GALILEU GALILEI E UM CORPO QUE CAI. CONTEÚDOS Movimentos sob ação da gravidade Queda dos corpos Resistência do ar Aceleração da gravidade

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1 GALILEU GALILEI E UM CORPO QUE CAI CONTEÚDOS Movimentos sob ação da gravidade Queda dos corpos Resistência do ar Aceleração da gravidade AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS A aceleração dos corpos próximos à superfície terrestre Este capítulo possui uma importante relação com aquele outro denominado Parado ou em Movimento?, deste material didático. Naquele capítulo, refletimos sobre o M.R.U.V. (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado) que também estará presente nas discussões que propormos aqui. Isso porque, corpos em queda próximos à superfície do nosso planeta estão sujeitos a uma aceleração, conhecida como aceleração da gravidade, que na Física é simbolizada por g. Figura 1 Corpos em queda próximos à superfície terrestre Fonte: Freerangestock

2 A aceleração da gravidade possui valores diferentes na Terra, na Lua e em outros planetas. Na Terra, seu valor é de aproximadamente 10 m/s. Na Lua, o valor de 1,6 m/s. Mas qual o significado desses valores? Isso significa que um corpo em queda, levará mais tempo para cair ao chão na Lua do que na Terra. Em Júpiter g vale 6 m/s, quase três vezes o valor da aceleração da gravidade na Terra. Em Júpiter, caso fosse possível, realizarmos o experimento, um corpo em queda cairia muito mais rapidamente do que na Terra. A aceleração da gravidade é o resultado da força de atração que a Terra exerce em todos os corpos. Sobre forças, falaremos no capítulo Isaac Newton e as leis do Movimento parte 1. Ou seja, a aceleração da gravidade é a intensidade do campo gravitacional em um Figura Esportista pulando do alto de uma montanha Fonte: Freerangestock determinado ponto. Um exemplo é a aceleração da gravidade na Terra ao nível do mar e à latitude de 45,(g) possuindo o valor aproximado de 9,80665 m/s². A queda dos corpos próximos à superfície da Terra Caso seja possível, realize o seguinte experimento: Separe alguns materiais como: folha de papel, caderno, borracha, bolinha de isopor, bolinha de gude etc. Pegue-os, dois a dois, e segure-os a uma mesma altura e depois de alguns instantes solte-os ao mesmo tempo. Feito o experimento responda: Quem chegou primeiro ao chão? Caso suas observações estejam corretas, você deve concluir que os mais pesados sempre chegam primeiro ao solo. Mas será que isso é sempre verdade?

3 Para responder a essa pergunta, seria interessante que você pesquisasse sobre o significado da expressão vácuo. Depois de sua pesquisa sobre o vácuo, imagine que você pudesse repetir o experimento num local onde pudesse desprezar a resistência do ar. A que conclusões você chegaria? Observe nas figuras A e B a seguir, o resultado do experimento realizado com uma pena e com um prego de ferro. Quando o experimento é feito num tubo de vidro aberto, o prego de ferro chega primeiro ao solo, em relação à pena (figura A). Quando o experimento é feito num tubo de vidro fechado e do qual foi retirado o ar, o prego de ferro e a pena chegam juntos ao solo (figura B). Quer ver este experimento realizado na Lua? Acesse o link sugerido a seguir e observe o resultado do experimento feito por um astronauta da Nasa em uma das viagens ao nosso satélite. A Figuras 3 Pena e prego de ferro soltos de dois diferentes ambientes Fonte: Fundação Bradesco B Figuras 4 Experimento com martelo e uma pena realizado na Lua Fonte: Youtube O vídeo está disponível em: < Acesso em: 3 fev h36min.

4 Diante dessas reflexões e resultados, podemos concluir que: Corpos diferentes soltos de uma mesma altura caem juntos e atingem o chão ao mesmo tempo. Desprezando-se a resistência do ar os corpos chegam simultaneamente ao chão Ao realizarmos um experimento, na verdade, estamos criando condições para que um fenômeno ocorra. E muitos fenômenos nem sempre são fáceis de observar. Relações matemáticas na queda dos corpos Comentamos no início deste capítulo, que as equações do M.R.U.V. também se aplicam à queda dos corpos. Neste sentido, as funções da posição e da velocidade no M.R.U.V. aqui também fazem o papel de descrições matemáticas de fenômenos físicos. A aplicação da Matemática na explicação e previsão dos fenômenos naturais, iniciou-se com a Física e estendeu-se ao longo dos tempos para a Química e Biologia. Hoje em dia, perspectivas sem precedentes para o avanço científico estão sendo delineadas pelo uso sistemático da Matemática nessas áreas. Mas, de que forma fazemos a conexão entre um fenômeno físico e a Matemática? A B C 0 5 m 0 m Por exemplo, a queda de um corpo (uma bola) pode ser representada como a relação entre a posição do corpo (que chamaremos de Y) e o tempo (t) de queda. Essa relação, que representa os dados observados, possibilita a realização de previsões sobre o comportamento da pedra que cai. Ou seja, utilizando a relação descoberta, podemos determinar em que altura o corpo estará depois de alguns segundos, por exemplo. D 45 m Como podemos escrever a relação existente entre as posições (Y) ocupadas pelo corpo ao longo da queda e tempo t? Considere que na figura ao lado, fotografamos a queda do corpo em intervalos de 1 s. No quadro a seguir, relacionamos as posições e o tempo. E 80 m Figuras 5 Pedra em queda livre Fonte: Fundação Bradesco

5 y (em metros) t (em segundos) s 0 s 45 3s 80 4s Na busca no quadro, por uma relação matemática entre as posições e o tempo, conseguese relacionar os valores de tempo (1 s, s, 3 s e 4 s) com as posições (5 m, 0 m, 45 m e 90 m), da seguinte maneira: 5 = 5.(1) 0 = 5.() 45 = 5.(3) 80 = 5.(4) Atente que elevando o tempo ao quadrado e multiplicando por um valor (no nosso caso, 5), obtemos o valor da posição. Então, generalizando, podemos escrever que: A posição y é igual ao tempo ao quadrado, multiplicado por cinco. Em linguagem matemática podemos escrever na seguinte forma: y = 5.(t) Considerando que a variável t está elevada ao quadrado (t ), a função é denominada função do segundo grau. Uma função típica do º grau que aparece nos estudos do M.R.U.V. é a função horária da posição, que no movimento de um corpo em queda livre é escrito na forma: y = y o + v o.t +1.at Lembra da equação y = 5.(t) que associamos ao movimento da pedra em queda? Compare-a com a função horária das posições no M.R.U.V. y = y o + v o.t +1.at y = 5t Comparando as duas funções percebemos que somente o termo associado a t aparece em ambas. Mas quanto vale a posicão inicial (y o ) e a velociade inicial (y o ) da pedra? Para que este tipo de comparabilidade se torne mais tranquila, a sugestão é reescrever a função y = 5t da seguinte maneira: y = t + 5t

6 Agora, o comparativo fica escrito na seguinte forma: y = y o + v o.t + 1.at y = t + 5t E podemos determinar a posição inicial (y o ), a velocidade inicial (v o ) da pedra e sua aceleração (a). A posição inicial: y o = 0 A velocidade inicial: v o.t = 0.t. Esta igualdade, indica que a velocidade inicial vale 0 (v o = 0). A aceleração: 1.at = 5t Resolvendo esta igualdade teremos: at =.5t at = 10t a = 10 a = 10 m/s Estes dados, relacionados com a pedra em queda, nos informam que: y o = 0 Esta é a posição inicial da pedra. v o = 0 A pedra esta inicialmente parada (v = 0), nesta posicão. a = 10 m/s A pedra cai com aceleração de valor igual à aceleração da gravidade (g). y Esta é a posição final da pedra. Figuras 6 Pedra em queda livre Fonte: Fundação Bradesco

7 Acompanhe na sequência, a resolução de um exercício onde aplicaremos estas expressões. Em sua resolução faremos uso da função horaria da posição e da função horário da velocidade. Acompanhe o enunciado do exercício: Na construção de um edifício, Nestor está levantando uma parede de tijolos no primeiro andar. Nélson, que está no térreo, joga os tijolos um a um para Nestor. Quanto tempo demora para que um tijolo jogado por Nélson chegue às mãos de Nestor com velocidade zero? Considere que Nélson lança cada tijolo com uma velocidade inicial de aproximadamente 7,75 m/s e que cada andar tem aproximadamente três metros. O problema fornece os valores da velocidade inicial (v o ), da velocidade final (v), da posição inicial (y o ), e posição final (y), de forma que: v o = 7,75 m/s v = 0 y = 0 y = 3 m Considerando, que o tijolo percorrerá uma certa distância, então adotamos como ponto inicial a base do prédio (0) e como ponto final o topo do prédio (3 m). Nos cálculos é importante lembrar que a aceleração da gravidade g valerá 10 m/s. O sinal negativo vem do fato de que o eixo de coordenadas foi orientado para cima e a aceleração da gravidade é dirigida para baixo. O exercício pode ser resolvido de duas maneiras. 1 a resolução: Utilizando a função horária da velocidade no M.R.U.V. v = v o + g.t 0 = 7,75 + ( 10).t 0 = 7,75 10t 10t = 7,75 7,75 t = 10 t = 0,775 s v = 0 vo = 7,75 m/s Figuras 7 Corpo em queda Fonte: Fundação Bradesco y = 3 m yo = 0 m

8 ª resolução: Utilizando a função horária da posição no M.R.U.V. at y = y o + v o.t + Substituindo os valores (y = 3 m, y o = 0, g = 10 m/s, v o = 0) na função horária da posição, teremos: at y = y o + v o.t + 10).t 3 = 0 + 7,75.t + 3 = 0 + 7,75t 5t ( Reorganizando os termos da equação, teremos: 5t 7,75t + 3 = 0 Escrita desta maneira, ficamos com uma equação do o grau do tipo at + bt + c = 0, cuja resolução é dada pela fórmula de Bhaskara. b b 4ac t a Onde: a = 5; b = 7,75 ; c = 3 Achando o valor b 4ac encontramos: b 4ac = (-7,75) b 4ac b 4ac 0 Utilizando agora fórmula de Bhaskara: 7,75) t (.5 0 Teremos: t = 7,75 10 t 0,775s Portanto, o tijolo demorará 0,77s para chegar nas mãos de Nestor, que se encontra a uma altura de 3 m.

9 Uma outra (importante) equação Uma outra equação muito utilizada na resolução de exercícios relacionados ao M.R.U.V. não foi apresentada nas aulas 4 e 5. Trata-se da equação de Torricelli, escrita da seguinte forma: velocidade v = v o +.a. X deslocamento velocidade inicial aceleração Você já sabe que equação não é sinônimo de função. Sendo assim, a equação de Torricelli deveria ser chamada de função de Torricelli. Entretanto como o termo equação foi histórica e tradicionalmente associado a essa expressão manteremos conforme a convenção. Observe que tanto na função horária da posição, quanto na função horária da velocidade, a grandeza física tempo está presente. Isso não ocorre na equação de Torricelli que relaciona a velocidade com a posição do corpo. Portanto na dúvida sobre qual expressão utilizar, a dica é observar se o enunciado faz menção à grandeza física tempo ou não. Não fazendo menção ao tempo, nem solicitando que ele seja determinado, existe uma grande possibilidade do exercício ser resolvido pela equação de Torricelli. ATIVIDADES 1. Um corpo é abandonado do alto de um prédio de altura H, leva 3,46 s para chegar ao solo. Determine a altura H do prédio e faça uma estimativa da quantidade de andares que ele possui. Considere que 1 andar tem aproximadamente 3 metros de altura e adote g = 10 m/s.

10 . (UNICAMP 001) Uma atração que está se tornando muito popular nos parques de diversão consiste em uma plataforma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra 30 m acima do solo, ela passa a ser freada por uma força constante e atinge o repouso quando chega ao solo. Dado g = 10m/s². a) Qual é o valor absoluto da aceleração da plataforma durante a queda livre? b) Qual é a velocidade da plataforma quando o freio é acionado? c) Qual é o módulo da aceleração necessária para imobilizar a plataforma? Durante a queda livre (efeito do ar desprezível) o valor absoluto da aceleração da plataforma é 10 m/s. 3. (UNESP 005) Um balão se desloca horizontalmente, a 80,0 m do solo, com velocidade constante de 6,0 m/s. Quando passa exatamente sobre um jovem parado no solo, um saquinho de areia é abandonado do balão. Desprezando qualquer atrito do saquinho com o ar e considerando g = 10,0 m/s², calcule o tempo gasto pelo saquinho para atingir o solo, considerado plano.

11 4. (PUC PR 005) Em um planeta, isento de atmosfera e onde a aceleração gravitacional em suas proximidades pode ser considerada constante igual a 5 m/s, um pequeno objeto é abandonado em queda livre de determinada altura, atingindo o solo após 8 segundos. Com essas informações, analise as afirmações: I. A cada segundo que passa a velocidade do objeto aumenta em 5 m/s durante a queda. II. A cada segundo que passa, o deslocamento vertical do objeto é igual a 5 metros. III. A cada segundo que passa, a aceleração do objeto aumenta em 4 m/s durante a queda. IV. A velocidade do objeto ao atingir o solo é igual a 40 m/s. a) Somente a afirmação I está correta. b) Somente as afirmações I e II estão corretas. c) Todas estão corretas. d) Somente as afirmações I e IV estão corretas. e) Somente as afirmações II e III estão corretas. 5. (UFSM RS 004) Se a resistência do ar for nula e o módulo da aceleração da gravidade for de 10 m/s, uma gota de chuva, caindo de uma altura de 500 m, a partir do repouso, atingirá o solo com uma velocidade de módulo, em m/s, de: a) 10-1 b) 10 c) 10 d) 10 3 e) 10 5

12 INDICAÇÕES Realize a leitura que se encontra no link indicado a seguir. Ela possibilita uma reflexão com relação à interpretação da queda dos corpos na visão de Aristóteles (384-3 a.c.) e na visão de Galileu Galilei ( ). Aristóteles x Galileu. Disponível em: < GALILEU/Paacutegina1.html>. Acesso em 3 fev h3min. A partir desta leitura, reflita sobre as semelhanças e diferenças entre as ideias de Galileu e Aristóteles levantando as seguintes questões: Os motivos pelos quais as idéias de Aristóteles serão contestadas por Galileu. Para Aristóteles, os corpos mais pesados chegariam ao chão antes dos mais leves, porque ao soltarmos uma pedra e um pedaço de papel, a pedra chega primeiro ao solo. Galileu vai fornecer outra interpretação para essa experiência. A resistência do ar impedindo que os corpos cheguem juntos ao solo. Assista ao vídeo A Física e o cotidiano Gravitação. Disponível em no endereço Assista à web aula A Física dos movimentos. Disponível no endereço < a/dispform.aspx?id=6&source=http%3a%f%fwww%eeja%eeducacao%eorg% Ebr%Fbibliotecadigital%Fcienciasnatureza%Fwebaulas%FPaginas%FWebaulas%5 FEM%Easpx. REFERÊNCIAS ALVARENGA, B. Curso de Física (volume 1). São Paulo: Scipione, 010. FREERANGESTOCK. Corpos em queda próximos à superfície terrestre. Disponível em: < Acesso em: 3 fev h0 min.

13 . Esportista pulando do alto de uma montanha. Disponível em: < extreme-sports-in-norway.html>. Acesso em: 3 fev h4 min. GASPAR, A. Física: Mecânica. São Paulo: Ática, 000. GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física. Leituras de Física Mecânica. São Paulo: Edusp, HAMBURGER, E. Telecurso: Física: ensino médio. Rio de Janeiro: Fundação Roberto Marinho, 008. HEWITT, P. Física conceitual. Porto Alegre: Bookman, Fundamentos da Física conceitual. Porto Alegre: Bookman, 009. PIETROCOLA. M. Física em contextos: movimento, força, astronomia: volume 1. São Paulo: FTD, 011. TREFIL, J. Física Viva (volume 1). Rio de Janeiro: LTC, 006. YOUTUBE. Experimento com martelo e uma pena realizado na Lua. Disponível em: < Acesso em: fev h36min. GABARITO 1. Utilizando a função horária da posição: at y = y o + v o.t + Onde: y = H y o = 0 v o = 0 a = g = 10 m/s t = 3,46 s Teremos: at y = y o + v o.t + H = , (3,46) H = (3,46) H = 5.11,9716 H 58,86 m A altura do prédio é de aproximadamente 59 m.

14 E para determinar a quantidade de andares, devemos lembrar que cada andar do prédio tem 3 metros de altura. Teremos então: 1 andar 3 metros n andares 59 m 3.n = 59.1 n = 59/3 n = 19,6 Como se trata de uma aproximação, podemos arredondar para 0 a quantidade de andares do prédio.. a) Durante a queda livre (efeito do ar desprezível), o valor absoluto da aceleração da plataforma é 10m/s (aceleração da gravidade). b) Confome explicado no enunciado a a 30 m solo, temos a seguinte situação: 75 m X = 45 m 30 m Aqui o freio é acionado. Portanto a plataforma, até aqui, percorreu 45 m. solo Precisamos então determinar a velocidade da plataforma na posição 45 m. Aplicando-se a equação de Torricelli durante a queda livre v = v o +.a. X Onde: v = velocidade da plataforma na posição 45 m =? v o = velocidade inicial da plataforma que estava em repouso = 0 a = aceleração da plataforma enquanto freia =?

15 X = distância percorrida pela plataforma enquanto freia = 30 m. Teremos então: v = v o +.a. X v = v = 900 v = 30 m/s c) Percorridos os 45 m a plataforma começa a frear percorrendo mais 30 m até parar. 75 m X = 45 m 30 m A velocidade aqui é de 30 m/s. solo A velocidade aqui é 0. Novamente utilizando a equação de Torricelli, onde: v = velocidade da plataforma na posição final (solo) v o = velocidade inicial da plataforma na posição 45 m = 30 m/s a = aceleração da gravidade (a plataforma estava em queda livre) = 10m/s X = distância percorrida pela plataforma nos últimos Teremos então: v = v o +.a. X 0 = 30 +.a.30 0 = a 60a = 900 a = 15 m/s

16 O sinal negativo informa que a plataforma está freando. Em módulo o valor da aceleração é 15 m/s. 3. O tempo total é determinado utilizando-se a função horaria da posição at y = y o + v o.t + Onde: y = 80 m y o = 0 v o = 0 a = g = 10 m/s t =? Teremos: at y = y o + v o.t + 80 = t + 10.t 80 = 5. t 80 = t 5 t = 16 t = 4 s 4. Alternativa D I Correta. A expressão 5 m/s equivale a 5m/s/s. Isto significa que a velocidade aumenta de 5m/s a cada segundo. II Incorreta. A cada segundo que passa o deslocamento vertical aumenta proporcionalente ao quadrado do tempo. III Incorreta. No planeta em questão, a cada segundo que passa o que aumenta é a velocidade e não a aceleração. A aceleração se mantem constante em 5 m/s. IV Correta. De acordo com o enunciado o corpo cai com aceleração de 5 m/s e demora 8 s para chegar ao solo. Utilizando a função horária da velocidade podemos determinar sua velocidade ao chegar no solo. v = v o + a.t v o += 0 (o corpo se encontra inicialmente em repouso) a = aceleração da gravidade no planeta = 5 m/s t = tempo para que o objeto chegue ao solo = 8 s. Teremos: v = v o + a.t v =

17 v = 40 m/s 5. Alternativa C Observe que o exercício não faz menção ao intervalo de tempo. Este é um indicativo que a equação de Torricelli por ser utilizada em sua resolução. Teremos, pela equação de Torricelli: v = v o +.a. X v = velocidade com que a gota de chuva atinge o solo =? v o = velocidade inicial da gota de chuva (em repouso) = 0 a = aceleração da gravidade (a gota de chuva está em queda livre) = 10m/s X = distância percorrida pela gota de chuva = 500 m Teremos então: v = v o +.a. X v = v = Extraindo a raiz quadrada de encontramos v = 100 m/s Que escrito em notação científica, como visto no capítulo Grandezas físicas, unidades de medida e potências, fornece como resultado v = 100 = 10 m/s