Uma Introdução às Identidades Polinomiais

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1 Seminário de Pesquisa DCET UESB 27 de julho de 2012

2 Objetivo principal: preencher as tabelas s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 y 2 y 1 y q 1 y 1 ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) ( ) u v A 0 =? y q2 bv u 1 y 1, z 2q 1 1 z 1 ( ) u v e A 1 =? f (y bv u 1 + z 1, y 2 + z 2 ) em que f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (y 1 +z 1 (y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) q2 )(1 [y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 ).

3 Objetivo principal: preencher as tabelas s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) = 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 + y 2 y 1? ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1? ( ) u u + v A 0 =?? ( b(u + v) v ) bu + v u e A 1 =?? v bu + v

4 Entender as tabelas 1 Identidades polinomiais 2 3 4

5 Passos Identidades polinomiais 1 Identidades polinomiais 2 3 4

6 Notações Identidades polinomiais Notações Sejam: K um corpo; X = {x 1, x 2,... } um conjunto (infinito e enumerável); K X = K x 1, x 2,... a álgebra associativa livre, livremente gerada por X ; A uma álgebra (associativa e com unidade) sobre K; G um grupo.

7 Definição e exemplo Definição Dizemos que 0 f (x 1,..., x m ) K X é uma identidade polinomial de A se f (a 1,..., a m ) = 0 quaisquer que sejam a 1,..., a m A. Caso exista tal f diremos que A satisfaz f. Exemplo Seja A uma álgebra comutativa. Então, A satisfaz a identidade polinomial f (x 1, x 2 ) = [x 1, x 2 ] em que [x 1, x 2 ] = x 1 x 2 x 2 x 1 é o comutador usual.

8 Exemplos Identidades polinomiais Exemplo Se A é de dimensão finita menor que n então A satisfaz a identidade standard de grau n s n (x 1,..., x n ) = σ S n ( 1) σ x σ(1) x σ(n), em que S n denota o grupo de permutações de n elementos e ( 1) σ denota o sinal da permutação σ. O exemplo anterior nos diz que a álgebra das matrizes M n (K) satisfaz a identidade polinomial standard de grau n

9 Exemplos Identidades polinomiais Exemplo Melhorando o exemplo anterior, para a álgebra da matrizes, temos o Teorema de Amitsur-Levitzki, nos dizendo que as álgebra das matrizes M n (K) satisfaz a identidade polinomial standard de grau 2n. Observação 2n é o menor grau de identidade satisfeita por M n (K). Todas as identidades de M n (K) de grau 2n são múltiplos escalares de s 2n exceto o caso n = 2 e K = 2.

10 Exemplos Identidades polinomiais Exemplo A álgebra das matrizes M 2 (K) satisfaz a identidade h(x 1, x 2, x 3 ) = [[x 1, x 2 ] 2, x 3 ]. Então já sabemos o significado da expressão identidades polinomiais.

11 Passos Identidades polinomiais 1 Identidades polinomiais 2 3 4

12 T ideais Identidades polinomiais O conjunto T (A) das identidades polinomiais de A forma um ideal de K X, que tem a propriedade de ser invariante sob todos os endomorfismos de K X. Definição Um ideal I de K X é um T ideal se é invariante sob todos os endomorfismos de K X, ou seja, φ(i ) I para todo endomorfismo φ de K X. Teorema O ideal T (A) das identidades de A é um T ideal de K X.

13 s para T ideais A interseção de uma família qualquer de T ideais é um T ideal. Assim dado S K X podemos definir o T ideal gerado por S, denotado por S T, como a interseção de todos os T ideais de K X que contêm S. Definição Se S T (A) é tal que S T = T (A), dizemos que S é uma base das identidades de A.

14 Exemplos de bases de T (A) Exemplo (Razmyslov, 1973 e Drensky, 1981) Se K é um corpo com char(k) = 0, então uma base de T (M 2 (K)) é dada por s 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) e h(x 1, x 2, x 3 ) = [[x 1, x 2 ] 2, x 3 ].

15 Exemplos de bases de T (A) Exemplo (Koshlukov, Colombo, 2004) Seja K um corpo infinito. Se char(k) > 3, então uma base de T (M 2 (K)) é dada por s 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) e h 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = [[x 1, x 2 ] [x 3, x 4 ], x 5 ]. Se char(k) = 3, então uma base de T (M 2 (K)) é dada por s 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ), h 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) e r 6 (x 1,..., x 6 ) = [x 1, x 2 ] (u v) 1 8 ([x 1, u, v, x 2 ] + [x 1, v, u, x 2 ] [x 2, u, x 1, v] [x 2, v, x 1, u]), em que a b = 1 2 (ab + ba) e u = [x 3, x 4 ] e v = [x 5, x 6 ].

16 Exemplos de bases de T (A) Exemplo (Maltsev, Kuzmin, 1978) Se K é um corpo finito com q elementos, então uma base de T (M 2 (K)) é dada por f (x 1, x 2 ) = (x 1 x q 1 )(x 2 x q2 2 )(1 [x 1, x 2 ] q 1 ) e 2(x 1 x q 1 ) (x 2 x q 2 ) (2(x 1 x q 1 ) (x 2 x q 2 ))q. Então já sabemos o significado da expressão base das identidades polinomiais.

17 Passos Identidades polinomiais 1 Identidades polinomiais 2 3 4

18 Álgebras graduadas Definição Seja G um grupo aditivo. Dizemos que A é G-graduada se A = g G A g em que A g são subespaços de A e A g A h A g+h para todo g, h G. Exemplo Considere G = Z e A = K[x]. A é Z-graduada: A n é o espaço gerado por x n se n 0 e A n = 0 se n < 0.

19 Exemplos de álgebras graduadas Exemplo ( K 0 Se A = M 2 (K), uma Z-graduação é dada por A 0 = 0 K ( ) ( ) 0 K 0 0 A 1 =, A = e A K 0 h = 0 para todo h Z {0, 1, 1}. ),

20 Exemplos de álgebras graduadas Exemplo Veja que A = M 2 (K) é Z 2 -graduada com A = A 0 A 1 em que ( ) ( ) K 0 0 K A 0 = e A 0 K 1 =. K 0

21 Exemplos de álgebras graduadas Exemplo Seja A = M 2 (K). Suponha {( char(k) ) 2. Uma Z } 2 -graduação de A é u v A 0 = : u, v K e bv u {( ) } u v A 1 = : u, v K com b K K bv u 2. Suponha {( agora char(k) = 2. ) Uma Z 2 -graduação } de A é u u + v A 0 = : u, v K, b(u + v) v {( ) } bu + v u A 1 = : u, v K com u bu + v b K {λ + λ 2 : λ K}.

22 Exemplos de álgebras graduadas Nos dois últimos exemplos, tivemos G = Z 2 e estas são as graduações de M 2 (K) que aparecem nas tabelas iniciais.

23 Álgebra associativa livre graduada Considere X = {x 1, x 2,...}, Y = {y 1, y 2,...} e Z = {z 1, z 2,...} com Y Z = e X = Y Z. Um monômio m K X é dito par se contem um número par de entradas de Z. Caso contrário, m é chamado ímpar. Considere K X 0 o espaço gerado pelos monômios pares e K X 1 o espaço gerado pelos monômios ímpares. Assim K X = K X 0 K X 1 é a álgebra associativa livre graduada.

24 Identidade polinomial graduada Definição Seja A = A 0 A 1 uma álgebra graduada. Dizemos que um polinômio 0 f (y 1,..., y m, z 1,..., z n ) K X é uma identidade polinomial graduada para A se f (a 1,..., a m, b 1,..., b n ) = 0 para todos a 1,..., a m A 0 e b 1,..., b n A 1. Definição Para duas álgebras graduadas A = A 0 A 1 e B = B 0 B 1 dizemos que um homomorfismo de álgebras φ : A B é graduado se φ(a i ) B i para i=0,1. Definição Um ideal I de K X é um T 2 ideal se é invariante sob todos os endomorfismos graduados de K X.

25 s das identidades graduadas Teorema O ideal T 2 (A) das identidades polinomiais graduadas de uma álgebra graduada A é um T 2 ideal de K X. A noção de T 2 ideal gerado por S K X é análoga a ideia de T ideal gerado. Assim sabemos agora o que significa a expressão base das identidades polinomiais graduadas de uma álgebra graduada. Vejamos alguns exemplos de bases.

26 s das identidades graduadas Exemplo (Di Vincenzo, 1992; Koshlukov, Azevedo, 2002 e Brandão, Koshlukov, Krasilnikov, 2009) Considere a graduação de A = M 2 (K) com K infinito e ( ) ( ) K 0 0 K A 0 = e A 0 K 1 =. K 0 Se char(k) 2, então uma base de T 2 (M 2 (K)) é dada por {y 1 y 2 y 2 y 1, z 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 }. Se char(k) = 2, então uma base de T 2 (M 2 (K)) é dada por {y 1 y 2 + y 2 y 1, z 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1 }.

27 s das identidades graduadas Exemplo (Koshlukov, Azevedo, 2002) Considere a graduação de A = M 2 (K) com A = A 0 A 1 em que ( ) ( ) K 0 0 K A 0 = e A 0 K 1 = K 0 e K finito com q elementos. Se char(k) 2, então y q 1 y 1 e f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (y 1 +z 1 (y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) q2 )(1 [y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 ), com y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z, formam uma base de T 2 (M 2 (K)).

28 s das identidades graduadas Exemplo (Koshlukov, Azevedo, 2002) Considere A = M 2 (K) em que K tem char(k) 2 e é finito com q elementos, com a graduação Ω b de M 2 (K) ( ) ( ) Ω b u v 0 = e Ω b u v 1 = bv u bv u em que u, v K e b K K 2. Então uma base das identidades graduadas de Ω b é dada por y q2 1 y 1, z 2q 1 1 z 1 e f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (y 1 +z 1 (y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) q2 )(1 [y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 ), com y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z.

29 Os exemplos anteriores são os que aparecem nas tabelas iniciais. s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 y 2 y 1 y q 1 y 1 ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) ( ) u v A 0 =? y q2 bv u 1 y 1, z 2q 1 1 z 1 ( ) u v e A 1 =? f (y bv u 1 + z 1, y 2 + z 2 ) em que f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (y 1 +z 1 (y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) q2 )(1 [y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 ).

30 s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) = 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 + y 2 y 1? ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1? ( ) u u + v A 0 =?? ( b(u + v) v ) bu + v u e A 1 =?? v bu + v

31 Passos Identidades polinomiais 1 Identidades polinomiais 2 3 4

32 Pergunta Identidades polinomiais Pergunta E os pontos de interrogação? significam que as respectivas bases eram desconhecidas. Os resultados principais desta tese responderam a todos os pontos de interrogação.

33 Resultados novos Teorema Suponha K infinito com char(k) 2. Considere M 2 (K) com a graduação M 2 (K) = Ω b 0 Ωb 1 em que {( ) } Ω b u v 0 = : u, v K e bv u {( ) Ω b u v 1 = bv u } : u, v K em que b K K 2. Então uma base das identidades graduadas de Ω b é dada por {y 1 y 2 y 2 y 1, z 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 }, com y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z.

34 Ideia da demonstração Sejam {y 1 y 2 y 2 y 1, z 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 }, com y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z, o conjunto de identidades graduadas candidato a base e I o T 2 ideal gerado pelo candidato. O que queremos é mostrar que I = T 2 (M 2 (K)). Para mostrar que I T 2 (M 2 (K)) basta ver que os elementos de I são identidades graduadas. Para mostrar que T 2 (M 2 (K)) I usamos que K X /T 2 (M 2 (K) é isomorfa a uma determinada álgebra de matrizes genéricas. Assim basta encontrar um conjunto de geradores de K X /I que seja linearmente independente na álgebra das matrizes genéricas.

35 Ideia da demonstração Um conjunto de geradores de K X /I é dado por y a1 y a2 y ak, y a1 y a2 y ak z c1 z d1 z c2 z d2 z cm z dm ẑ cm+1, y a1 y a2 y ak z c1 y b1 y b2 y bl z d1 z c2 z d2 z cm z dm ẑ cm+1 em que a 1 a 2 a k, b 1 b 2 b l, c 1 c 2 c m c m+1, d 1 d 2 d m, k 0, l 0, m 0. No terceiro tipo, se k = l = 0, o grau é maior ou igual a 2. O chapéu sobre a variável significa que ela pode faltar.

36 Ideia da demonstração Seja F (M 2 (K)) a subálgebra de M 2 (K[y (1) i, y (2) i, z (1) i, z (2) i : i 1]) gerada pelas matrizes ( ) ( ) y (1) i y (2) i z (1) i z (2) i A i = by (2) i y (1) i, B i = bz (2) i z (1) i, b K K 2. Um fato conhecido é que K X /T 2 (M 2 (K)) é isomorfa a F (M 2 (K)). Assim basta mostrar a independência linear dos geradores de K X /I quando substituímos y i por A i e z i por B i. Fazemos isso olhando para o elemento a 12 da matriz que aparece após a substituição.

37 Resultados novos Teorema Suponha K infinito com char(k) = 2.Considere M 2 (K) com a graduação M 2 (K) = A 0 A 1 em que {( ) } u u + v A 0 = : u, v K e b(u + v) v {( ) bu + v u A 1 = v bu + v } : u, v K em que b K {λ + λ 2 : λ K}. Então uma base das identidades graduadas é dada por {y 1 y 2 + y 2 y 1, z 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1 } em que y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z.

38 Ideia da demonstração Completamente análoga a demonstração anterior. As diferenças são: 1) As matrizes A i e B i. Trocamos as anteriores por A i = B i = ( ( y (1) i y (1) i + y (2) i i + y (2) i ) y (2) i b(y (1) bz (1) i + z (2) i z (1) i z (2) i bz (1) i + z (2) i em que b K {λ + λ 2 : λ K}. 2) Optamos por olhar para o elemento a 11 para mostrar a independência linear dos geradores de K X /I. ) ), e

39 Resultados novos Teorema Considere ( a Z 2 -graduação ) ( Ω de M 2 (K) ) = A 0 A 1 da forma K 0 0 K A 0 = e A 0 K 1 = e seja K um corpo finito K 0 com q elementos e char(k) = 2. Então uma base das identidades polinomiais graduadas de Ω é dada por {y q 1 + y 1, (y 1 +z 1 +(y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 ) q2 )(1+[y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 )}, em que y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z.

40 Ideia da demonstração Seja {f 1 = y q 1 + y 1, f 2 = (y 1 +z 1 +(y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 ) q2 )(1+[y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 )}, com y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z, o conjunto de identidades graduadas candidato a base. Seja B a variedade das álgebras graduadas que satisfazem f 1 e f 2. O que queremos é mostrar que B = VarΩ, em que VarΩ é a variedade das álgebras graduadas que satisfazem as identidades graduadas de Ω.

41 Ideia da demonstração Para mostrar que VarΩ B basta ver que f 1 e f 2 são identidades graduadas. Para mostrar que B VarΩ usamos que B é gerada por álgebras graduadas finitas e subdiretamente irredutíveis. Assim basta mostrar que cada álgebra graduada finita e subdiretamente irredutível pertence a Var Ω. O que fazemos é mostrar que cada álgebra graduada finita e subdiretamente irredutível está mergulhada em Ω.

42 Resultados novos Teorema Seja K um corpo finito com q elementos e char(k) = 2. Considere a Z 2 -graduação {( de M 2 (K) = ) A 0 A 1 com } u u + v A 0 = : u, v K e b(u + v) v {( ) } bu + v u A 1 = : u, v K, em que v bu + v b K {λ + λ 2 : λ K}. Então uma base das identidades polinomiais graduadas é dada por {y q2 1 + y 1, z 2q z 1, (y 1 +z 1 +(y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 ) q2 )(1+[y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 )}, em que y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z.

43 Ideia da demonstração A demonstração é análoga a anterior. A principal diferença está na construção dos mergulhos.

44 O novo cenário fica assim: s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 y 2 y 1 y q 1 y 1 ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) ( ) u v A 0 = y bv u 1 y 2 y 2 y 1 y q2 1 y 1, z 2q 1 1 z 1 ( ) u v e A 1 = z bv u 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) em que f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (y 1 +z 1 (y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) q2 )(1 [y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 )

45 s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) = 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 + y 2 y 1 y q 1 + y 1 ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1 g(y 1, y 2, z 1, z 2 ) ( ) u u + v A 0 = y b(u + v) v 1 y 2 + y 2 y 1 y q2 1 + y 1, ( ) z 2q z 1 bu + v u e A 1 = z v bu + v 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1 g(y 1, y 2, z 1, z 2 ) em que g(y 1, y 2, z 1, z 2 ) = (y 1 +z 1 +(y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 ) q2 )(1+[y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 ).

46 Bibliografia C. Boboc, S. Dascalescu, Group Gradings on M 3 (K), Communications in Algebra, 35, (2007). A. P. Brandão Jr., P. Koshlukov, A. Krasilnikov, Graded Central Polynomials for Matrix Algebra of Order Two, Monatshefte für Mathematik, 157, (2009). O. M. Di Vincenzo, On the Graded Identities of M 1,1 (E), Israel Journal of Mathematics, 80, (1992). V. Drensky, A Minimal Basis for the Identities of a Second-Order Matrix Algebra over a Field of Characteristic 0, Algebra and Logic 20, (1981). Yu. N. Maltsev, E. N. Kuzmin, A Basis for Identities of the Algebra of Second Order Matrices over a Finite Field, Algebra and Logic, 17, (1978).

47 Bibliografia R. Khazal, C. Boboc, S.Dascalescu, Group Gradings of M 2 (K), Bulletin of the Australian Mathematical Society, 68, (2003). P. Koshlukov, S. Azevedo, A Basis for the Graded Identities of the Matrix Algebra over a Finite Field of Characteristic p 2, Finite Fields and Applications, 8, (2002). P. Koshlukov, S. Azevedo, Graded Identities for T-Prime Algebra over Fields of Positive Characteristic, Israel Journal of Mathematics, 128, (2002). P. Koshlukov, J. Colombo, Central Polynomials in the Matrix Algebra of Order Two, Linear Algebra and Applications 377, (2004).

48 Bibliografia P. Koshlukov, J. Reis, Gradings and Graded Identities for the Matrix Algebra of Order Two in Characteristic 2, Serdica Mathematical Journal, accepted. P. Koshlukov, M. Zaicev, Identities and Isomorphisms of Graded Simple Algebras, Linear Algebra and Applications 432, (2010). Yu. P. Razmyslov, Finite Basing of the Identities of a Matrix Algebra of Second Order over a Field of Characteristic Zero, Algebra and Logic 12, (1973). C. T. C. Wall, Graded Brauer Groups, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 213, (1963).