Teorema de Pitágoras. Nilson Catão Pablo de Sá

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1 Teorema de Pitágoras Nilson Catão Pablo de Sá

2 Introdução Atividade prática; Síntese do artigo análise histórica; Análise crítica sobre o Teorema de Pitágoras; Análise de livros didáticos e outros materiais.

3 Atividade

4 Análise Histórica Artigo: Um estudo sobre argumentação e prova envolvendo o teorema de Pitágoras Autor: José Leôncio Ferreira Filho Mestrado Profissional em Ensino de Matemática PUC -SP

5 Nascimento do método demonstrativo Antigo Oriente: visão estática empirismo; Alguns séculos a.c: Racionalismo crescente indagação (como e por quê); Por que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais? Método empírico método demonstrativo Matemática atual Inicia-se por Tales, Pitágoras e os pitagóricos.

6 Teorema - História antiga da Matemática A geometria possui dois grandes tesouros: um é o Teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. Podemos comparar o primeiro a uma porção de ouro; o segundo a uma jóia preciosa. Kepler ( ) Aplicado em várias situações: Cálculo da diagonal de quadrado, retângulo, losango; Altura de triângulo equilátero, isósceles; Construção com régua e compasso de segmentos irracionais; Distância entre dois pontos no plano cartesiano, equação de uma circunferência; Módulo de um número complexo.

7 Teorema - História antiga da Matemática A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos ; a² + b² = c²

8 Teorema - História antiga da Matemática Culturas antigas já haviam testado essa relação: Egípcios e babilônios muito antes dos gregos 3² + 4² = 5² (Terno pitagórico) Babilônios tabuinha de argila YBC 7289 ( a.c.)

9 Teorema - História antiga da Matemática Babilônios: tablete Plimpton 322 quinze linhas com valores de ternos de números pitagóricos; Chinês: Chou Pei Suang Ching (1200 ou 300 a.c.), - discussão sobre o Teorema, porém sem demonstração.

10 Surgimento da demonstração Pitágoras: Tales e Pitágoras Nasceu por volta de 572 a.c. (?), na Ilha de Samos, Grécia; Não há registros de relatos originais sobre sua vida e trabalho; Várias lendas e mitos.

11 Surgimento da demonstração Tales e Pitágoras Escola pitagórica centro de filosofia, matemática e ciências naturais; Tudo é número Mas por que Teorema de Pitágoras? Povos antigos já conheciam o conteúdo do teorema; Exemplos de utilização.

12 Surgimento da demonstração Respostas: Tales e Pitágoras Povos antigos não demonstraram o teorema - receitas ; Pitágoras (ou alguém da escola pitagórica) buscou uma demonstração matemática. Demonstração não era comum - aprendizado com Tales (600 a.c.) Tales: organização dedutiva da geometria(?).

13 Surgimento da demonstração Tales e Pitágoras Demonstração de Pitágoras? Não há trabalhos escritos; Algumas hipóteses: Decomposição comparação de áreas; Semelhança de triângulos. The Pythagorean proposition (1927) 370 demonstrações, divididas em: Provas algébricas relações métricas de triângulos; Provas geométricas comparações de áreas.

14 Surgimento da demonstração Tales e Pitágoras

15 Surgimento da demonstração Tales e Pitágoras

16 Surgimento da demonstração Tales e Pitágoras Contribuições dos pitagóricos: A fundamentação científica da música; A descoberta das grandezas incomensuráveis; A construção dos sólidos regulares; A teoria das proporcionais ( médias); A esfericidade da Terra.

17 Teorema segundo Euclides Euclides: Pouco se sabe sobre a vida e personalidade; Ensinou matemática em Alexandria; Pai de Os Elementos protótipo da forma matemática moderna. Demonstração do Teorema - proposição 47 do livro I: Em triângulos retângulos, o quadrado construído sobre o lado que subtende o ângulo reto, isto é, a hipotenusa, é igual à soma dos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto

18 Teorema segundo Euclides

19 Teorema segundo Clairaut Alexis Clairaut ( ): Conhecido como anti-euclidiano; Não apresentou axiomas ou postulados, mas proposições não tão acessível ao aluno; Aspecto mais prática e simples á geometria; Demonstração do Teorema: A hipotenusa de um triângulo retângulo é seu grande lado. O quadrado deste lado é igual à soma os quadrados feitos sobre os outros dois

20 Teorema segundo Clairaut

21 Teorema segundo Legendre Adrien-Marie Legendre ( ): Professor da escola militar em Paris; Publicou Elementos de Geometria, para uso escolar e acadêmico; Atualiza e simplifica a obra de Euclides; Demonstração do Teorema mesma que Euclides: TEOREMA O quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados construídos sobre os outros dois lados

22 Teorema segundo Hilbert e Birkhoff David Hilbert ( ): Matemático excepcionalmente abrangente e talentoso; Publicou Fundamentos de Geometria - exerceu forte influência na matemática do sec. XX; Apresentou sistema completo de axiomas para a geometria euclidiana corrigiu falhas lógicas e definições sem sentido; Principal representante da escola axiomática; Estabelece o caráter puramente dedutivo e formal da geometria.

23 Teorema segundo Hilbert e Birkhoff Birkhoff ( ): Um dos matemáticos mais produtivos e versáteis da sua geração; Incorpora o conjunto dos números reais nos sistemas de axiomas equivalente ao de Hilbert.

24 Teorema segundo Hilbert e Birkhoff Demonstração do Teorema Princípio 12: O TEOREMA DE PITÁGORAS. Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados; e reciprocamente

25

26 Análise crítica Tatiana Roque: Professora do Instituto de Matemática/UFRJ; Doutora pela Coppe/UFRJ; Área de pesquisa: historiografia da matemática; relações entre história e ensino de matemática; história das teorias de equações diferenciais e da mecânica celeste na virada do século XIX para o XX.

27 Análise crítica A história da ciência foi marcada por preconceitos semelhantes aos que moldaram a história da matemática, sobretudo no que concerne ao desprezo pela Idade Média. Esse período foi visto como uma época estacionária, a idade das trevas, marcada pelo dogmatismo religioso, pelo misticismo e pelo abandono do raciocínio físico. Não se trata de saber em que medida isso é verdade, mas os adjetivos escolhidos indicam que o Renascimento inventou o mito das trevas para se autodefinir, por contraste, como a idade da razão.

28 Análise crítica Não há um teorema de Pitágoras... Sem provas do teorema geométrico pelos pitagóricos; Euclides demonstrou teorema com resultados desconhecidos na época da escola pitagórica;...e sim triplas pitagóricas. Consiste em triplas constando de dois números quadrados e um terceiro número quadrado que seja a soma dos dois primeiros. Resultado mais aritmético que geométrico;

29 Análise crítica Tripla pitagórica (3,4,5) Esse método não é suficiente para validar o teorema de Pitágoras em todos os casos.

30 Análise de materiais didáticos Livro: Matemática 9º ano, 7a edição, São Paulo, 2006 Editora: Moderna Autor: Edwaldo Bianchini

31 Análise de materiais didáticos Capitulo 5: Abordagem pobre da informação histórica, não apresentando as outras alternativas da construção do teorema; Descrição excessivamente teórica do teorema, apresentando apenas uma única demonstração do teorema; Apresenta nenhuma utilização prática do teorema; Exercícios, na sua maioria, sem relação de interdisciplinaridade, buscando apenas a memorização do teorema.

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33 Análise de materiais didáticos Livro: Matemática - Ciência, linguagem e tecnologia - Volume 1, 1ª edição, São Paulo, Editora: Scipione Autor: Jackson Ribeiro

34 Análise de materiais didáticos Capitulo 9 Item 6: Informação histórica, embora sintetizada, apresenta dados mais completos, como o conhecimento de egípcios e babilônios; Falta de demonstração do teorema; Apresenta vários exemplos de utilização prática do teorema de Pitágoras; A maior parte dos exercícios busca correlacionar com o cotidiano do aluno, apresentando alguns exercícios de caráter interdisciplinar.

35 Análise de materiais didáticos Livro: Matemática 9º ano, 3ª edição, São Paulo, 2010 Editora: Moderna Autoria do Projeto Arariba

36 Análise de materiais didáticos Unidade 6: Nenhuma informação histórica, citando apenas quem é Pitágoras; Descrição excessivamente teórica do teorema, porém apresenta demonstrações mais profundas do teorema; Apresenta pouca utilização prática do teorema; Exercícios, na sua maioria, sem relação de interdisciplinaridade, buscando apenas a memorização do teorema.

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38 Análise de materiais didáticos Caderno do Aluno: Matemática 8º ano, vol. 4, São Paulo, 2009 Autoria da SEE-SP

39 Análise de materiais didáticos Situação de aprendizagem 3: Tem alguma abrangência histórica, porém alguns pontos são controversos; A parte teórica não é apresentada, dependendo do professor fazer essa parte; Apresenta utilizações práticas do teorema; As atividades apresentadas tem relação com a demonstração do teorema, com exercícios que reproduzem as informações históricas.

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41 Para finalizar... yqm F_RQ

42 Referências Bibliográficas FILHO, José L. F. Um estudo sobre argumentação e prova envolvendo o teorema de Pitágoras. Trabalho (Mestrado) Pontifícia Universidade Católica São Paulo. São Paulo, 2007; ROQUE, Tatiana. História da Matemática: Uma Visão Crítica, Desfazendo Mitos e Lendas. Rio De Janeiro: Zahar, 2012;.

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