As Identidades de uma Álgebra vista como um Anel

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1 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática As Identidades de uma Álgebra vista como um Anel por Jorge Augusto Gonçalo de Brito Brasília 2011

2 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática As Identidades de uma Álgebra vista como um Anel por Jorge Augusto Gonçalo de Brito Tese apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade de Brasília, como parte dos requisitos para obtenção do grau de DOUTOR EM MATEMÁTICA Brasília, 12 de dezembro de Banca Examinadora: Prof. Dr. Alexei rassilnikov - UnB (Orientador) Profa. Dra. Ana Cristina Vieira-UFMG Prof. Dr. Plamen Emilov oshlukov-unicamp Prof. Dr. Dimas José Gonçalves-UnB Prof. Dr. José Antônio de Oliveira Freitas-UnB O autor foi bolsista CAPES e CNPq durante parte da elaboração deste trabalho.

3 Agradecimentos -Agradeço primeiramente a Deus por mais essa conquista e pela oportunidade diária de aprendizado que é a dádiva da vida. -Aos meus pais (Juvenal e Francisca) e às minhas irmãs (Elaine e Deise) pelo apoio e incentivo. -Ao professor Dr. Alexei rassilnikov, pela orientação, paciência e por sua suma importância nessa minha busca pela construção do conhecimento. -Aos professores Dr. Plamen Emilov oshlukov, Dra. Ana Cristina Vieira, Dr. Dimas José Gonçalves e Dr. José Antônio Oliveira de Freitas por participarem da banca examinadora. -À todos que foram meus professores no departamento de matemática da UnB e nas demais instituições de ensino as quais eu passei durante os 23 anos que estive estudando. -Ao CNPq/CAPES pelo apoio financeiro. - Por fim agradeço a todos os amigos e a todos que torceram por mim. Obrigado a todos.

4 Resumo Sejam um corpo de característica 0 e M o seguinte conjunto de matrizes M = a 12 a 13 = 0 a 22 a 23 a i j. Consideramos M como diversas estruturas algébricas, tais como: -álgebra associativa, - álgebra de Lie, anel associativo, anel de Lie, entre outras. Como, pelo resultado de Il tyakov, toda álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo de característica 0 possui uma base finita de identidades, a álgebra de Lie M possui uma tal base. Por outro lado, rasilnikov demonstrou recentemente que as identidades do anel de Lie M não tem base finita. Contudo, estas bases (finita para a álgebra e infinita para o anel) não foram encontradas explicitamente. Neste trabalho exibimos estas bases de identidades. Mais precisamente, demonstramos que M visto como uma -álgebra de Lie tem uma base formada pela única identidade[x 1,x 2,[x 3,x 4 ],x 5 ] e que uma base de identidades de M visto como anel de Lie é {[x 1,x 2,[x 3,x 4 ],x 5 ]} {[x 1,x 2,[x 1,x 2,x 3,...,x r ]] r=4,6,8,...} {[x 1,x 2,[x 3,x 4,x 5,...,x r ]]+[x 1,x 3,[x 4,x 2,x 5,...,x r ]]+[x 1,x 4,[x 2,x 3,x 5,...,x r ]] r= 5,7,...}. Além disso, considerando o problema semelhante para álgebras associativas, demonstramos que uma base de identidades da -álgebra associativa M é formada por x 1 [x 2,x 3 ]x 4 e esta mesma identidade forma uma base de M visto como anel associativo. Por fim, também encontramos bases de identidades graduadas para M, com algumas graduações, considerando-lo como as mesmas estruturas algébricas (-álgebra associativa, -álgebra de Lie, anel associativo e anel de Lie). iii

5 Abstract Let be a field of characteristic 0 and M the following set of matrices M = a 12 a 13 = 0 a 22 a 23 a i j. We consider M as varias algebraic structures, such as: associative -algebra, Lie -algebra, associative ring, Lie ring, etc. Since, by Il tyakov s result, each finite dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0 has a finite basis of identities, the Lie algebra M has such a basis. On the other hand, recently rasilnikov proved that the identities of the Lie ring M has no finite basis. However, these bases (finite for the algebra and infinite for the ring) were not found explicitly. In the presente thesis we exhibit these bases of identities. More precisely, we show that M viewed as a Lie -algebra has a basis formed by the single identity [x 1,x 2,[x 3,x 4 ]x 5 ] and a basis of identities for M viewed as Lie ring is {[x 1,x 2,[x 3,x 4 ],x 5 ]} {[x 1,x 2,[x 1,x 2,x 3,...,x r ]] r=4,6,8,...} {[x 1,x 2,[x 3,x 4,x 5,...,x r ]]+[x 1,x 3,[x 4,x 2,x 5,...,x r ]]+[x 1,x 4 [x 2,x 3,x 5,...,x r ]] r= 5,7,...}. Furthermore, considering the similar problem for associative algebras, we prove that a basis of identities of the associative -algebra M consists of x 1 [x 2,x 3 ]x 4 and the same identity forms a basis of identities for M viewed as an associative ring. Finally, we also found a basis of graded identities for M, with some gradings, considering it as the same algebraic structures (associative -algebra, Lie -algebra, associative ring and Lie ring). iv

6 Sumário Introdução 1 1 Preliminares Anéis e Álgebras Identidades Álgebras Graduadas Álgebras Relativamente Livres Produto Tensorial Produto Semidireto de Álgebras de Lie Identidades de M visto como Álgebra Associativa 28 3 Identidades de M visto como Álgebra de Lie Demonstração do Teorema Geradores do grupo aditivo L Z (X)/V Z (v) Identidades de M visto como Anel de Lie 49 v

7 5 Identidades Graduadas de M visto como Álgebra Associativa M Graduada por Z M Graduada por Z 2 Z Identidades Graduadas de M visto como Álgebra de Lie M Graduada por Z M Graduada por Z 2 Z Uma Família de Álgebras com mesmas Identidades As Álgebras M (n) M (n) Graduada por Z n M (n) M (n) Vista como Álgebra Associativa Graduada Vista como Álgebra de Lie Graduada A Base de Identidades para gl 2 (), =, char = 2 94 Referências Bibliográficas 100

8 Introdução A teoria de identidades e variedades de estruturas algébricas (seja de grupos, álgebras, anéis, entre outras) é uma importante sub-área da álgebra contemporânea. Esta sub-área vem se desenvolvendo muito nas últimas décadas. Desta forma existe uma gama de resultados publicados (veja por exemplo [1, 2, 16, 17, 24, 23, 27] e bibliografia lá). Vários destes resultados mostram a existência ou não de uma base finita de identidades para uma variedade ou uma determinada álgebra. Seja M o seguinte conjunto de matrizes M = a 12 a 13 = 0 a 22 a 23 a i j, onde é um corpo de característica 0. M é uma álgebra de Lie que também podemos considerar como anel de Lie. Como, pelo resultado de Il tyakov [26], toda álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo de característica zero possui uma base finita de identidades, a álgebra de Lie M possui uma tal base. Por outro lado, rasilnikov [30] demonstrou que as identidades do anel de Lie M não tem base finita. Contudo, estas bases (finita para as identidades da álgebra e infinita para o anel) não foram encontradas explicitamente. No presente trabalho exibimos estas bases de identidades. Os primeiros resultados principais desta tese são os seguintes: Teorema I.1. Seja um corpo de característica zero. Então as identidades de M álgebra de Lie têm base formada pela identidade v=[x 1,x 2,[x 3,x 4 ],x 5 ]. vista como 1

9 Introdução Teorema I.2. Seja um corpo de característica zero. Então o conjunto {[x 1,x 2,[x 3,x 4 ],x 5 ]} {[x 1,x 2,[x 1,x 2,x 3,...,x r ]] r=4,6,8,...} {[x 1,x 2,[x 3,x 4,x 5,...,x r ]]+[x 1,x 3,[x 4,x 2,x 5,...,x r ]]+[x 1,x 4,[x 2,x 3,x 5,...,x r ]] r= 5,7,...} é uma base de identidades para o anel de Lie M. Além disso, esta base é minimal, isto é, não contém nenhum subconjunto próprio que gera o mesmo ideal verbal. Em particular, M visto como anel de Lie não tem base finita de identidades. Sejam L (X) a álgebra de Lie livre, de posto enumerável, sobre, com geradores livres x 1,x 2,..., V (v) o ideal verbal de L (X) gerado por v = [x 1,x 2,[x 3,x 4 ],x 5 ] e V (M ) o ideal verbal das identidades de M. Como consequência direta destes dois teoremas temos o seguinte corolário. Corolário I.3. Seja L = L (X)/V (v) a -álgebra de Lie centro por metabeliana livre de posto enumerável, sobre um corpo de característica 0. Então L vista como anel de Lie não tem base finita de identidades. Mais precisamente, L tem a seguinte base de identidades: {[x 1,x 2,[x 3,x 4 ],x 5 ]} {[x 1,x 2,[x 1,x 2,x 3,...,x r ]] r=4,6,8,...} {[x 1,x 2,[x 3,x 4,x 5,...,x r ]]+[x 1,x 3,[x 4,x 2,x 5,...,x r ]]+[x 1,x 4,[x 2,x 3,x 5,...,x r ]] r= 5,7,...} e essa base não é equivalente a nenhum conjunto finito de identidades. Para álgebras de Lie são conhecidos alguns exemplos de álgebras as quais possuem base finita de identidades. Veja por exemplo [41, 42, 46]. Todavia, desconhecemos se estas álgebras de Lie têm base finita para suas identidades quando vistas como anéis de Lie (exceto quando a álgebra de Lie é nilpotente ou metabeliana). Desta forma, M é o primeiro exemplo de álgebra de Lie que possui base finita de identidades mas que não possui tal base se vista como anel de Lie. Naturalmente nos surgem perguntas semelhantes sobre álgebras associativas, ou seja: existe alguma álgebra associativa que possui base finita de identidades, mas que não possui base finita de identidades se vista como anel associativo? Em particular, a álgebra associativa M satisfaz esta propriedade? Assim, estudamos as identidades de M visto como anel associativo e visto como álgebra associativa. Em contraste com o caso anterior, obtivemos resposta negativa para a segunda questão. A primeira questão é um problema em aberto. Nossos próximos resultados principais 2

10 Introdução são: Teorema I.4. Seja um corpo de característica zero. Então as identidades da -álgebra associativa M têm base formada por x 1 [x 2,x 3 ]x 4. Teorema I.5. Seja um corpo de característica zero. Então as identidades de M, visto como anel associativo, têm base formada por x 1 [x 2,x 3 ]x 4. Estes dois teoremas são consequências dos resultados que seguem, os quais demonstraremos no capítulo 2. Teorema I.6. Seja um domínio de integridade infinito. Então as identidades da -álgebra associativa M têm base formada por x 1 [x 2,x 3 ]x 4. Teorema I.7. Seja um domínio de integridade de característica zero. Então as identidades de M, visto como anel associativo, têm base formada por x 1 [x 2,x 3 ]x 4. [25]. Se é um corpo infinito, então o Teorema I.6 é um caso particular do resultado de Guterman Como dissemos anteriormente, existem vários resultados publicados sobre identidades e variedades de estruturas algébricas. Contudo, são raros os casos onde se tem a descrição completa das identidades de uma álgebra, ou seja, onde uma base de identidades é exibida explicitamente. Elucidamos as principais álgebras para as quais se conhece uma base de identidades. Nosso trabalho apresenta mais alguns exemplos de bases de identidades. Sejam E e E (1) as álgebras de Grassmann (ou álgebras exteriores) de dimensão infinita sem unidade e com unidade respectivamente. Sejam ainda E k e E (1) k as álgebras de Grassmann de um espaço vetorial de dimensão finita k. São conhecidas bases de identidades para todas essas álgebras sobre qualquer corpo (veja [8, 10, 21, 29, 44]). Além disso, para um corpo base de característica zero, também sabemos a descrição de uma base finita para as identidades das álgebras E E e E (1) E (1) (veja [40]). Outra álgebra para a qual conhecemos uma base finita de identidades é a álgebra associativa M 2 (), de matrizes 2 2, sobre qualquer corpo, exceto quando é infinito de característica 2, neste caso o problema está em aberto (veja [31, 41]). Sejam gl 2 () a álgebra de Lie das matrizes 2 2 sobre e sl 2 () a subalgebra das matrizes de traço zero. Se é um corpo de característica p 2, então gl 2 () e sl 2 () possuem mesmas identidades. Sobre um corpo infinito de característica diferente de 2 foi exibida uma base de 3

11 Introdução identidades para estas álgebras, veja [41] e [46]. Se é infinito de característica 2 é conhecida uma base para gl 2 () (veja [16, Teorema 3.1.5]), neste caso sl 2 () também tem base finita e conhecida. A álgebra associativa UT n (), de todas matrizes triangulares superiores, sobre um corpo infinito, tem base formada por uma única identidade. Se é um corpo infinito, então para álgebra de Lie adjunta a UT n () também é conhecida uma base finita de identidades (veja [39] e [43]). Para um corpo base finito, foram explicitadas bases finitas de identidades para as álgebras M 2 (), M 3 () e M 4 () (veja [20, 22, 38]). Se é um corpo finito de característica p > 2, então também é conhecida a base de identidades comum as álgebras gl 2 () e sl 2 () (veja [41] e [42]). Essa é a lista quase completa das álgebras para as quais uma base de identidades explicita é conhecida. Mesmo para as álgebras M 3 () e sl 3 () não é conhecida uma base explícita de identidades sobre corpos infinitos. No entanto, se tem característica 0, pelos resultados de emer [28] e Il tyakov [26] estas álgebras possuem uma base finita de identidades. Sobre corpos infinitos de característica positiva, não sabemos se existe alguma base finita de identidades para estas álgebras. Consideremos o caso onde é um corpo infinito de característica 2. Nesta situação o problema da existência de uma base finita de identidades para a álgebra associativa M 2 () está em aberto. Contudo, observe que sl 2 () é nilpotente de classe 2 e de dimensão 3, logo [[x 1,x 2 ],x 3 ] forma uma base para suas identidades. Já a álgebra de gl 2 () não possui nenhuma base finita de identidades, isto foi demonstrado em 1970, por Vaughan-Lee [48]. Uma base para gl 2 () foi descoberta por Drensky e enunciada no livro [16]. Teorema I.8 (Drensky, veja [14] e [16]). Seja um corpo infinito de característica 2. Então o conjunto {[x 1,x 2,[x 3,x 4 ],x 5 ]} {[x 1,x 2,[x 1,x 2,x 3,...,x r ]] r=3,4,5,...} {[x 1,x 2,[x 3,x 4,x 5,...,x r ]]+[x 1,x 3,[x 4,x 2,x 5,...,x r ]]+[x 1,x 4,[x 2,x 3,x 5,...,x r ]] r= 4,5,6,...} é uma base de identidades para gl 2 (). Além disso, esta base não é equivalente a nenhum conjunto finito de identidades. Uma demonstração deste resultado foi escrita na tese [14] porém nunca foi publicada em uma revista científica. No apêndice demonstraremos este teorema. 4

12 Introdução Também estudamos as identidades graduadas de M para algumas graduações. Exibiremos estas bases para M, visto como as mesmas estruturas algébricas, para duas diferentes graduações. Antes de apresentarmos estas bases, vejamos alguns dos principais resultados conhecidos sobre identidades graduadas. Primeiramente exporemos alguns resultados sobre identidades graduadas da álgebra de Grassmann. Em 2009, no caso onde o corpo base tem característica 0, Di Vincenzo e Da Silva [12] descreveram as identidades Z 2 -graduadas de E, com respeito a algumas Z 2 -graduações. Recentemente Centrone [6] resolveu o problema análogo para um corpo infinito de característica p>2. Em sua tese Centrone [7] faz uma descrição das identidades H-graduadas de E para um grupo abeliano finito de ordem ímpar H. Se o corpo base tem característica 0, Di Vincenzo [11] mostrou que as identidades Z 2 - graduadas de E E tem base formada por 2 elementos. A álgebra de matrizes M n () sobre um corpo possui uma natural Z n -graduação. onde M (α) n M (0) n M n ()= M n (α), α Z n é o subespaço de M n () gerado por todas matrizes E i j tais que j i = α. Assim, consiste de todas matrizes diagonais a 1,1 a 2, a n,n, e, para 0< t n 1, M ( t) n consiste em todas matrizes da forma a 1,t a 2,t a n t,n a n t+1, a n, t

13 Introdução Se é um corpo infinito, as identidades Z n -graduadas de M n () possuem base finita, veja [3, 5, 11, 32, 47]. AZ n -graduação da álgebra M n () induz umaz n -graduação para a álgebra de matrizes triangulares UT n (). Entre outros resultados conhecidos para as identidades graduadas de UT n (), sabemos uma base finita explícita para suas identidades com esta Z n -graduadas, para qualquer corpo infinito, veja [33]. No que concerne à identidades graduadas, nosso principal resultado foi obtido quando graduamos M, visto como álgebra de Lie e como anel de Lie, por Z 2 ={0,1}. Temos a seguinte graduação: M = V 0 V 1, onde V 0 = ,V 1 = Também podemos graduar o anel de Lie livre L Z (X) e a álgebra de Lie livre L (X) por Z 2. Fazendo X = Y Z, Y ={y i i=1,2,...} e Z={z i i=1,2,...}. Consideramos Y é o conjunto de geradores pares e Z é conjunto de geradores ímpares. Para as identidades Z 2 -graduadas de M, visto como álgebra de Lie, encontramos uma situação semelhante ao caso das identidades ordinárias, também visto como álgebra de Lie. Teorema I.9. Seja um corpo de característica zero. Então as identidades Z 2 -graduadas da -álgebra de Lie M tem base finita enquanto as identidades Z 2 -graduadas de M visto como anel de Lie não tem base finita. Para provar este teorema usaremos o teorema que segue. Teorema I.10. Seja um domínio de integridade de característica zero. Então: 1) Se 2 é invertível em, então as identidades Z 2 -graduadas da -álgebra de Lie M têm base finita enquanto as identidades Z 2 -graduadas de M visto como anel de Lie não têm base finita. 2) Se 2 não é invertível em, então M não possui base finita de identidadesz 2 -graduadas tanto visto como -álgebra de Lie quanto visto como anel de Lie. Por sua vez o Teorema I.10 é consequência do próximo teorema.. 6

14 Introdução Teorema I.11. Seja um domínio de integridade de característica zero. Então: 1) Se 2 é invertível em, então as identidades Z 2 -graduadas da -álgebra de Lie M têm base C={[y 1,y 2 ]; [z 1,z 2,z 3 ]}. Já as identidades Z 2 -graduadas de M visto como anel de Lie têm base D={[y 1,y 2 ]; [z 1,z 2,z 3 ]} {[z 1,y 1,...,y 2k,z 1 ] k=1,2,...}, que não é equivalente a nenhuma base finita de identidades. 2) Se 2 não é invertível em, então D é uma base de identidades Z 2 -graduadas para M visto tanto como -álgebra de Lie quanto como anel de Lie. Nestes casos a base D também não é equivalente a nenhum conjunto finito de identidades. Quando consideramos M como anel associativo e álgebra associativa, com a graduação por Z 2 dada acima, encontramos uma situação totalmente diferente. Neste caso tanto a álgebra quanto o anel tem base finita. A saber Teorema I.12. Sejam C={[y 1,y 2 ]; y 1 z 1 y 2 ; y 1 z 1 z 2 ; z 1 z 2 y 1 ; z 1 z 2 z 3 } e um domínio de integridade de característica zero. Então o conjunto C gera as identidadesz 2 -graduadas de M tanto visto como álgebra associativa, quanto visto como anel associativo. Também podemos graduar M pelo grupo de lein. Com tal graduação as quatro estruturas as quais consideramos o conjunto M (anel associativo, álgebra associativa, anel de Lie e álgebra de Lie) possuem base finita de identidades graduadas. Seja H = Z 2 Z 2 = {(0,0);(0,1);(1,0);(1,1)}. Temos M = V (0,0) V (0,1) V (1,0) V (1,1), onde V (0,0) = V (0,1) = ,V (1,0) =,V (1,1) = ,. Façamos X = X (0,0) X (1,0) X (0,1) X (1,1) = Y W Z T, 7

15 Introdução onde X (0,0) = Y,X (1,0) = W,X (0,1) = Z,X (1,1) = T. Além disso, Y = {y i i = 1,2,...}, W = {w i i=1,2,...}, Z={z i i=1,2,...} e T ={t i i=1,2,...}. Desta forma as estruturas livres Z X, X, L Z (X) e L (X) são H-graduadas. Teorema I.13. Seja um domínio de integridade de característica zero. Então o conjunto {[y 1,y 2 ]; yw; w 1 w 2 ; zw; tw; wy; wz; wt; yz; tz; z 1 z 2 ; ty; t 1 t 2 } gera as identidades H-graduadas de M tanto visto como álgebra associativa quanto visto como anel associativo. Teorema I.14. Seja um domínio de integridade de característica zero. Então o conjunto {[y 1,y 2 ]; [w 1,w 2 ]; [z 1,z 2 ]; [t 1,t 2 ]} {[w,y]; [w,z]; [w,t]} {[z,t,y]; [z 1,t,z 2 ]; [z,t 1,t 2 ]} {[z,y 1,y 2 ] [z,y 2,y 1 ]; [t,y 1,y 2 ] [t,y 2,y 1 ]} gera as identidades H-graduadas de M visto tanto como álgebra de Lie quanto como anel de Lie. No último capítulo deste trabalho exibimos uma classe infinita de álgebras M (n) as quais possuem mesmas identidades ordinárias de M. Contudo essas álgebras possuem diferentes graduações. Encontramos bases de identidades Z n -graduadas para estas álgebras. Nossos resultados principais do último capítulo são: Teorema I.15. Seja um domínio de integridade de característica zero. Então o conjunto {[y (0) 1,y(0) 2 ]} {y( j) 2 y(i) 1 y(k) gera as identidades Z n -graduadas de M (n) visto como anel associativo. 3 i=1,2,...,n 1; j,k=0,1,...,n 1} tanto visto como -álgebra associativa, quanto Teorema I.16. Seja um domínio de integridade de característica 0. Então as identidades Z n -graduadas da -álgebra de Lie M (n) têm base finita enquanto as identidadesz n-graduadas de M (n) visto como anel de Lie não têm base finita. 8

16 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo exporemos algumas noções e fatos conhecidos sobre anéis, álgebras, identidades, identidades graduadas, produto tensorial (para álgebras associativas, álgebras de Lie, anéis associativos e anéis de Lie). 1.1 Anéis e Álgebras Anéis Definição 1.1. Um anel R é definido como um conjunto não-vazio com duas operações binárias + e tais que o par(r,+) é um grupo abeliano e valem as leis distributivas: (x+y) z=x z+y z, para todos x,y,z R, x (y+z)=x y+x z, para todos x,y,z R. Um anel R é dito um anel associativo se, para todos a,b,c R, temos: (a b) c=a (b c). 9

17 Capítulo 1. Preliminares Um anel de Lie é definido como um anel com multiplicação anti-comutativa e satisfazendo a identidade de Jacobi. Mais precisamente temos a Definição 1.2. O anel (L, +, [,]) é um anel de Lie, se 1. Para todos x,y,z L, [x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]=0. Usamos a notação[a, b, c] =[[a, b], c]. 2. Para todo x L, [x,x]=0. Observemos que um anel de Lie é anti-comutativo. De fato, como [a+b,a+b]=0 temos [a,b]= [b,a]. Módulos Definição 1.3. Seja R um anel associativo e comutativo. Um R-módulo (ou um módulo sobre R) é um grupo abeliano M, com multiplicação de escalares de R sobre M, tais que valem as seguintes propriedades: 1. (r+ s)m=rm+sm, 2. (rs)m=r(sm), 3. r(m+n)=rm+rn, 4. 1m=m, se R possui 1, para todos r,s R e m,n M. A multiplicação por escalares é uma aplicação de R M para M a qual denotamos por rm. Se o anel R for um corpo, então o R-módulo M é um espaço vetorial, onde os elementos de R são os escalares. 10

18 Capítulo 1. Preliminares Álgebras Definição 1.4. Seja um anel associativo comutativo com unidade. Uma -álgebra (linear) A é um -módulo com uma multiplicação : A A A com as seguintes propriedades: 1. A terna (A,+, ) é um anel. 2. Para todos x,y A e α, temos α(xy)=(αx)y=x(αy). Assim, toda álgebra linear pode ser vista como um anel, se considerada apenas com as operações binárias + e. Além disso, uma álgebra A é dita associativa, comutativa, de Lie ou com unidade conforme o anel (A,+, ) for, respectivamente, associativo, comutativo, de Lie ou com unidade. Assim como para grupos e anéis um homomorfismo de álgebras é uma função que preserva as operações das respectivas álgebras, mais precisamente temos Definição 1.5. Sejam A 1 e A 2 duas álgebras sobre. Uma aplicação f : A 1 A 2 chama-se um homomorfismo se: 1. f é um homomorfismo de -módulos. 2. f(x y)= f(x) f(y), para todos x,y A. Os teoremas usuais que se referem a isomorfismos de espaços vetoriais, anéis e grupos também são válidos para álgebras. A propriedade de possuir um objeto livre pode ser definida para qualquer estrutura algébrica. Definiremos a seguir objetos livres para álgebras associativas. Definição 1.6. Sejam um anel associativo comutativo com unidade e X = {x i i I} um conjunto não vazio. A -álgebra associativa livre X sem unidade é definida como o - módulo livre gerado livremente pelos elementos {x i1...x in x i X; n = 1,2,...}, com uma multiplicação tal que (x i1...x im )(x j1...x jn )=x i1...x im x j1...x jn, x ik,x jl X. 11

19 Capítulo 1. Preliminares Agora exibiremos, para álgebras associativas, uma propriedade importante e bem conhecida, inerente aos objetos livres, a chamada propriedade universal. Proposição 1.7. Seja A uma -álgebra associativa. Então qualquer aplicação ϕ : X A pode ser estendida à um único homomorfismo f : X A. Em outras palavras, existe um único homomorfismo f : X A tal que f(x)=ϕ(x),para todo x X. Demonstração: Definamos uma função f : X A como segue. Seja X ={x i1...x in x i X; n=1,2,...}. Primeiramente, se m X, então f(m)= f(x i1...x in )=ϕ(x i1 )...ϕ(x in ). Seja p=α 1 m α r m r X, onde m j X. Assim podemos definir f(p)=α 1 f(m 1 )+...+α r f(m r ). Pela definição de f temos que f(x)=ϕ(x), para todos x X. Por outro lado é direto verificar que f é um homomorfismo. Além disso, como o conjunto X gera X como álgebra, este isomorfismo é único. Com as definições dadas acima, todo anel pode ser visto como uma álgebra sobre o anel dos inteiros Z. Além disso, a Z-álgebra associativa livre Z X geralmente é chamada de anel associativo livre, ou seja,z X é o objeto livre na classe dos anéis. Daremos agora uma forma de obtenção de álgebras de Lie. Este método consiste em definir uma nova multiplicação para uma álgebra associativa. Seja (R, +, ) uma álgebra associativa. Podemos definir a seguinte operação em R: [,] : R R R (a,b) [a,b]=ab ba É direto verificar que R com esta nova multiplicação é uma álgebra de Lie. Esta nova álgebra, isto é, (R,+,[,]), é chamada de álgebra de Lie associada (ou adjunta) à R e denotada por R ( ). Além disso, para qualquer álgebra de Lie L existe uma álgebra associativa R, tal que L é isomorfa à uma subalgebra de R ( ). Este fato é demonstrado no famoso teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, que enunciaremos a seguir. 12

20 Capítulo 1. Preliminares Definição 1.8. Seja R uma álgebra associativa e L uma álgebra de Lie. Se L é isomorfa à uma subalgebra de R ( ) dizemos que R é um envolvente de L. Dizemos que a álgebra associativa U = U(L) é o envolvente universal da álgebra de Lie L, se L é uma subalgebra de U ( ) e tem a seguinte propriedade universal: para toda álgebra associativa R e todo homomorfismo de álgebras de Lie φ : L R ( ) existe um único homomorfismo de álgebras associativas ψ : U R que estende φ, isto é, ψ é igual a φ em L. Teorema 1.9 (Poincaré-Birkhoff-Witt). Toda álgebra de Lie L possui um único (a menos de isomorfismos) envolvente universal U(L). Se L tem base{e i i I}, onde o conjunto de índices I é ordenado, então U(L) tem base {e i1...e iq i 1... i q ; q=0,1,...}. Para uma demonstração veja, por exemplo, [16, Teorema 1.3.2]. Definição Seja L (X) uma -álgebra de Lie, onde X L (X). A álgebra de Lie L (X) chama-se álgebra de Lie livre, com conjunto de geradores livres X, se para cada álgebra de Lie L, qualquer aplicação ϕ : X L pode ser estendida à um único homomorfismo f : L (X) L. Em outras palavras, existe um único homomorfismo f : L (X) L tal que f(x) = ϕ(x), para todos x X. A cardinalidade do conjunto X é chamada de posto da álgebra de Lie livre L (X). Teorema 1.11 (Witt). A subálgebra L < X ( ) gerada por X é isomorfa à álgebra de Lie livre L (X). Além disso, U(L (X))= X. Demonstração: Seja L uma álgebra de Lie e R uma envolvente associativa. Uma aplicação θ : X G R induz um homomorfismo θ : X R; sua restrição para L é um homomorfismo de L para R ( ), o qual envia geradores de L para G. Desta forma a imagem de L está em G, o que implica que L é a álgebra de Lie livre com conjunto de geradores livres X (L=L (X)). Por outro lado, consideremos uma álgebra associativa R e φ : L R ( ). A aplicação φ : X R, definida por φ (x)=φ(x),x X, induz um único homomorfismo ψ : X R. Desde que φ(x) = ψ(x), para todo x X, obtemos que a restrição de ψ para L é igual à φ. Portanto U(L (X))= X. 13

21 Capítulo 1. Preliminares 1.2 Identidades Definição Sejam X ={x i i=1,2,...} e X a álgebra associativa livre sobre, sem unidade, gerada livremente por X. Dizemos que um elemento u=u(x 1,...,x n ) X é uma identidade (ou identidade polinomial) em uma álgebra associativa R, se u(r 1,...,r n )=0, para todos r 1,...,r n R. Analogamente definimos identidades em álgebras de Lie, como elementos da -álgebra de Lie livre L (X). Definição Um ideal I < X é dito um T -ideal se ϕ(i) I para todo endomorfismo ϕ de X. Para álgebras de Lie um ideal com tal propriedade muitas vezes é chamado de ideal verbal, esta denominação vem da teoria de grupos. Observação Seja R uma -álgebra associativa. O conjunto T (R), de todas identidades de R, é um T -ideal de X. Além disso, cada T -ideal T de X é desta forma, isto é, existe uma álgebra associativa R tal que T = T (R). Basta fazer R= X /T. Definição Uma base de identidades para uma álgebra associativa A é um subconjunto B T (A) que gera T (A) como T -ideal. Se existe tal B finito, dizemos que A tem base finita de identidades. O próximo teorema é resultado bastante conhecido e utilizado na teoria de álgebras com identidades. Teorema Seja A uma álgebra associativa. Então A possui uma base finita de identidades β se, e somente se, toda base de identidades γ de A possui um subconjunto finito equivalente a γ. Demonstração: Primeiramente, é claro que se toda base γ de A é equivalente a um subconjunto finito de γ, então A possui uma base finita. Reciprocamente, seja β ={ f 1, f 2,..., f k } uma base finita de A. Seja γ ={h j j = 1,2,...} uma base qualquer de A. Notemos que cada f i, pertence a um T -ideal gerado por uma quantidade finita de elementos h i1,h i2,...,h ili, para algum l i 1. Assim, temos que cada f i, i = 14

22 Capítulo 1. Preliminares 1,2,...,k é consequência de uma quantidade finita de identidades h i1,h i2,...,h ili, para algum l i 1. Desta forma, a base de identidades β é consequência de uma quantidade finita de identidades h j, j = 1,2,...,s. Logo, a base de identidades γ = {h 1,h 2,...} é consequência de seu subconjunto finito {h j j= 1,2,...,s}. Portanto γ é equivalente a subconjunto finito. Definição A classe V, de todas as álgebras satisfazendo um dado conjunto de identidades V, será chamada uma variedade de álgebras. O conjunto V é dito uma base de identidades para a variedade V. Teorema 1.18 (Birkhoff). Uma classe C de álgebras é fechada para subalgebras, quocientes e produtos cartesianos se, e somente se, C é uma variedade de álgebras. Demonstração: Faremos uma demonstração para anéis, nos demais casos a situação é análoga. É claro que uma variedade é fechada para subanéis, quocientes e produtos cartesianos. Inversamente, suponhamos que uma classe de anéis C é fechada para subanéis, quocientes e produtos cartesianos. Sejam V o conjunto das identidades satisfeitas por todos os anéis de C. Definamos V como a variedade com base V. É claro que C V. Queremos provar que V C. Como C é fechada para quocientes, é suficiente provar que cada anel livre de V pertence à C. Sabemos que um anel livre nesta variedade é da forma R=Z X /T(V). Para cada w / V existe um anel R w C tal que w não é uma identidade em R w. Desta forma, existe um homomorfismo ϕ w : R R w, com ϕ w (w+t(v)) 0. O produto cartesiano R= w R R w pertence à C, pois esta classe é fechada para produtos cartesianos. Seja ϕ : R R o homomorfismo cuja imagem de um elemento x na w-ésima posição é ϕ w (x). Pela forma que definimos ϕ temos que kerϕ = T(V), ou seja, ϕ é um monomorfismo. Portanto R = ϕ(r)< R. Como C é fechada para subanéis o teorema está demonstrado. Elementos Multi-homogêneos e Multilineares Podemos graduar X da seguinte forma: X = (1) (2) (3)..., 15

23 Capítulo 1. Preliminares onde (i) é o submódulo gerado por todos os monômios de grau i. Os subespaços (i) s são chamados de componentes homogêneas de X. Além disso, podemos redecompor cada componente (i) da seguinte forma: (i) = (i 1,...,i n ) i i n =i onde (i 1,...,i n ) é o subespaço gerado por monômios de grau i 1 em x 1,...,i n em x n. Um elemento f (i 1,...,i n ) é dito multi-homogêneo de multigrau (i 1,...,i n ). O elemento f é dito multilinear se é multi-homogêneo de multigrau (1,...,1). O próximo teorema é encontrado em vários livros de álgebras com identidades, veja por exemplo [16, Proposição 4.2.3]. Teorema Seja f(x 1,...,x m )= onde f i é a componente homogênea de grau i em x 1. n f i = f f n X, i=0 1) Se é um corpo infinito, então as componentes f i pertencem ao T-ideal gerado por f. 2) Se é um corpo de característica zero, então f é equivalente a um conjunto finito de identidades multilineares. Demonstração: 1) Seja T = T ( f) o T -ideal gerado por f. Para cada α a identidade f(αx 1,...,x m ) é consequência de f. Temos f α (x 1,...,x m ) = f(αx 1,...,x m ) = f 0 + α f α n f n. Como é infinito podemos escolher n+1 elementos distintos α 0,α 1,...,α n. Logo os elementos f αi (x 1,...,x m )= f 0 + α i f αi n f n pertencem à T. Podemos escrever f α0 f α1. 1 α 0 α α0 n = 1 α 1 α α1 n f 0 f 1.. f αn 1 α n α 2 n... α n n f n 16

24 Capítulo 1. Preliminares Por outro lado, 1 α 0 α α n 0 1 α 1 α α n ,. 1 α n αn 2... αn n pois esse é um determinante de Vandermonde. De fato, ele é igual a (α j α k ) 0 k< j n e é diferente de zero pois os elementos α i são todos distintos. Assim a matriz de Vandermonde acima é invertível e f 0 f 1. 1 α 0 α α0 n = 1 α 1 α α n f α0 f α1.. f n 1 α n α 2 n... α n n f αn Como f α0,..., f αn T, segue que f 0,..., f n T. 2) Usaremos o processo de linearização. Pelo item 1 podemos assumir que f(x 1,...,x m ) é homogêneo em cada uma de suas variáveis. Seja d o grau de f em x 1. Temos que f(y 1 + y 2,x 2,...,x m ) T ( f). Podemos escrever f(y 1 + y 2,x 2,...,x m )= d f i (y 1,y 2,x 2,...,x m ) i=0 onde f i é a componente homogênea de grau i em y 1. Portanto f i T ( f) e, para i=1,2,...,d 1, o grau de f i em y 1 é menor que d. Além disso, Como T ( f). ( d i ) f i (y 1,y 1,x 2,...,x m )= ( d i ) f(y 1,x 2,...,x m ). é invertível, já que char= 0, segue que cada f i é equivalente a f, isto é, T ( f i )= Aplicando esse processo indutivamente obtemos um conjunto de identidades multilineares equivalentes a f. 17

25 Capítulo 1. Preliminares Todas estas definições e resultados, que foram enunciados para álgebras associativas, possuem análogos para álgebras de Lie. Identidades Fracas Sejam R uma -álgebra associativa e S um subespaço vetorial de R, tal que S gera a álgebra R. O polinômio f(x 1,...,x n ) é uma identidade fraca para o par (R,S) se f(s 1,...,s n )=0 para todos s 1,...,s n S. As identidades fracas para o par (R,S) formam o ideal em X. Observe que, diferentemente dos T -ideais, os ideais de identidades fracas não são, necessariamente, fechados com relação a endomorfismos de X. Um caso particular, de maior interesse, é quando o espaço vetorial S é uma subálgebra de Lie da álgebra de Lie adjunta de R. Neste caso, o ideal T (R,S) é fechado com respeito a substituições de Lie. Em outras palavras, se f(x 1,...,x n ) T (R,S), então f(y 1,...,y n ) T (R,S), para todos y 1,...,y n L (X). Exemplo É direto verificar que o par (M 2 (),sl 2 ()) satisfaz a identidade fraca [x1 2,x 2], onde M 2 () é a álgebra associativa de matrizes 2 2 e sl 2 () é a álgebra de Lie de matrizes de traço zero. 1.3 Álgebras Graduadas Sejam H um grupo abeliano aditivo finito e A uma álgebra. A álgebra A é H-graduada, se existem subespaços vetoriais A (α) < A, α H, tais que 1. A é a soma direta dos subespaços A (α), isto é, A= α H A (α) e 2. A (α 1) A (α 2) A (α 1+α 2 ), para todos α 1,α 2 H. Seja X = α H X (α) = X (α 1) X (α 2)... X (α s), onde cada X (α) é um conjunto enumerável e X (α i) X (α j) = /0. Um elemento x X é dito de grau α, escrevemos (x)=α, se x X (α). Seja m=x i1...x is um monômio em X. Definimos o grau de m por (m)= (x i1 )+...+ (x is ). Para α H denotemos por X (α) o subespaço de X gerado por todos os monômios de grau α. É direto verificar que X = X (α) α H 18

26 Capítulo 1. Preliminares define uma H graduação para X. Um ideal I de X é dito um T H ideal se ele é invariante sobre endomorfismo φ : X X, tais que φ( X (α) ) X (α), para todo α H. Seja A = α H A (α) um álgebra H-graduada. Dizemos que f(x 1,...,x n ) X é uma identidade graduada de A se f(a 1,...,a n ) = 0 para todos a 1,...,a n A tais que a s A (xs), s = 1,...,n. O conjunto T H (A) de todas as identidades H-graduadas de A é um T H -ideal de X. Seja β X. Denotamos por T H (β) o T H -ideal gerado por β. Um conjunto β X é dito uma base das identidades H-graduadas de A, se T H (β) = T H (A). Quando H é o grupo trivial de um único elemento as identidades H-graduadas de A são as identidades de A (tal como na Definição 1.12). Algumas vezes chamaremos essas identidades de identidades ordinárias afim de diferenciá-las das identidades graduadas. Analogamente definimos identidades graduadas e T H -ideais em álgebras de Lie, no entanto, em álgebras de Lie, os T H -ideais também são chamados de ideais verbais graduados. O ideal verbal graduado das identidades de uma álgebra de Lie L também é denotado por V H (L). 1.4 Álgebras Relativamente Livres Definição Seja T um T -ideal. Então a álgebra A= X /T é dita uma álgebra relativamente livre. Algumas vezes define-se álgebras relativamente livres através de um conjunto de geradores livres. Esta definição é equivalente a definição que demos e este fato é explicitado na proposição que segue. Proposição Uma álgebra A é relativamente livre se, e somente se, possui um conjunto de geradores, chamados geradores livres, tal que toda aplicação deste conjunto na álgebra A pode ser estendida à um endomorfismo. Para uma demonstração veja [16, Proposição 2.2.5]. Sejam um anel associativo comutativo com unidade e [Y]=[y (r) i j i, j= 1,2,...,n; r=1,2,...] 19

27 Capítulo 1. Preliminares a -álgebra de polinômios (associativa e comutativa) de posto enumerável. As matrizes y r = n y (r) i j E i j,r=1,2,..., i, j=1 onde E i j são as matrizes elementares, são chamadas de matrizes genéricas n n. A -álgebra associativa R n gerada por todas essas matrizes é a -álgebra associativa de matrizes genéricas n n. Proposição A álgebra associativa de matrizes genéricas R n é relativamente livre. Não é difícil mostrar que as matrizes genéricas y r formam um conjunto de geradores livres para R n. Assim, utilizando a Proposição 1.22 demonstra-se esta proposição. Proposição Seja um domínio de integridade infinito. Então a -álgebra associativa relativamente livre da variedade gerada por M n () é isomorfa à -álgebra associativa de matrizes genéricas R n. abaixo. Esta proposição demonstra-se de forma análoga a Proposição 1.26 a qual demonstraremos Podemos também considerar a álgebra de Lie R n gerada pelas matrizes genéricas n n. Resultados análogos das proposições anteriores são válidos para R n. Seja H um grupo e M n ()= M n (h), h H uma H-graduação para M n (). Consideremos as matrizes y (h) r = y (r) i j E i j,r=1,2,... E i j M n (h) A álgebra associativa R n,h gerada pelas matrizes y (h) r Proposição Seja um domínio de integridade infinito. possui uma H-graduação natural. M n () tem mesmas identidades H-graduadas que a álgebra associativa R n,h. Então a álgebra associativa Esta proposição também demonstra-se de forma análoga a Proposição Resultado análogo vale para a álgebra de Lie R n,h. 20

28 Capítulo 1. Preliminares Podemos também considerar matrizes genéricas correspondente a M. Por exemplo, seja G a -álgebra associativa de matrizes genéricas gerada livremente pelos elementos g r = 0 ξ (r) 12 ξ (r) 13 0 ξ (r) 22 ξ (r) 23 onde [Ξ] = [ξ (r) i j i = 1,2; j = 2,3; r = 1,2,...] é a álgebra de polinômios (associativa e comutativa) sem unidade, nas variáveis ξ (r) i j, de posto enumerável. Proposição Seja um domínio de integridade infinito. Então a -álgebra associativa relativamente livre da variedade gerada por M é isomorfa à -álgebra associativa de matrizes genéricas G., Para demonstrar esta proposição usaremos o seguinte lema, o qual é bem conhecido. Lema Sejam um domínio de integridade infinito e f(x 1,...,x n ) [X], X ={x 1,x 2,...}, um polinômio não nulo. Então existem a 1,a 2,...,a n, tais que f(a 1,...,a n ) 0. A demonstração seguinte é análoga à demonstração para M n () quando é um corpo, esta pode ser encontrada, por exemplo, em [17, Proposição 1.3.2]. Demonstração da Proposição 1.26: Consideremos os homomorfismos canônicos π 1 : X X /T (M ) e π 2 : X G x i x i + T (M ) x i g i. É suficiente demonstrarmos que kerπ 1 = kerπ 2 ; isto é, f X é uma identidade em M se, e somente se, f é identidade em G. Se f kerπ 2, então f(g 1,...,g t )=0. Dados m 1,...,m t M, existe um homomorfismo natural que aplica g i para m i. Logo f(m 1,...,m t ) = 0, ou seja, f também é uma identidade para M. Por outro lado, seja f uma identidade para M. Suponhamos por absurdo que f(g 1,...,g t )= 0 f 12 f 13 0 f 22 f Sem perda de generalidade podemos supor que a entrada f 12 = f 12 (ξ rs (i) ) é um polinômio não nulo em [Ξ]. Pelo Lema 1.27, existem a (i) rs, i = 1,2,...,t, tais que f 12 (a (i) rs) 0. Isto 21

29 Capítulo 1. Preliminares significa que, para as matrizes m i = a (i) rs E rs, i=1,...,t, r,s a expressão f(m 1,...,m t ) é diferente de zero, o que é uma contradição. Além da proposição anterior, resultados análogos para álgebras associativa graduadas, álgebras de Lie e álgebra de Lie graduadas, são válidos para álgebras de matrizes genéricas correspondentes a M. Todos estes resultados têm demonstração análoga a demonstração da Proposicão Produto Tensorial Primeiramente definiremos produto tensorial para módulos. Sejam R um anel associativo, comutativo com unidade, V e W R-módulos gerados respectivamente por {e i i I} e { f j j J}. Seja R(V W) o R-módulo gerado livremente pelo produto cartesiano de V por W, R(V W)= { n α s u (vs,w s ) s=1 } n=1,2,...;α i R;(v s,w s ) V W. Seja ainda S o sub-módulo de R(V W) gerado pelos elementos: u (v1 +v 2,w) u (v1,w) u (v2,w) u (v,w1 +w 2 ) u (v,w1 ) u (v,w2 ) αu (v,w) αu (v,w) u (αv,w) u (v,αw) com v 1,v 2,v V ; w 1,w 2,w W e α R. Assim, definimos o produto tensorial de V por W, denotado por V R W (ou simplesmente V W ), como sendo o quociente V R W = R(V W)/S. Usaremos a seguinte notação u (v,w) + S=v w. 22

30 Capítulo 1. Preliminares A proposição seguinte é de fácil verificação. Proposição V R W é gerado pelo conjunto {e i f j i I, j J}. Se A e B são R-álgebras definimos o produto tensorial de R-álgebras como o produto tensorial A R B (vistas como R-módulos) com produto induzido por (a 1 b 1 )(a 2 b 2 )=(a 1 a 2 b 1 b 2 ). O produto tensorial muitas vezes é definido através de uma propriedade universal. Enunciaremos a seguir essa propriedade como consequência de nossa definição. Proposição Sejam A e B duas R-álgebras e : A B A R B a projeção canônica. Então para quaisquer R-álgebra L e aplicação bilinear θ : A B L, tal que θ((a 1,b 1 )(a 2,b 2 ))=θ(a 1,b 1 )θ(a 2,b 2 ), existe um único homomorfismo θ : A R B L tal que θ =θ. Demonstração: Seja θ : R(A B) L o homomorfismo de R-módulos tal que θ(u (a,b) )=θ(a,b). Seja S o sub-módulo de R(A B) gerado pelos elementos u (a1 +a 2,b) u (a1,b) u (a2,b) u (a,b1 +b 2 ) u (a,b1 ) u (a,b2 ) αu (a,b) αu (a,b) u (αa,b) u (a,αb) onde a 1,a 2,a A; b 1,b 2,b B e α R. Temos que S ker θ. Com efeito, θ(u (a1 +a 2,b) u (a1,b) u (a2,b)) = θ(u (a1 +a 2,b)) θ(u (a1,b)) θ(u (a2,b)) = θ(a 1 + a 2,b) θ(a 1,b) θ(a 2,b). 23

31 Capítulo 1. Preliminares Como θ é bilinear segue que θ(u (a1 +a 2,b) u (a1,b) u (a2,b))=0. Analogamente θ(u (a,b1 +b 2 ) u (a,b1 ) u (a,b2 ))= θ(αu (a,b) u (αa,b) )= θ(αu (a,b) u (a,αb) )=0. Logo S ker θ. Como A R B=R(A B)/S, podemos definir θ : A R B L θ(a b)= θ(u (a,b) )=θ(a,b) É direto verificar que θ =θ. Além disso, θ é um homomorfismo de R-módulos pois θ o é. Por fim, θ((a 1 b 1 )(a 2 b 2 )) = θ(a 1 a 2 b 1 b 2 )=θ(a 1 a 2,b 1 b 2 ) = θ((a 1,b 1 )(a 2,b 2 ))=θ(a 1,b 1 )θ(a 2,b 2 ) = θ(a 1 b 1 ) θ(a 2 b 2 ). Portanto θ é um homomorfismo de R-álgebras com as propriedades desejadas. A unicidade é consequência direta da propriedade θ = θ. Proposição Sejam um corpo de característica zero e L Z (X) o anel de Lie livre de posto enumerável. Seja ainda C L Z (X) um conjunto de elementos (identidades) multilineares. Então L (X)/V (C) = Z L Z (X)/V Z (C). Demonstração: Demonstraremos que T = Z L Z (X)/V Z (C) é a -álgebra livre, da variedade C definida por C, gerada livremente por X ={1 x i i=1,2,...}, onde x i = x i +V Z (C). Primeiramente provaremos que T pertence à C. Sejam w = w(x 1,x 2,...,x n ) C e 1 B uma base do espaço vetorial T, tal que B gera L Z (X)/V Z (C) como grupo aditivo. Como w é multilinear, para provar que T satisfaz a identidade w, é suficiente mostrar que w(1 b 1,1 b 2,...,1 b n )=0, 24

32 Capítulo 1. Preliminares b i B. Contudo, w(1 b 1,1 b 2,...,1 b n )=1 w(b 1,b 2,...,b n )=1 0=0, pois L Z (X)/V Z (C) satisfaz a identidade w. Logo T pertence a C. Resta-nos provar que T é livre na variedade C. Sejam L uma -álgebra em C e uma aplicação. β : X L 1 x i l i, Como L Z (X)/V Z (C) é o anel livre da variedade gerada por C, existe um único homomorfismo de anéis φ : L Z (X)/V Z (C) L tal que φ( x i )=l i. Consideremos a aplicação θ : (L Z (X)/V Z (C)) L (α, f +V Z (C)) αφ( f +V Z (C)). É direto verificar que θ é uma aplicação bilinear que preserva produtos. Assim, pela propriedade universal do produto tensorial, existe um único homomorfismo de anéis θ tal que θ : Z L Z (X)/V Z (C) L α (f +V Z (C)) αφ( f +V Z (C)). Temos que θ é o único homomorfismo de T que estende β. Portanto T é a -álgebra livre de C gerada livremente por X e Z L Z (X)/V Z (C) = L (X)/V (C). A proposição anterior também é válida quando o corpo base tem característica positiva p. No entanto, neste caso devemos considerar a imagem do conjunto de identidades C módulo p, isto é, devemos considerar o homomorfismo de anéis ϕ : L Z (X) L (X) tal que ϕ(x i )=x i. Assim, devemos considerar o ideal gerado pelo conjunto ϕ(c) = ϕ(c+ pl Z (X)) em L (X). Mais precisamente temos o 25

33 Capítulo 1. Preliminares Corolário Sejam um corpo de característica p 0 e L Z (X) o anel de Lie livre de posto enumerável. Seja ainda C L Z (X) um conjunto de elementos (identidades) multilineares. Então L (X)/V (ϕ(c)) = Z L Z (X)/V Z (C). Este corolário se demonstra de forma análoga a Proposição 1.30, enunciamos separadamente apenas para simplificar as notações. 1.6 Produto Semidireto de Álgebras de Lie Definição Seja L uma álgebra de Lie sobre um anel associativo, comutativo e com unidade. Uma derivação de L é uma aplicação -linear δ : L L x [δ,x] tal que [δ,[x,y]]=[[δ,x],y]+[x,[δ,y]] para todos x,y L. Denotamos por Der (L) o conjunto de todas as derivações de L. Observamos que o conjunto End (L) de todas aplicações -lineares de L em L, isto é, todos endomorfismo de L vista como -módulo, forma uma álgebra associativa com soma e multiplicação usuais e produto composição de aplicações. Além disso, não é difícil verificar que Der (L) não é uma subalgebra associativa de End (L), haja vista que não é fechado para composição de aplicações. Contudo, Der (L) é uma subalgebra de Lie da álgebra de Lie adjunta à End (L). Este fato está enunciado na proposição que segue. Proposição Der (L) forma uma álgebra de Lie com a usual -linear estrutura de endomorfismo de espaços vetorias, com produto definido por [δ 1,δ 2 ]=δ 1 δ 2 δ 2 δ 1, onde denota a composição de aplicações. Esta proposição é de verificação direta. 26

34 Capítulo 1. Preliminares Definição Sejam L e G duas álgebras de Lie e ϕ : G Der (L) um homomorfismo. A álgebra de Lie G L é chamada o produto semidireto de L e G com respeito à ϕ e é definida como o espaço vetorial G L (soma direta de espaços vetoriais) com produto de Lie tal que [(g 1,l 1 ),(g 2,l 2 )]=([g 1,g 2 ],[l 1,l 2 ]+[ϕg 1,l 2 ] [ϕg 2,l 1 ]). Observe que existem um ideal L 1 e uma subalgebra G 1 de G L tais que L 1 = L, G1 = G e L 1 G 1 ={0}. Além disso,[g 1,L 1 ] = G L, isto é, L 1 e G 1 juntos geram G L como álgebra. 27

35 Capítulo 2 Identidades de M visto como Álgebra Associativa Neste capítulo denota um anel associativo comutativo com unidade. O conjunto, M = a 12 a 13 = 0 a 22 a 23 a i j, forma uma -álgebra associativa com operações usuais de matrizes. É direto verificar que M satisfaz a identidade u=x 1 [x 2,x 3 ]x 4. Teorema I.4. Seja um corpo de característica zero. Então as identidades da -álgebra associativa M têm base formada por x 1 [x 2,x 3 ]x 4. Teorema I.5. Seja um corpo de característica zero. Então as identidades de M, visto como anel associativo, têm base formada por x 1 [x 2,x 3 ]x 4. Estes dois teoremas são consequências dos resultados que seguem, os quais demonstramos, de fato, neste capítulo. Teorema I.6. Seja um domínio de integridade infinito. Então as identidades da -álgebra associativa M têm base formada por x 1 [x 2,x 3 ]x 4. 28

36 Capítulo 2. Identidades de M visto como Álgebra Associativa Teorema I.7. Seja um domínio de integridade de característica zero. Então as identidades de M, visto como anel associativo, têm base formada por x 1 [x 2,x 3 ]x 4. Seja X a -álgebra associativa livre (sem unidade) de posto enumerável com geradores livres x 1,x 2,... Consideremos ainda T (u) o T -ideal de X gerado por u e T (M ) o T -ideal de X das identidades de M. Seja G a álgebra associativa de matrizes genéricas correspondente a M, ou seja, a -álgebra gerada livremente pelos elementos g r = 0 ξ (r) 12 ξ (r) 13 0 ξ (r) 22 ξ (r) 23 onde [Ξ] = [ξ (r) i j i = 1,2; j = 2,3; r = 1,2,...] é a álgebra de polinômios (associativa e comutativa) sem unidade, nas variáveis ξ (r) i j, de posto enumerável. Pela Proposição 1.26, se é um domínio de integridade infinito, a álgebra associativa M tem as mesmas identidades da álgebra associativa de matrizes genéricas G. Assim o Teorema I.6 é consequência do teorema que segue. Teorema 2.1. Para qualquer anel associativo comutativo unitário, as identidades de G têm base formada por x 1 [x 2,x 3 ]x 4., O teorema anterior por sua vez é equivalente ao seguinte teorema. Teorema 2.2. Seja um anel associativo comutativo unitário. Então o T -ideal T (G) é gerado por u=x 1 [x 2,x 3 ]x 4 (como tal). Provaremos que T (u)=t (G). Como T (u) T (G), podemos considerar o homomorfismo canônico ϕ : X /T (u) G x i + T (u) g i É suficiente provarmos que ϕ é um isomorfismo. Com efeito, se ϕ é um isomorfismo, então z T (G) T (u) implica que z+t (u) kerϕ. Assim, z = 0 (uma contradição) e T (G)=T (u). 29