ao infinito e além! prof. alexandre kirilov, dmat ufpr

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1 ao infinito e além! { prof. alexandre kirilov, dmat ufpr

2 { ao infinito e além

3 um pouco de história acredita-se que a ideia de infinito tenha surgido na grécia antiga por volta do século v a.c. o conceito era tão bizarro e contrário a intuição humana que confundiu filósofos e matemáticos por vários séculos e teve efeitos profundos no desenvolvimento da ciência, da filosofia e da religião as primeiras referências notáveis ao infinito são associadas aos gregos: zenão de eleia (9 a.c.) paradoxos de zenão pitágoras de samos (~70 - ~9 a.c.) descoberta dos irracionais

4 aquiles e a tartaruga esse famoso paradoxo se refere a uma competição entre aquiles (o maior corredor da época) e uma pobre tartaruga como aquiles é claramente mais veloz que a tartaruga, é dada uma vantagem inicial para a tartaruga de certa distância iniciada a corrida: assim que aquiles atingir o ponto de partida t da tartaruga ela estará um pouco a frente, num ponto t quando aquiles chegar ao ponto t, a tartaruga já estará um pouco a frente, num ponto t Chegando em t, aquiles verá a tartaruga um pouco a frente, num ponto t... conclusão: aquiles nunca alcançará a tartaruga!

5 como justificar a inexistência desse paradoxo? é claro que aquiles alcançará a tartaruga, concordam? raciocine primeiro com um exemplo suponha que aquiles é vezes mais rápido que a tartaruga suponha que aquiles e a tartaruga vão correr sobre uma linha reta suponha que aquiles percorre os 8m em s, logo a tartaruga percorrerá m em s dê 8m de vantagem para a tartaruga passado s, aquiles estará 8m a frente de seu ponto de partida e a tartaruga m a frente de aquiles como aquiles corre a 8m/s, percorrerá os m seguintes em s, e nesse tempo a tartaruga percorrerá m para percorrer o m seguintes, aquiles gastará s, e nesse tempo a tartaruga percorrerá m para percorrer o m seguinte, aquiles gastará 8 s, e nesse tempo a tartaruga percorrerá ½ m...

6 justificando o paradoxo distância percorrida por aquiles = 8 = 6 tempo gasto por aquiles para percorrer os 6m = = s

7 Paradoxo da dicotomia ninguém pode sair dessa sala o segundo paradoxo famoso de aquiles afirma que ninguém é capaz de sair dessa sala, pois: para sair daqui você precisa primeiro andar metade da distância entre sua cadeira e a porta, chegando no ponto médio p a seguir precisa andar metade da distância restante entre p e porta, chegando em p depois disso, precisa andar metade da distância entre p e a porta, chegando em p e assim ad infinitum dessa forma ninguém mais pode sair dessa sala

8 Paradoxo da dicotomia Estamos todos paralisados pois: para sair daqui da sala você precisa primeiro andar metade da distância entre sua cadeira e a porta porém, antes de chegar a metade da distância você deve chegar a um quarto da distância entre sua cadeira e e porta antes disso, precisa chegar a /8 da distância por sua vez, deve chegar a /6 da distância e assim por diante... dessa forma ninguém mais pode sair de sua cadeira conclusão de zenão o movimento é impossível quando se pressupõe que o tempo e espaço podem ser divididos infinitamente

9 convergência por trás desses paradoxos, se esconde um conceito fundamental para compreensão do infinito um número infinito de etapas pode ser cumprido num tempo finito = = o conceito de infinitas etapas podem ter uma soma finita é chamado convergência.

10 fendas da desrazão Admitamos o que todos os idealistas admitem: o caráter alucinatório do mundo ( ) Nós o sonhamos como firme, misterioso, visível, ubíquo no espaço e duradouro no tempo, mas em sua arquitetura nos são concedidas tênues e eternas fendas de desrazão que nos dizem que ele é falso. Jorge Luiz Borges Avatares da Tartaruga.

11 pitágoras fundou em crótona (na bota italiana) uma escola de filosofia na juventude viajou pela babilônia e egito, onde estudou geometria e aritmética sua escola introduziu na matemática a noção de teorema e demonstração a partir de conceitos mais elementares (definições, postulados e axiomas) descobriu que era possível construir um sistema lógico completo no qual elementos da geometria e números eram equivalentes os pitagóricos acreditavam inicialmente que os números naturais e suas razões seriam suficientes para explicar qualquer fenômeno da natureza (deus é número)

12 pitagóricos deduziram vários teoremas, sendo o mais famoso a = b + c problema: ao aplicar esse teorema ao triângulo retângulo cujos dois catetos tem lado, chegasse a a = + =, ou seja, a = e usando um argumento geométrico que se estende ad infinitum concluíram que não poderia ser escrito como razão de dois números naturais a ideia de divindade dos inteiros foi substituída pela ideia mais rica de continuum hipaso, membro da ordem pitagórica, cometeu o crime de ao mundo exterior a existência dos irracionais.

13 platão (7 8 a.c.) o fazedor de matemáticos contribuiu muito para a compreensão das magnitudes incomensuráveis como e ajudou a difundir a ideia que números irracionais são habitantes desse mundo e que precisamos aceitá-los e tentar compreendêlos para o bem da ciência os pitagóricos representavam as magnitudes usando pedrinhas (calculi), que originaram as palavras cálculo e calcular a partir de platão e euclides (autor de os elementos ) as magnitudes passaram a ser associadas a comprimentos (segmentos de reta) e a aritmetização da geometria substituiu definitivamente os calculi.

14 outros matemáticos eudóxio de cnido (90 8 a.c.) o livro V dos elementos de euclides traz a maior realização de eudóxio: o método da exaustão eudóxio foi o primeiro a compreender que não é necessário pressupor a existência de quantidades infinitamente pequenas; basta presumir que existem quantidades tão pequenas quanto desejarmos (infinito potencial) arquimedes de siracusa (87 a.c.) ajudou a difundir a ideia de infinito potencial e usou o método da exaustão para calcular volumes e áreas de corpos redondos

15 dois mil anos sem novidades santo agostinho ( 0) escreveu:...os números são finitos, mas como classe são infinitos. isso significa que deus não conhece todos os números por causa de sua infinidade? o conhecimento de deus estende-se até certa soma? ninguém é insano de afirmar isso são tomás de aquino ( 7) escreveu sobre o conceito de infinito tentando provar a existência de deus nicolau de cusa (0 6) cardeal e matemático, dedicou-se ao estudo do círculo e tentou resolver o problema da quadratura do círculo comparou o conhecimento de deus a um círculo e o conhecimento humano a polígonos regulares inscritos no círculo construiu um argumento limite no qual a medida que o conhecimento humano aumentava, mais lados o polígono possuía e mais se aproximava de deus Infelizmente concluiu que o crescimento do conhecimento humano não tinha importância, pois jamais alcançaria o conhecimento divino

16 galileu galileu galilei (6 6) um dos maiores cientistas da história; nasceu na itália renascentista: época em que os ventos da mudança começavam a soprar e a criatividade humana começava a desabrochar, apesar das fogueiras da santa inquisição... que teimavam em queimar tudo que não estava de acordo com a igreja Fez grandes descobertas na física: hidrodinâmica e movimento do pêndulo [isocronismo], estudos com planos inclinados e queda de corpos (que inspiraram a primeira lei de newton) inventou telescópios mais poderosos, porém cometeu o erro de apontá-los para o céu.

17 Galileu e a astronomia ao apontar um telescópio mais potente para o céu e fazer suas próprias observações, galileu pode confirmar a teoria heliocêntrica de copérnico, contrariando a igreja. em 69 escreveu o livro diálogos sobre dois grandes sistemas do mundo, no qual três pessoas discutiam a validade da teoria heliocêntrica; uma dessas pessoas, chamada simplício defendia a posição da igreja a inquisição convenceu o papa que o livro ridicularizava a igreja e que o tal simplício era o próprio papa em 6 todos os livros foram recolhidos e galileu recebeu a ordem de ir para roma defender-se dessas acusações

18 galileu é condenado pela inquisição galileu foi julgado culpado e, devido a sua idade avançada (quase 70 anos) foi condenado a prisão domiciliar perpétua em 99, o papa joão paulo ii retirou as acusações contra galileu, o inocentou e reconheceu que o tratamento dado a galileu pela inquisição foi inadequado porém, para a matemática, a prisão domiciliar de galileu foi uma benção em 68 galileu publicou um novo livro: diálogo sobre as duas novas ciências, no qual salvati e simplício discutiam os diversos aspectos do infinito potencial e o primeiro passo em direção ao infinito real é dado

19 a ideia de galileu n n conclusão: a quantidade de números naturais é a mesma de quadrados perfeitos, apesar do conjunto de quadrados perfeitos ser um subconjunto próprio dos naturais pausa: o que significa contar? pausa : por que isso foi tão significativo para galileu?

20 o hotel hilbert o hotel hilbert é o maior hotel do mundo, possui infinitos quartos e ostenta a fama de poder hospedar qualquer quantidade de hóspedes porém, num certo dia, todos os infinitos quartos estavam ocupados e um novo cliente chegou a recepção, o que fez o gerente para que seu hotel não perdesse a fama? no dia seguinte um ônibus com 0 estudantes de matemática da ufpr chegou nesse hotel; eles estavam indo para um congresso no rio de janeiro (colóquio de matemática?) e o hotel estava cheio, qual foi a solução do gerente? uma excursão infinita...

21 bolzano bernardo bolzano (78 88) padre e matemático em praga; após ser afastado da igreja (por causa de ideias revolucionárias em relação a teologia, dedicou-se somente a matemática em 80, dois anos após sua morte, foi publicado o livro paradoxos sobre o Infinito. bolzano descobre que a ideia de galileu poderia ser estendida para o continuum, mostrando que os intervalos [0,] e [0,] são equipotentes. fez várias contribuições para matemática, a mais famosa é conhecida por teorema de bolzano-weierstass.

22 cantor george ferdinand ludwig cantor (8 98) nasceu na russia e a partir dos 0 anos sua família mudou-se para alemanha começou a estudar matemática em zurique, mas logo foi para a universidade de berlin, onde estudou com weierstrass, kummer, kronecker e outros após o doutorado começou a dar aula na univ. de hale, onde começou a estudar funções usando os métodos inovadores de weierstrass

23 a densidade dos racionais em Q dados dois racionais r e s, sempre existe outro racional entre eles r + s r s

24 a densidade dos racionais em R Q Dados dois irracionais α β, sempre existe um racional r entre α e β r α β

25 a enumerabilidade dos racionais

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27 não enumerabilidade da reta real Suponha, por absurdo, que o intervalo aberto (0,) da reta é enumerável, então podemos listar todos os seus elementos: x = 0, x x x x x x 6 x 7... x = 0, x x x x x x 6 x 7... x = 0, x x x x x x 6 x 7... x = 0, x x x x x x 6 x x k = 0, x k x k x k x k x k x k6 x k7... x kk......

28 diagonal de cantor x = 0, x x x x x x 6 x 7... x = 0, x x x x x x 6 x 7... x = 0, x x x x x x 6 x 7... x = 0, x x x x x x 6 x x k = 0, x k x k x k x k x k x k6...x kk x = 0,x x x x x x 66 x 77...x kk...

29 descobertas de cantor o conjunto dos números racionais tem a mesma quantidade de elementos que o conjunto dos números racionais. card Q = card(n) o infinito da reta é maior que o infinito dos naturais, ou seja, existem infinitos de tamanhos diferentes!!! card R > card(n) o infinito dos números racionais é o menor dos infinitos cantor chamou o infinito enumerável de alef zero ℵ 0 e postulou a existência de uma sequência de alefs ℵ 0, ℵ, ℵ, ℵ,, ℵ n,

30 hipótese do continuum cantor chamou de c o infinito da reta (do contínuum) e passou muito tempo tentando verificar a validade da proposição ℵ 0 = c

31 Sugestões de leitura aczel, amir o.: o mistério do alef: a matemática, a cabala e a procura do infinito sp: ed. globo, 00. morris, richard: uma breve história do infinito. dos paradoxos de zenão ao universo quântico, rj: ed. jorge zahar, 998. davis, philip j. e hersh reuben: a experiência matemática rj: ed. francisco alves, 98. eves, howard: introdução à história da matemática campinas: editora da unicamp, 00.