16 de Agosto de = 24 fatores.

Transcrição

1 1. O relógio irá estar marcando a hora correta novamente quando voltar a marcar 1 horas (o atrazo de 1 horas será anulado pelo fato do relógio ser de ponteiros e não fazer diferença entre dia e noite). Dessa forma, como 1h = 1 60min= s= s. Assim o relógio voltará a marcar 1 horas decorridas 1440 horas. Como 1440 = 4 60, o relógio voltará a marcar a hora correta daqui há 60 dias. Como hoje é 11 de Agosto, este mês tem 1 dias e Setembro tem 0 dias, concluímos que o relógio voltará a marcar a hora correta em 10 de Outubro. ALTNERNATIVA B. Temos que 9800 = = 7 5 = 5 7. Um divisor é múltiplo de 5 se contém um ou dois fatores 5. Enquanto isso os fatores e 7 podem variar entre os valores 0, 1,, e 0, 1,, respectivamente. Deste modo, temos 4 = 4 fatores.. Seja n o número de adultos. Como cada adulto comprou, além do seu, bilhetes para as crianças, foram vendidos n bilhetes para crianças. Assim R$168 = 7 ( n) + 1 n = 6 n n = = 6. Deste modo, foram vendidos n = 6 = 189 bilhetes. 4. O pior dos casos ocorre quando retiramos 5 sapatos brancos e 5 sapatos pretos do mesmo pé (isto é, 5 esquerdos ou 5 direitos). Qualquer sapato que for retirado a partir deste momento tem que completar um par. Assim, temos que retirar 11 sapatos para garantir que teremos um par de sapatos da mesma cor. 5. Seja T o tempo em que as naves de Luke Skywalker e Han Solo se cruzam. Como elas se cruzam quando Luke Skywalker vence a corrida, eles percorrem apenas voltas inteiras. Assim, T = 45 n = 48 m. Desta forma, as naves se cruzam quando o tempo é um múltiplo comum de 45 e 48. Como T é o tempo em que elas se cruzam pela primeira vez, devemos procurar pelo menor múltiplo comum entre 45 e 48. Calculando o m.m.c destes dois números temos 70s. Assim, Luke Skywalker termina a corrida em 70s, correndo cada volta em 45s. Portanto, a corrida tem ALTNERNATIVA B = 16 voltas. 6. Seja S a soma das capacidades dos contêineres, n a capacidade do contêiner de nata, q a capacidade do contêineres de chocolate e q a quantidade dos contêineres de leite. Temos assim, q + q + n = S = 119l q = 119 n. Como as capacidades dos contêineres são números inteiros, devemos encontrar n tal que 119 n seja múltiplo de três. Neste caso a única alternativa possível é para n = 0, donde obtemos q = = e q = 66 =

2 7. Temos que BR = SC = 1 BC, BE = 1 AB e F C = 1 AC. Desta forma e Logo a área do pentágono é Área( BRE) = = Área( ABC) 6Área( ABC) Área( F SC) = 1 6Área( ABC). Área( ABC) Área( BRE) Área( RSC) = = 168. Área( ABC) 8. Denote por x a medida do ângulo interno do polígono regular. Usando a simetria do problema no triângulo XQR, temos RQX = 180 x, QXR = 70 e como a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser 180, temos Por outro lado, em torno do ponto R temos QRX = (180 x) = x 70. QRX + ŜRX + QRS = 60 (x 70) + x = 60 x 140 = 60 x = 500. Como a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados vale S = (n ) 180, em um polígono regular cada um dos ângulos mede x = S n = n n 180. Assim, 500 = x = n n = 540n n = 1080 n = 7. n Logo o polígono tem 7 lados. 9. O valor total da mercadoria é x. Um desconto de % equivale a x = 0, 0x. Assim o 100 preço da mercadoria torna-se x 0, 0x = 0, 97x. 10. O trinômio é sempre positivo se o coeficiente que multiplica x é positivo e o do trinômio é negativo (ou seja, o trinômio não possui raízes reais). Assim devemos ter m 1 > 0 m > 1 e = m 4(m 1)m = m + 4m = m( m + 4) < 0. Como m > 1, em particular temos m > 0. Assim, devemos ter m > 4/. Como 4/ > 1, segue que a condição necessária é m > 4/.

3 11. Sejam A, T, B e C, respectivamente, o número de automóveis, triciclos, bicicletas e carrinhos de mão na garagem. Denote por N o número total de rodas. Temos que N = 6 + 4A = 6 + T = 6 + B N 6 = 4A = T = B. Assim, N 6 é múltiplo de 4,, e, desta forma é um múltiplo do m.m.c desses números, ou seja, N 6 é um múltiplo de 1. Assim N = 6 + 1k, A = k, T = 4k, B = 6k. Isto implica que N = 6k+C = 6+1k C = 6 4k. Como C > 0 devemos ter k = 1. Assim, temos automóveis, 4 triciclos, 6 bicicletas e carrinhos de mão, o que totaliza 15 veículos. Observação. Como é uma prova de múltipla escolha, nós poderíamos ter encurtado a nossa análise à partir do fato que N 6 é múltiplo de 1 e das alternativas serem números pequenos, o que sugere valores pequenos de k. Assim, em uma prova de múltipla escolha seria mais recomendável testar os casos k = 1,,... etc (o caso k = 1 já resolveria), do que prosseguir com a análise rigorosa que fizemos acima. 1. Como são 50 cubos e, desses, 0 são de madeira, sobram 0 cubos de plástico. Visto que há exatamente 10 cubos vermelhos, Carlos tem 40 cubos azuis. Desses 40 cubos azuis, 0 são de madeira e, portanto, 0 são de plástico. ALTNERNATIVA C. 1. Sejam x a área da instersecção entre o retângulo e o pentágono, y a área da intersecção entre o pentágono e o triângulo e z a área da intersecção entre o triângulo e o círculo. Nesse caso a área preta mede 11 x + 49 y z e a área cinza mede 81 x y + 5 z. Calculando as diferenças, temos [ (x + y + z)] [ (x + y + z)] = = Como o primero algarismo é o triplo do segundo, temos as seguintes possibilidades para o segredo do cofre: 1, 6, 9. Como os algarismos devem ser distintos, temos 8 7 possibilidades para cada caso, ou seja temos 8 7 = 168 possibilidades. 15. Como devemos montar o máximo das lembrancinhas e temos apenas 0 barras de doce de leite, devemos ter 0 lembrancinhas. Como as as outras duas quantidades são múltiplos de 0, devemos ter bombons e pirulitos em cada lembrancinha. 16. (a)(aq)(aq ) (aq 99 ) = a 100 q = a 100 q ATERNATIVA A. Observação. Como a soma = 5050 já é bem conhecida, poder-se-ia efetuar a soma fazendo-se = = Testando as alternativas vemos que

4 (A) FALSA. O faturamentos de A e B foram, em milhões: 160/100, 00/160, 100/140, 110/00, 10/140, 180/10 e nenhum desses números é o dobro do outro. (B) FALSA. Observando o gráfico vê-se claramente que a maior diferença de faturamento foi de R$90 milhões no mês de outubro. A diferença em julho foi de R$60 milhões. (C) FALSA. Observando-se o gráfico, vê-se que a maior queda de faturamento deu-se entre os meses de Agosto e Setembro na empresa A, quando a queda foi de R$100 milhões, enquanto que a maior queda na empresa B deu-se entre Outubro e Novembro, quando foi registrada uma queda de R$60 milhões. (D) VERDADEIRA. O faturamento no semestre da empresa A foi de R$870 milhões contra R$860 milhões da empresa B. 18. Seja N o número de corredores. Num primeiro momento, o número de atletas atrás de Cristina era igual ao número de atletas à sua frente. Num segundo momento, quando Cristina ultrapassou 8 atletas, o número destes que estavam atrás dela era o dobro do número que estavam à frente, ou seja, sobraram um terço dos atletas à sua frente. Isto significa que Cristina ultrapassou 1 1 = 1 6 dos atletas. Dessa forma, existem 6 8 = 48 atletas além de Cristina. Assim no total existem 49 atletas na corrida. ALTERNATIVA C. 19. A diferença entre o quadrado de dois números inteiros consecutivos é (n + 1) n = n + n + 1 n = n + 1 = n + (n + 1), isto é, igual à soma dos dois números. ALTERNATIVA C. 0. Temos as seguintes possibilidades para o número: 1, 4, 6. Como a soma dos algarismos é par, esse número deve ser 4. Assim o produto dos algarismos é 4 = Temos que x = x = (x 1)(x 1 + x x + x + 1) +. Assim o resto da divisão de x por x 1 é.. Dividindo o pentágono como na figura abaixo vemos a que sua área mede = 19.. A distância entre as duas circunferências é o comprimento do segmento mais curto ligando dois pontos quaisquer das circunferências. Da geometria euclidiana sabemos que esse segmento deve 4

5 ser perpendicular às duas circunferências e, desta forma, deve estar contido na reta determinada por seus dois centros. Por conseguinte, deve ser colinear com algum raio. Usando o teorema de pitágoras, vemos que a distância entre os centros das duas circunferências é de + 1 = 10cm. Por outro lado, como os raios medem cm e 1cm, a distânicia entre os círculos é de ( 10 )cm. 4. ANULADA. 5. A soma dos termos da progressão geométrica é = ( n ) 10 = n = = 1. Seja 1 k, 1, 1 + k a progressão aritmética. A soma dos termos da progressão aritmética é claramente O valor mínimo assumido por uma função quadrática f(x) = ax + bx + c, a > 0 em R é no vértice x V = b a. No caso, x V = 1. Para x > 1 a função é crescente. Desta forma, o valor mínimo assumido pela função f(x) = x x + 1 no intervalo [, ] é a imagem do extremo esquerdo do intervalo, ou seja, f() = 1. ALTNERNATIVA A. 7. Se existem n etês em um clã e existem n clãs em um estado, então existem n n = n etês num estado. Como existem n estados num reino, existem n etês num reino. Desta forma, temos n = 11. Ou seja n = 11. Observação: Um modo rápido de achar a resposta é testar o último algarismo das alternativas. No caso, temos 0 = 0, 1 = 1, = 8, 5 = 15, 9 = 9 9 = 81 9, donde este último número termina em 9. Assim a única possibilidade é n = 11, o que pode ser verificado sem dificuldade. 8. Como CE = CA, o triângulo ACE é isósceles, donde ĈAE = ĈEA = x. Analogamente, visto que BD = BA, o triângulo BDA é isósceles e, portanto, BDA = BAD = y. Observando o triângulo AED temos que 40 + x + y = 180, isto é, x + y = 140. Por outro lado, BAC = x + y 40 = =

6 ALTNERNATIVA C. 9. Temos que 100 = Assim, uma pessoa comum pode comer no máximo 16 porções de 4 biscoitos, isto é 64 biscoitos. Por outro lado, biscoitos equivalem a % do valor diário, e um biscoito equivale a 1, 5% do valor diário. Visto que 100 = , concluímos que ele pode comer no máximo 66 biscoitos. OUTRO MODO: Se 4 unidades equivalem a 6% do valor dário, então 1 unidade equivale a 1, 5% do valor diário. Visto que 100 = = 66 1, 5 + 1, segue que uma pessoa média pode comer 66 biscoitos. Observação. A informação da quantidade de carboidratos não teve utilidade alguma na solução. Ela poderia induzir uma regra-de-três composta que não existe, pois o problema pode ser resolvido por uma proporção simples. 0. O gráfico da função é formado de três pedaços, onde dois são constantes (igual a em (, 1) e igual a em (1, + )) e um linear. Analisando as alternativas, vemos que se f(x) = x + 1 x 1, então x (, 1) x + 1 x 1 = (x + 1) [ (x 1)] = ; o que condiz com o gráfico acima. x [ 1, 1] x + 1 x 1 = (x + 1) [ (x 1)] = x; x (1, ) x + 1 x 1 = (x + 1) (x 1) = ; 1. Por estarem na mesma orientação, podemos constatar inicialmente que a casa da amiga Olga está representada pelas alternativas A ou B. A alternativa C pode ser a parede oposta de qualquer uma das duas casas representadas nos itens anteriores e, portanto, não traz novidades na dedução. Por outro lado, observe que o item D representa o fundo de uma das casas e como ele tem duas janelas, ele é o fundo da casa da alternativa A. Como, por hipótese, a casa da amiga Olga está representada apenas um vez nas alternativas, concluímos que a casa da amiga Olga está representada pela alternativa B.. Observando a figura, vemos que a área do triângulo ABC é 6

7 Área(BCEF) ALTNERNATIVA B. = 1 ( 8 ) ( 8 (4 ) = ) = 8 6 = Como 99% das 100 pessoas eram homens, tínhamos apenas uma mulher no recinto. Após a meia-noite, essa mulher representava 4% do total de presentes. Como 5 4% = 100% tínhamos, após meia-noite, 5 pessoas no recinto. Assim saíram 75 pessoas do salão. ALTNERNATIVA C. 4. Temos que 11/1 = 0, , donde o período é composto por seis algarismos. Como 6 = , o 6 algarismo da expansão decimal de 11/1 é Vamos analisar os itens. (1) Se T = (a, a, a) é um triângulo equilátero, então T = (a, a, a ) ainda é um triângulo equilátero. VERDADEIRA. () Se T = (a, b, c) é um triângulo retângulo, então a = b + c. Isto implica que os segmentos de T = (a, b, c ) são colineares, e portanto não formam um triângulo. VERDADEIRA. () Se T = (a, b, c ) é um triângulo, então a < b + c e isto implica que o ângulo oposto ao lado de comprimento a mede menos que 90. VERDADEIRA. (4) T é um triângulo se, e somente se, a < b + c. Mas a < b + c ( a) < ( b + c) a < b + c + bc. e essa última relação é válida para todo triângulo, pois a < b + c. VERDADEIRA. (5) Os ângulos são todos agudos se ( a) < ( b) + ( c), isto é, a < b + c, o que ocorre em todo triângulo T. VERDADEIRA. Assim todas as afirmações estão corretas. 7