Introdução aos números normais

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1 2 Colóquio de Matemática da Região Sul Introdução aos números normais Jairo Krás Mengue Cydara Cavedon Ripoll 22

2 Prefácio Este texto é uma consequência do estudo de vários livros e artigos sobre números normais, realizado pelos autores, que também resultou em uma dissertação de mestrado apresentada pelo primeiro autor em março de 28. Existe uma grande coleção de resultados sobre números normais na literatura. O leitor poderá, por exemplo, encontrar vários artigos cuja proposta é a prova de que um número ou classe de números é normal em base. o entanto, muitos destes trabalhos possuem provas baseadas em numerosas estimativas (interessantes) que optamos por não incluir ou mencionar em um livro introdutório sobre números normais. Como o conceito de normalidade está fortemente ligado ao conceito de probabilidade, preparamos uma seção com definições e conceitos iniciais de probabilidades geralmente vistas em um curso de teoria da medida. Também buscamos apresentar o Teorema de Borel com uma prova elementar baseada em ideias de Sierpinski, porém com estimativas de Copeland e Erdos. O principal teorema apresentado neste livro é o que chamamos Critério de ormalidade de Pjateckii-Sapiro. Este teorema pode ser utilizado (e será neste livro) para simplificar a prova da normalidade de algumas constantes, ou até mesmo deixá-las muito simples.

3 Conteúdo úmeros normais: primeiras propriedades 4 2 Algumas técnicas para a construção de números normais 9 3 Introdução à Teoria da Medida 5 3. Algumas definições e resultados Teorema de Borel sobre números normais Distribuição de Sequências Sequências equidistribuídas Função de distribuição Assintótica Critério de ormalidade 45 6 Outros Tópicos 58 3

4 Capítulo úmeros normais: primeiras propriedades Existe algum dígito que ocorre com maior frequência na expansão decimal de π? ote que na pergunta acima apareceu a palavra frequência. Embora de significado intuitivo, convém apresentarmos uma definição para a mesma: Definição. Seja X um conjunto qualquer e (x, x 2,...) uma seqüência de elementos de X. Dizemos que um conjunto Y X é visitado com frequência a por (x, x 2,...), se #{i : x i Y e i } lim Exercício 2. Usando a definição anterior: = a. i) Determine a frequência de ocorrência do dígito na expansão do racional,

5 5 ii) Considere o número real α = , onde os blocos de s e de 2 s intercalam-se, duplicando de tamanho em cada etapa. Mostre que a frequência do dígito não está determinada. Mais precisamente: truncando após a ocorrência dos blocos de s mostre que a frequência deveria ser 2/3 enquanto que, truncando após a ocorrência dos blocos de 2 s, mostre que a frequência deveria ser /3. Observação: Dado X = {,,..., 9}, a expansão de um número real em base pode ser vista como uma seqüência de elementos de X e uma lista finita de k dígitos pode ser vista como uma sequência finita de elementos de X. Se (y,..., y k ) é uma sequência finita de elementos de X, dizemos que (y,..., y k ) ocorre com freqüência a em (x, x 2,...) se #{i k + : (x i,..., x i+k ) = (y,..., y k )} lim E o que é um número normal? = a. (.) Antes de apresentarmos a definição cabem algumas indagações: ) Se escolhermos ao acaso um ponto do intervalo [,], qual a probabilidade de seu sétimo dígito ser 5? 2) Se escolhermos ao acaso um ponto do intervalo [,], qual a probabilidade de seu 28 dígito ser 7? 3) Se escolhermos ao acaso um ponto do intervalo [,], qual a probabilidade de termos o dígito ocorrendo com frequência maior que o dígito 9 em sua expansão decimal?

6 6 [CAP. : ÚMEROS ORMAIS: PRIMEIRAS PROPRIEDADES A terceira pergunta acima é sem dúvida mais complicada. É um fato conhecido que a resposta correta para ela é : zero. Além disso, os dígitos e 9 poderiam ser trocados por quaisquer outros. A resposta sempre seria a mesma. Definição 3. Um número real α é dito normal em base (ou apenas normal) se em sua expansão qualquer dígito ocorre com frequência / e qualquer lista finita de k dígitos ocorre com freqüência k. Assim, por exemplo, se um número α é normal, então os dígitos e 7 aparecerão em sua expansão com frequência / enquanto que 329 deverá aparecer com frequência /. Um resultado conhecido desde o início do século XX, devido ao matemático Émile Borel (ver [7]) garante que quase todos os números são normais. A expressão quase todos é uma expressão probabilística, comum em Teoria da Medida e será explicada no Capítulo 3. Estamos dizendo que se escolhermos ao acaso um número em [, ], a probabilidade deste número não ser normal é nula. Sendo então o conjunto dos números normais realmente grande (probabilisticamente falando) não deveria ser difícil apresentarmos exemplos de números normais. o entanto isso não é, na prática, simples como parece. Como exemplo podemos observar que não conhecemos a resposta para a pergunta do início deste capítulo: Existe algum dígito que ocorre com maior frequência na expansão decimal de π? Exercício 4. Mostre que se α é racional então α não é normal. ão existem exemplos triviais de números normais conhecidos. Ou seja,

7 7 utilizando apenas a definição dada acima, não conhecemos nenhum exemplo de número normal cuja prova da normalidade seja trivial. O primeiro exemplo concreto de expansão de número normal foi apresentado em 933 por Champernowne (ver [8]): α = , obtido encadeando-se todas as listas finitas em ordem crescente de tamanho e ordenando-se lexicograficamente as lista de mesmo tamanho. Partindo da normalidade deste número, Champernowne também mostrou que a constante obtida listando-se os números naturais α = é normal. Um fascinante resultado Conjecturado por Champernowne e provado por Copeland e Erdos em 946 (ver [9]) garante a normalidade da constante α = cuja expansão é obtida listando-se os números primos. Em todo este livro a palavra bloco estará significando lista finita de dígitos. Por exemplo 456 é um bloco de 3 dígitos, enquanto que é um bloco de 6 dígitos distinto de Por B k = b...b k estaremos denotando um bloco de k dígitos. Por B k estaremos denotando o tamanho do bloco, que com esta notação é igual a k. Por exemplo 452 = 4 e 4223 = 6. otação 5. Sejam um número natural, B k um bloco de k dígitos e α [, ):

8 8 [CAP. : ÚMEROS ORMAIS: PRIMEIRAS PROPRIEDADES Denotamos por #(B k ; ; α) o número de vezes que o bloco B k aparece na expansão decimal de α até seu ésimo dígito. Ou seja: se α =.a a 2 a 3... e se k então #(B k ; ; α) = #{n {,..., k + } : (a n,..., a n+k ) = (b,..., b k )}. Se < k então #(B k ; ; α) =. Exercício 6. Seja α um número contido em [, ). Seja B k um bloco qualquer de dígitos e seja T k o bloco que satisfaz T k + B k = } {{}. k vezes Mostre que se a expansão de α não é finita, então #(B k ; ; α) = #(T k ; ; α). Conclua que α é normal se e somente se α é normal. Uma expansão finita é uma expansão da forma.a a 2...a d...

9 Capítulo 2 Algumas técnicas para a construção de números normais esta seção, seguindo algumas ideias apresentadas em [8], vamos estudar algumas técnicas para construir números normais, partindo da normalidade de um número conhecido, como α = Vamos provar a normalidade deste número no Capítulo 5. Ainda que a normalidade deste número pareça intuitiva, convém observarmos que sua prova não é trivial. Isso porque, se desejarmos analisar a frequência do dígito 7 em sua expansão, por exemplo, não é suficiente calcular sua ocorrência média truncando apenas em (.2...9), ( ) (isto é, após a listagem de todos os blocos de tamanho n, para n=,2,3,... ). De fato, com isso estaríamos calculando apenas o limite de uma subsequência, o que não garante necessariamente que exista o limite dado em (.). Veja também o Exercício 9

10 [CAP. 2: ALGUMAS TÉCICAS PARA A COSTRUÇÃO DE ÚMEROS ORMAIS 2. Observação: Seja x, x 2,... uma lista infinita de blocos. Seja α =.x x 2 x 3... Se B k é um bloco qualquer, então existem duas formas de B k aparecer na expansão de α: i) como sub-bloco de algum x n ii) estritamente na junção de dois blocos x n x n+. Assim #(B k ; ; α) = # i (B k ; ; α) + # ii (B k ; ; α), onde # i (B k ; ; α) denota o número de ocorrências satisfazendo i), enquanto # ii (B k ; ; α) denota o número de ocorrências satisfazendo ii). Segue que #(B k ; ; α) = # i(b k ; ; α) + # ii(b k ; ; α). Proposição 7. Seja x, x 2,... uma lista infinita de blocos tal que x n + quando n +. Então a frequência de B k na expansão de α =.x x 2 x 3... não depende do número de ocorrências de B k no caso ii) acima, isto é # ii (B k ; ; α) lim =. (2.) Demonstração. Fixado L, existe n tal que x n > L para n n. Seja C = x x n. Para cada > C existe um n tal que x x n < x x n + x n +.

11 Segue que # ii (B k ; ; α) k.(n + ) Quando temos que n. Segue que lim sup # ii (B k ; ; α) k.(n + ) x x n k.(n + ) C + L(n n ). lim sup n k.(n + ) C + L(n n ) = k L. Como L é um natural qualquer e a sequência é não negativa, concluímos a prova de (2.). Exercício 8. Seja x, x 2,... uma lista infinita de blocos satisfazendo: x n + quando n +. Se α =.x x 2 x 3... é normal, então também são normais os números α 2 =.x x x 2 x 2 x 3 x 3..., α 3 =.x x x x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3..., etc. Sugestão: Consideremos por exemplo α 4. Fixado um, suponhamos que com dígitos seja possível listar os blocos x x x x...x n mas não seja possível listar completamente os blocos x x x x...x n x n. Ou seja, não conseguimos listar x n completamente pela segunda vez. Suponhamos no entanto que podemos listar até m dígitos de x n. Fixado B k podemos comparar α com α 4 e escrever: # i (B k ; ; α 4 ) = # i (B k ; x x n ; α) + # i (B k ; x x n + m; α) + 2# i (B k ; x x n ; α). Exercício 9. Seja x, x 2,... uma lista infinita de blocos satisfazendo: x n + quando n +. Se α =.x x 2 x 3... é normal então para dígitos quaisquer j, j 2,..., o número β =.j x j 2 x 2 j 3 x 3...

12 2 [CAP. 2: ALGUMAS TÉCICAS PARA A COSTRUÇÃO DE ÚMEROS ORMAIS é normal. Agora podemos aplicar estes resultados para apresentar construções interessantes de números normais. Proposição. Suponhamos que α = é normal. Então a Constante de Champernowne β = obtida listando-se os números naturais é normal. Demonstração. Seja x =...9, x 2 =...99, etc. Então, aplicando o Exercício 8, obtemos que é normal. α 9 = (...9)(...9)...(...9) (...99)(...99)...(...99)... }{{}}{{} 9 vezes 9 vezes Pelo Exercício 9 para quaisquer dígitos j, j 2,... (vamos denotar apenas por j) o número.(j...j9)(j...j9)...(j...j9) (j...j99)(j...j99)...(j...j99)... é normal. Segue que.(...9)(2...29)...(9...99) (...99)( )...( )... é normal. Adicionando os dígitos ao início da expansão anterior obtemos que a Constante de Champernowne é normal

13 3 Exercício. Supondo que a Constante de Champernowne α = é normal, mostre que a constante obtida retirando-se os naturais que são potência de dois: β = é normal. o exercício acima um fato importante é que as potencias de dois ocorrem com frequência zero sobre os naturais. Essa ideia não pode ser aplicada na proposição abaixo. Proposição 2. Suponhamos que a Constante de Champernowne é normal. Então a constante α = obtida listando-se os números impares é normal. Demonstração. Pelo Exercício 8 sabemos que α 5 = , obtido concatenando-se cada natural repetido cinco vezes, é normal. Além disso pelo Exercício 9, para dígitos quaisquer j i {,..., 9},.j j 2 j 3 j 4 j 5 2j 6 2j 7 2j 8 2j 9 2j...9j 45 j 46 j 47...j 5...

14 4 [CAP. 2: ALGUMAS TÉCICAS PARA A COSTRUÇÃO DE ÚMEROS ORMAIS é normal. Escolhendo os dígitos, 3, 5, 7, 9,, 3, 5, 7, 9,, 3, 5, 7, 9,... obtemos que é normal. Adicionando os dígitos 3579 ao início desta expansão concluímos que β = é normal.

15 Capítulo 3 Introdução à Teoria da Medida este capítulo vamos apresentar algumas definições e enunciar resultados conhecidos em Teoria da Medida. Vamos desenvolver estes conceitos sobre o intervalo [,]. As provas para os resultados aqui enunciados podem ser encontradas em [4]. a segunda seção vamos apresentar uma prova para o teorema de Borel que afirma que quase todos os números são normais. 3. Algumas definições e resultados otação: Denotamos por P a coleção de todos os subconjuntos de [, ]. Definição 3. Uma σ-álgebra de [, ] é uma coleção A de subconjuntos de [, ] satisfazendo as seguintes propriedades:., [, ] A; 2. Se X A então X c = ([, ] X) A; 3. Se X, X 2, X 3,... estão em A então n X n A. ote que P é uma σ-álgebra (a maior possível). Como A a proprie- 5

16 6 [CAP. 3: ITRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA dade 3. é válida para uniões finitas. Se X, X 2,... A então X X 2... = (X c X2 c...) c pertence a A. Se X, X 2 A então X X 2 = X X2 c A. Se A e B são σ-álgebras, a interseção de A e B é a sigma álgebra formada por todos os subconjuntos de [, ] que estão em A e em B. Exercício 4. Mostre que a coleção formada por e todos os intervalos de [, ] não forma uma σ-álgebra. Definição 5. A σ-álgebra de Borel B é a menor σ-álgebra que contém os intervalos abertos. Podemos obter B intersectando todas as σ-álgebras que contêm os intervalos abertos. ote que P é uma delas. Um conjunto X [, ] pertencente a B será chamado mensurável ou boreliano. o que segue, vamos fixar a σ-álgebra de Borel B. Definição 6. Uma probabilidade em [, ] é uma aplicação µ : B R + satisfazendo:. µ( ) = e µ([, ]) = ( ) 2. Se X, X 2, X 3,... B são disjuntos então µ X n = µ(x n ). n Segue que para todo conjunto mensurável X: n µ(x c ) = µ(x) e µ(x). Se X Y são conjuntos mensuráveis, então µ(x) µ(x) + µ(y X) = µ(y ).

17 [SEC. 3.: ALGUMAS DEFIIÇÕES E RESULTADOS 7 Se X, X 2, X 3,... são mensuráveis então definindo Y = X e, para n 2, Y n = X n (X... X n ), garantimos que Y, Y 2, Y 3,... são disjuntos e concluímos que ( ) ( ) µ X n = µ Y n = µ(y n ) µ(x n ). n n n n ( ) Exercício 7. Mostre que se µ(x n ) =, n=,2... então µ X n =. Exercício 8. Fixado x [, ] defina µ x : B R + por: µ x (X) = se x / X e µ x (X) = se x X. Mostre que µ x é uma probabilidade. Exercício 9. Seja a, a 2,... uma sequência de números reais tais que a + a =. Seja µ, µ 2,... uma sequência de probabilidades. Mostre que µ : B R +, definida por µ(x) = a µ (X) + a 2 µ 2 (X) +... é uma probabilidade. Proposição 2. Existe uma única probabilidade m em [, ] satisfazendo: m([a, b]) = b a para todo intervalo [a, b] [, ]. Definição 2. Vamos chamar a probabilidade m explicitada na proposição anterior de medida (ou probabilidade) de Lebesgue em [, ]. Definição 22. Dada uma probabilidade µ, dizemos que uma propriedade é verdadeira µ-q.t.p. (quase todos os pontos) se existe um conjunto mensurável X [, ] tal que µ(x) = sobre o qual a propriedade é verdadeira. Quando a probabilidade considerada é a medida de Lebesgue dizemos que a propriedade é verdadeira em q.t.p. n

18 8 [CAP. 3: ITRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA Exercício 23. Mostre que quase todos os pontos do intervalo [, ] são irracionais. Essa afirmação é verdadeira se considerarmos uma probabilidade qualquer? A proposição abaixo será utilizada futuramente. Proposição 24. Seja E um conjunto mensurável. Para cada ε >, existe uma coleção de intervalos abertos O = A A 2... tal que E O e m(a i ) m(e) < ε. i Agora passamos ao estudo de integrais de funções. Definição 25. Dizemos que uma função f : [, ] [, ] é mensurável se para todo X B temos que f (X) = {x [, ] : f(x) X} está em B. Dizemos que uma função mensurável g : [, ] [, ] é simples se ela assume um número finito de valores. Se os valores assumidos são a,..., a n, definindo A i = g (a i ) temos que A,..., A n são mensuráveis e disjuntos. Além disso, g = a A a n An, onde, se x A A (x) :=, se x / A este caso, dada uma probabilidade µ, definimos a integral da função simples g por: g dµ = a µ(a ) a n µ(a n ). Definição 26. Se f : [, ] [, ] é uma função mensurável e µ é uma probabilidade, definimos { f dµ := sup } g dµ : g f e g é simples, onde g f quando g(x) f(x) para todo x [, ]..

19 [SEC. 3.: ALGUMAS DEFIIÇÕES E RESULTADOS 9 Enunciamos agora três importantes resultados. Teorema 27 (Convergência Monótona). Seja f, f 2,... uma sequência de funções mensuráveis, f n : [, ] [, ], satisfazendo: f (x) f 2 (x)... para todo x [, ]. Defina f(x) = lim n f n (x). Então f é mensurável e para toda probabilidade µ f dµ = lim n f n dµ. Teorema 28 (Lemma de Fatou). Seja f, f 2,... uma sequência de funções mensuráveis, f n : [, ] [, ]. Defina f(x) = lim inf n f n (x). Então f é mensurável e para toda probabilidade µ f dµ lim inf n f n dµ. Teorema 29 (Convergência Dominada). Seja µ uma probabilidade em [, ] e seja f, f 2,... uma sequência de funções mensuráveis, f n : [, ] [, ]. Seja f : [, ] [, ] uma função tal que f n (x) f(x) é mensurável e f dµ = lim n f n dµ. µ q.t.p. Então f Observações: O leitor deve ter cuidado ao estudar espaços mais gerais, onde são necessárias hipóteses adicionais. Por exemplo, em R cada função f n = (/n) [,n] é mensurável e com integral (de Lebesgue) igual a. Estas funções convergem uniformemente para a função f. o entanto a integral de f é igual a zero. Encerramos com um resultado que nos permite interpretar probabilidades como aplicações lineares de C([, ]) em R, onde denotamos por C([, ]) o espaço vetorial formado pelas funções f : [, ] R contínuas.

20 2 [CAP. 3: ITRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA Teorema 3 ( Representação de Riesz). Seja Ψ uma aplicação que para cada função f C([, ]) associa um número real. Suponhamos que:. Ψ é linear, ou seja Ψ(af + bg) = aψ(f) + bψ(g), para quaisquer a, b R e f, g C([, ]) 2. Ψ(f) se f(x) para todo x 3. Ψ( [,] ) = Então existe uma única probabilidade µ em [, ] tal que Ψ(f) = f dµ para toda função contínua f : [, ] [, ]. Utilizando este Teorema, é possível considerar que uma probabilidade em [, ] é uma aplicação linear Ψ : C[, ] R satisfazendo: Ψ(f) se f e Ψ() =. 3.2 Teorema de Borel sobre números normais Fixado um número natural b 2 podemos representar os números do intervalo [, ] utilizando a base b. A construção da representação em base b é análoga à que fazemos em base, utilizando um símbolo para cada elemento do conjunto {,,..., (b )} e que aqui chamaremos b dígitos. Um número real α é dito normal em base b se, em sua expansão nesta base, cada símbolo ocorre com frequência /b e cada bloco de tamanho k ocorre com frequência. Denotamos por # b k b (B k ; ; α) o número de vezes que o bloco B k aparece na expansão de α em base b, até seu ésimo b-dígito. Definição 3. Um número α [, ] é absolutamente normal se for normal em todas as bases b 2.

21 [SEC. 3.2: TEOREMA DE BOREL SOBRE ÚMEROS ORMAIS 2 Teorema 32 (Borel). Quase todos os números do intervalo [,] são absolutamente normais. Esta seção é dedicada à prova do Teorema de Borel. Iniciamos observando que há uma correspondência entre a expansão de um número α nas bases b e b k. De fato cada bloco de tamanho k na expansão em base b corresponde a um b dígito na expansão em base b k. Exemplo 33. Se b = 2 então b 3 = 8. Para cada bloco de tamanho 3 na base 2 corresponde um bloco de tamanho na base 8. Definição 34. Um real α é simplesmente normal em base b se em sua expansão nesta base cada um dos b-dígitos ocorre com frequência /b. Vamos mostrar que a prova do Teorema de Borel pode ser reduzida ao estudo dos números simplesmente normais. Lema 35. Fixados α [, ] e uma base b 2 temos: se α, bα, b 2 α,... são simplesmente normais em todas as bases: b, b 2,... (potências de b), então α é normal em base b. Demonstração. Fixado o bloco B k, consideramos a base b k e o correspondente bloco de tamanho que denotaremos por d. Para cada : # b (B k ; k( +) ; α) = # b k(d; ; α)+# b k(d; ; b.α)+...+# b k(d; ; b k α). Como por hipótese α, bα,..., b k α são simplesmente normais na base b k, concluímos que # b (B k ; k( + ) ; α) lim k = b k.

22 22 [CAP. 3: ITRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA Como concluímos a prova. lim k k( + ) =, Exercício 36. Mostre que se para cada base b 2, quase todos os números são simplesmente normais, então quase todos os números são absolutamente normais. sugestão: Utilize o lema anterior e o Exercício 7. Segue que o Teorema de Borel é consequência do teorema abaixo Teorema 37. Fixada uma base b 2, quase todos os números são simplesmente normais nesta base. A prova que vamos apresentar utiliza estimativas contidas em [9]. o que segue, vamos analisar os blocos de tamanho k, denotados por B k. Definição 38. Fixado ε (, ), vamos dizer que um bloco B k escrito em base b é ɛ normal se qualquer b dígito ocorre em B k com freqüência entre b ε e b + ε. Para provarmos o Teorema 37, será útil uma estimativa para o número de blocos de tamanho k que não são ɛ normais. Exemplo 39. O bloco é ɛ normal em base, seja qual for a escolha de ε (, ). A expressão freqüência aqui representa a razão entre o número de ocorrências e número total de b-dígitos, k.

23 [SEC. 3.2: TEOREMA DE BOREL SOBRE ÚMEROS ORMAIS 23 Exemplo 4. Seja α = (.a a 2 a 3...) b um número normal em base b. Fixado ε, temos que, para n suficientemente grande, o bloco a a 2...a n é ε normal em base b. Lema 4. Sejam c um real positivo, B k um bloco da base b e ε (, ). Se cada b dígito ocorre entre c(2 ε) b em base b. e c(2+ε) b vezes em B k, então B k é ε normal Demonstração. Se cada b dígito ocorre em B k entre c(2 ε) b e c(2+ε) b vezes, então B k possui entre c(2 ε) e c(2 + ε) dígitos e cada dígito ocorre em B k com freqüência entre Resta verificar que (2 ε) b(2 + ε) e (2 + ε) b(2 ε). (2 ε) ε b b(2 + ε) (2 + ε) b(2 ε) b + ε. Mas (2 ε) ε b b(2 + ε) bε (2 ε) (2 + ε) 2 + ε 2bε bε 2 2 ε ε( 2b bε) ε 2b bε 2 b(2 + ε) o que é verdade pois b 2 e ε >. Analogamente, (2 + ε) b(2 ε) + ε 2 b(2 ε), b o que é verdade pois b 2 e ε (, ).

24 24 [CAP. 3: ITRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA otação 42. Com base neste último lema, fixados um inteiro positivo k e ε (, ), vamos denotar por k(2 ε) k(2 + ε) r = r(k, ε) = e R = R(k, ε) =, 2b 2b onde z denota o maior inteiro menor ou igual a z e z denota o menor inteiro maior ou igual a z. Corolário 43. Sejam k um inteiro positivo, ε (, ) e B k um bloco em base b. Se cada b dígito ocorre entre r + e R vezes em B k, então B k é ε normal na base b. Demonstração. Inicialmente, note que r k(2 ε) 2b < r + e R < logo cada dígito da base b ocorre entre k(2 ε) 2b k(2 + ε) 2b e k(2+ε) 2b aplicando o lema anterior com c = k/2, concluímos a prova. R, vezes em B k. Daí, otação 44. Fixado um inteiro positivo k, para cada s vamos denotar por T s = T s (k) = (b ) k s k = (b ) k s k! s (k s)!s!. Lema 45. Dados um inteiro positivo k e ε (, ), o número de blocos de tamanho k que não são ε normais na base b é menor ou igual a ( r ) k b T s + T s. s= Demonstração. Pelo corolário anterior, é suficiente estimar um valor máximo para o número de blocos de tamanho k que possuem pelo menos um b dígito s=r d que ocorre entre e r ou entre R e k vezes em sua expansão.

25 [SEC. 3.2: TEOREMA DE BOREL SOBRE ÚMEROS ORMAIS 25 Afirmamos que o número de blocos de tamanho k que contêm o b dígito d ocorrendo s vezes é T s = (b ) k s k! (k s)!s!. De fato, há k s = k! formas diferentes de os dígitos d estarem posici- (k s)!s! onados. as demais posições há (b ) possibilidades de dígitos. Concluímos que o número de blocos de tamanho k onde o dígito d ocorre entre e r ou entre R e k vezes em sua expansão é igual a r T s + k s= s=r T s Lembrando que temos b dígitos na base b, concluímos a prova. Lema 46. Fixados um inteiro positivo k e ε (, ), com as notações 42 e 44 temos: (i) r s= T s < (k + )T r (ii) k s=r T s < (k + )T R. Demonstração. Para verificarmos (i) observamos que r < k/b e que (k k/b) k/b = (b ), portanto j k/b, (k j + ) j > b. (3.)

26 26 [CAP. 3: ITRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA Daí: r r ( T s = T r + (b ) k s k! s= s= r = T r + s= r ) (k s)!s! ( (b ) k r (b ) r s k! ( ( r < T r + (b ) k r s= j=s+ r ( ) = T r + (b ) k r k! (k r)!r! s= r = T r = (r + )T r < (k + )T r. s= (k s)!s! ) (k j + ) j ) (3.) < ) k! (k s)!s! Daí: Para verificarmos (ii) observamos que R > k/b e que k/b (k k/b) = b, portanto j k b +, k T s = T R + s=r = T R + < T R + = T R + s=r+ s=r+ s=r+ j=r+ j (k j + ) > b. (3.2) k ( ) (b ) k s k! (k s)!s! k ( ) ((b ) k R k! (b ) s R (k s)!s! ( ( k s ) (b ) k R j (k j + ) k s=r+ ( ) (b ) k R k! (k R)!R! = ) (3.2) < k! (k s)!s! ) k T R < (k + )T R. s=r Dos Lemas 45 e 46 obtemos

27 [SEC. 3.2: TEOREMA DE BOREL SOBRE ÚMEROS ORMAIS 27 Corolário 47. Dados um inteiro positivo k e ε (, ), o número de blocos de tamanho k que não são ε normais na base b é menor ou igual a b(k + )(T r + T R ). Observamos que, dados um inteiro positivo k e um inteiro positivo s < k : T s+ (k s )!(s+)! = (b )k s k! T s (b ) k s k! (k s)!s! = k s (s + )(b ). (3.3) Decorre daí que T s+ T s é decrescente em s, ou seja, < s < s 2 < k T s + T s > T s 2 + T s2. (3.4) otação 48. Fixados um inteiro positivo k e ε (, ), vamos denotar por Vamos denotar, ainda, por k r = r (k, ε) = 2b (2 ε k(4 ε) 2 ) = e 4b k R = R (k, ε) = 2b (2 + ε k(4 + ε) 2 ) =. 4b ρ = T r ; ρ 2 = T R T r T R + e Ψ = Ψ(ε) = + ε 4(b ) ote que, pela otação 42 r r R R. Lema 49. Com as notações anteriores temos que ρ, ρ 2 Ψ >.

28 28 [CAP. 3: ITRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA Demonstração. É claro que Ψ = + ε >. Além disso, 4(b ) (3.3) = k r + k k(4 ε) + r (b ) = 4b ρ = T r T r k(4 ε) 4b k k(4 ε) + 4b k(4 ε) (b ) k k + εk b 4b k = 4b (b )k b = + Da mesma forma ρ 2 = T R T R + = k(4+ε) + εk 4b k b (b ) = ((b ) + ε 4 ε 4(b ) = Ψ. (3.3) = (R + )(b ) k R = + 4b (b ) k k(4+ε) 4b k + εk b 4b (b )k b ( b ) k(4+ε) 4b k + εk b 4b (b ) k k b (b ) (b ) (b ) + )(b ) k k(4+ε) 4b (b ) = + ε 4 b (b ) = + ε 4 > Ψ. Lema 5. Com as notações anteriores, dado ε (, ), para cada k inteiro positivo suficientemente grande temos: i) T r Ψ εk 5b < T r < b k ; ii) T R Ψ εk 5b < T R < b k. Demonstração. A segunda desigualdade de i) e ii) decorre do Binômio de ewton pois b k = ((b ) + ) k = k k (b ) k s = s s= k s= T s

29 [SEC. 3.2: TEOREMA DE BOREL SOBRE ÚMEROS ORMAIS 29 e r, R {,..., k}. que Para provarmos a primeira desigualdade de i) observamos inicialmente k(4 ε) 4b k(2 ε) 2b = εk 4b = Logo, para k suficientemente grande, k(4 ε) k(2 ε) r r = 4b 2b Então, aplicando o lema anterior, obtemos k(4 ε) k(2 ε) 4b 2b > εk 4b 2 εk 5b. > εk 4b 2. Ψ εk 5b Lema 49 ρ εk 5b < ρ r ( r Tr = T r ) r r (3.4) < < T r T r... T r+ = Tr. T r T r 2 T r T r A prova da primeira desigualdade de ii) é análoga: k(2 + ε) 2b k(4 + ε) 4b = εk 4b k grande = R R > εk 5b, daí Ψ εk 5b Lema 49 ρ εk 5b 2 < ρ R R ( TR 2 = T R + ) R R (3.4) < < T R T R +... T R = TR. T R + T R +2 T R T R Corolário 5. Dados ε (, ) e um inteiro positivo k suficientemente grande, o número de blocos de tamanho k que não são (ε, ) normais na base b é menor ou igual a 2b(k + ) ( ) Ψ ε k 5b b.

30 3 [CAP. 3: ITRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA Demonstração. Pelos ítens i) e ii) do último lema temos (T r + T R )Ψ εk 5b < 2b k, para k suficientemente grande. Daí b(k + )(T r + T R ) 2b(k + ) ( Ψ ε 5b b ) k. Agora basta aplicar o Corolário 47. Lema 52. Dado ε (, ) existem δ = δ(ε) < e k tais que, para todo k k, o número de blocos de tamanho k que não são ε normais na base b é menor que b δ.k. Demonstração. Aplicando o Corolário anterior, vemos que é suficiente mostrar que existe δ < tal que para k suficientemente grande 2b(k + ) ( Ψ ε 5b b ) k < b δ.k. Para isso observamos que, como Ψ >, então Ψ ε 5b <, e Ψ ε 5b b < b. Logo podemos escolher um c < tal que Ψ ε 5b b < b c. Seja c satisfazendo < c < c. Para k suficientemente grande 2b(k + ) < b c k, pois a expressão à esquerda é linear em k, enquanto a expressão à direita é exponencial em k. Segue que 2b(k + ) ( Ψ ε 5b b ) k < b (c +c)k Chamando δ = c + c concluímos a prova.

31 [SEC. 3.2: TEOREMA DE BOREL SOBRE ÚMEROS ORMAIS 3 Prova do Teorema 37: Para cada bloco B k = b...b k em base b associamos o intervalo [ b...b k C(B k ) :=, b )...b k +. b k b k Fixados m e ε = m, tomamos δ e k determinados pelo lema anterior. Seja Seja X m,k = {C(B k ) : B k não é m normal}. X m = s k k s X m,k. Se α está em [, ] X m então para qualquer b dígito d: b m lim inf # b (d; ; α) lim sup # b (d; ; α) b + m. Como, pelo lema anterior, X m,k tem no máximo b kδ intervalos, todos de tamanho b k, concluímos que a medida de Lebesgue m (X m,k ) é menor ou igual a (b δ ) k. Segue que para cada s k : ( ) m (X m ) m X m,k (b δ ) s + (b δ ) s (b δ ) s (b δ ). k s Então como s é qualquer, fazendo s, concluímos que m(x m ) =. Pelo Exercício 7 o conjunto X = X X 2... tem medida zero. Observamos que se α está em [, ] X então α é simplesmente normal na base b.

32 Capítulo 4 Distribuição de Sequências Vamos iniciar este capítulo com o estudo de sequências equidistribuídas em [, ]. Como veremos abaixo, este conceito está intimamente ligado com o de normalidade. a seção seguinte apresentamos o conceito de função de distribuição, relacionado ao estudo de expansões quaisquer e não necessariamente normais. 4. Sequências equidistribuídas Em [2] há uma excelente exposição de resultados sobre sequências equidistribuídas. Vamos aqui expor apenas alguns resultados úteis para provar o Critério de ormalidade, que será apresentado no próximo capítulo, junto com algumas aplicações. otação 53. Seja (x n ) n uma seqüência de números em [, ]. Dados um conjunto I [, ] e um natural, denotamos por #(I; ; (x n )) o número 32

33 [SEC. 4.: SEQUÊCIAS EQUIDISTRIBUÍDAS 33 de vezes em que os primeiros termos de (x n ) n visitam I, ou seja #(I; ; (x n )) = #{s {,...} : x s I}. Se α é um número real, denotamos por {α} ou α mod(), a parte fracionária de α (o único real em [, ) que difere de α por um inteiro). Se (x n ) é uma sequência de números reais, denotaremos por ({x n }) a correspondente sequência formada pelas partes fracionárias dos x n. Seja α =.a a 2 a 3... Construímos, a partir de α, uma sequência x n = { n α} = n α mod (). Assim, por exemplo: Se considerarmos a aplicação x = { α} =.a a 2 a 3..., x = { α} =.a 2 a 3 a 4..., x 2 = { 2 α} =.a 3 a 4 a 5..., T : [, ) [, ), definida por T (x) = {x} = x mod(), vemos que (x n ) representa a órbita de α pela aplicação T, ou seja x = α, x = T (α), x 2 = T 2 (α) = T (T (α)),... Definição 54. Dado um bloco B k = b...b k, definimos o cilindro de B k por C(B k ) = {.a a 2... : a = b,..., a k = b k } [ = (.b...b k ), (.b...b k ) + ). k

34 34 [CAP. 4: DISTRIBUIÇÃO DE SEQUÊCIAS É natural esperarmos que as ocorrências de B k na expansão de α estejam relacionadas com as visitas de α ao intervalo C(B k ). Por exemplo, se o quinto dígito de α é 2 então naturalmente 4 α [2/, 3/), ou seja 4 α C(2). Exercício 55. Em particular visita: #(B k ; ; α) = #(C(B k ); k + ; ({ n α})). #(B k ; ; α) #(C(B k ); ; ({ n α})) #(B k ; ; α) + k. Segue do exercício acima que se α é normal então a sequência ({ n α}) [, /),..., [9/, ) com frequência /. 99 [, ),..., [, ) com frequência /, etc. Exercício 56. α é normal se e somente se, para quaisquer naturais k e x com [ x k, x+ ) [, ), temos que k ([ x lim #, x + k k ) ) ; ; ({ n α}) =. k O exercício acima indica que quando α é normal, a sequência ({ n α}) tem uma distribuição uniforme sobre o intervalo [, ]. Definição 57. Uma seqüência (x n ) em [, ] é dita equidistribuída se, dados quaisquer reais r e s com r < s, temos que lim #([r, s); ; (x n)) = s r. Exercício 58. Mostre que seria equivalente, na definição anterior, considerar intervalos da forma [r, s], (r, s), (r, s].

35 [SEC. 4.: SEQUÊCIAS EQUIDISTRIBUÍDAS 35 Exercício 59. Mostre que α é normal se e somente ({ n α}) é equidistribuída. Em alguns momentos será conveniente uma análise que não considere intervalos do tipo [, s) nem [r, ). Para isso será útil o lema abaixo. Lema 6. Uma seqüência (x n ) de números em [,) é equidistribuída se e somente se para quaisquer < r < s < lim #([r, s); ; (x n)) = s r. (4.) Demonstração. Supondo (4.) e fixado < x <, temos que para quaisquer r, s satisfazendo < r < x < s < : #([x, s); ; (x n )) s + x = lim lim inf lim #([, x); ; (x n )) #([r, x); ; (x n )) Fazendo s e r concluímos que Segue também que #([x, ); ; (x n )) lim lim sup x r. #([, x); ; (x n )) lim = x. #([, x); ; (x n )) = lim #([, x); ; (x n )) = x. Teorema 6. Uma seqüência (x n ) em [, ] é equidistribuída se e somente se, para toda função contínua f : [, ] R, satisfazendo f() = f(): lim n= f(x n ) = f(x) dx. (4.2)

36 36 [CAP. 4: DISTRIBUIÇÃO DE SEQUÊCIAS Demonstração. (= ) Se (x n ) é equidistribuída então (4.2) é satisfeita para qualquer função do tipo f = [r,s], < r < s <. Se f é uma função escada, digamos, então, k f(x) = c i [ri,r i+ )(x), < r < r <... < r k <, lim i= k f ((x n )) = n= c i lim i= [ri,r i+ )((x n )) n= k = c i [ri,r i+ ) (x) dx = i= f (x) dx. Vamos supor agora que f é uma função contínua. este caso, pela definição de integral de Riemann, dado ε >, existem duas funções escada f e f 2 tais que f (x) f(x) f 2 (x) para todo x [, ] e Então: f(x)dx ε = lim inf lim sup [f 2 (x) f (x)] dx ε. f (x)dx = lim = lim n= n= n= f(x)dx + ε. n= f (x n ) lim inf f (x n ) f(x n ) lim sup f 2 (x n ) = f 2 (x)dx n= n= f(x n ) f 2 (x n )

37 [SEC. 4.: SEQUÊCIAS EQUIDISTRIBUÍDAS 37 Como ε pode ser arbitrariamente pequeno, concluímos que obrigatoriamente lim inf n= f(x n ) = lim sup n= f(x n ) = f(x) dx. ( ) Seja [r, s) um intervalo arbitrário, onde < r < s <. mostrarmos que Basta lim [r,s) (x n ) = n= [r,s) (x) dx. (4.3) Dado ε >, como < r < s <, existem duas funções contí nuas g e g 2 (em forma de trapézio), g () = g () = g 2 () = g 2 () =, satisfazendo: e g (x) [r,s) (x) g 2 (x) x [, ) g 2 (x) g (x) dx ε. Sobre g e g 2 podemos aplicar a hipótese da recíproca do teorema e então: s r ε = lim inf lim sup = g 2 (x)dx ε n= g 2 (x)dx g (x n ) lim inf n= g (x)dx hipótese = lim [r,s) (x n ) lim [r,s) (x n ) n= n= g (x)dx + ε s r + ε. g (x n ) n= g 2 (x n ) hipótese = Como ε pode ser arbitrariamente pequeno, concluímos a prova. Encerramos esta seção com alguns resultados que serão úteis futuramente.

38 38 [CAP. 4: DISTRIBUIÇÃO DE SEQUÊCIAS Proposição 62. Se (x n), (x 2 n),..., (x k n) são k seqüências equidistribuídas, então também é equidistribuída a seqüência (x n ) := {x,..., x k, x 2,..., x k 2,...}. Demonstração. Inicialmente observamos que #([r, s); k; (x n )) = k #([r, s); ; (x j n)), j= e portanto lim k #([r, s); k; (x n)) = k lim = k lim = k k j= #([r, s); k; (x n)) k #([r, s); ; (x j n)) lim j= #([r, s); ; (xj n)) = s r. Exercício 63. Se ({x n }) é equidistribuída e ({y n }) é convergente, então ({x n + y n }) é equidistribuída. Exercício 64. Se x n é equidistribuída e c é um inteiro então a sequencia ({c.(x n )}) é equidistribuída Como consequência concluímos que se α é normal, então {cα} é normal para qualquer inteiro c.

39 [SEC. 4.2: FUÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ASSITÓTICA Função de distribuição Assintótica Convenção- Dado a [, ), convencionamos que para qualquer seqüência (x n ) em [, ). #([a, a); ; (x n )) =. Definição 65. Seja (x n ) uma seqüência de números em [, ]. Suponhamos que para cada x [, ] existe o lim #([, x); ; (x n)). Então dizemos que (x n ) possui a função de distribuição assintótica (abrev. f.d.a.) z : [, ] [, ] definida por z(x) = lim #([, x); ; (x n)). Exercício 66. Mostre que a sequência ({ n α}), onde α está definido no Exercício 2, não possui uma função de distribuição assintótica. Se a f.d.a. z existir então ela é não decrescente, com z() = (pela convenção anterior) e z() =. Uma função é equidistribuída se e somente se tem a f.d.a. z(x) = x. Definição 67. Seja (x n ) uma seqüência de números em [, ]. Dizemos que uma função z : [, ] [, ] é uma função de distribuição (abrev. f.d.) de (x n ) se existe uma seqüência crescente de naturais, 2,... tal que para cada x [, ] lim #([, x); i ; (x n )) = z(x). i i Alternativamente diremos também que z é uma f.d. de (x n ) sobre, 2,..., quando for útil destacar ( i ).

40 4 [CAP. 4: DISTRIBUIÇÃO DE SEQUÊCIAS Obviamente uma f.d. é uma candidata a ser f.d.a. Enquanto uma sequência pode não ter uma f.d.a., queremos mostrar que ela sempre admite uma f.d. o próximo capítulo esse fato será útil; lá vamos supor que uma sequência tem pelo menos uma função de distribuição z e mostrar que obrigatoriamente qualquer função de distribuição satisfaz z(x)=x. Lema 68. Seja (F n ) = F, F 2,... uma seqüência de funções F n : [, ] [, ] e C um conjunto enumerável de [, ]. Então existe uma subseqüência (F nj ) de (F n ) tal que existe para todo x de C. lim F n j (x) j Demonstração. Basta usar o argumento da diagonal de Cantor e que toda seqüência limitada possui subseqüência convergente: Suponhamos C = {x, x 2,...}. Como (F n (x )) n é limitada, possui uma subseqüência convergente que denotaremos por (F n(x )). Analogamente, (F n(x 2 )) n possui uma subseqüência convergente, digamos (F 2 n(x 2 )). Continuando o processo sempre obtemos um novo refinamento da seqüência de funções inicial. Tomamos agora a seqüência (F nj ) de funções, formada pela escolha da j-ésima função de (F j n), para j =, 2, 3,..., ou seja, tomando-se a primeira função de (F n), a segunda função de (F 2 n) e assim por diante. Então (F nj ) satisfaz a condição desejada. Teorema 69. Toda seqüência (x n ) em [, ] possui pelo menos uma f.d.. Demonstração. Considere a seqüência de funções F : [, ] [, ] dadas por F (x) = #([, x); ; (x n)).

41 [SEC. 4.2: FUÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ASSITÓTICA 4 Usando o lema anterior, com C = Q, obtemos uma subseqüência ( j ) tal que (F j (x)) converge, para todo x racional em [, ]. A função limite z(x) = lim j F j (x) está portanto bem definida nos racionais. Considere agora z(x) = lim sup j F j (x) e z(x) = lim inf j F j (x). Observamos que z(x) = z(x) = z(x) para todo x racional. Seja y [, ]\Q. Se z é contínua em y, seja (x i ) uma seqüência de racionais que converge a y pela direita. Então, como z é não decrescente, para todo i temos e portanto z(y) z(x i ) = z(x i ), z é contínua em y z(y) lim z(x i ) = z( lim x i ) = z(y). i i Concluímos que C = {y [, ]\Q; z é descontínua em y} é o maior conjunto onde z pode diferir de z. Como z é não decrescente, o conjunto C é enumerável. Aplicando novamente o Lema anterior garantimos uma subseqüência ( s ) de ( j ) tal que existe lim s F s (x) x [, ]. A função z : [, ] [, ] dada por z(x) = lim s F s (x) é então uma f.d. de (x n ) sobre ( s ). Corolário 7. Seja (x n ) uma seqüência em [, ]. Fixados x (, ) e α [, ], suponhamos que existe uma seqüência crescente de números naturais, 2,... tal que lim #([, x ); j ; (x n )) = α. j j Então (x n ) possui uma f.d. z : [, ] [, ], tal que z(x ) = α.

42 42 [CAP. 4: DISTRIBUIÇÃO DE SEQUÊCIAS Demonstração. É a mesma prova do teorema anterior, apenas partindo-se das funções F j (x) e não de F (x). Corolário 7. (x n ) possui a f.d.a z se e somente se z é a única f.d. de (x n ). Demonstração. ( ): Basta lembrar que se a seqüência ( ) #([, x); ; (x n)) converge a z(x), então qualquer subseqüência converge ao mesmo valor. ( ): Se por absurdo existe x tal que ( ) #([, x ); ; (x n )) z(x ), então existe α z(x ) e uma seqüência crescente de naturais, 2,... tal que lim #([, x ); j ; (x n )) = α. j j Então, pelo corolário anterior, (x n ) possui uma f.d. z : [, ] [, ], tal que z (x ) = α z(x ). Isso contraria a hipótese de z ser única. Teorema 72. Se uma função contínua z é uma f.d. de (x n ) sobre, 2,... então, existe uma probabilidade µ z tal que para toda função contínua f : [, ] [, ] lim i i i n= f(x n ) = Demonstração. Iniciamos mostrando que existe lim i i i n= f(x n ). f dµ z.

43 [SEC. 4.2: FUÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ASSITÓTICA 43 Se f é uma função escada, digamos, então, k f(x) = c i [ri,r i+ )(x), = r < r <... < r k =, lim i i= i i n= k f (x n ) = i c i lim i i= i n= k = c i (z(r i+ ) z(r i )). i= [ri,r i+ )(x n ) = Vamos supor agora que f é uma função contínua. Dado ε >, existem duas funções escada f e f 2 tais que f (x) f(x) f 2 (x) f (x) + ε para todo x [, ]. Então: lim i Assim i i n= f (x n ) = lim inf i lim sup i lim sup i = lim i i i n= i i n= i i n= i i n= f(x n ) lim inf i f (x n ) lim inf i f(x n ) lim sup i f 2 (x n ) lim i i i n= i i n= i i n= i i n= f(x n ) ε. f(x n ) f 2 (x n ) f (x n ) + ε. Como ε pode ser arbitrariamente pequeno, concluímos que obrigatoriamente existe lim i i i n= f(x n ). (4.4) Seja Ψ a aplicação que para cada função contínua f : [, ] R associa o limite (4.4). É fácil ver que Ψ é linear, Ψ(f) se f e que Ψ( [,]) =.

44 44 [CAP. 4: DISTRIBUIÇÃO DE SEQUÊCIAS Pelo Teorema da Representação de Riesz existe uma única probabilidade µ z tal que para toda função contínua f : [, ] [, ]: lim i i i n= f(x n ) = f dµ z.

45 Capítulo 5 Critério de ormalidade Lema 73. Seja ν uma probabilidade tal que existe uma constante C > satisfazendo f dν C f(x)dx para toda função contínua f : [, ] [, ], f() = f(). Então para todo conjunto mensurável E, ν(e) C.m(E). Demonstração. Iniciamos supondo que E, é um intervalo. Fixado ε > existem funções continuas f e f 2, satisfazendo: f (x) E (x) f 2 (x), f 2 (x) dx f (x) dx + ε e f i () = f i (). Segue que ν(e) f 2 dν C f 2 (x) dx C( f (x) dx + ε) C.m(E) + Cε. Como C é uma constante fixada, fazendo ε, concluímos o desejado. 45

46 46 [CAP. 5: CRITÉRIO DE ORMALIDADE Agora estudamos o caso geral. Se E é um conjunto mensurável, então (pela Proposição 24) para cada ε >, existe uma coleção de intervalos abertos O = A A 2... tal que E O e i m(a i) m(e) < ε. Segue que ν(e) ν(o) i ν(a i ) C i m(a i ) C(m(E) + ε) = C.m(E) + Cε. Como C é uma constante fixada, fazendo ε, concluímos o desejado. Lembramos que partindo de um número fixado α =.a a 2 a 3... podemos construir uma sequência (x n ), onde x n = { n α} = n α mod (). Se considerarmos a aplicação T : [, ) [, ), definida por T (x) = x mod(), vemos que x n = ({ n α}) representa a órbita de α pela aplicação T, ou seja x = α, x = T (α), x 2 = T 2 (α) = T (T (α)),... Teorema 74 (Critério de ormalidade - primeira versão). - Seja α um número em [, ]. Suponha que existe uma constante C > tal que, para toda função contínua f : [, ] [, ], f() = f(), lim sup n= f(({ n α})) C Então { n α} é equidistriuída e portanto α é normal. f(x)dx. (5.)

47 Demonstração. Supondo (5.), afirmamos que a função identidade é a única f.d. da seqüência ({ n α}). Seguirá disso que, pelo Corolário 7, z(x) = x é a f.d.a da seqüência ({ n α}), ou seja, ({ n α}) é equidistribuída. Para mostrarmos que z(x) = x é a única f.d., iniciamos observando que pelo Teorema 69 existe pelo menos uma f.d. para a seqüência ({ n α}). Seja então z(x) uma f.d. sobre, 2,..., para a seqüência ({ n α}). Queremos mostrar que z(x) = x. Pelo Teorema 72, existe uma probabilidade µ z tal que lim i i i n= f({ n α}) = 47 f dµ z, (5.2) para toda função contínua f : [, ] [, ], e portanto, da hipótese, obtemos que f dµ z C f(x)dx. (5.3) Seja T : [, ] [, ] a aplicação definida por T (x) =.x mod (). Como f() = f(), a função g : [, ] [, ], dada por g(x) = f(t (x)), é contínua e g() = g(). Podemos aplicar (5.2) à função g e obter: lim i i i n= f({ n+ α}) = f(t (x)) dµ z. (5.4) Além disso i i n= f({ n+ α}) i i n= f({ n α}) 2, i o que mostra que os dois limites em (5.2) e (5.4) são idênticos. Conseqüentemente f T dµ z = f dµ z. (5.5)

48 48 [CAP. 5: CRITÉRIO DE ORMALIDADE Repetindo estes argumentos, por indução obtemos, para todo n f T n dµ z = f dµ z (x). (5.6) Como f é contínua em [, ], e x é normal em q.t.p., lim n= f(t n (x)) = f(t) dt, (5.7) para todo x [, ]\E, onde E [, ] possui medida de Lebesgue zero. Pelo Lema anterior, Concluímos assim que para µ z q.t.p. x µ z (E) C.m(E) =. (5.8) f(t n (x)) n= f(t)d(t). Pelo Teorema da Convergência Dominada (TCD) obtemos: Segue de (5.2) que f dµ z = lim lim i n= = lim n= ( = lim ( = = i i n= f(x)dx. n= f dµ z (5.6) = ) f(t) dt dz f({b n α}) = f T n dµ z f T n ) f(x) dx. T CD dµ z =

49 Como f é arbitrária, concluímos que z(x) = x. Isso mostra que z(x) = x é a única f.d. de ({ n α}). 49 Uma generalização deste resultado, pode ser encontrada em [5] pag Comentários um pouco mais avançados: A prova acima pode ser vista como um resultado de Teoria Ergódica: Dada uma transformação T : [, ) [, ), se µ é absolutamente contínua com respeito a ν, ambas probabilidades invariantes e ν ergódica para T, então µ = ν. O Teorema anterior utilizou este fato: - A medida de Lebesgue dx é ergódica para a transformação T : [, ) [, ) dada por x x mod (). - Fixado α [, ), satisfazendo (5.), vemos por (5.6) que toda função de distribuição z para ({b n α}) pode ser associada a uma probabilidade invariante dµ z para T. - Ainda, de (5.) fica garantido, como concluímos no Lema anterior, que dµ z é absolutamente contínua com respeito a dx. Teorema 75 (Critério de ormalidade - segunda versão). - Seja α um número real i) Se existe uma constante C > tal que a seqüência ({ n α}) satisfaz lim sup #([u, v); ; ( n α)) C(v u) para todo [u, v) [, ), então α é normal. ii) Se existe uma constante C > tal que para todo bloco B k

50 5 [CAP. 5: CRITÉRIO DE ORMALIDADE lim sup #(B k ; ; α) C k, para todo bloco B k, então α é normal. iii) Se existem constantes C >, C 2 > e uma seqüência crescente de naturais ( j ) tais que lim sup j j+ j C 2 e lim sup j #(B k ; j ; α) j C k, (5.9) então α é normal. Demonstração. i) Seja f : [, ] [, ] uma função escada, digamos f = k d i [ai,a i ), i= com = a <... < a k = e d i para todo i. Então lim sup n= f({ n α}) = lim sup k i= ( k ) d i [ai,a i )({ n α}) n= d i lim sup k d i C i= i= n= [ai,a i )({ n α}) hip. [ai,a i )(x)dx = C f(x)dx. Seja agora g : [, ] [, ] uma função contínua. Dado ε > existe f escada, como definida acima, tal que g(x) f(x) x [, ) e f(x) g(x)dx < ε C.

51 5 Daí lim sup n= g({ n α}) lim sup C ( C f({ n α}) n= f(x)dx ) g(x)dx + ε. Logo lim sup g({ n α}) C n= e aplicando o Teorema 74 concluímos a prova de i). g(x)dx, ii) Se existe uma constante C > tal que, para todo bloco B k, lim sup #(B k ; ; α) C k, então pelo Exercício 55 concluímos que, para quaisquer naturais k e x com [ x ), x+ k [, ), k lim sup ([ x #, x + ) ) ; ; ({ n α}) C k k. k Decorre que, para quaisquer naturais r, r 2 e k satisfazendo < r < r 2 < k, vale lim sup ([ # r, r ) ) 2 ; ; ({ n α}) C r 2 r. k k k Seja agora [u, v) [, ) um intervalo arbitrário. Dado ε >, existem inteiros r, r 2 e k com < r < r 2 < k tais que: [u, v) [ r k, r 2 k )

52 52 [CAP. 5: CRITÉRIO DE ORMALIDADE e Daí lim sup Logo r 2 r k ( + ε)(v u). # ([u, v) ; ; ({n α})) lim sup lim sup Aplicando i), concluímos a prova de ii). iii) A hipótese ([ # r, r ) ) 2 ; ; ({ n α}) k k C r 2 r k C( + ε)(v u). # ([u, v) ; ; ({n α})) C(v u). lim sup j j+ j C 2, garante que para j suficientemente grande, j+ (C 2 + ) j. Dado, seja j = j() o índice tal que j < j+. Então lim sup #(B k ; ; α) lim sup j #(B k ; j+ ; α) j = (C 2 + ) lim sup j lim sup j #(B k ; j+ ; α) j+ #(B k ; j+ ; α) (C 2 + ) j j j+ (5.9) C (C 2 + ) k. Aplicando ii) com C = C (C 2 + ) concluímos a prova. Algumas aplicações do Critério de ormalidade: Baseados nas idéias descritas em [2], vamos generalizar um resultado de Champernowne que provou que o número (.()()...(9)()...(99)()...(999)...),

53 obtido pelo encadeamento em ordem lexicográfica de todos os blocos de tamanho, seguidos de todos os blocos de tamanho 2, etc., é normal na base. Lema 76. Sejam a n e b n duas seqüências de números reais que convergem ao infinito. Se an b n c > então n= lim a n n= b n = c. Demonstração. Dado ε > existe n tal que, para n n, temos ( ε)c < a n b n < ( + ε)c, 53 ou seja, ( ε)cb n < a n < ( + ε)cb n. Portanto ( ε)c = lim n=n ( ε)cb n n=n b n lim inf n=n a n n=n b n lim sup n=n a n n=n lim ( + ε)cb n n=n b n n=n b n Como a n e b n convergem ao infinito, temos que = ( + ε)c. lim sup n= a n n= b n = lim sup n=n a n n=n b n e lim inf n= a n n= b n = lim inf n=n a n n=n b n, decorrendo que ( ε)c lim inf n= a n n= b n lim sup n= a n n= b n ( + ε)c. Fazendo ε concluímos a prova.

54 54 [CAP. 5: CRITÉRIO DE ORMALIDADE Teorema 77. Seja S n a listagem em qualquer ordem de todos os blocos de tamanho n na base. Então a constante é normal na base. (.S S 2 S 3 S 4...) Demonstração. Seja k um natural e B k um bloco qualquer de k dígitos. Seja j o número de dígitos utilizados para listar S S 2...S j. Como S n possui n n dígitos temos que lim sup j j+ j = + lim sup j (j + ) j+ j + lim j (j + ) j+ j j =, logo, pelo ítem iii) do Critério de ormalidade (Teorema 75), é suficiente mostrarmos que existe uma constante c > tal que para todo bloco B k : lim sup j Se n k então B k ocorre no máximo #(B k ; j ; α) j c k. (n k + ) n k + k n vezes em S n, onde k n é uma cota superior para o número de ocorrências de B k nas n junções de blocos de S n. Decorre daí que lim sup j #(B k ; j ; α) j lim sup j = lim sup j = lim sup j =. k j n=k (n k + )n k + k n j n= nn j n=k (n k + )n k j n= nn j n=k (n k + )n k j n=k nn Lema =

55 O Critério de normalidade e demais resultados deste texto podem ser aplicados para uma base inteira qualquer b 2. Usando este fato vamos provar a seguinte: Proposição 78. Dados s e r naturais não nulos e α um número real, temos que α é b s normal se e somente se α é b r normal. Demonstração. α é b k normal, k. 55 É suficiente mostrarmos que α é b normal se e somente se Suponhamos ser α normal na base b. Então ({b n α}) é equidistribuída. ote que, para qualquer intervalo [u, v) [, ) temos # ( [u, v) ; ; ({b kn α}) ) k k # ([u, v) ; k; ({bn α})). Assim, tomando o limite em ambos os lados: lim sup # ( [u, v) ; ; ({b kn α}) ) k lim = k(v u). k # ([u, v) ; k; ({bn α})) Pelo Critério de ormalidade (aplicado para a base b k ) concluímos que α é normal na base b k. Agora, se α é b k -normal então ({b kn α}) é equidistribuída. Pelo Exercício 64, as seqüências ({b kn+j α}), j =,,..., k são também equidistribuídas. Aplicando a Proposição 62, obtemos que ({b n α}) é equidistribuída, ou equivaletemente, α é b normal. Corolário 79. Se α é normal e s é racional, então α + s é normal. Demonstração. Suponhamos que s possui uma expansão decimal com período de tamanho k. Então, na base k, s possui expansão com período de tamanho. Assim a seqüência ({ kn s}) é convergente. Pela proposição anterior,

56 56 [CAP. 5: CRITÉRIO DE ORMALIDADE ({ kn α}) é também equidistribuída, e aplicando o Exercício 63 garantimos que ({ kn (α+s)}) é equidistribuída, ou seja, α+s é k normal. O teorema anterior nos garante que α + s é normal. Teorema 8. Se α é normal e r é um racional não-nulo, então rα é normal. Demonstração. Pelo Exercício 64, é suficiente estudarmos o caso r = q, onde q. { } Dado [u, v) [, ), se s α [u, v) então q { s α} {{y} : y [uq, vq)} =: E. Portanto ( ({ })) n α # [u, v); ; #(E; ; ({ n α})). q Se (v u) < ou, equivalentemente q(v u) < ; garantimos que q [{uq}, {vq}), se {uq} < {vq} E = [, {vq}) [{uq}, ), se {uq} {vq} e que m(e) = q(v u), onde m é a medida de Lebesgue. Daí, como por hipótese α é normal, ( ({ })) n # α [u, v); ; q lim sup lim #(E; ; {n α}) = q(v u). Se [u, v) é um intervalo arbitrário, podemos tomar [u, v) = [u, u 2 )... [u k, u k ) com (u j u j ) < q lim sup #([u, v); ; α k {n }) q j {2,..., k}, daí j= lim sup ( ) # [u j, u j+ ); ; { bn α q }