Polinômios Centrais em Álgebras de Matrizes Rafael Bezerra dos Santos - DMAT - UFMG

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1 Polinômios Centrais em Álgebras de Matrizes Rafael Bezerra dos Santos - DMAT - UFMG Em todo texto, F denotará um corpo, não necessariamente de característica zero, A é uma F -álgebra associativa e F X é a álgebra livre associativa unitária sobre X = {x i } i N, um conjunto enumerável de variáveis não-comutativas. Definição 1. Seja A uma F-álgebra com Z(A) {0}. f(x 1,..., x n ) F X é um polinômio central para A se: (i) f não possui termo constante; (ii) para todos a 1,..., a n A, f(a 1,..., a n ) Z(A); (iii) f não é uma identidade polinomial para A. Um polinômio Exemplo 1. O polinômio [x 1, x 2 ] 2 é um polinômio central para M 2 (F ). Dado A M n (F ), o polinômio característico de A é x 2 tr(a)+det(a)i 2 = 0. Pelo teorema de Cayley-Hamilton, A é raiz de seu polinômio característico. Dada a matriz [x 1, x 2 ] M 2 (F ), temos que tr([x 1, x 2 ]) = 0. Logo, [x 1, x 2 ] 2 = det([x 1, x 2 ])I 2 Z(M 2 (F )). Agora, [x 1, x 2 ] 2 não é uma identidade polinomial para M 2 (F ) : [e 12, e 21 ] 2 = e 11 + e Exemplo 2. O polinômio [x 1, x 2 ] é um polinômio central para a álgebra de Grassmann G. Temos que G = span F 1, e 1, e 2,... : e i e j + e j e i = 0, i, j 1 e G = G (0) G (1), onde G (0) = span F e i1 e 2k : i 1 < < i 2k, k > 0 e G (1) = span F e i1 e i2k+1 : i 1 < < i 2k+1, k > 0. É fácil verificar que 1

2 2 G (0) = Z(G). Agora, [G, G] G (0) = Z(G). Logo, [x 1, x 2 ] Z(G). Como G não é comutativa, temos que [x 1, x 2 ] não é uma identidade para G. A importância do estudo de polinômios centrais em álgebras de matrizes é dada pelo seguinte lema: Lema 1. Todo polinômio central para M n (F ) é uma identidade polinomial para M n 1 (F ). Demonstração. Mergulhe M n 1 (F ) em M n (F ), assumindo que a n-ésima linha e a n-ésima coluna são nulas. Sejam f um polinômio central em M n (F ) e a 1,..., a n M n 1 (F ). Então f(a 1,..., a n ) M n 1 (F ) Z(M n (F )) = {0}. O problema de encontrar polinômios centrais em álgebras de matrizes foi proposto por Kaplansky em Em , Formanek e Razmyslov, independentemente, resolveram o problema, utilizando técnicas diferentes. Após isso, vários autores desenvolveram técnicas para produzir polinômios centrais em álgebras de matrizes, os quais podemos citar Kharchenko, Halpin, Drensky, Regev e Giambruno. Neste seminário, apresentaremos a solução de Razmyslov para o problema de produzir polinômios centrais em álgebras de matrizes. Iniciaremos com definições e a demonstração de alguns lemas técnicos. Definição 2. O polinômio C n (x 1,..., x n ; y 1,..., y n+1 ) = σ S n ( 1) σ y 1 x σ(1) y 2 x σ(2) y n x σ(n) y n+1 é chamado de n-ésimo polinômio de Capelli. Observação 1. O n-ésimo polinômio de Capelli é alternado nas variáveis x 1,..., x n. Logo, se {a 1,..., a n } é um conjunto l.d. sobre F em A, então C n (a 1,..., a n ; b 1,..., b n+1 ) = 0, b 1,..., b n+1 A. Lema 2. A álgebra M n (F ) não satisfaz C n 2, n > 1.

3 3 Demonstração. C n 2(e 11, e 12,..., e 1n,..., e n,n 1, e nn ; e 11, e 11, e 21,..., e n 1,n, e n,1 ) = e Definição 3. O polinômio f(x 1,..., x n ) F X é chamado de identidade polinomial fraca para M k (F ) se f(a 1,..., a n ) = 0, para todas as matrizes de traço nulo em M k (F ). Uma identidade polinomial fraca é essencial se não é uma identidade polinomial para M k (F ). Lembramos que a subálgebra sl k (F ) de gl k (F ) é a álgebra das matrizes de traço nulo em M k (F ). A álgebra sl k (F ) é gerada, sobre F, por {e ij ; i j, i, j = 1,..., k} {e 11 e ii ; i = 2,..., k} e dim F (sl k (F )) = k 2 1. Consequentemente, toda matriz de traço nulo em M k (F ) é combinação linear de comutadores. Exemplo 3. O polinômio [x 2 1, x 2 ] é uma identidade polinomial fraca essencial para M 2 (F ). Sejam a 1, a 2 sl 2 (F ). Então a 2 1 Z(M 2 (F )) e [a 2 1, a 2 ] = 0. Agora, [x 2 1, x 2 ] é essencial, pois [e 2 11, e 12 ] = e Exemplo 4. Se f(x 1,..., x n ) é uma identidade polinomial fraca para M k (F ), então f([x 1, x n+1 ], [x 2, x n+2 ],..., [x n, x 2n ]) é uma identidade polinomial para M k (F ). Exemplo 5. O n 2 -ésimo polinômio de Capelli C n 2(x 1,..., x n 2; y 1,..., y n 2 +1) é uma identidade polinomial fraca essencial para M n (F ). Em sl n (F ), qualquer conjunto de n 2 elementos é l.d. Logo, pela Observação 1, C n 2 é uma identidade polinomial fraca para M n (F ). Pelo Lema 2, C n 2 é essencial. Lema 3. Sejam a i, b i M k (F ), i = 1,..., n e suponha que f(u) = a i ub i = 0, u M k (F ). Então, f (u) = b i ua i = 0, u M k (F ).

4 Demonstração. Considere o produto interno em M k (F ), a, b = tr(ab). Então, f(u) = ( 0, u M k (F ) tr(f(u)v) = 0, u, v M k (F ). Logo, ) ( ) tr(f(u)v) = tr a i ub i v = tr b i va i u = tr(f (v)u) = 0, u, v M k (F ). Logo, f (v) = 0, v M k (F ). Definição 4. Seja f(x, y 1,..., y n ) F x, y 1,..., y n um polinômio linear na variável x. Escreva f = g i xh i, onde g i, h i F y 1,..., y n. A transformada de Razmyslov de f é o polinômio f (x, y 1,..., y n ) = h i xg i. Lema 4 (Lema de Razmyslov). Sejam f(x, y 1,..., y n ) F x, y 1,..., y n um polinômio linear na variável x e f (x, y 1,..., y n ) sua transformada de Razmyslov. Então: (i) f(x, y 1,..., y n ) é uma identidade polinomial para M k (F ) se, e somente se, f (x, y 1,..., y n ) é uma identidade polinomial para M k (F ); (ii) f (x, y 1,..., y n ) é um polinômio central para M k (F ) se, e somente se, f(x, y 1,..., y n ) é uma identidade polinomial fraca essencial e f([x, y 0 ], y 1,..., y n ) é uma identidade polinomial para M k (F ). Demonstração. (i) Lema 3. (ii) Escreva f = g i xh i. Considere g(x, y 0, y 1,..., y n ) = f([x, y 0 ], y 1,..., y n ) = gi (xy 0 y 0 x)h i = (g i xy 0 h i g i y 0 xh i ). Com isso, g (x, y 0, y 1,..., y n ) = [y 0, f (x, y 1,..., y n )]. Logo, f é um polinômio central para M k (F ) se, e somente se, g é uma identidade polinomial para M k (F ) se, e somente se, por (i), f([x, y 0 ], y 1,..., y n ) é uma identidade polinomial para M k (F ). Como toda matriz de traço nulo é combinação linear de comutadores, o resultado segue. Teorema 1 (Razmyslov, 1973). Seja f(x, z 1,..., z 2n 2 2, y 1,..., y n 2 1) = = C n 2(x, [z 1, z 2 ],..., [z 2n 2 3, z 2n 2 2]; 1, y 1,..., y n 2 1, 1). Então f, a transformada de Razmyslov de f, é um polinômio central para M n (F ). 4

5 5 Demonstração. Pelo Lema 2, f é uma identidade polinomial fraca. Trocando x por um comutador, temos uma identidade polinomial. Logo, pelo Lema de Razmyslov, basta mostrar que f não é uma identidadade. Temos que f(e 11, z 1,..., z 2n 2 2, y 1,..., y n 2 1) = ±C n2 (e ij ; 1, y 1,..., y n 2 1, 1), onde z i são matrizes de traço nulo tais que [z 2i 1, z 2i ], i = 1,..., n 2 1 coincide com a base de sl n (F ). Como na demonstração do Lema 2, escolhemos matrizes elementares y i convenientes e obtemos que f não é uma identidade polinomial para M n (F ). Pelo Lema de Razmyslov, f é um polinômio central para M n (F ). Existem ainda vários problemas em aberto relacionados a este assunto. Problema 1. Encontre novos polinômios centrais para a álgebra M n (F ), n > 2. Em característica zero, todos os polinômios centrais em M 2 (F ) já foram descritos por Formanek e Okhitin. Problema 2. Determinar o grau mínimo dos polinômios centrais em M n (F ), car(f ) = 0. Formanek conjecturou que o grau mínimo dos polinômios centrais em M n (F ), car(f ) = 0, é 1 2 (n2 + 3n 2). Formanek mostrou que a conjectura é verdadeira para n = 2 e Drensky e Kasparian mostraram que a conjectura é verdadeira para n = 3. Drensky (1995) construiu polinômios centrais de grau (n 1) 2 + 4, n > 2, para M n (F ), car(f ) = 0. Referências [1] A. Giambruno and M. Zaicev, Polynomial identities and asymptotic methods, AMS Mathematical Surveys and Monographs, Vol Providence R.I., [2] V. Drensky, Free Algebras and PI-Algebras, Springer-Verlag, Singapore, 2000.