INTERAÇÃO E MATEMATIZAÇÃO DE CONTEÚDOS DE QUÍMICA NECESSÁRIOS PARA A CONSTRUÇÃO E VALIDAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

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1 INTERAÇÃO E MATEMATIZAÇÃO DE CONTEÚDOS DE QUÍMICA NECESSÁRIOS PARA A CONSTRUÇÃO E VALIDAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO Thiago de Oliveira Soares 1, Wilkler Garcia Magalhães 2, Alexandre G. V. Faria 3, Gilson S. dos Santos 4 Instituto Federal de Mato Grosso do Sul Coxim-MS thiago-coxim@hotmail.com 1, wilkler.magalhaes@ifms.edu.br 2, alexandre.faria@ifms.edu.br 3, gilson.santos@ifms.edu.br 4 Resumo Esse trabalho discute as etapas necessárias para a construção de um software para o ensino do balanceamento das reações químicas, utilizando a Modelagem Matemática como ferramenta. Foram investigadas as possíveis interações de três áreas envolvidas na construção do software a matemática, a informática e a química. Para isso foi preciso investigar como a Modelagem Matemática poderia ser utilizada no ensino e na aprendizagem de conceitos, os conteúdos matemáticos necessários à construção de um modelo e as etapas a serem seguidas para criação desse modelo, conforme propostos por Biembengut & Hein (2003). O desenvolvimento do trabalho se deu em em 3 etapas e 2 sub etapas, que foram sendo construídas tendo como linha condutora o referencial utilizado. Para a efetivação do trabalho foram criados sistemas de equações lineares homogêneos, envolvendo os conceitos químicos que se articulam na explicação de balanceamento das reações químicas, e a consequente aplicação no modelo matemático, que serviu de base para o desenvolvimento e a construção do software. Palavras-chave: Modelagem Matemática, Sistemas de equações lineares homogêneas, Balanceamento das reações químicas, Software para o ensino. Introdução A Modelagem Matemática como ferramenta de ensino é capaz de proporcionar ao estudante, maior interação com o conteúdo, possibilitando a transformação do sujeito passivo em um sujeito ativo no processo de sua aprendizagem (BARBOSA, 2004a). Essa ferramenta tem como princípio básico a interpretação e a compreensão de fenômenos do cotidiano. Pode-se, assim dizer que o modelo matemático é desenvolvido para simular a realidade usando a linguagem dos números. Vários pesquisadores propõem caminhos para a construção e o desenvolvimento de modelo, alguns autores, como Burak (1994), Bassanezi (2002), Biembengut & Hein (2003), Magnago (2008) e Carminati (2008). Em nosso trabalho faremos uso das contribuições de Bienbengut que juntamente com Hein orientam a construção por meio de três etapas e duas sub etapas cada, sintetizados na sequência mostrada na figura 1. Figura 1. Representação das etapas da Modelagem Matemática segundo Biembengut & Hein (2003). A 1ª etapa, chamada de interação, ocorre o estudo e a familiarização do assunto escolhido. Nessa etapa são realizadas pesquisas para tornar o assunto mais claro. Na 2ª etapa, ocorre a matematização que é a tradução da situação problema para a linguagem matemática, sendo a etapa mais complexa. Na 3ª etapa, é realizada a construção do modelo matemático proposto, a sua validação e verificado o nível de proximidade ou representatividade em que se encontra da situação problema apresentada. Caso o modelo não atenda às necessidades apresentadas, então deve ser retornada a etapa anterior, corrigindo alguns fatores, considerando outras variáveis ou levantando mais hipóteses, de forma que venhamos a encontrar o modelo desejado (BARBOSA, 204b). Portanto, seguindo essas etapas, o processo de obtenção do modelo matemático se revela dinâmico para a resolução da situação problema. Metodologia Iniciando o processo da Modelagem Matemática, foram seguidas as etapas propostas por Biembengut & Hein (2003), sendo constituída por interação, matematização e modelo matemático. Na primeira parte do processo, que é a interação, foram realizados estudos, abordando o conteúdo sobre o balanceamento das reações químicas, buscando maior familiarização sobre esse assunto. O balanceamento das reações constitui-se por vários métodos tradicionalmente utilizados no ensino. Porém, o método de tentativas e erro que é o mais comum.

2 Este método consiste em fazer um levantamento dos diferentes tipos de átomos presentes nos reagentes e nos produtos. Para que ocorra o balanceamento, a quantidade de átomos dos reagentes deve ser igual ao número de átomos dos produtos. Por exemplo: C 2 H 6 O + O 2 CO 2 + H 2 O (I) Podemos observar na reação acima as seguintes quantidades de reagentes: 2 átomos de Carbono, 6 átomos de Hidrogênio e 3 átomos de Oxigênio, já nos produtos temos 1 átomo de Carbono, 2 de Hidrogênio e 3 de Oxigênio. Buscando balancear a equação (I), temos a equação: C 2 H 6 O + 3O 2 2CO 2 + 3H 2 O (II) Podemos observar na equação balanceada acima (II), que a mesma quantidade de átomos do reagente é a mesma do produto. Tabela 1. Análise da quantidade de reagentes e produtos da equação II. Quantidade de átomos Quantidade de átomos nos nos reagentes produtos C = 2 átomos H = 6 átomos C = 2*1 = 2 átomos H = 3*2 = 6 átomos O = 1 + (3 * 2) = 7 átomos O = (2 * 2) + (3 * 1) = 7 átomos SPD se admite apenas uma solução trivial, ou seja, todas os valores das incógnitas serão nulas. SPI se admite infinitas soluções. Para o sistema linear ser considerado possível, terá que obter pelo menos um conjunto solução S = {(0, 0, 0,..., 0)}. Essa solução é chamada de solução trivial, nula ou imprópria do sistema. Após a realização do estudo sobre as equações lineares homogêneas, o próximo passo foi a transformação das reações químicas em uma linguagem matemática. Para que isso ocorresse, foram seguidas algumas etapas descritas a seguir. Foram inseridas para cada conjunto de reagente e produto uma variável (x, y, z e w). Essas variáveis representam a quantidade em mols procurada. x C 6 H 5 COOH + y O 2 z CO 2 + w H 2 O (III) Os átomos presentes nessa reação são: Carbono (C), Hidrogênio (H) e Oxigênio (O) e cada átomo da equação química (III) corresponde a uma equação do sistema linear. Essas equações representam a preservação da quantidade total de cada átomo. A figura 2 descreve o modo de se obter a equação que representa a preservação da quantidade total do átomo C. Para realizar a formulação, deve-se multiplicar cada variável pelo coeficiente dos átomos C, e se tiver 2 ou mais átomos repetidos na molécula, deve-se somar os valores. Observamos que nenhum átomo é produzido ou eliminado da reação. O que se tem é uma reorganização dos átomos presentes nos reagentes, resultando assim os produtos. A segunda etapa, referente a matematização foi averiguado qual o conteúdo matemático que se adequa ao balanceamento das reações químicas, para que assim, pudéssemos realizar a transposição para a linguagem matemática. Ao realizar as pesquisas sobre aplicações da modelagem matemática na estequiometria, foram encontradas algumas referências que associavam este tópico a sistemas de equações lineares homogêneos. Uma equação linear homogênea é uma equação que possui os termos independentes iguais a zero, por exemplo, 2x + 5y + 3z = 0. Portanto, podemos concluir que um sistema linear será considerado homogêneo se todas as equações tiverem os seus termos independentes iguais a zero. O conjunto solução do sistema linear homogêneo será sempre possível, ou seja, ao resolvermos um sistema homogêneo, podemos classificá-lo sempre como um sistema possível determinado (SPD) ou possível indeterminado (SPI). Figura 2. Modelo para obtenção da equação que representa a quantidade total de átomo C. Escrevendo a equação do átomo C, obtemos: 6x + x z = 0 ou 7x z = 0 Esquematizamos nas figuras 3 e 4 a obtenção das equações referentes aos átomos H e O. Figura 3. Modelo para obtenção da equação que representa a quantidade total de átomo H.

3 principal deste projeto que é a aplicação do produto final no ensino. Figura 4. Modelo para obtenção da equação que representa a quantidade total de átomo O. Posteriormente, cada átomo da reação representaria uma das equações, e a junção de todas representará um sistema de equações lineares. C: 6x + x - z = 0 ou 7x - z = 0 H: 5x + x - 2w = 0 ou 6x - 2w = 0 O: x + x + 2y - 2z - 2w = 0 ou 2x + 2y - 2z - w = 0 Com as equações obtidas dos átomos C, H e O, temos o sistema linear: Ao realizar a representação das reações químicas por meio das equações lineares, notamos que existe uma variação nos membros dos reagentes e produtos, então um único modelo não seria viável, devido essas variações, como mostra a tabela 2 a seguir: Tabela 2. Exemplos das variações dos produtos e reagentes das reações químicas. Reação química Quantidade de reagentes Quantidade de produtos Fe + Cl 2 FeCl KMnO4 + HCl KCl + MnCl 2 + H 2 O + Cl 2 K 4 Fe(CN) 6 + H 2 SO 4 + H 2 O K 2 SO4 + FeSO 4 + (NH 4 ) 2 SO 4 + CO Esta análise fez com que limitassem os números para 2 reagentes e 2 produtos, para que a construção do software pudesse também ser desenvolvida por estudantes do ensino médio, permitindo o seu aprendizado e caracterizando-o como um projeto integrador. Portanto, a complexidade na construção do modelo matemático para o balanceamento de equações químicas e a programação do software foi ponderada para que atendesse o objetivo A terceira etapa da modelagem matemática, buscase a validação do modelo matemático construído. São realizados testes, verificando o nível de eficiência que o modelo se encontra da situação-problema apresentada. Nessa etapa iremos demonstrar a utilização do modelo matemático. Serão demonstradas a resolução de 2 reações químicas. A primeira é referente ao exemplo utilizado na equação química (III) que ao ser modelada, obtivemos o sistema linear homogêneo: Resolvendo o sistema acima aplicando o Método de Eliminação de Gauss, teremos as seguintes soluções: z = 7x, w = 3x, 2y = 15x Para encontrar o valor de cada mol necessário para a realização do balanceamento, devemos substituir a variável x pelo menor valor inteiro positivo, devendo evitar frações e valores triviais. Com essas restrições, ao adotarmos x=2, teremos os seguintes resultados: y = 15, x = 2, w = 6 e z = 14 Assim, as variáveis x, y, w e z na reação química assumirão valores inteiros positivos e apresentarão a reação química balanceada: 2 C 6 H 5 COOH + 15 O 2 14 CO H 2 O Com a reação química balanceada, foi possível validar o modelo construído. Como segundo exemplo, usaremos uma reação com 2 reagentes e 4 produtos: KMnO 4 + HCl KCl + MnCl 2 + H 2 O + Cl 2 Para essa reação, devido a quantidade de reagentes e produtos, utilizaremos as variáveis x, y, z, w, a e b, seguindo os passos descrito na matematização, obteremos as seguintes equações:

4 No sistema de equações lineares modelado podemos observar que: x = w = z, a = 4x e y = 2a. Ao substituirmos na equação y - w - 2z - 2b = 0, teremos: 2.(4x) x 2.(x) 2b = 0 8x 3x = 2b 5x = 2b b = 5x/2 Como mencionado, devemos evitar frações e soluções triviais. Logo, ao adotarmos x = 2, teremos os seguintes resultados como coeficientes da equação química: x = w = z = 2, b = 5, a = 4.(2) = 8, y = 2.(8) = 16 Portanto, a reação ficará: Para realizar o desenvolvimento, foram seguidas algumas etapas. Inicialmente foi desenvolvida a interface que seria utilizada, como mostra a Figura 5. 2 KMnO HCl 2 KCl + 2 MnCl H 2 O + 5 Cl 2 Com a reação balanceada, foi possível validar o modelo construído. Em posse do sistema de equações lineares utilizado como modelo da equação química proposta, coube ao estudante da área de informática prosseguir com o desenvolvimento do software. Implementação do modelo matemático no desenvolvimento do Software Com o conhecimento químico e matemático adquirido, o estudante da área de informática iniciou o desenvolvimento do software, utilizando a linguagem Java, pois atualmente, é umas das linguagens mais utilizadas no mundo. Importante mencionarmos que o Java não é somente uma linguagem, mas também uma plataforma de desenvolvimento. No início do desenvolvimento do software, foram notadas algumas barreiras, devido à dificuldade de implementação e a variação de cada reação química, chegando à conclusão que um único modelo seria ineficiente para os diversos tipos de reações, sendo assim, teria que ser feito diversos modelos matemáticos, cada um correspondente a variação das reações. Após definir a linguagem de programação que seria utilizada, foram realizadas algumas pesquisas sobre as metodologias ágeis e ferramentas que fariam parte do processo de criação do software. A metodologia Scrum foi a escolhida para a realização do desenvolvimento. Essa metodologia constitui-se em um framework de desenvolvimento através de ciclos, podendo ser, semanais ou mensais. A IDE NetBeans foi a escolhida para realização do processo de criação do software, devido à maior familiarização com esta ferramenta (RIBEIRO, 2003). Figura 5. Interface inicial do Projeto Fonte: Autoria Própria A criação dos códigos que fariam parte da composição do software foram baseados inteiramente na modelagem matemática, em que cada linha de códigos representaria uma parte da equação. Houve a preocupação constante de atender às restrições encontradas desde a modelagem e que possibilitaria erros na execução do software, como representado na Figura 6. Figura 6. Representação dos códigos usados. Fonte: Autoria Própria Um protótipo do software foi desenvolvido, realizando o balanceamento com restrições de apenas 2 reagentes e 2 produtos. Resultados e Discussão Com base nas análises das etapas da Modelagem Matemática em relação ao estudo do balanceamento das reações químicas, resultou no modelo desejado, contudo, devido às variações dos reagentes e produtos, ocorreu a restrição na abordagem de reações com 2 reagentes e 2

5 produtos. As variações dos reagentes e produtos aumentaria a quantidade de elementos das equações, fazendo com que, os sistemas utilizados como modelos ficassem mais complexos para a programação e aplicação deste mesmo software por um estudante do ensino médio, objetivo principal deste projeto. O protótipo do software, possui restrições de reagentes e produtos, contudo, para sua aplicação no ensino, na integração das disciplinas (Matemática, Química e Linguagem de Programação), os códigos são simples de se compreender. Considerações Finais Durante a realização deste trabalho procuramos demonstrar a utilização da Modelagem Matemática como uma possível ferramenta no desenvolvimento de um software para o ensino de Química. Buscamos o desenvolvimento da Modelagem Matemática como uma alternativa para que a utilização desse conhecimento seja agradável ao aplicar no ensino. Por meio deste processo, espera-se que o aluno se sinta motivado na realização da busca pelo conhecimento. Consideramos que a prática de projetos por meio da Modelagem Matemática possa contribuir para o ensino e aprendizagem no meio educacional. Agradecimentos Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de MS (IFMS/PROPI). Encontro paranaense de Modelagem em Educação Matemática 06 a 08 de novembro de RIBEIRO, A. A.; GRECA, I. M. Simulações Computacionais e Ferramentas de Modelização em Educação Química: uma revisão da literatura publicada. Química Nova. São Paulo, v. 26, n. 4, jul. / ago Referências BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática na sala de aula. In: VIII encontro nacional de educação matemática, Recife. Anais do VIII Enem, Recife: Sbem-PE, 2004a. BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como?Veritati, n. 4, p , 2004b. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. 1. ed. São Paulo: Editora Contexto, BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem Matemática no ensino. 3ª ed. São Paulo: Contexto, BURAK, D. Critérios Norteadores para a adoção da Modelagem Matemática no Ensino Fundamental e Secundário. Zetetiké v.2, n.2, 1994 CARMINATI, N. L. Modelagem Matemática: uma proposta de ensino possível na escola pública. Campina Grande Do Sul MAGNAGO, K. F.; MARTINS, M. M.; FAJARDO, R. Reações químicas: usando a modelagem matemática para explorar sistemas de equações lineares homogêneos.