) ξ [ Z( )] (4) ( ξ ) (5)

6 3 [ ] [ ] X X X Z (6) Sendo θ o veo de ieaâeo ' ' θ ax og-veoiilança: [ ] Y X f ; ; θ θ X π θ (7) aa-e oano de oblea de oiização não-linea co eiçõe (eacionaidade) 0 < odo aa a X Max π θ 3 Oa folaçõe ooa 3 GARCH Sea: 0 ~ iid

7 4 ς ARCH() Pode-e iagina oceo no qal a vaiância condicional deenda de núeo infinio de defaaeno da vaiável de ineee π ς (3) π π (3) Dea foa ode-e-ia defini π() coo endo a azão de doi olinôio de ode finia onde a aíze daqele conido no denoinado foe aioe qe () e ódlo π Alicando π() e-e-ia: ς [ ] [ ] ς Ai GARCH( ): (33) Adicionando e-e: Fazendo ( ) w e-e:

8 5 [( ) ( ) ] w w w (34) Onde w eo de evião da vaiância (ído banco) eqüência de difeença Maingale Ai ode-e oo a anaia ene o odelo GARCH ( ) e o odelo ARMA ( q) onde Max ( ) Pono ioane: - O eqeieno de não-negaividade é aifeio e: > 0; 0; 0 aa - De odo anáo ao oceo ARMA o odelo GARCH e oaá eacionáio de egnda ode (covaiância) e a aíze do olinôio e Z (confoe definido a egi) aeenae valoe aioe do qe () e ódlo ( ) Z ( ) Z ( ) Z 0 Conideando a eiçõe de não-negaividade o oceo eá eacionáio e: ( ) ( ) ( ) < oando o bae o qe foa aeenado aé o eene oeno ee qe: a édia incondicional de eá: E σ [ ( ) ( ) ( )] (35)

9 6 a evião û conideando - 0 eá: > w w / / σ σ σ σ σ (36) OBS O cálclo da eqüência de vaiância condicionai { } eqe a aoa é-exiene ( - 0 e - 0 ) Paa conona al oblea Bollelev oô o egine ocedieno: ) Faze 0 / σ ; ) Defini X σ ; 3) Eia a eqüência { } elo éodo da áxia veoiilança (oiização não-linea co eiçõe) 3 IGARCH Dizeo qe ege oceo IGARCH cao ee aeene aiz niáia (inegável) De foa anáa e-e: l l Da ea foa qe no oceo ARIMA e oi aiz niáia enão a vaiância incondicional ende aa infinio (cooaeno exloivo)

10 7 33 ARCH-M (ARCH na édia ) O odelo ARCH-M oa o bae a eoia de finança a qal gee qe inveidoe acionai exige eono aio (êio de ico) aa negociae aivo financeio co aio ga de ico (ico aociado à dieão volailidade) Dea foa endo: µ (37) Onde eono de deeinado aivo financeio; µ acela do eono aneciada elo inveidoe e -; acela do eono não aneciada Enão a eoia oõe qe µ eaia aociado co a óia vaiância do eono - (aâeo de ico) oando o bae o qe foi dioo aneioene e 987 Engle oô a egine folação: X (38) ~ N( 0 ) (39) ξ (30) onde o efeio da volailidade obe o êio de ico (conolidado no eono) é edido elo ieaâeo

11 8 34 E-GARCH (Exonenial GARCH) Sea: (3) ( ) π { E χ } ξ (3) enão e π > 0 devio ocaiona aeno da vaiância condicional de Já o eo χ é eonável o odela adeqadaene o efeio elane da aieia eene na diibição de eono de aivo financeio Ai e-e: χ 0 coqe oiivo e negaivo gea o eo efeio na vaiância; - < χ < 0 coqe oiivo aena eno a vaiância do qe o negaivo; χ < - coqe oiivo edze a volailidade e coqe negaivo odze o efeio conáio Ua da vanagen da folação do E-GARCH é o fao de o oceo de eiação do aâeo não aeena qaiqe io de eiçõe co elação ao valoe qe o eo odeão ai a vez qe ea-e-á abalando co ( ) e qe π > 0 Ua aaeização naal é odela π() coo a azão de doi olinôio de ode finia ocedieno anáo ao GARCH( ) Dee odo e-e-ia:

12 9 { } { } E E k χ χ (33) 34 Eiação do aâeo: áxia veoiilança Paa o oceo de eiação do aâeo ona-e neceáio eecifica a fnção de diibição de obabilidade de Ua alenaiva eia a ilização da diibição adonizada genealizada do eo (Nelon) Γ λ λ ex f (34) Onde () Γ fnção gaa; 3 Γ Γ λ aâeo oiivo qe govena a laga da cada < cada laga; > cada eeia OBS Paa enão λ e o conegine Noal f ~

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