Álgebras de Lie nilpotentes de dimensão 6

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1 Álgebras de Lie nilpotentes de dimensão 6 Csaba Schneider Centro de Álgebra Universidade de Lisboa 17 de Novembro de 2011 com Willem de Graaf (Trento) e Serena Cicalò (CAUL)

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3 Álgebras de Lie Álgebra de Lie: uma álgebra não associativa (L, +, [, ]) com as seguintes propriedades: [x, x] = 0; [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0. O produto [[x, y], z] é normalmente escrito como [x, y, z]. Uma álgebra de Lie é chamado de nilpotente se existe k N t.q. O centro de L é [x 1,..., x k ] = 0 para todos x 1,..., x k L. Z(L) = {x L [x, y] = 0 para cada y L}. A álgebra derivada de L é L = [x, y] x, y L.

4 Dimensão 1 e 2 F é a única álgebra de Lie de dimensão 1. É nilpotente. Seja L = x, y uma álgebra de Lie com dimensão 2. Há 2 possibilidades: (i) Se [x, y] = 0, então L é nilpotente. (ii) Se [x, y] 0, assumimos sem perder a generalidade que [x, y] = x e [x, y] = [x, y, y] = = [x, y, y,..., y] = x. L não é nilpotente. Existe uma única álgebra de Lie nilpotente de dim 1, e uma outra de dimensão 2.

5 Álgebras de Lie nilpotentes de dim 5 Existem 2 álgebras com dimensão 3: L 3,1 = x, y, z [x, y] = [x, z] = [y, z] = 0 ; L 3,2 = x, y, z [x, y] = z, [x, z] = [y, z] = 0....e 3 álgebras com dimensão 4: L 4,1 = x, y, z, u = L 3,1 F; L 4,2 = x, y, z, u [x, y] = z = L 3,2 F; L 4,3 = x, y, z, u [x, y] = z, [x, z] = u. Existem 9 álgebras com dimensão 5.

6 Dimensão 6 1 Morozov (1958): em característica 0; 2 Gong (1998): sobre corpos algebricamente fechados e R; 3 Schneider(2007): sobre os corpos finitos; 4 de Graaf (2007): sobre corpos de característica diferente de 2. O objectivo da nossa investigação era a revisão do trabalho de de Graaf e a sua extensão para os corpos de característica 2.

7 Seja F um corpo e seja s = F : (F ) 2. O nosso teorema Se char F = 2, então seja t o número das classes de equivalência da relação x y sse y = α 2 x + β 2 com alguns α F e β F. Theorem (I) Se char F 2, então o número das álgebras de Lie nilpotentes de dimensão 6 sobre F é s. (II) Se char F = 2, então o número das álgebras de Lie nilpotentes de dimensão 6 sobre F é s + 4t. Existem, por exemplo, 1 34 álgebras sobre F q com q ímpar; 2 30 sobre C; 3 sobre Q; 4 36 sobre F 2 n ou F 2.

8 O método de Skjelbred e Sund (1979) Sejam L e K álgebras de Lie. Dizemos que K é descendente de L se Z(K) K e K/Z(K) = L. Seja L uma álgebra de Lie nilpotente sobre F. Há 2 possibilidades: (i) L = L 1 F or (ii) L é um descendente de L/Z(L). Todas as álgebras de Lie nilpotentes de dimensão 6 podem ser obtidos por construir (i) as álgebras na forma L F onde L é nilpotente e dim L = 5; (ii) descendentes de dim 6 das álgebras de Lie nilpotentes de dim 5.

9 Como construir os descendentes? Theorem Seja L uma álgebra de Lie nilpotente com dimensão d. Então H 2 (L, F) é um módulo sobre Aut(L). Existe uma bijecção entre 1 o conjunto das classes de isomorfismo dos descendentes de dimensão d + s; 2 o conjunto das órbitas de Aut(L) no conjunto de subespaços permitidos de dim s de H 2 (L, F).

10 Co-homologia de álgebras de Lie Cocíclo: Uma forma bilinear alternada ϑ com a propriedade ϑ([x 1, x 2 ], x 3 ) + ϑ([x 3, x 1 ], x 2 ) + ϑ([x 2, x 3 ], x 1 ) = 0. co-limite (coboundary): Um cocíclo na forma η ν (x, y) = ν([x, y]) onde ν é uma forma linear de L. Os conjuntos dos cocíclos e das colimites são denotados por Z 2 (L, F) e por B 2 (L, F). Então H 2 (L, F) = Z 2 (L, F)/B 2 (L, F). Um subespaço S H 2 (L, F) é permitido se ϑ Z(L) = 0. ϑ S A acção de Aut(L): seja ϑ Z 2 (L, F) e g Aut(L); então (gϑ)(x, y) = ϑ(gx, gy).

11 Seja L = L 5,2 = x 1,..., x 5 [x 1, x 2 ] = x 3. Um exemplo simples Definimos i,j como a forma bilinear alternada de L que satisfaz i,j (x i, x j ) = i,j (x j, x i ) = 1 e i,j (x k, x l ) = 0 se (i, j) (k, l). Z 2 (L, F) = 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 2,3, 2,4, 2,5, 4,5 ; B 2 (L, F) = 1,2 ; H 2 (L, F) = 1,3, 1,4, 1,5, 2,3, 2,4, 2,5, 4,5. where u = a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a a 21 a Aut(L) = a 31 a 32 u a 34 a 35 a 41 a 42 0 a 44 a 45 a 51 a 52 0 a 54 a 55 (1)

12 Um exemplo simples Seja S = (α 1,..., α 7 ) um espaço permitido de dim 1 em H 2 (L, F ). Seja B o primeiro automorfismo se α 1 0; e o segundo no caso contrario: 1 α 4 α α 1 α α 1 α 7 α 2 α 3 0 (α 1 α 6 α 3 α 4 ) 0 α 1 0, 0 α 1 α 5 α 2 α α 1 Then BS = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 1). A álgebra L tem só um descendente: 0 α 4 α α 4 α 7 α 5 α 6 0 α 3 α 4 0 α α 2 d 0 0 α 4 K = x 1,..., x 6 [x 1, x 2 ] = x 3, [x 1, x 3 ] = [x 4, x 5 ] = x 6.

13 Seja L = L 4,1 = x 1,..., x 4 [x i, x j ] = 0. Um exemplo complicado Z 2 (L, F) = 1,2, 1,3, 1,4, 2,3, 2,4, 3,4 ; B 2 (L, F) = 0 H 2 (L, F) = Z 2 (L, F) = 1,2, 1,3, 1,4, 2,3, 2,4, 3,4. Aut(L) = GL(4, F). H 2 (L, F) = L L (módulos sobre Aut(L)): i,j x i x j. Seja S ε o espaço S ε = (1, 0, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0, ε, 0). Se char F = 2 seja ω F \ {x 2 + x x F} e definimos R ν = (1, 0, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0, ν, 1) com ν {0, ω}.

14 Theorem Se char F 2: Cada órbita contém um elemento na forma S ε com ε F. Os subespaços S ε1 e S ε2 estão na mesma órbita sse existe α F t.q. ε 2 = α 2 ε 1. Se char F = 2: Cada órbita contém um elemento na forma S ε ou R ν com ε F e ν {0, ω}. Os subespaços S ε1 e S ε2 estão na mesma órbita sse existem α F e β F com ε 2 = α 2 ε 1 + β 2. R 0 e R ω dão órbitas adicionais.

15 Rascunho da demonstração Mostramos primeiro que cada órbita contém um elemento na forma S ε ou R ν. Similarmente, mostramos que se ε 1 e ε 2 satisfazem as condições do teorema, então S ε1 e S ε2 estão na mesma órbita. Usamos o facto que GL(4, F) preserva uma forma quadrática de H 2. Seja f a forma bilinear associada com a forma quadrática. Se char F 2 obtemos que S ε é um subespaço com determinante de Gram ε. Usamos as propriedades das determinantes de Gram para mostrar que S ε1 e S ε2 na mesma órbita satisfazem as condições do teorema. Se char F = 2 então f Sε = 0 e f Rν é não degenerada. O invariante de Arf de S ε é ε e o de R ν é ν. Usamos o invariante de Arf para mostrar que os subespaços na mesma órbita satisfazem as condições no teorema.

16 Sumário Lie alg char 2 char = 2 Lie alg char 2 char = 2 L 3,1 1 1 L 5,3 2 2 L 3,2 0 0 L 5,4 0 0 L 4,1 s + 1 t + 2 L 5,5 1 2 L 4,2 s + 4 t + 5 L 5,6 2 t + 2 L 4,3 1 1 L 5,7 3 t + 2 L 5,1 0 0 L 5,8 s + 1 s + 2 L 5,2 1 1 L 5,9 s s + 1 Theorem O número das álgebras de Lie nilpotentes com dim 6 é s sobre um corpo de característica diferente de 2; o número destas álgebras é s + 4t sobre um corpo de característica 2.

17 Publicações 1 S. Cicalò, W. de Graaf, C. Schneider. Six-dimensional nilpotent Lie algebras. Linear Algebra Appl. 436(1), pp , S. Cicalò, W. de Graaf, C. Schneider. LieAlgDB, a GAP4 package.