Cálculo III. por PAULO XAVIER PAMPLONA

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1 Cálculo III por PAULO XAVIER PAMPLONA CCTA/UFCG 15

2 Conteúdo 1 Funções de Várias Variáveis Conceito de Funções de Várias Variáveis omínio e Imagem Gráfico de uma Função de Várias Variáveis Curvas de Nível de uma Função de Várias Variáveis Limite e Continuidade 17.1 efinição de Limite Propriedades do Limite Teoremas sobre Limite Funções Contínuas e suas Propriedades iferenciabilidade erivadas Parciais Interpretação Geométrica de erivadas Parciais erivadas Parciais Para Funções de Mais de uas Variáveis Incrementos e iferenciais iferenciabilidade e Continuidade Regra da Cadeia erivação Implícita erivadas irecionais, Gradientes e Aplicações das erivadas Parciais erivada irecional e Vetor Gradiente Planos Tangente e Normal à Superfícies erivadas Parciais de Ordem Superior Equações iferenciais Parciais Extremos de Funções de duas Variáveis Multiplicadores de Lagrange Integrais uplas Somas de Riemman Integral upla Sobre Retângulos

3 5.3 Integrais Iteradas e o Teorema de Fubini Integrais uplas Sobre Regiões Mais Gerais Propriedades das Integrais uplas Integrais uplas em Coordenadas Polares Área de Regiões Planas e Volume de Sólidos Áreas de Superfícies Momentos e Centro de Massa Integrais Triplas Somas Triplas de Riemann e a efinição de Integral Tripla Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Aplicações da Integral Tripla Cálculo Vetorial Campos Vetoriais Integrais de Linha Teorema de Green ivergência e Rotacional Integrais de Superfícies Teorema de Stokes Teorema da ivergência Resumo dos Teoremas Aplicações

4 Capítulo 1 Funções de Várias Variáveis Funções de varias variáveis são muito comuns em nosso cotidiano, principalmente as compostas por duas variáveis, em termos gerais os sistemas físicos reais raramente dependem de uma só variável, na verdade nós tendemos a simplificar nossas análises para o universo limitado de nossos conhecimentos. Veremos aqui as diversas formas de representação de funções que usam duas ou mais variáveis e um estudo completo destas formas. O conceito de função já é conhecido a muito tempo. Mas as funções estudadas até agora, geralmente definida por f, competem apenas na associação de uma variável, definida por x R, a uma variável f(x) R. A partir de agora, estudaremos funções que associam mais de uma variável a um valor real. aremos mais destaque às funções de duas variáveis a um valor real. 1.1 Conceito de Funções de Várias Variáveis efinition Seja A um conjunto do espaço n-dimensional (A R n ), isto é, os elementos de A são n-uplas ordenadas (x 1, x, x 3,..., x n ) de números reais. Uma função de n-variáveis reais é uma função f : A R n R que associa a cada ponto P do conjunto A, um único elemento z R. enotamos As funções z = f(p ) ou z = f(x 1, x, x 3,..., x n ). f(x, y) = x + y, g(x, y) = x y, h(x, y) = x + y 3, u(x, y) = ln(x y) são exemplos de funções de duas variáveis. Por outro lado, as funções f(x, y, z) = x +y +z, g(x, y, z) = x y + z 3, h(x, y, z) = x+y z 3, u(x, y, z) = ln(x y z) são exemplos de funções de três variáveis. 4

5 1. omínio e Imagem efinition 1..1 O domínio de uma função f : R n R é o conjunto de todas as n-uplas ordenadas (x 1, x, x 3,..., x n ) R n, tais que f(x 1, x, x 3,..., x n ) R. Escrevemos (f) = {(x 1, x, x 3,..., x n ) R n ; f(x 1, x, x 3,..., x n ) R}. Em particular, o domínio de uma função f : R R é o conjunto (f) = {(x, y) R ; f(x, y) R} e o domínio de uma função f : R 3 R é o conjunto (f) = {(x, y, z) R 3 ; f(x, y, z) R}. Se a função é dada por sua fórmula e seu domínio não é especificado, fica entendido como domínio dessa função, o conjunto de pontos, para os quais a expressão dada fornece um número real bem definido. Exemplo 1 etermine o domínio das funções em cada caso abaixo: e) f(x, y) = x a) f(x, y) = x + y b) f(x, y) = ln (y x) x + y + 1 y x f) f(x, y) = x 1 c) f(x, y) = ln (x y) g) f(x, y) = 9 x y d) f(x, y) = ln (4 x y ) h) f(x, y, z) = 16 x y z. Solução: a) A função f está bem definida para todo par (x, y) R. Assim, o domínio de f é (f) = {(x, y) R ; f(x, y) R} = R. b) O domínio é dado por Figura 1.1: Esboço do omínio da Função f(x, y) = x + y. (f) = {(x, y) R ; y x } = {(x, y) R ; y x }. A desigualdade y x descreve os pontos que estão sobre e acima da parábola y = x (Veja Figura 1.). 5

6 Figura 1.: Esboço do omínio da Função f(x, y) = x y. c) O domínio é dado por (f) = {(x, y) R ; x y > } = {(x, y) R ; x > y}. A desigualdade x > y (ou y < x) descreve os pontos que estão abaixo da reta y = x (Veja Figura 1.3). d) O domínio é dado por Figura 1.3: Esboço do omínio da Função f(x, y) = ln (x y) (f) = {(x, y) R ; 4 x y > } = {(x, y) R ; x + y < 4}. A desigualdade x + y < 4 descreve os pontos que estão dentro do disco de centro C(, ) e raio r =, cuja equação é x + y = 4 (Veja Figura 1.4). 6

7 Figura 1.4: Esboço do omínio da Função f(x, y) = ln (4 x y ) e) O domínio é dado por (f) = {(x, y) R ; y x > } = {(x, y) R ; x < y }. A desigualdade x < y descreve os pontos que estão à esquerda da parábola x = y (Veja Figura 1.5). Figura 1.5: Esboço do omínio da Função f(x, y) = x ln (y x) f) A função f está bem definida para todo par (x, y) R satisfazendo x + y + 1 e x 1. Assim, (f) = {(x, y) R ; x + y + 1 e x 1}. A desigualdade x + y + 1 ou y x 1 descreve os pontos que estão sobre ou acima da reta y = x 1, enquanto que x 1 significa que os pontos sobre a reta x = 1 precisam ser excluidos do domínio (Veja Figura 1.6). 7

8 x + y + 1 Figura 1.6: Esboço do omínio da Função f(x, y) = x 1 g) O domínio é dado por (f) = {(x, y) R ; 9 x y } = {(x, y) R ; x + y 9}. A desigualdade x + y 9 descreve os pontos que estão sobre ou dentro do disco de centro C(, ) e raio r = 3, cuja equação é x + y = 9 (Veja Figura 1.7). Figura 1.7: Esboço do omínio da Função f(x, y) = 9 x y h) O domínio de f é um subconjunto de R 3, pois f(x, y, z) é uma função de três variáveis independentes. Neste caso, o domínio é dado por (f) = {(x, y, z) R 3 ; 16 x y z } = {(x, y) R ; x + y + z 16}. Graficamente, esse domínio representa uma região esférica do R 3 (veja Figura 1.8). 8

9 Figura 1.8: Esboço do omínio da Função f(x, y, z) = 16 x y z efinition 1.. A imagem de uma função f : R n R é o conjunto dos possíveis valores de f em R, para valores tomados no domínio de f. Escrevemos Im(f) = {z R; z = f(x, y); (x, y) (f)}. Exemplo: etermine o domínio e a imagem das funções em cada caso abaixo: a) f(x, y) = x + y b) f(x, y) = 9 x y. Solução: a) Como já vimos, o domínio de f é A imagem é dada por (f) = {(x, y) R ; f(x, y) R} = R. Im(f) = {z R; z = x + y, (x, y) (f)}. Como z é soma de dois quadrados, então z. Logo, a imagem é dada por Im(f) = {z R; z } = [, + ). b) Como vimos, o domínio é dado por (f) = {(x, y) R ; 9 x y } = {(x, y) R ; x + y 9}. A imagem é dada por Im(f) = {z R; z = 9 x y, (x, y) (f)}. Como z é a raíz quadrada positiva, então z. Por outro lado, x y 9 x y 9 9 x y 3. Logo, a imagem é dada por Im(f) = {z R; z 3} = [, 3]. 9

10 1.3 Gráfico de uma Função de Várias Variáveis efinition O gráfico de uma função f de duas variáveis com domínio (f) é o conjunto Gr(f) = {(x, y, z) R 3 ; z = f(x, y), (x, y) (f)}. Exemplo eterminar o domínio, a imagem e o gráfico das funções abaixo: a) f(x, y) = x + y c) f(x, y) = 9 x y b) f(x, y) = 6 3x y d) f(x, y) = 4x + y. Solução: a) Como já vimos, o domínio de f é (f) = R, a imagem é Im(f) = R + e o gráfico é Gr(f) = {(x, y, z) R 3 ; z = x + y e (x, y) R }. Figura 1.9: Gráfico da Função f(x, y) = x + y b) O domínio de f é (f) = R, a imagem é Im(f) = R e o gráfico de f é Gr(f) = {(x, y, z) R 3 ; z = 6 3x y e (x, y) (f)}. A equação z = 6 3x y ou 3x + y + z 6 = representa um plano. Para desenhar um plano, primeiro achamos os interceptos. Fazendo x = y =, encontramos o intercepto z = 6, e o ponto (,, 6). Analogamente, achamos os interceptos x = e y = 3. Figura 1.1: Gráfico da Função f(x, y) = 6 3x y 1

11 c) O domínio de f é {(x, y) R ; x + y 9}, a imagem é Im(f) = [, 3] e o gráfico de f é Gr(f) = {(x, y, z) R 3 ; z = 9 x y e (x, y) (f)}. Elevando ao quadrado ambos os membros da equação z = 9 x y, obtemos z = 9 x y, ou x + y + z = 9, que é a equação da esfera de centro na origem e raio 3. Como z, o gráfico de f é apenas a metade superior da esfera. Figura 1.11: Gráfico da Função f(x, y) = 9 x y d) O domínio de f é o conjunto (f) = R, a imagem é Im(f) = [, ] e o gráfico de f é Gr(f) = {(x, y, z) R 3 ; z = 4x + y e (x, y) (f)}. que é um parabolóide elíptico, cujos traços horizontais são elípses e os verticais são parábolas. Figura 1.1: Gráfico da Função f(x, y) = 4x + y 1.4 Curvas de Nível de uma Função de Várias Variáveis Para visualizar funções podemos usar o diagrama de setas ou gráficos. Um outro método utilizado, é o uso de um mapa de contorno, em que os pontos com elevações constantes são ligados para formar curvas de contorno ou curvas de nível. efinition Uma curva de nível da função z = f(x, y) é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que f(x, y) = k, onde k é uma constante na imagem de f. 11

12 Numa planta topográfica, uma curva de nível caracteriza-se como uma linha imaginária que une todos os pontos de igual altitude de uma região representada. É chamada de curva pois normalmente a linha que resulta do estudo das altitudes de um terreno são em geral manifestadas por curvas. Estas curvas de nível indicam uma distância vertical acima, ou abaixo, de um plano de referência de nível. Começando no nível médio dos mares, que é a curva de nível zero, onde cada curva de nível tem um determinado valor. Portanto, a curva de nível serve para identificar e unir todos os pontos de igual altitude de um certo lugar. Quando f representa a temperatura, as curvas de nível de f são chamadas isotermas. Se f representa o potencial elétrico, as curvas de nível de f são chamadas curvas equipotenciais. Exemplo 3 Esboce as curvas de nível das funções para cada valor de k dados em cada caso abaixo: 1 a) f(x, y) = 6 3x y, k = 6,, 6, 1 b) f(x, y) = c) f(x, y) =, k = 1, 4, 16, 64 4x 9 x y, k =, 1,, 3 + y d) f(x, y) = 4x + y, k = 1, 1, 3, Solução: a) As curvas de nível de f são 6 3x y = k ou 3x + y + (k 6) = que descrevem uma família de retas com inclinação 3. As curvas para os valores de k iguais a 6,, 6, 1 são, respectivamente, 3x + y 1 =, 3x + y 6 =, 3x + y = e 3x + y + 6 = que são retas paralelas, igualmente espaçados, pois o gráfico de f é um plano. Figura 1.13: Curvas de Nível para a Função f(x, y) = 6 3x y b) As curvas de nível são 9 x y = k ou x + y = 9 k que corresponde a uma família de círcunferências concêntricas de centro na origem e raio 9 k. As curvas para os valores de k iguais a, 1,, 3 são, respectivamente, x + y = 9, x + y = 8, x + y = 5 e x + y =. 1

13 Figura 1.14: Curvas de Nível para a Função f(x, y) = 9 x y c) As curvas de nível são 1 4x + y = k ou 4x + y = 1 k ou ( x 1 4k ) + ( y ) = 1 1 k que, para k >, descrevem uma família de elipses com semi-eixos 1 k e 1 k. As curvas para os valores de k iguais a 1, 4, 16, 64 são, respectivamente, ( x 1 4 ) + y = 1, ( x 1 16 ) + ( y ) = 1, 1 4 ( x 1 64 ) + ( y ) = 1 e 1 16 x ( 1 56 ) + ( y ) = d) As curvas de nível são Figura 1.15: Curvas de Nível para a Função f(x, y) = 1 4x + y 4x + y = k ou x k 4 + y k = 1 que, para k >, descrevem uma família de elipses com semi-eixos k e k. As curvas para os valores de k iguais a 1, 1, 1 são, respectivamente, 4 ( x 1 16 ) + ( y ) = 1, 1 4, 3 4 ( x 1 8 ) + ( y ) = 1, 1 13 ( x 3 16 ) + ( y ) = 1 e 3 4 ( x 1 4 ) + y = 1.

14 Figura 1.16: Curvas de Nível para a Função f(x, y) = 4x + y Podemos usar curvas de níveis no esboço de gráficos. Para obtermos uma visualização do gráfico de f, podemos traçar diversas curvas de nível e imaginarmos cada uma dessas curvas deslocada para a altura z = k correspondente. As curvas de nível mostram onde o gráfico de f possui altura k. Suponha que uma superfície S é o gráfico de uma função z = f(x, y). Se a interseção da superfície S com o plano, paralelo ao plano xy, de equação z = k é não vazia, então ela é uma curva cuja projeção no plano xy é a curva de nível f(x, y) = k. A cada ponto desta curva de nível corresponde um único ponto na superfície S que está k unidades acima do plano xy, se k for positivo, ou k unidades abaixo do plano xy, se k for negativo. Ao considerarmos diferentes valores para k, obtemos um conjunto de curvas de nível denominada mapa de contorno da superfície S. Tal mapa de contorno nos facilita na visualização da superfície, como se estivéssemos sobre ela. As curvas são mostradas, em geral, para valores de z em intervalos constante. Quando as curvas de nível estão juntas, os valores de z mudam mais rapidamente do que quando elas estão afastadas. Exemplo 4 Esboce o gráfico das funções com o auxílio das curvas de nível para valores de k escolhidos arbitrariamente. a) f(x, y) = x + y b) f(x, y) = c) f(x, y) = 4 x y x + y d) f(x, y) = 4x + y Solução: a) As curvas de nível de f são as circunferências x + y = k de centro na origem e raio k. O gráfico de f é a superfície de equação z = x + y. O traço xy da superfície é a circunferência de equação x + y =, isto é, o ponto (, ). O traço 14

15 xz da superfície é a parábola de equação z = x e o traço zy da superfície é a parábola de equação z = y. Um esboço das curvas de nível para k =, 1,, 3 e o gráfico da função são dados abaixo Figura 1.17: Curvas de Nível e Gráfico da Função f(x, y) = x + y b) As curvas de nível de f são as circunferências x + y = k de centro na origem e raio k. O gráfico de f é a superfície de equação z = x + y. O traço xy da superfície é a circunferência de equação x + y =, isto é, o ponto (, ). O traço xz da superfície são as retas de equação z = ±x e o traço zy da superfície são as retas de equação z = ±y. Um esboço das curvas de nível para k =, 1,, 3 e o gráfico da função são dados abaixo Figura 1.18: Curvas de Nível e Gráfico da Função f(x, y) = x + y 15

16 c) As curvas de nível de f são as circunferências x + y = 4 k de centro na origem e raio 4 k. O gráfico de f é a superfície de equação z = 4 x y. O traço xy da superfície é a circunferência de equação x + y = 4, o traço xz da superfície é a circunferência de equação x + z = 4 e o traço zy da superfície é a circunferência de equação y + z = 4. Um esboço das curvas de nível para k =, 1, 1, 3, e o gráfico da função são dados abaixo Figura 1.19: Curvas de Nível e Gráfico da Função f(x, y) = 4 x y c) As curvas de nível de f são as equações 4x + y = k ou x k/4 + y k = 1 que, para k > descrevem uma família de elipses de semieixos k e k. O gráfico de f é o parabolóide elíptico de equação z = 4x + y. O traço xy da superfície é o ponto (, ), o traço xz é a parábola de equação z = 4x e o traço zy é a parábola de equação z = y. Um esboço das curvas de nível para k = 1, 1,, 1,... e o gráfico da função são dados 4 3 abaixo Figura 1.: Curvas de Nível e Gráfico da Função f(x, y) = 4x + y 16

17 Capítulo Limite e Continuidade Neste capítulo, vamos verificar o comportamento de funções de várias variáveis quando os valores atribuidos as suas variáveis se aproximam de um determinado valor numérico. Isto é necessário devido ao fato da função poder ter comportamentos distintos ou até mesmo não assumir resultado em determinados valores atribuidos às suas variáveis. Estes fatos não descaracterizam a função, mas tem influência para compreensão dos possíveis valores que ela pode assumir..1 efinição de Limite Um ponto variável x no eixo coordenado pode se aproximar de um ponto fixo x de dois modos: à direita de x ou à esquerda de x. Um ponto variável (x, y) no plano coordenado pode se aproximar de um ponto fixo (x, y ) por um número infinito de caminhos. izemos que (x, y) se aproxima de (x, y ) se a distância entre eles tende a zero, independente do percursso feito por (x, y). Lembremos que a distância entre (x, y) e (x, y ) é dada por d = (x x ) + (y y ) = (x, y) (x, y ). O limite para funções f(x), de uma variável real, é definido quando x tende a x, mesmo quando f não está definida em x, basta apenas que f esteja definida em intervalos abertos contendo x. Analogamente, para definir o limite de uma função f(x, y), de duas variáveis reais, quando (x, y) tende a (x, y ), não é necessário que f(x, y) esteja definida em (x, y ), exigimos apenas que (x, y ) seja um ponto de acumulação do domínio de f, isto é, que cada bola aberta de centro em (x, y ) contenha pelo menos um ponto do domínio de f diferente de (x, y ). enotemos esta bola por B r (x, y ) = {(x, y) R ; (x, y) (x, y ) < r}, onde r > é o raio. A definição de limite para funções de duas variáveis é a seguinte: 17

18 efinition.1.1 Seja f uma função de duas variáveis que está definida em alguma bola aberta de centro B r (x, y ), exceto possivelmente, no ponto (x, y ). izemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (x, y ) é L e escrevemos lim f(x, y) = L (x,y) (x,y ) se para todo número ε > existe um número correspondente δ > tal que se < (x x ) + (y y ) < δ, então f(x, y) L < ε. Em outras palavras, a definição de limite dada acima estabelece que os valores funcionais de f(x, y) tendem a um limite L quando o ponto (x, y) tende a um ponto fixo (x, y ), se o valor absoluto da diferença entre f(x, y) e L puder se tornar arbitrariamente pequeno, tomando o ponto (x, y) suficientemente próximo de (x, y ), mas não igual a (x, y ). Vemos ainda, da definição, que o valor da função no ponto (x, y ) não é necessário para que exista o limite. Uma interpretação geométrica da definição de limite pode ser vista na Figura.1. Nela vemos a parte da superfície z = f(x, y) que fica sobre a bola aberta B δ (x, y ). Note que f(x, y) no eixo z fica entre L ε e L + ε, desde que o ponto (x, y) no plano xy estiver na bola B δ (x, y ). Figura.1: Interpretação Geométrica A efinição.1.1 se refere somente à distância entre (x, y) e (x, y ) e não à direção de aproximação. Portanto, se o limite existe, f(x, y) deve se aproximar do mesmo valor-limite, independentemente do modo como (x, y) se aproxima de (x, y ). Assim, se acharmos dois caminhos diferentes de aproximação ao longo dos quais f(x, y) tem limites diferentes, segue então que lim f(x, y) não existe. (x,y) (x,y ) 18

19 efinition.1. (Regra dos ois Caminhos): Se f(x, y) L 1 quando (x, y) (x, y ) ao longo do caminho C 1 e se f(x, y) L quando (x, y) (x, y ) ao longo do caminho C, com L 1 L, então lim f(x, y) não existe. Em outras palavras, se dois caminhos (x,y) (x,y ) distintos resultarem em limites diferentes então o limite em questão não existe. Exemplo 5( Verifique) se existem os seguintes ( limites: ) x y xy a) lim c) lim (x,y) (,) x + y ( (x,y) (,) x ) + y ( 4 ) xy x y b) lim d) lim (x,y) (,) x + y (x,y) (,) x 4 + y e) lim (x,y) (,) f) lim (x,y) (,) ( x y x 4 + y ( 3x y x + y ) ). Solução: a) Vamos aproximar (, ) ao longo do eixo x e ao longo do eixo y. Ao longo do eixo x, tomemos y = e x, com x. Então (x, y) (, ) e, teremos ( ) ( ) ( ) x y x x lim (1) = 1. (x,y) (,) x + y (x,y) (,) x + (x,y) (,) x (x,y) (,) Ao longo do eixo y, tomemos x = e y, com y. Então (x, y) (, ) e, teremos ( ) ( ) ( ) x y y y lim ( 1) = 1. (x,y) (,) x + y (x,y) (,) + y (x,y) (,) y (x,y) (,) Como f tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe. b) Vejamos inicialmente o que acontece quando aproximamos (, ) ao longo do eixo x e do eixo y como no caso da letra a). Ao longo do eixo x, tomemos y = e x, com x. Então (x, y) (, ) e, teremos lim (x,y) (,) ( xy x + y ) (x,y) (,) ( x ) =. Ao longo do eixo y, tomemos x = e y, com y. Então (x, y) (, ) e, teremos ( ) ( ) xy lim =. (x,y) (,) x + y (x,y) (,) y Apesar de termos encontrado limites idênticos ao longo dos eixos, não podemos afirmar que esse limite exista e seja igual a. Para confirmar isto, vamos aproximar (, ) ao longo das retas y = x e depois ao longo das retas y = x. Ao longo da reta y = x, tomemos y = x e x. Então (x, y) (, ) e, teremos lim (x,y) (,) ( xy x + y ) (x,x) (,) ( xx x + x ) x ( x x ) x ( 1 ) = 1. Ao longo da reta y = x, tomemos y = x e x. Então (x, y) (, ) e, teremos ( ) ( ) ( ) ( xy x ( x) x lim 1 ) = 1 (x,y) (,) x + y (x, x) (,) x + ( x) x x x. 19

20 Como f tem limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe. c) Primeiro vamos aproximar (, ) ao longo da reta y = mx, onde m é a inclinação da reta. Tomando y = mx e x, com x, então (x, y) (, ) e, teremos ( ) ( ) ( ) xy m x 3 m x lim =. (x,y) (,) x + y 4 (x,y) (,) x + m 4 x 4 (x,y) (,) 1 + m 4 x Logo, f tem o mesmo limite ao longo de qualquer reta não-vertical passando pela origem. Mas isso não garante a existência do limite com valor, pois quando aproximamos (, ) ao longo da parábola x = y, teremos limite diferente. e fato, tomando x = y e y, com y, então (x, y) (, ) e, teremos lim (x,y) (,) ( ) ( ) xy y 4 x + y 4 (x,y) (,) y 4 (x,y) (,) ( ) 1 = 1. Portanto, o limite não existe. d) Análogo a letra c). e) Análogo a letra b). f) Aproximando (, ) ao longo de uma reta qualquer que passe pela origem, teremos limite igual a. Isso não prova a existência do limite igual a, mas ao longo das parábolas y = x e x = y, também teremos limite igual a, o que nos leva a suspeitar que o limite exista e seja igual a. Para ver se isso é verdade usaremos a definição de limite. ado ε >, devemos achar δ > tal que ou seja, 3x y x + y < ε sempre que < x + y < δ 3x y x + y < ε sempre que < x + y < δ. Como y, segue que x x + y e, portanto, que x 1. Logo x + y 3x y x + y 3 y = 3 y 3 x + y. Assim, escolhendo δ = ε 3 de modo que < x + y < δ, segue que Usando a definição de limite, segue que 3x y x + y 3x y = x + y 3 x + y < 3δ = ε. lim (x,y) (,) ( ) 3x y =. x + y

21 . Propriedades do Limite Como para funções de uma única variável, o cálculo de limite de funções de várias variáveis pode ser muito simplificado usando-se as propriedades dos limites, ou seja, o limite da soma é a soma dos limites, o limite do produto é o produto dos limites, e assim por diante. Essas propriedades são dadas a seguir: Propriedades: Sejam L, M e k números reais tais que, lim f(x, y) = L e lim g(x, y) = M. (x,y) (x,y ) (x,y) (x,y ) Então são válidas as seguintes propriedades: P 1 ) P ) P 3 ) P 4 ) P 5 ) lim [f(x, y) + g(x, y)] = L + M; (x,y) (x,y ) lim [kf(x, y)] = kl; (x,y) (x,y ) lim [f(x, y) g(x, y)] = L M; (x,y) (x,y ) [ f(x, y) ] lim = L, se M ; (x,y) (x,y ) g(x, y) M lim (x,y) (x,y ) [f(x, y)] m n Em particular, temos = L m n, se m, n Z e L m n R. onde c é uma constante. lim x = x, (x,y) (x,y ) lim y = y, (x,y) (x,y ) lim c = c, (x,y) (x,y ) Exemplo 6 ( Calcule os seguintes limites: x xy + 3 ) a) lim (x,y) (,1) x y + 5xy y ( x xy ) b) lim (x,y) (,) x y ( x 4 y 4 ) c) lim (x,y) (,) x + y d) lim (x,y,z) (,,1) ( sen (xy) z zcos(xy) ). Solução: a) Usando as propriedades de limites acima, segue que lim (x,y) (,1) x xy + 3 x y + 5xy y = (1) + 3 (1) + 5()(1) 1 = 3 1 = 3. 1

22 b) Aplicando diretamente o limite, teremos uma indeterminação matemática do tipo. Neste caso, prosseguimos da seguinte forma: ( x xy ) ( ) ( x ) xy x + y lim (x,y) (,) x y (x,y) (,) x y x + y [ ] x(x y)( x + y) (x, y) (,) x y [ ] x( x + y) =. (x,y) (,) c) Aplicando diretamente o limite, teremos uma indeterminação do tipo. Neste caso, prosseguimos da seguinte forma: ( x 4 y 4 ) [ (x y )(x + y ) ] lim (x,y) (,) x + y (x,y) (,) x + y (x,y) (,) (x y ) = =. d) Novamente, teremos uma indeterminação do tipo. Assim, temos ) ( sen (xy) lim (x,y,z) (,,1) z zcos(xy) [ ] [1 cos(xy)][1 + cos(xy)] (x,y,z) (,,1) z[1 cos(xy)].3 Teoremas sobre Limite [ 1 cos (xy) (x,y,z) (,,1) z(1 cos(xy)) (x,y,z) (,,1) ] [ ] 1 + cos(xy) =. z Veremos agora outras formas de calcular o limite de funções de várias variáveis. A primeira delas é o Teorema do Confronto ou Teorema do Sanduíche. Teorema.3.1 (Confronto): Sejam f, g e h funções contínuas, com g(x, y) f(x, y) h(x, y) para todo < (x, y) (x, y ) < r, com r > e r extremamente pequeno. Se, lim [g(x, y)] = L e lim [h(x, y)] = L, (x,y) (x,y ) (x,y) (x,y ) então, lim [f(x, y)] = L. (x,y) (x,y ) Exemplo 7 Calcule os seguintes limites: { ( ) 1 } ( ) 3x y a) lim x sen b) lim (x,y) (,) x + y (x,y) (,) x + y ( ) x 3 y 3 c) lim. (x,y) (,) 3x + y

23 Solução: a) Sabendo-se que 1 sen(x) 1, x R, segue que ( ) 1 1 sen 1 x + y pois, 1 +, quando (x, y) (, ). Para x, tem-se x + y ( ) 1 x x sen x. x + y Observando que lim( x) = (x), segue do teorema do confronto, que x x { ( ) 1 } lim x sen =. (x,y) (,) x + y Analogamente, para x <, tem-se x x sen ( ) 1 x. x + y Novamente, pelo teorema do confronto, tem-se { ( ) 1 } lim x sen =. (x,y) (,) x + y b) Usando que x x + y x e, por conseguinte, 1, segue que x + y 3x y 3x y = x + y x + y 3 y. Tomando limite quando (x, y) (, ) e notando que segue do teorema do confronto, que Usado o fato que lim (x,y) (,) 3x y =. x + y lim () = e lim (3 y ) =, (x,y) (,) (x,y) (,) lim f(x, y) = implica lim f(x, y) =, segue que (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) ( ) 3x y lim =. (x,y) (,) x + y 1 c) Notemos que 3x + y 1 3x e 1 3x + y 1. Usando o fato que a b a + b, para y todo a, b R, segue que x3 y 3 x 3 3x + y 3x + y + y 3 3x + y x 3 3x + y 3 y = x 3 + y. 3

24 Tomando limite e usando o Teorema do confronto, segue que lim x3 y 3 =. (x,y) (,) 3x + y onde segue que ( ) x 3 y 3 lim =. (x,y) (,) 3x + y Também podemos calcular limites usando mudança de coordenadas. Inicialmente, faremos mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Teorema.3. (Coordenadas Polares) Se existe limite da função f(r, θ) quando (r, θ) tende a (u, v ), então onde lim f(x, y) f(r, θ), (x,y) (x,y ) (r,θ) (u,v ) x = r cos(θ) e y = r sen θ. Notemos que x + y = r. Exemplo 8 Calcule, se existir, os limites abaixo: a) lim (x,y) (,) xy x + y b) lim (x,y) (,) x + y ln (x + y ). Solução: a) Aplicando o limite diretamente, obtemos uma indeterminação do tipo. Fazendo a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, onde x = rcos θ e y = rsen θ, temos que (x, y) (, ) (rcos θ, rsen θ) (, ) (r, θ) (, α), onde α é um ângulo qualquer. este modo, temos, lim (x,y) (,) (r, θ) (,α) (r, θ) (,α) xy x + y = lim (r,θ) (,α) r (cos θ)(sen θ) r (cos θ + sen θ) = (rcos θ)(rsen θ) (rcos θ) + (rsen θ) lim r (cos θ)(sen θ) (r, θ) (,α) r ] [ ] [ r(cos θ)(sen θ) = (cos α) (sen α) b) Aplicando o limite diretamente, obtemos uma indeterminação do tipo. Fazendo a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, onde x = rcos θ e y = rsen θ, temos que, =. (x, y) (, ) (rcos θ, rsen θ) (, ) (r, θ) (, α), 4

25 onde α é um ângulo qualquer. este modo, temos, lim (x,y) (,) (r, θ) (,α) x + y ln (x + y ) = lim (r, θ) (,α) r (cos θ + sen θ) ln [r (cos θ + sen θ)] = L Hospital (r, θ) (,α) r ( r (rcos θ) + (rsen θ) ln [(rcos θ) + (rsen θ) ] ) (r, θ) (,α) lim (r, θ) (,α) ) (r =. r (ln r ) Vejamos agora como calcular limites fazendo mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas paramétricas. Vejamos o caso de funções de três variáveis. Teorema.3.3 (Coordenadas Paramétricas) Se existe limite da função f(t) quando t t então lim f(x, y, z) f(t), (x,y,z) (x,y,z ) t t onde x = x + at, y = y + bt e z = z + ct são as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P (x, y, z ) e possui direção v = (a, b, c). Exemplo 9 Calcule o limite lim (x,y,z) (1,,) (x + y + z 3) 5, caso exista. z 3 (x 1)(y ) Solução: Aplicando o limite diretamente, obtemos uma indeterminação do tipo. Fazendo a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas paramétricas, onde x = 1+at, y = + bt e z = + ct, com a, b e c números reais quaisquer, temos Assim, temos (x, y, z) (1,, ) (1 + at, + bt, + ct) (1,, ) t. (x + y + z 3) 5 lim (x, y, z) (1,, ) z 3 (x 1)(y ) [(1 + at) + ( + bt) + (ct) 3)] 5 t (ct) 3 (1 + at 1)( + bt ) (at + bt + ct) 5 t (c 3 t 3 )(at)(bt) [t(a + b + c)] 5 t t 5 (c 3 ab) t (a + b + c) 5 (c 3 ab) = (a + b + c)5. (c 3 ab) t t 5 (a + b + c) 5 t 5 (c 3 ab) Logo o limite não existe, pois a medida que se varia os valores de a, b e c os resultados de limite mudam, visto que, a, b e c são números reais quaisquer. Outra possibilidade de se calcular o limite é através do seguinte teorema: 5

26 Teorema.3.4 Seja f(x, y) > com lim f(x, y) =. Se g(x, y) for limitada quando (x,y) (x,y ) (x, y) (x, y ), então, lim [f(x, y) g(x, y)] =. (x,y) (x,y ) Exemplo 1( Calcule) os limites abaixo usando o Teorema(.3.4. ) x y x y a) lim b) lim. (x,y) (,) x + y (x,y) (,) x + y Solução: a) Podemos escrever lim (x,y) (,) ( x y x + y ) ) [(x ( ) y ]. (x,y) (,) x + y Notemos que lim (x,y) (,) (x ) =. Por outro lado, a função g(x, y) = (x, y) (, ), pois Segue do Teorema.3.4 que b) Escrevemos y x + y 1. ( ) x y lim =. (x,y) (,) x + y ( ) x y [ ( xy )] lim (x).. (x,y) (,) x + y (x,y) (,) x + y y é limitada quando x + y Notemos que lim (x) =. Por outro lado, a função g(x, y) = xy é limitada quando (x,y) (,) x + y (x, y) (, ). e fato, escrevendo em cordenadas polares (x = r cos θ e y = r sen θ), temos xy (r cos θ)(r sen θ) = x + y (r cos θ) + (r sen θ) = r cos θ sen θ r (cos θ + sen θ) onde segue que = cos θ sen θ, para todo (x, y) (, ). xy g(x, y) = = cos θ sen θ 1, para todo (x, y) (, ). x + y Logo g é limitada. Segue do Teorema.3.4 que ( ) x y lim =. (x,y) (,) x + y 6

27 .4 Funções Contínuas e suas Propriedades Agora vamos estender a definição de continuidade de uma função de uma variável real para funções de n variáveis reais. efinition.4.1 : Sejam f uma função de n variáveis reais e P um ponto de R n. izemos que f é contínua em P se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas: i) f(p ) existe. ii) iii) lim f(p ) existe. P P lim f(p ) = f(p ). P P Em particular, se f for uma função de duas variáveis, P o ponto (x, y ) e P o ponto (x, y) do R, temos a seguinte definição: efinition.4. : Uma função f(x, y) é continua em (x, y ) se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas i) f(x, y ) existe. ii) iii) lim f(x, y) existe. (x,y) (x,y ) lim f(x, y) = f(x, y ). (x,y) (x,y ) Em geral, podemos definir a continuidade para funções de duas variáveis da seguinte forma: Uma função f(x, y) é continua em (x, y ) se lim f(x, y) = f(x, y ). (x,y) (x,y ) izemos que f é contínua em se for contínua em todo ponto (x, y ). O significado intuitivo de continuidade é que, se o ponto (x, y) varia de uma pequena quantidade, então f(x, y) também varia uma pequena quantidade. Isso quer dizer que a superfície que corresponde ao gráfico de uma função contínua não tem buracos ou rupturas. Usando as propriedades de limite e a definição de função contínua, podemos ver que a soma, a diferença, o produto e o quociente de funções contínuas são contínuas em seus domínuos. Em geral, se f(x, y) e g(x, y) são funções continuas em (x, y ) R e k R, valem as seguintes propriedades: P 1 ) P ) lim [f(x, y) ± g(x, y)] = f(x, y ) ± g(x, y ); (x,y) (x,y ) lim [kf(x, y)] = kf(x, y ); (x,y) (x,y ) 7

28 P 3 ) P 4 ) lim [f(x, y) g(x, y)] = f(x, y ) g(x, y ); (x,y) (x,y ) [ ] f(x, y) lim = f(x, y ) (x,y) (x,y ) g(x, y) g(x, y ), se g(x, y ) ; P 5 ) lim (x,y) (x,y ) [f(x, y)] m n = [f(x, y )] m n, se m, n Z e L m n R. Uma função polinomial de duas variáveis é uma soma de termos da forma cx m y n, onde c é uma constante e m e n são números inteiros não-negativos. Uma função racional é um quociente de polinômios. Sabemos que lim x = x, (x,y) (x,y ) lim y = y, (x,y) (x,y ) lim c = c, (x,y) (x,y ) onde c é uma constante. Portanto, as funções f(x, y) = x, g(x, y) = y e f(x, y) = c são contínuas. Como qualquer polinômio pode ser obtido a partir das funções f, g e h, segue das propriedades acima que funções polinomiais de duas variáveis são funções contínuas em R e que funções racionais também são funções contínuas, visto que, estas são quocientes de funções contínuas. Exemplo 11( Calcule os seguinte limites ) a) lim x y 3 x 3 y + 3x + y (x,y) (1,) ( x xy + 3 ) b) lim (x,y) (,1) x y + 5xy y ( 4 x c) lim (x, y) (,) x + y 1 d) lim (x, y, z) (, 1, 1) ) ( x y z 1 xy 3y + z ). Solução: a) Temos que f(x, y) = x y 3 x 3 y + 3x + y é um polinômio, portanto é uma função contínua em todo R. Usando a definição de função contínua, segue que lim f(x, y) = f(1, ). (x,y) (1,) Assim, teremos [ x y 3 x 3 y + 3x + y ] f(x, y) = f(1, ) = 11. (x,y) (1,) (x,y) (1,) b) Temos que f(x, y) = x xy + 3 é uma função contínua, pois é uma função racional x y + 5xy y de duas variáveis. Usando a definição de função contínua, segue que Assim, teremos [ ] x xy + 3 (x,y) (,1) x y + 5xy y lim f(x, y) = f(, 1). (x,y) (,1) f(x, y) = f(, 1) = 3. (x,y) (,1) 8

29 c) Novamente, temos que a função f(x, y) = 4 x é contínua, pois é uma função racional x + y 1 de duas variáveis. Usando a definição de função contínua, segue que ( ) 4 x lim f(x, y) = f(, ) = 4. (x, y) (,) x + y 1 (x,y) (,) d) Analogamente, a função f(x, y, z) = x y z 1 é contínua, pois é uma função racional xy 3y + z de três variáveis. Usando a definição de função contínua, segue que ( ) x y z 1 lim f(x, y, z) = f(, 1, 1) =. (x, y, z) (, 1, 1) xy 3y + z (x, y, z) (, 1, 1) Exemplo 1 etermine onde as funções são contínuas a) f(x, y) = x y 3x y, se (x, y) (, ) x + y c) f(x, y) = x + y x y, se (x, y) = (, ), se (x, y) (, ) { b) f(x, y) = x + y x + y, se x + y 1, se (x, y) = (, ) d) f(x, y) =, se x + y > 1. Solução: a) A função f não é contínua no ponto (, ), pois f(, ) não existe. Por outro lado, f é contínua para todo par (x, y) (, ), visto que, f é uma função racional. Logo f é contínua no conjunto = {(x, y) R ; (x, y) (, )}. b) Temos que f é contínua para todo par (x, y) (, ) uma vez que f é uma função racional definida nessa região. Por outro lado, f não é contínua em (, ), pois apesar de f ser definida no ponto (, ), não existe o limite f(x, y). Logo f é contínua no conjunto lim (x, y) (,) = {(x, y) R ; (x, y) (, )}. c) Temos que f é contínua para todo par (x, y) (, ), pois f é ai uma função racional. Temos também que f é contínua em (, ), pois lim f(x, y) (x,y) (,) (x,y) (,) 3x y = = f(, ). x + y Logo f é contínua em todo R. d) A função f está definida em todos os pontos do R. Logo, se (x, y ) é um ponto qualquer do R, então existe f(x, y ). Vejamos o que acontece com lim f(x, y), (x,y) (x,y ) quando x + y 1 e quando x + y = 1. Vejamos inicialmente o caso de x + y 1. Se x + y < 1, temos lim f(x, y) (x,y) (x,y ) (x,y) (x,y ) (x + y ) = x + y = f(x, y ). 9

30 Se x + y > 1, temos lim f(x, y) = = f(x, y ). (x,y) (x,y ) (x,y) (x,y ) Assim, f é contínua em todos os pontos (x, y ) para os quais x + y 1. Vejamos agora se f é contínua em todos os pontos (x, y ) para os quais x + y = 1. evemos mostrar que existe o limite lim (x,y) (x,y ) f(x, y) = 1 = f(x, y ). Seja S 1 o conjunto de todos os pontos (x, y) para os quais x + y 1 e seja S o conjunto de todos os pontos (x, y) para os quais x + y > 1. Para (x, y) S 1, temos e para (x, y) S, temos lim f(x, y) (x,y) (x,y ) (x,y) (x,y ) (x + y ) = x + y = 1 lim f(x, y) =. (x,y) (x,y ) (x,y) (x,y ) Como os limites são diferentes, concluímos que o limite lim f(x, y) não existe e, portanto, f é descontínua em todos os pontos (x, y ) para os quais x + y = 1. (x,y) (x,y ) Assim, concluímos que f é contínua em todos os pontos do R, exceto aqueles sobre a circunferência x + y = 1. Teorema.4.3 (Continuidade de Funções Compostas) Se f é uma função contínua de duas variáveis e g é uma função contínua de uma única variável definida na imagem de f, então a função composta h = g f definida por h(x, y) = g(f(x, y)) é também contínua. Exemplo 13 etermine onde as funções são contínuas a) h(x, y) = arctan( y ) b) h(x, y) = ln(xy 1) c) h(x, y) = 1 x x + y 5. Solução: a) A função f(x, y) = y x é contínua em todo ponto (x, y) R, exceto sobre a reta x =. A função g(t) = arctan(t) é contínua em todo t R. Logo a função composta g(f(x, y)) = g( y x ) = arctan(y ) = h(x, y) x é contínua em toda parte, exceto onde x =. b) A função f(x, y) = xy 1 é contínua em todo ponto (x, y) R. Por outro lado, a função g(t) = ln(t) é contínua em todo t >. Logo a função composta g(f(x, y)) = g(xy 1) = ln(xy 1) = h(x, y) 3

31 é contínua em todos os pontos (x, y) R, para os quais xy 1 >. c) A função f(x, y) = x + y 5 é contínua em todo ponto (x, y) R. Por outro lado, a função g(t) = 1 t é contínua em todo t >. Logo a função composta g(f(x, y)) = g(x + y 5) = 1 x + y 5 = h(x, y) é contínua em todos os pontos (x, y) R, para os quais x + y 5 > que são os pontos na região exterior limitada pela circunferência x + y = 5. 31

32 Capítulo 3 iferenciabilidade 3.1 erivadas Parciais A discussão sobre derivação de uma função de n variáveis com valores reais reduz-se ao caso unidimensional, se tratarmos uma função de n variáveis como uma função de uma única variável de cada vez, mantendo fixa as demais variáveis. Isso nos leva ao conceito de derivada parcial. Vamos definir primeiro a derivada parcial de uma função de duas variáveis. efinition Seja f(x, y) uma função de duas variáveis. A derivada parcial de f em relação a x é a função denotada f x (x, y), com (x, y) no domínio de f, dada por f x (x, y) h f(x + h, y) f(x, y) h se o limite existir. Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y é a função denotada por f y (x, y), com (x, y) no domínio de f, dada por se o limite existir. f y (x, y) h f(x, y + h) f(x, y) h Existem diversas notações para derivadas parciais. Por exemplo, se z = f(x, y), escrevemos f x (x, y) = f x = f x = z f(x, y) = x x = f 1 = 1 f = x f para representar a derivada parcial de f em relação a x. Analogamente, escrevemos f y (x, y) = f y = f y = z f(x, y) = y y = f = f = y f para representar a derivada parcial de f em relação a y. 3

33 Exemplo ada a função f(x, y) = 3x xy + y, determine as derivadas parciais f x (x, y) e f y (x, y), para todo (x, y) no domínio de f. Solução: Usando a definição, segue que a derivada parcial de f em relação a x é f x (x, y) h f(x + h, y) f(x, y) h h [3(x + h) (x + h)y + y ] [3x xy + y ] h 3x + 6xh + 3h xy hy + y 3x + xy y h h 6xh + 3h hy h h (6x + 3h y) h = 6x y. e modo análogo, a derivada parcial de f em relação a y é f y (x, y) h f(x, y + h) f(x, y) h h [3x x(y + h) + (y + h) ] [3x xy + y ] h h 3x xy xh + y + yh + h 3x + xy y h h xh + yh + h h h ( x + y + h) = x + y. Se (x, y ) é um ponto qualquer no domínio de f, então f x (x, y ) h f(x + h, y ) f(x, y ) h se os limites existirem. e f y (x, y ) h f(x, y + h) f(x, y ) h Exemplo 3.1. ada a função f(x, y) = 3x xy + y, determine f x (3, ) e f y (3, ). Solução: Usando a definição, temos f x (3, ) h f(3 + h, ) f(3, ) h h [3(3 + h) (3 + h)( ) + ( ) ] [3(3) (3)( ) + ( ) ] h 33

34 Analogamente, temos h h + 3h h h h (18 + 3h + 4) =. f y (3, ) h f(3, + h) f(3, ) h h ( h) = 1. Também podemos determinar f x (3, ) e f y (3, ) usando o resultado encontrado no exemplo anterior. e fato, como f x (x, y) = 6x y, tem-se f x (3, ) = 6(3) ( ) = e como f y (x, y) = x + y, tem-se f y (3, ) = (3) + ( ) = 1. Outras fórmulas alternativas para determinar as derivadadas parciais de uma função f(x, y), num ponto qualquer (x, y ) do domínio de f, são as seguintes f x (x, y ) x x f(x, y ) f(x, y ) x x e f y (x, y ) x x f(x, y) f(x, y ) y y se os limites existirem. No exemplo anterior, teríamos e f x (3, ) x 3 f(x, ) f(3, ) x 3 f(3, y) f(3, ) f y (3, ) y y + x 3 3x + 4x x 3 7 6y + y 43 y x 3 x 3 3x + 4x 39 x 3 y 6y 16 y x 3 = = 1. Para determinar as derivadas parciais de uma função usando as definições dadas anteriormente torna-se um processo mais demorado e, às vezes, bem difícil. Um modo mais simples de calcular as derivadas parciais de uma função z = f(x, y) é usando o seguinte prossedimento: f x é obtido considerando y constante e derivando f(x, y) em relação a x; f y é obtido considerando x constante e derivando f(x, y) em relação a y. Exemplo eterminar as derivadas parciais das seguintes funções: a) f(x, y) = x 3 + x y 3 y b) f(x, y) = 3x 3 4x y + 3xy + sen(xy ) c) f(x, y) = x y. Solução: a) Considerando y constante e derivando f em relação a x, obtemos f x (x, y) = 3x + xy 3. 34

35 Considerando x constante e derivando f em relação a y, obtemos f y (x, y) = 3x y 4y. b) Prosseguindo como na letra a), temos f x (x, y) = 9x 8xy + 3y + y cos(xy ) e f y (x, y) = 4x + 6xy + xy cos(xy ). c) Analogamente, teremos f x (x, y) = 1 y e f y (x, y) = x y. 3. Interpretação Geométrica de erivadas Parciais A interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função de duas variáveis é similar à dada para funções de uma variável. O gráfico de uma função f de duas variáveis é uma superfície cuja equação é z = f(x, y). Se y for mantida constante (digamos, y = y ) então z = f(x, y ) será uma equação do traço dessa superfície no plano y = y. A curva pode ser representada pelas equações y = y e z = f(x, y), (3.1) pois ela é a interseção dessas duas superfícies. Então f x (x, y ) é a inclinação ) da reta tangente à curva dada pelas equações (3.1) no ponto P (x, y, f(x, y ) no plano y = y. Analogamente, f y (x, y ) é a inclinação da reta tangente à curva dada pelas equações x = x e z = f(x, y), ) no ponto P (x, y, f(x, y ) no plano x = x. A Figura 3.1 mostra partes das curvas e das retas tangentes. Figura 3.1: Interpretação Geométrica de erivadas Parciais Exemplo 3..1 Ache a inclinação da reta tangente à curva de interseção das superfícies z = 1 4 x y com o plano y = no ponto (,, 3). 35

36 Solução: A inclinação pedida é o valor de z x no ponto (,, 3). Como então z x = x 4 x y, z x (,, 3) = 1 = 1 3. As derivadas parciais podem ser interpretadas como taxas de variação. Se z = f(x, y), então z representa a taxa de variação de z com relação a x quando y é mantido fixo. x Analogamente, z representa a taxa de variação de z com relação a y quando x é mantido y fixo. Exemplo 3.. Se f(x, y) = 4 x y, ache f x (1, 1), f y (1, 1) e interprete esses números como inclinações. Solução: Temos que Logo, f x (x, y) = x e f y (x, y) = 4y. f x (1, 1) = e f y (1, 1) = 4. O gráfico de f é o parabolóide z = 4 x y. O plano vertical y = 1 intercepta o gráfico de f na parábola z = x, y = 1. A inclinação da reta tangente à essa parábola no ponto (1, 1, 1) é f x (1, 1) =. Analogamente, a curva na qual o plano x = 1 intercepta o gráfico de f é a parábola z = 3 y, x = 1. A inclinação da reta tangente à essa parábola no ponto (1, 1, 1) é f y (1, 1) = 4. Exemplo 14 Sejam S o traço da superfície z = 36 9x 4y no plano y =. Ache as equações paramétricas da reta tangente à S no ponto P (1,, 11). Solução: A inclinação da reta tangente à S é o valor f x (1, ), onde f(x, y) = 36 9x 4y. Como 9x f x (x, y) = 36 9x 4y, então f x (1, ) =

37 Logo a equação da reta tangente é, z z = f x (1, )(x x ) z 11 = 9 11 (x 1) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são, x = 1 + t l : y = z = 11 9 t erivadas Parciais Para Funções de Mais de uas Variáveis erivadas parciais podem ser definidas para funções de três ou mais variáveis. Por exemplo, se f é uma função de três variáveis x, y e z, então sua derivada parcial em relação a x é dada por f(x + h, y, z) f(x, y, z) f x (x, y, z) h h e pode ser encontrada olhando-se y e z como constantes e diferenciando-se f(x, y, z) em relação a x. e modo análogo, define-se e f y (x, y, z) h f(x, y + h, z) f(x, y, z) h f(x, y, z + h) f(x, y, z) f z (x, y, z). h h Se w = f(x, y, z), então f x = w pode ser interpretado como a taxa de variação de w x em relação a x quando y e z são mantidos fixos. Entretanto, não podemos interpretar geometricamente, pois o gráfico de f pertence ao espaço de dimensão quatro. Em geral, se u é uma função de n variáveis, u = f(x 1, x,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n ), sua derivada parcial em relação a i-ésima variável é u f(x 1, x,..., x i 1, x i + h, x i+1,..., x n ) f(x 1, x,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n ) x i h h e podemos escrever u = f = f xi = f i = i f. x i x i Exemplo 15 ada a função f(x, y, z) = e xy ln(z), determine f x, f y e f z. Solução: Mantendo constantes y e z e diferenciando em relação a x, obtemos e modo análogo, obtemos f x = ye xy ln(z). f y = xe xy ln(z) e f z = exy z. 37

38 3.4 Incrementos e iferenciais Para uma função de uma variável y = f(x), se x varia de x para x + x, definimos o incremento de y como y = f(x + x) f(x ). Além disso, definimos o diferencial dx como uma variável independente e o diferencial dy como sendo dy = f (x)dx. Geometricamente, o incremento y representa a variação de altura da curva y = f(x) e o diferencial dy representa a variação de altura da reta tangente quando x varia da quantidade dx = x (Veja Figura 3.). Figura 3.: Incremento e iferencial para y = f(x) Para uma função de duas variáveis, z = f(x, y), suponha que x varie de x para x + x e que y varie de y para y + y. efinimos o incremento de z como z = f(x + x, y + y) f(x, y ). O incremento z representa a variação de valor de f quando (x, y) varia de (x, y ) para (x + x, y + y). Além disso, definimos os diferenciais dx e dy como sendo variáveis independentes e definimos o diferencial dz, também chamado diferencial total, como sendo a função dz = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy = z z dx + x y dy. Algumas vezes usamos a notação df no lugar de dz. Notemos que o diferencial total dz é uma aproximação do incremento z. Geometricamente, o diferencial total dz representa a variação na altura do plano tangente à superfície z = f(x, y), enquanto que, o incremento z representa a variação da altura da superfície z = f(x, y) quando (x, y) varia de (x, y ) para (x + x, y + y) (Veja Figura 3.3). No ponto (x, y ), escrevemos o diferencial total da forma dz = f x (x, y )dx + f y (x, y )dy = z x (x, y )dx + z y (x, y )dy. 38

39 Figura 3.3: Incremento e iferencial para z = f(x, y) Exemplo 16 Se z = f(x, y) = x + 3xy y, determine: a) o diferencial total dz; b) os valores de z e dz quando x varia de a, 5 e y varia de 3 a, 96. Solução: a) Temos dz = z z dx + dy = (x + 3y)dx + (3x y)dy. x y b) Tomando x =, dx = x =, 5, y = 3 e dy = y =, 4, temos O incremento z é dado por Notemos que z dz. dz = [() + 3(3)](, 5) + ([3() (3)](, 4) =, 65. z = f(, 5,, 96) f(, 3) =, Exemplo 17 Um cone circular reto possui raio da base medindo 1cm e altura medindo 5cm, com erro nessas medidas de no máximo, 1cm. etermine o erro máximo cometido no cálculo do volume deste cone. Solução: Seja r e h o raio da base e altura do cone, respectivamente. O volume do cone é dado pela fórmula V = 1 3 πr h. O diferencial de V é dv = V V dr + r h πrh πr dh = dr dh. Como cada erro é de no máximo, 1cm, segue que r <, 1 e h <, 1. O erro máximo no volume é obtido quando tomamos dr =, 1 e dh =, 1 para r = 1 e h = 5. Assim, teremos dv = π(1)(5) 3 (, 1) + π(1) (, 1) = π. 3 39

40 Exemplo 18 Um recipiente de metal, fechado, na forma de um cilindro circular reto, tem uma altura interna de 6 cm, um raio interno de cm e uma espessura de,1 cm. Se o custo do metal a ser usado é de 1 reais por centímetros cúbicos, ache por diferenciais o custo aproximado do material a ser usado na produção do recipiente. Solução: O volume de um cilindro circular reto é V = πr h, onde r é o raio e h é a altura. O volume exato de metal no recipiente é a diferença entre os volumes de dois cilindros circulares retos para os quais r =, 1 e h = 6, e r = e h = 6, respectivamente. O volume exato do metal é dado por V, mas como apenas um volume aproximado foi pedido, vamos calcular dv pela fórmula dv = V V dr + r h dh = πrhdr + πr dh. Como r =, h = 6, dr =.1 e dh =., temos dv = π()(6)(.1) + π() (.) = 3, π Logo, V 3, π e, então, há aproximadamente 3, πcm 3 de metal no recipiente. Como o custo do metal a ser usado é de 1 reais por centímetros cúbicos, então o custo aproximado do material a ser usado na produção do recipiente é de 3, π.1 = 3π 1, 53 reais. Se w = f(x, y, z), definimos o incremento de w como sendo w = f(x + x, y + y, z + z) f(x, y, z). O diferencial dw é definido em termos dos diferenciais dx, dy e dz, que são variáveis independentes, por dw = w w w dx + dy + x y z dz. Exemplo 19 As dimensões de uma caixa retangular são 75cm, 6cm e 4cm, obtidas com precisão de até, cm. etermine o erro máximo no cálculo do volume dessa caixa. Solução: Se as dimensões da caixa são x, y e z, então V = xyz. A diferencial de V é dv = V V V dx + dy + dz = yzdx + xzdy + xydz. x y z Temos que x,, y, e z,. Para determinar o erro máximo no cálculo do volume, fazemos dx = dy = dz =, e x = 75, y = 6 e z = 4. Logo, V dv = (6)(4)(, ) + (75)(4)(, ) + (75)(6)(, ) = 198. Logo, um erro de, cm no cálculo das medidas da caixa acarreta num erro da ordem de 198cm 3 no cálculo do volume da caixa, o que representa um erro de 1% do volume da caixa. 4

41 3.5 iferenciabilidade e Continuidade Para uma função de uma variável, y = f(x), dizemos que f é diferenciável em x, se pudermos escrever o incremento y na forma y = f (x ) x + ε x, onde ε = ε( x) quando x. e maneira análoga, definimos diferenciabilidade para funções de mais de uma variável. efinition Se z = f(x, y), dizemos que f é diferenciável em (x, y ) se o incremento z puder ser escrito na forma z = f x (x, y ) x + f y (x, y ) y + ε 1 x + ε y onde ε 1 e ε são funções de x e y tais que ε 1 e ε quando ( x, y) (, ). Exemplo Mostre que a função f(x, y) = 3x xy é diferenciável em todo ponto do R. Solução: evemos mostrar que para todo ponto (x, y ) do R, existem ε 1 e ε tais que z f x (x, y ) x f y (x, y ) y = ε 1 x + ε y (3.) com ε 1 e ε quando ( x, y) (, ). Temos que f x (x, y ) = 3 y e f y (x, y ) = x y. Além disso, Logo, z = f(x + x, y + y) f(x, y ) = 3(x + x) (x + x)(y + y) (3x x y ) = 3 x y x x y y y x y x ( y) x( y) z f x (x, y ) x f y (x, y ) y = x ( y) y x y x( y) = ε 1 x + ε y onde Note que ε 1 = y y ( y) e ε = x y. lim ε 1 = e lim ε =. ( x, y) (,) ( x, y) (,) Portanto, (3.) é satisfeita. Assim, f é diferenciável em todo ponto (x, y ) do R. Algumas vezes é difícil usar a definição para checar a diferenciabilidade de uma função. O teorema a seguir nos dá uma condição suficiente de forma conveniente para verificar a diferenciabilidade de uma função num ponto dado. 41

42 Teorema 3.5. Seja f uma função de duas variáveis x e y. Suponhamos que existam as derivadas parciais f x e f y numa bola aberta B, contendo um ponto (x, y ). Se as funções f x e f y forem contínuas no ponto (x, y ), então f é diferenciável neste ponto. Exemplo 1 Mostre que a função f(x, y) = xe xy é diferenciável no ponto (1, ). Solução: As derivadas parciais de f são f x (x, y) = e xy + xye xy e f y (x, y) = x e xy. As funções f x e f y são contínuas em toda parte. Em particular, são contínuas numa vizinhança de (1, ). Logo f é diferenciável no ponto (1, ). Exemplo Mostre que a função f(x, y) = x 3 + 3xy 5y 3 é diferenciável em toda parte. Solução: As derivadas parciais são f x (x, y) = 3x + 3y e f y (x, y) = 3x 15y. Como f x (x, y) e f y (x, y) são contínuas em toda parte, segue que f é diferenciável em toda parte. Exemplo 3 Mostre que a função x y, se (x, y) (, ) f(x, y) = x + y, se (x, y) = (, ) é diferenciável no ponto (, ). Solução: Primeiro, vamos determinar f x (x, y) e f y (x, y). Se (x, y) = (, ), temos Se (x, y) (, ), temos f x (, ) x f(x, ) f(, ) x [ x y f x (x, y) = x + y ]x x x =. = xy (x + y ) x(x y ) (x + y ) = xy4 (x + y ). Logo, xy 4, se (x, y) (, ) f x (x, y) = (x + y ), se (x, y) = (, ). 4

43 a mesma forma, obtemos x 4 y, se (x, y) (, ) f y (x, y) = (x + y ), se (x, y) = (, ). Ambas as funções f x (x, y) e f y (x, y) são definidas numa bola aberta com centro na origem. Resta mostrar que f x (x, y) e f y (x, y) são contínuas em (, ). Como f x (, ) =, f x (x, y) será contínua em (, ) se lim f x(x, y) =. (x,y) (,) Precisamos mostrar que dado ε >, existe δ > tal que < x + y xy 4 < δ < ε. (x + y ) Mas, xy 4 x y 4 = (x + y ) (x + y ) x + y ( x + y ) 4 = x (x + y ) + y. Assim, escolhendo δ = ε, temos < x + y xy 4 < δ x + y (x + y ) < δ = ε. Logo, f x (x, y) é contínua em (, ). e modo análogo, mostramos que f y (x, y) é contínua em (, ). Segue do Teorema acima que f é diferenciável em (, ). Teorema Se uma função f de duas variáveis for diferenciável em um ponto, ela será contínua nesse ponto. Observação: 1. Segue do Teorema que se uma função f(x, y) não for contínua num ponto (x, y ), ela não será diferenciável nesse ponto.. O Teorema estabelece que se uma função f(x, y) for diferenciável num ponto (x, y ), ela será contínua nesse ponto. No entanto, a existência das derivadas parciais f x e f y num ponto (x, y ) não implica que f será diferenciável nesse ponto. Vejamos os exemplos abaixo. Exemplo 4 ada a função { xy, f(x, y) = x + y se (x, y) (, ), se (x, y) = (, ) mostre que existem as derivadas parciais f x (, ) e f y (, ) e que f não é diferenciável no ponto (, ). 43

44 Solução: Temos e f x (, ) x f(x, ) f(, ) x f y (, ) y f(, y) f(, ) y x x y y Logo existem as derivadas parcias f x (, ) = f y (, ) =. Por outro lado, não existe o limite f(x, y), portanto, f não é contínua em (, ). Logo, f não é diferenciável em (, ). lim (x,y) (,) Exemplo 5 ada a função f(x, y) = {, se (x, y) (, ) 1, se (x, y) = (, ) mostre que existem as derivadas parciais f x (, ) e f y (, ) e que f não é diferenciável no ponto (, ). Solução: Temos e f f( + h, ) f(, ) (, ) x h h f f(, + h) f(, ) (, ) y h h Por outro lado, para (x, y) (, ), temos = =. h 1 1 h h 1 1 h lim f(x, y) = f(, ) = 1. (x,y) (,) (x,y) (,) = =. Logo f é descontinua em (, ) e, portanto, f não é diferenciável no ponto (, ). 3.6 Regra da Cadeia Teorema (Regra da Cadeia: Caso 1) Suponha que z = f(x, y) seja uma função diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então z é uma função diferenciável de t e ainda dz dt = f dx x dt + f dy y dt. Exemplo 6 Se z = x y + 3xy 4, onde x = sen(t) e y = cos(t), determine dz dt. epois determine dz em t =. dt 44

45 Solução: Fazendo z = f(x, y) = x y + 3xy 4, segue que f x = xy + 3y4, f y = x + 1xy 3, dx dt = cos(t) e dy dt = sen(t). Substituindo na Regra da Cadeia acima, temos = dz ( ) )( ) dt = xy + 3y )( 4 cos(t) + (x + 1xy 3 sen(t) ][ ] [ sen(t) cos(t) + 3 cos 4 (t) Em t =, temos cos(t) + [ ][ ] sen (t) + 1sen(t) cos 3 (t) sen(t). dz dt t= = (sen() cos() + 3 cos 4 ())( cos()) + (sen () + 1sen() cos 3 ())( sen()) = 6. Observação: A derivada dz é a taxa de variação de z em relação a t quando o ponto (x, y) dt se move ao longo da curva C com equações paramétricas x = sen(t) e y = cos(t). Por exemplo, se z = T (x, y) = x y + 3xy 4 representa a temperatura no ponto (x, y), então a função composta z = T (sent, cos t) representa a temperatura dos pontos da curva C e sua derivada dz corresponde à taxa de variação da temperatura ao longo da curva C. dt Teorema 3.6. (Regra da Cadeia: Caso ) Suponha que z = f(x, y) seja uma função diferenciável de x e y, onde x = g(s, t) e y = h(s, t) são funções diferenciáveis de s e de t. Então z é uma função diferenciável de s e de t e z s = z x x s + z y y s e z t = z x x t + z y y t. Exemplo 7 Se z = e x seny, onde x = st e y = s t, determine z s e z t. Solução: Fazendo z = f(x, y) = e x seny, x = g(s, t) = st e y = h(s, t) = s t, segue que z x = ex seny, z y = ex cos y, x s = t, x t = ts, y s = st e y t = s. Substituindo na Regra da Cadeia (caso ), temos e z s = (ex seny)(t ) + (e x cos y)(st) = t e st sen(s t) + ste st cos(s t) z t = (ex seny)(ts) + (e x cos y)(s ) = tse st sen(s t) + s e st cos(s t). 45

46 Teorema (Regra da Cadeia: Caso Geral) Suponha que u = f(x 1, x,..., x n ) seja uma função diferenciável de n variáveis x 1, x,..., x n, onde cada x i é uma função diferenciável de m variáveis t 1, t,..., t m. Então u é uma função diferenciável nas variáveis t 1, t,..., t m e onde cada i = 1,,..., m. u = u x 1 + u x u x n t i x 1 t i x t i x n t i Exemplo 8 Se u = x 4 y + y z 3, onde x = rse t, y = rs e t e z = r s sent, determine u s quando r =, s = 1 e t =. Solução: Fazendo u = f(x, y, z) = x 4 y+y z 3 e usando a Regra da Cadeia para três variáveis, temos u s = u x x s + u y y s + u z z s = (4x3 y)(re t ) + (x 4 + yz 3 )(rse t ) + (3y z )(r sent). Quando r =, s = 1 e t =, temos x =, y = e z =. Portanto, u s 3.7 erivação Implícita = (64)() + (16)(4) + ()() = 19. izemos que uma função z = f(x, y) é definida implicitamente pela equação F (x, y, z) = se, ao substituirmos z por f(x, y), essa equação se torna uma identidade. Outra forma de termos funções definidas implicitamente ocorre quando temos duas equações simultânes. Por exemplo, o sistema { F (x, y, z) = G(x, y, z) = pode definir implicitamente duas funções de uma variável y = y(x) e z = z(x). Teorema (erivação Implícita) Suponhamos que a função z = f(x, y) seja definida implicitamente pela equação F (x, y, z) =. Admitindo que f e F são funções diferenciáveis e que F z z x = F x F z e 46 z y = no ponto (x, y, f(x, y)), então F y F z.

47 Exemplo 9 Sabendo-se que a função diferenciável z = f(x, y) é definida pela equação determine z x e z y. x 4 y + y 3 + z 3 + z = 5, Solução: Temos que z = f(x, y) é definida pela equação F (x, y, z) =, onde Temos que Logo, F x = 4x3 y, F (x, y, z) = x 4 y + y 3 + z 3 + z 5. z x = 4x3 y 3z + 1 F y = x4 + 3y, e e F z = 3z + 1. z y = x4 + 3y 3z + 1. Podemos determinar z, derivando implicitamente a equação em relação a x, tomando x o cuidado de considerar y como constante. e modo análogo, podemos determinar z x, derivando implicitamente a equação em relação a x, e considerando y como constante. Exemplo etermine z x e z y se z = f(x, y) é definido implicitamente na equação x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1. Solução: erivando implicitamente a equação em relação a x, considerando y constante, temos 3x + 3z z z + 6yz + 6xy x x =. Resolvendo esta equação para z x, obtemos z x = + yz x z + xy. a mesma forma, derivando implicitamente a equação em relação a y, considerando x constante, temos z y = + xz y z + xy. 47

48 Capítulo 4 erivadas irecionais, Gradientes e Aplicações das erivadas Parciais 4.1 erivada irecional e Vetor Gradiente Vamos generalizar a definição de uma derivada parcial, a fim de obter a taxa de variação de uma função em relação a qualquer direção e sentido. Isso nos leva ao conceito de derivada direcional. efinition A derivada direcional de f num ponto (x, y ) na direção e sentido do vetor unitário u = (a, b) é dada por u f(x, y ) h f(x + ah, y + bh) f(x, y ) h se esse limite existir. Notemos que se u = i = (1, ), então i f = f x e se u = j = (, 1), então j f = f y. Exemplo 3 Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = 3x y + 4x num ponto (x, y ) qualquer e na direção do vetor u = ( 3, 1 ). Solução: Usando a definição, segue que u f(x, y ) h f(x + h 3(x + 3h, y + h) f(x, y ) h 3h ) (y + h ) + 4(x + 3h ) (3x y + 4x ) h 3x + 3 3hx h y hy 1 4 h + 4x + 3h 3x + y 4x h h 3 3hx h hy 1 4 h + 3h h h (3 3x h y 1 4 h + 3) = 3 3x y + 3. h 48

49 Uma fórmula mais fácil de determinar a derivada direcional é dada no seguinte teorema. Teorema 4.1. Se f é uma função diferenciável em x e y, então f tem derivada direcional na direção e sentido de qualquer versor u = (a, b) dada por se esse limite existir. u f(x, y) = af x (x, y) + bf y (x, y). Exemplo 31 Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = 3x y + 4x na direção do vetor u = ( 3, 1 ). Solução: Usando o teorema anterior, temos u f(x, y) = 3 (6x + 4) + 1 ( y) = 3 3x y + 3. Notemos que u f(x, y ) é a mesma encontrada no Exemplo 3. Se o versor u faz um ângulo θ com o eixo x positivo, então u = (cos θ, senθ). Exemplo 3 etermine a derivada direcional u f(x, y) da função f(x, y) = x 3 3xy +4y na direção do versor u dado pelo ângulo θ = π 6. etermine uf(1, ). Solução: Neste caso, temos Logo, u = ( cos π ) ( 6, senπ 3 = 6, 1 ). u f(x, y) = 3 (3x 3y) ( 3x + 8y) = x 3 3 y 3 x + 4y. Portanto, u f(1, ) = = Observação: A derivada direcional u f(1, ) representa a taxa de variação de z = f(x, y) na direção do vetor u, isto é, a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície z = x 3 3xy + 4y e o plano vertical que passa pelo ponto (1,, ) na direção de u. A derivada direcional pode ser escrita como um produto escalar de dois vetores: ( ) ( ) u f(x, y) = af x (x, y) + bf y (x, y) = f x (x, y), f y (x, y). a, b. O primeiro vetor no produto escalar ocorre em diversas situações. A este vetor damos o nome de gradiente. Vejamos a definição de gradiente. 49

50 efinition Se f é uma função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a função vetorial denotada por f definida por ( ) f(x, y) = f x (x, y), f y (x, y) = f x i + f y j. Exemplo 33 ada a função f(x, y) = senx+e xy, determine f(x, y) para todo (x, y) R. Em seguida, determine f(, 1). Solução: Temos f(x, y) = ( ) f x (x, y), f y (x, y) = (cos x + ye xy, xe xy ). Portanto, f(, 1) = (, ). Com a notação de vetor gradiente, podemos escrever a derivada direcional na forma u f(x, y) = f(x, y).u que expressa a derivada direcional na direção e sentido de u como a projeção escalar do vetor gradiente sobre u. Exemplo 34 etermine a derivada direcional da função f(x, y) = x y 3 4y no ponto (, 1) na direção do vetor v = i + 5 j. Solução: Primeiro, vamos calcular gradiente de f no ponto (, 1). Temos Logo f(x, y) = (xy 3, 3x y 4). f(, 1) = ( 4, 8). Notemos que v não é um vetor unitário, pois v = 9. Logo o vetor unitário na direção e sentido de v é u = v v = i + 5 j = ( 5, ) Portanto, u f(, 1) = ( 4, 8).( 5, ) = = Para uma função de três variáveis f(x, y, z), definimos o gradiente de f por ( ) f(x, y, z) = f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z = f x i + f y j + f x k e a definição de derivada direcional é dada por onde u = (a, b, c) é a direção tomada. u f(x, y, z) = f(x, y, z).u 5

51 Exemplo 35 Se f(x, y, z) = xsen yz, determine f(1, 3, ) e estabeleça a derivada direcional de f no ponto (1, 3, ) na direção e sentido de v = i + j k. Solução: Temos Logo f(x, y, z) = (sen yz, xz cos yz, xy cos yz). f(1, 3, ) = (,, 3). Como v = (1) + () + ( 1) = 6, então o vetor unitário na direção e sentido de v é u = v v = 1 i + j 1 1 k = ( 6,, 1 ) Portanto, u f(1, 3, ) = (,, 3).( 1,, 1 ) = 3 3 = Planos Tangente e Normal à Superfícies efinition 4..1 Um vetor normal a uma superfície S num ponto P de S é um vetor ortogonal a todo vetor tangente a uma curva C de S no ponto P. Teorema 4.. Se a equação de uma superfície S for dada por F (x, y, z) = e F x, F y e F z forem contínuas, nem todas nulas no ponto P (x, y, z ) em S, então o vetor normal a S em P será F (x, y, z ). efinition 4..3 Se a equação de uma superfície S for dada por F (x, y, z) =, então o plano tangente a S no ponto P (x, y, z ) será o plano que passa por P e que possui vetor normal F (x, y, z ) e cuja equação é F x (x, y, z )(x x ) + F y (x, y, z )(y y ) + F z (x, y, z )(z z ) =. ou F (x, y, z ).(x x, y y, z z ) =. Exemplo 36 etermine a equação do plano tangente ao parabolóide elíptico no ponto (, 4, ). 4x + y 16z = Solução: Seja F (x, y, z) = 4x + y 16z. Então F (x, y, z) = (8x, y, 16). Portanto, F (, 4, ) = (16, 8, 16). Logo, a equação do plano tangente é 16(x )+8(y 4) 16(z ) = 16x+8y 16z 3 = ou x+y z 4 =. 51

52 efinition 4..4 A reta normal a uma superfície S no ponto P de S é a reta que passa por P e tem por números direcionais as componentes de qualquer vetor normal a S em P. Se uma equação da superfície S for F (x, y, z) =, as equações simétricas da reta normal a S em P (x, y, z ) serão x x F x (x, y, z ) = y y F y (x, y, z ) = z z F z (x, y, z ). A reta normal em um ponto de uma superfície é perpendicular ao seu plano tangente nesse ponto. Exemplo 37 etermine as equações simétricas da reta normal à superfície de equação F (x, y, z) = 4x + y 16z no ponto (, 4, ). Solução: Como vimos no exemplo anterior, F (, 4, ) = (16, 8, 16). Logo, as equações simétricas da reta normal, são x 16 = y 4 8 = z 16 ou x = y 4 1 = z. Observação: Se a equação de uma superfície é dada por z = f(x, y), podemos escrevê-la como F (x, y, z) = f(x, y) z =. Exemplo 38 etermine a equação do plano tangente e reta normal à superfície de equação z = x + y no ponto (1, 1, 3). Solução: Fazendo F (x, y, z) = x + y z, segue que F (x, y, z) = (4x, y, 1). Portanto, F (1, 1, 3) = (4,, 1). Logo, a equação do plano tangente é 4(x 1) + (y 1) 1(z 3) = 4x + y z 3 =. As equações simétricas da reta normal são dadas por x 1 4 = y 1 = z 3 1. Exemplo 39 etermine as equações do plano tangente e reta normal ao elipsóide no ponto (, 1, 3). x 4 + y + z 9 = 3 Solução: Escolhendo F (x, y, z) = 9x +36y +4z 18, segue que F (x, y, z) = (18x, 7y, 8z). Portanto, F (, 1, 3) = ( 36, 7, 4). Logo, a equação do plano tangente é 36(x+)+7(y 1) 4(z+3) = 36x+7y 4z 16 = ou 3x 6y+z+18 =. As equações simétricas da reta normal são dadas por x + 36 = y 1 7 = z ou 5 x + 3 = y 1 6 = z + 3.

53 efinition 4..5 A reta tangente a uma curva C num ponto P, é a reta que passa por P, tendo como números direcionais as componentes do vetor tangente unitário a C em P. Seja C uma curva interseção de duas superfícies de equações F (x, y, z) = e G(x, y, z) =. Sejam N 1 = F (x, y, z ) e N = F (x, y, z ) vetores normais às superfícies F (x, y, z) = e G(x, y, z) =, respectivamente, num ponto P (x, y, z ). Os vetores N 1 e N são ortogonais ao vetor tangente unitário a C em P. Portanto, se N 1 e N forem não paralelos, então o vetor tangente unitário tem direção e sentido igual a N 1 N. Logo as componentes de N 1 N servem como um conjunto de números direcionais da reta tangente. Exemplo 4 etermine as equações simétricas da reta tangente à curva de interseção das superfícies 3x + y + z = 49 e x + y z = 1 no ponto (3, 3, ). Solução: Sejam F (x, y, z) = 3x + y + z 49 e G(x, y, z) = x + y z 1. Então Logo, F (x, y, z) = (6x, 4y, z) e G(x, y, z) = (x, y, 4z). N 1 = F (3, 3, ) = (18, 1, 4) e N = G(3, 3, ) = (6, 6, 8). Segue que i j k N 1 N = (18, 1, 4) (6, 6, 8) = = 1 i+168 j 36 k = (1, 168, 36) Portanto, um conjunto de números direcionais da reta procurada é (1, 168, 36) ou (1, 14, 3). As equações simétricas da reta tangente são x 3 1 = y = z 36 ou x 3 1 = y = z 3. Observação: Se duas superfícies tiverem um plano tangente comum em um ponto, elas serão tangentes naquele ponto. Assim, duas superfícies S 1 e S, cujas equações são F (x, y, z) = e G(x, y, z) =, respectivamente, são tangentes no ponto P (x, y, z ) se, para alguma constante k, F (x, y, z ) = k G(x, y, z ). 53

54 4.3 erivadas Parciais de Ordem Superior Se f for uma função de duas variáveis, então em geral, f x e f y também são funções de duas variáveis. E se as derivadas parciais dessas funções existirem, elas serão chamadas de derivadas parciais segundas de f. Existem quatro derivadas parciais segundas de uma função f(x, y) que são definidas por As notações f xx (x, y) = f xy (x, y) = f yx (x, y) = f yy (x, y) = f xy, [ ] f x (x + h, y) f x (x, y) f x (x, y) x h h [ ] f x (x, y) y ] [ f y (x, y) [ ] f y (x, y) x y f x (x, y + h) f x (x, y) h h h f y (x + h, y) f y (x, y) h f y (x, y + h) f y (x, y). h h f y x, ( 1 f), 1 f, f 1 denotarão a derivada segunda de f, obtida com o cálculo da derivada parcial primeira de f em relação a x e depois derivando parcialmente o resultado em relação a y. A diferença entre as derivadas f xy e f yx é que no cálculo de f xy, primeiro derivamos em relação a x e depois em relação a y, ao passo que no cálculo de f yx a ordem é invertida. O mesmo ocorre com derivadas de ordem maiores. As definições de derivadas de ordem superior são similares. Por exemplo, f xyy é obtida diferenciando a função f xy em relação a y, isto é, e denotamos por f xyy (x, y) = f xyy, [ ] f xy (x, y + h) f xy (x, y) f xy (x, y) y h h 3 f y x, ( 1 f), 1 f, f 1. Na notação com subíndice f xyy, a ordem da diferenciação é da esquerda para a direira e na 3 f notação, a ordem da diferenciação é da direira para a esquerda. y x No caso de f ser uma função de várias variáveis, isto é, uma função da forma f(x 1, x,..., x n ), definimos: erivadas parciais de primeira ordem f x i (x 1, x,..., x n ) = f xi (x 1, x,..., x n ) 54

55 onde i IN e 1 i n. erivadas parciais de segunda ordem f x i x j (x 1, x,..., x n ) = onde i, j IN e 1 i, j n. Se i = j temos onde i IN e 1 i n. x j erivadas parciais de ordem superior ( f x i ) (x 1, x,..., x n ) = f xi x j (x 1, x,..., x n ) f (x x 1, x,..., x n ) = f xi x i (x 1, x,..., x n ) i m f x i1 x i... x im (x 1, x,..., x n ) = f xi1 x i...x im (x 1, x,..., x n ) onde i 1, i,..., i m IN e 1 i 1, i,..., i m n. Exemplo 41 Calcule todas as derivadas de segunda ordem possíveis para a função f(x, y) = sen(xy). Solução: As derivadas de primeira ordem são Logo, as derivadas de segunda ordem são [ ] f xx (x, y) = f x (x, y) f x (x, y) = ycos(xy) e f y (x, y) = xcos(xy). f yy (x, y) = f xy (x, y) = f yx (x, y) = [ ] f y (x, y) [ ] f x (x, y) [ ] f y (x, y) y x = = x y = = [ ] ycos(xy) = y sen(xy) x [ ] xcos(xy) = x sen(xy) [ ] ycos(xy) [ ] xcos(xy) y x y = cos(xy) xysen(xy) = cos(xy) xysen(xy). Teorema (Clairaut) Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y definida numa bola aberta B, contendo o ponto (x, y ) e que as funções f x, f y, f xy e f yx sejam definidas em B. Se as funções f xy e f yx forem contínuas em B, então f xy (x, y ) = f yx (x, y ). Exemplo 4 ada a função f(x, y) = x 3 y y cos(xy), mostre que f xy = f yx. 55

56 Solução: Temos Logo, f x (x, y) = 3x y + y sen(xy) e f y (x, y) = x 3 cos(xy) + xy sen(xy). f xy (x, y) = 3x + y sen(xy) + xy cos(xy) = f yx (x, y). Exemplo 43 ada a função xy(x y ), se (x, y) (, ) f(x, y) = x + y, se (x, y) = (, ), mostre que f xy (, ) f yx (, ). Solução: Vejamos inicialmente que f x (, y) = y para todo y. e fato, se y, temos f x (, y) x f(x, y) f(, y) x e se y =, temos x xy(x y ) x + y x f(x, ) f(, ) f x (, ) x x x y(x y ) x + y x x =. ( y3 x y ) = y e modo análogo, obtemos que f y (x, ) = x para todo x. e fato, se x, temos f y (x, ) y f(x, y) f(x, ) y e se x =, temos Portanto, y xy(x y ) x + y y f y (, ) y f(, y) f(, ) y y x(x y ) x + y x y =. f x (, y) = y para todo y e f y (x, ) = x para todo x. x 3 y x = x Usando a definição de derivada parcial para as funções f x (x, y) e f y (x, y), obtemos f x (, + h) f x (, ) f xy (, ) h h e f yx (, ) h f y ( + h, ) f y (, ) h Logo, h f x (, h) f x (, ) h h f y (h, ) f y (, ) h f xy (, ) f yx (, ). h h h h h h h ( 1) = 1 h (1) = 1. Observação: O Teorema de Clairaut também se aplica à derivadas parciais de ordem três, isto é, se f xyy, f yxy, f yyx e f yxx, f xyx, f xxy são contínuas, então f xyy = f yxy = f yyx e f yxx = f xyx = f xxy. 56

57 Exemplo 44 ada a função f(x, y) = sen(3x + y), mostre que f xyy = f yxy = f yyx e f yxx = f xyx = f xxy. Solução: Temos que f x = 3 cos(3x + y) e f y = cos(3x + y). aí, f xx = 9 sen(3x + y), f xy = f yx = 3 sen(3x + y) e f yy = sen(3x + y). Consequentemente, f xyy = f yxy = f yyx = 3 cos(3x + y) e f yxx = f xyx = f xxy = 9 cos(3x + y). 4.4 Equações iferenciais Parciais As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem algumas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial u xx + u yy = é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre-Laplace ( ). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de flúidos e potencial elétrico. Exemplo 45 Mostre que a função u(x, y) = e x seny é solução da equação de Laplace. Solução: Temos que Logo, onde segue que u x = e x seny e u y = e x cos y. u xx = e x seny e u yy = e x seny. u xx + u yy = (e x seny) + ( e x seny) =. Portanto, u satisfaz a equação de Laplace. A equação u tt = c u xx. é conhecida como equação da onda e descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Por exemplo, se u(x, t) representa o deslocamento da corda vibrante de um violino no instante t a uma distância x de um dos extremos da corda, então u(x, t) satisfaz a equação da onda. A constante c depende da densidade da corda e da tensão aplicada nela. 57

58 Exemplo 46 Mostre que a função u(x, t) = sen(cnt) sen(nx) é solução da equação da onda. Solução: Temos que u t = cn cos(cnt) sen(nx) e u x = n sen(cnt) cos(nx). Logo, u tt = c n sen(cnt) sen(nx) e u xx = n sen(cnt) sen(nx). onde segue que u tt c u xx = c n sen(cnt) sen(nx) c ( ) n sen(cnt) sen(nx) = c n sen(cnt) sen(nx) + c n sen(cnt) sen(nx) =. Portanto, temos u tt = c u xx. 4.5 Extremos de Funções de duas Variáveis efinition Uma função f de duas variáveis tem um máximo relativo (ou máximo local) no ponto (x, y ) se existir uma bola aberta B r (x, y ) de centro (x, y ) e raio r, tal que f(x, y) f(x, y ), para todo (x, y) B. izemos que f(x, y ) é o valor máximo relativo. Analogamente, f tem um mínimo relativo (ou mínimo local) no ponto (x, y ) se existir uma bola aberta B r (x, y ), tal que f(x, y) f(x, y ), para todo (x, y) B. izemos que f(x, y ) é o valor mínimo relativo. izemos que f possui um extremo relativo em (x, y ) se f possui um valor mínimo relativo ou um valor máximo relativo em (x, y ). Se as inequações valerem para todo (x, y) no domínio de f, então teremos um valor máximo absoluto ou um valor mínimo absoluto em (x, y ), respectivamente. Exemplo 47 etermine extremos relativos para as funções a) f(x, y) = 5 x y b) g(x, y) = x + y. Solução: a) Notemos que (x + y ) 5 (x + y ) 5 5 (x + y ) 5 = f(, ). 58

59 Logo, f(x, y) f(, ) = 5, para todo (x, y) B r (, ), r 5. Portanto, f tem um valor máximo relativo f(, ) = 5. Por outro lado, f(x, y) = f(3, 4), para todo (x, y) B r (3, 4), r 5. Portanto, f tem um valor mínimo relativo f(3, 4) = ou f(4, 3) =. Na verdade, f tem um valor máximo absoluto 5 e mínimo absoluto, pois f(x, y) 5, para todo (x, y) R. b) A função g tem um valor mínimo relativo f(, ) = numa bola aberta B r (, ). Na verdade, g tem um valor mínimo absoluto, pois g(x, y) = x + y, para todo (x, y) R. Teorema 4.5. Seja f(x, y) definida numa bola aberta B r (x, y ) de centro (x, y ) e raio r tendo um extremo relativo em (x, y ). Se existem f x (x, y ) e f y (x, y ), então f x (x, y ) = e f y (x, y ) =. ou seja, f(x, y ) = (, ). efinition izemos que (x, y ) é um ponto crítico (ou ponto estacionário) de f se f x (x, y ) = e f y (x, y ) =, ou se uma das derivadas parciais não existir em (x, y ). Observações: 1 - Segue do teorema anterior que se f possui um extremo relativo em (x, y ), então (x, y ) é um ponto crítico de f. - Entretanto, nem todo ponto crítico corresponde a um extremo relativo de f, ou seja, em um ponto crítico a função pode ter um mínimo relativo, um máximo relativo ou nenhum dos dois. Por exemplo, para a função f(x, y) = y x segue que f x (x, y) = x e f y (x, y) = y. Logo o único ponto crítico é (, ). No entanto, (, ) não é um extremo relativo de f. e fato, para os pontos sobre o eixo x, temos y = e f(x, y) = x <, x e para os pontos sobre o eixo y, temos x = e f(x, y) = y >, y. Logo toda bola aberta com centro (, ) possui pontos onde f possui valores positivos e pontos onde f possui valores negativos. Portanto, f(, ) não pode ser um extremo relativo para f. 3 - É possível, para uma função de duas variáveis, ter um extremo relativo em um ponto no qual não exista as derivadas parciais. 59

60 Exemplo 48 etermine os extremos relativos das funções abaixo, caso existam. a) f(x, y) = x + y x 6y + 14 b) f(x, y) = 6x 4y x y Solução: a) As derivadas parciais de f existem em todo (x, y) R e são dadas por f x (x, y) = x e f y (x, y) = y 6. Resolvendo as equações x = e y 6 = obtemos x = 1 e y = 3. Portanto, o único ponto crítico é (1, 3). Completando os quadrados, temos f(x, y) = (x 1) + (y 3) + 4. Logo, f(x, y) 4 para todos os valores de x e y. Logo, f(1, 3) = 4 é um mínimo relativo de f e, de fato, é um mínimo absoluto de f, pois o gráfico de f é um parabolóide elíptico com vértice (1, 3, 4) e abrindo para cima. b) As derivadas parciais de f existem em todo (x, y) R e são dadas por f x (x, y) = 6 x e f y (x, y) = 4 4y. Resolvendo as equações 6 x = e 4 4y = obtemos x = 3 e y = 1. Logo f(3, 1) = 11 é um valor extremo relativo para f. Resta ver se f(3, 1) = 11 é um mínimo relativo ou um máximo relativo. O gráfico da equação z = 6x 4y x y é um parabolóide tendo um eixo vertical com vértice em (3, 1, 11) e abrindo para baixo. Portanto, f(x, y) f(3, 1) para todo (x, y) R. Logo f(3, 1) = 11 é um valor máximo relativo da função f. A seguir veremos o Teste da Segunda erivada que determina quando um ponto crítico é ponto de máximo ou de mínimo relativo. Teorema (O Teste da Segunda erivada) Seja f uma função de duas variáveis, tal que f e suas derivadas primeiras e segundas sejam contínuas numa bola aberta B r (x, y ) de centro (x, y ) e raio r. Suponha que f x (x, y ) = e f y (x, y ) =. enotando por = f xx (x, y )f yy (x, y ) [ ] f xy (x, y ) tem-se: i) Se > e f xx (x, y ) > ou f yy (x, y ) >, então f(x, y ) é um valor mínimo relativo; ii) Se > e f xx (x, y ) < ou f yy (x, y ) <, então f(x, y ) é um valor máximo relativo; iii) Se <, então f(x, y ) não é um valor mínimo relativo nem máximo relativo; iv) Se =, nada se pode afirmar sobre f(x, y ). 6

61 Observações: 1 - No caso iii) dizemos que (x, y ) é um ponto de sela de f e o gráfico de f atravessa seu plano tangente em (x, y ); - No caso =, f pode ter um máximo relativo ou um mínimo relativo em (x, y ), ou (x, y ) pode ser um ponto de sela; 3 - Para lembrar a fórmula de, escrevemos = f xx f xy = f xxf yy (f xy ). f yx f yy Exemplo 49 etermine os extremos relativos das funções abaixo, caso existam. a) f(x, y) = x 4 + y x y b) f(x, y) = x 4 + y 4 4xy + 1 Solução: a) Para aplicar o teste da derivada segunda, primeiro calculamos as derivadas primeiras e segundas de f. Temos f x (x, y) = 8x 3 x, f y (x, y) = y, f xx (x, y) = 4x, f yy (x, y) = e f xy (x, y) =. Resolvendo f x (x, y) =, obtemos x = 1, x = e x = 1. Resolvendo f y(x, y) =, obtemos y = 1. Logo f x e f y se anulam nos pontos ( 1, 1), (, 1) e ( 1, 1) que são os pontos críticos de f. Vejamos o que acontece em cada ponto crítico. Para o ponto crítico ( 1, 1), temos f xx ( 1, 1) = 4, f yy( 1, 1) =, f xy( 1, 1) = e = (4)() () = 8. Como > e f xx ( 1, 1) >, o ponto crítico ( 1, 1) é um ponto de mínimo relativo e o mínimo relativo é f( 1, 1) = 9 8. Para o ponto crítico (, 1), temos f xx (, 1) =, f yy (, 1) =, f xy (, 1) = e = ( )() () = 4. Como < o ponto crítico (, 1) não é um ponto de mínimo relativo nem de máximo relativo. Para o ponto crítico ( 1, 1), temos f xx ( 1, 1) = 4, f yy( 1, 1) =, f xy( 1, 1) = e = (4)() () = 8. Como > e f xx ( 1, 1) >, o ponto crítico ( 1, 1) é um ponto de mínimo relativo e o mínimo relativo é f( 1, 1) =

62 Concluímos que f possui um valor mínimo relativo de 9 8 em cada um dos pontos ( 1, 1) e ( 1, 1). b) Temos f x (x, y) = 4x 3 4y, f y (x, y) = 4y 3 4x, f xx (x, y) = 1x, f yy (x, y) = 1y e f xy (x, y) = f yx (x, y) = 4. Os pontos críticos são obtidos resolvendo o sistema { 4x 3 4y = 4y 3 4x = ou { x 3 y = y 3 x =. Substituindo y = x 3 da primeira equação na segunda equação, obtemos x 9 x = x(x 8 1) = x(x 4 1)(x 4 + 1) = x(x 1)(x + 1)(x 4 + 1) =. Logo existem três raízes reais x = 1, x = e x = 1, para as quais, teremos y = 1, y = e y = 1, respectivamente. Assim os pontos críticos são ( 1, 1), (, ) e (1, 1). Vejamos o que acontece em cada ponto crítico. Para o ponto crítico ( 1, 1), temos f xx ( 1, 1) = 1, f yy ( 1, 1) = 1, f xy ( 1, 1) = 4 e = (1)(1) ( 4) = 18. Como > e f xx ( 1, 1) >, o ponto crítico ( 1, 1) é um ponto de mínimo relativo e o mínimo relativo é f( 1, 1) = 1. Para o ponto crítico (, ), temos f xx (, ) =, f yy (, ) =, f xy (, ) = 4 e = ()() ( 4) = 16. Como < o ponto crítico (, ) é um ponto de sela, isto é, (, ) não é um ponto de mínimo relativo nem de máximo relativo. Para o ponto crítico (1, 1), temos f xx (1, 1) = 1, f yy (1, 1) = 1 f xy (1, 1) = 4 e = (1)(1) ( 4) = 18. Como > e f xx (1, 1) >, o ponto crítico (1, 1) é um ponto de mínimo relativo e o mínimo relativo é f(1, 1) = 1. Concluímos que f possui um valor mínimo relativo de 1 em cada um dos pontos ( 1, 1) e (1, 1). Exemplo 5 etermine a distância mais curta entre o ponto (1,, ) e o plano x + y + z = 4. 6

63 Solução: A distância entre um ponto qualquer (x, y, z) e o ponto (1,, ) é dada por d = (x 1) + y + (z + ) Se esse ponto (x, y, z) pertencer ao plano x + y + z = 4, então z = 4 x y e assim, teremos d = (x 1) + y + (6 x y). Podemos minimizar d, minimizando a função f(x, y) = (x 1) + y + (6 x y) = d. Os pontos críticos de f são dados pelas equações f x (x, y) = (x 1) (6 x y) = 4x+4y 14 =, f y (x, y) = y 4(6 x y) = 4x+1y 4 =. Resolvendo essas equações encontramos que o único ponto de f é ( 11, 5 ). Por outro lado, 6 3 temos f xx (x, y) = 4, f xy (x, y) = 4, f yy (x, y) = 1 e = 4. Como > e f xx ( 11, 5 ) = 4 >, segue do Teste da Segunda erivada que f possui um 6 3 mínimo relativo no ponto ( 11, 5 ). Neste caso, a distância mínima é obtida a partir de d 6 3 fazendo x = 11 e y = 5. Logo, a distância mais curta entre o ponto (1,, ) e o plano 6 3 x + y + z = 4 é d = (5 ( 5 ( 5 ) 5 (x 1) + y + (6 x y) = + + = 6) 3) Exemplo 51 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 1m de papelão. etermine o volume máximo dessa caixa. Solução: Sejam x, y e z o comprimento, a largura e a altura da caixa (em metros), respectivamente. O volume dessa caixa é V = xyz. A área dos quatro lados e do fundo da caixa é Resolvendo para z, obtemos xz + yz + xy = 1. z = 1 xy (x + y). Assim, podemos escrever o volume V como uma função de x e y da seguinte forma V (x, y) = xy(1 xy) (x + y) = 1xy x y. (x + y) A partir daí, temos V x = y (1 xy x ) (x + y) e V y = x (1 xy y ) (x + y). 63

64 Fazendo V x = e V y =, obtemos (, ) como um ponto crítico que não serve, pois daria V =. Outro ponto crítico é obtido resolvendo o sistema { 1 xy x = 1 xy y =. a primeira equação, segue que x = y, o que nos leva a x = y, pois x e y são positivos. Substituido na segunda equação, obtemos 1 3x = que nos dá x = ± ou x =. aí, segue que y =. Usando o Teste da Segunda erivada, vemos que o ponto (, ) é um ponto de máximo relativo para a função V (x, y). Logo, o volume máximo da caixa é V (, ) = 1()() () () ( + ) = = 4. efinition Seja um conjunto do R. izemos que (x, y ) é um ponto da fronteira de se existe uma bola aberta de centro (x, y ) contendo pontos de e pontos que não estão em. izemos que é fechado em R se contém todos os seus pontos da fronteira. izemos que é limitado em R se está contido em alguma bola aberta. Teorema (Teorema do Valor Extremo) Seja f uma função de duas variáveis contínua em um conjunto fechado e limitado de R. Então f possui um valor mínimo absoluto f(x 1, y 1 ) e um valor máximo absoluto f(x, y ) em alguns pontos (x 1, y 1 ) e (x, y ) de. Observação: Para determinar um máximo ou mínimo absoluto de uma função contínua num conjunto fechado e limitado, prosseguimos da seguine forma: 1 - etermina-se os valores extremos de f nos pontos do interior de ; - etermina-se os valores extremos de f nos pontos da fronteira de ; 3 - O maior desses valores é o máximo absoluto e o menor deles é o mínimo absoluto. Exemplo 5 etermine os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y) = x xy + y no retângulo = {(x, y); x 3, y }. Solução: Como f é um polinômio, é contínua no retângulo fechado e limitado. Logo existe máximo e mínimo absoluto de f em. Os pontos críticos de f são dados pelas equações f x (x, y) = x y = e f y (x, y) = x + =. Isso nos dá o único ponto crítico (1, 1) no qual temos f(1, 1) = 1. Vejamos agora os valores de f na fronteira de. A fronteira de é constituida por quatro segmentos de reta L 1, L, L 3 e L 4, mostrados na figura abaixo. Em L 1, temos y =, f(x, ) = x, x 3. 64

65 Isso corresponde a uma função crescente de x com valor mínimo f(, ) = e valor máximo f(3, ) = 9. Em L, temos x = 3, f(3, y) = 9 4y, y. Trata-se de uma função decrescente de y com valor máximo f(3, ) = 9 e valor mínimo f(3, ) = 1. Em L 3, temos y =, f(x, ) = x 4x + 4, x 3 que corresponde a uma parábola em x, voltada para cima, e cujo valor mínimo f(, ) = e valor máximo f(, ) = 4. Em L 4, temos x =, f(, y) = y, y que corresponde a uma função crescente de y com valor mínimo f(, ) = e valor máximo f(, ) = 4. Portanto, na fronteira de o valor mínimo de f é e o valor máximo de f é 9. Comparando com o valor de f no ponto crítico, isto é, f(1, 1) = 1, concluimos que f(, ) = f(, ) = é o mínimo absoluto de f em e que f(3, ) = 9 é o máximo absoluto de f em. 4.6 Multiplicadores de Lagrange O método de Multiplicadores de Lagrange é utilizado para maximizar ou minimizar uma função f(x, y, z) sujeita a uma restrição (condição) da forma g(x, y, z) = k. Método dos Multiplicadores de Lagrange: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f(x, y, z) sujeija a condição g(x, y, z) = k, supondo que esses valores extremos existam e que g sobre a superfície g(x, y, z) = k, prosseguimos da seguinte forma: i) etermina-se todos os valores de x, y, z e λ tais que f(x, y, z) = λ g(x, y, z) e g(x, y, z) = k. ii) Calcula-se f em todos os valores (x, y, z) encontrados no item i). O maior desses valores será o valor máximo de f e o menor deles será o mínimo. Se escrevemos a equação f = λ g em termo de suas componentes, obtemos um sistema de equações da forma f x = λg x, f y = λg y, f z = λg z e g(x, y, z) = k. O método de Lagrange é semelhante para funções de duas variáveis. Para achar os valores extremos de f(x, y) sujeija a condição g(x, y) = k, olhamos para todos os valores de x, y e λ tais que f(x, y) = λ g(x, y) e g(x, y) = k 65

66 que é equivalente a resolver o sistema de equações da forma f x = λg x, f y = λg y e g(x, y) = k. Exemplo 53 eterminar os extremos da função f(x, y) = x + y no círculo x + y = 1. Solução: evemos determinar os extremos da função f(x, y) = x + y sujeito à restrição g(x, y) = x + y = 1. Usando os multiplicadores de Lagrange, devemos resolver as equações f = λ g, g(x, y) = 1. Como f(x, y) = (x, 4y) e g(x, y) = (x, y), então devemos resolver o sistema ou seja, (x, 4y) = λ(x, y), x + y = 1 x = λx 4y = λy x + y = 1 (4.1) a primeira equação de (4.1) segue que x = ou λ = 1. Se x =, segue da terceira equação de (4.1) que y = ±1. Neste caso teríamos os pontos críticos (, 1) e (, 1). Se λ = 1, segue da segunda equação de (4.1) que y = e, portanto, na terceira equação de (4.1) teríamos x = ±1. Neste caso teríamos os pontos críticos (1, ) e ( 1, ). Logo, os pontos crítico de f são (, 1), (, 1), (1, ) e ( 1, ). Calculando f nos pontos críticos, temos f(, 1) = f(, 1) = e f(1, ) = f( 1, ) = 1. Logo, a função f(x, y) = x + y x + y = 1. possui valor máximo e valor mínimo 1, no círculo Exemplo 54 eterminar os extremos da função f(x, y) = x + y no disco x + y 1. Solução: Vimos no exemplo anterior que os valores extremos de f na fronteira do disco x + y 1 são dados por f(, ±1) = e f(±1, ) = 1. Para determinar os extremos de f no interior do disco, fazemos f x = x = e f y = y =, encontrando um único ponto crítico no interior do disco, que é (, ). Calculando f em todos os pontos críticos do interior e da fronteira do disco x + y 1, teremos f(, ±1) =, f(±1, ) = 1 e f(, ) =. Logo, a função f(x, y) = x +y possui valor máximo e valor mínimo, no disco x +y 1. Exemplo 55 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 1m de papelão. etermine o volume máximo dessa caixa. 66

67 Solução: Este problema foi resolvido no Exemplo 51. Veremos aqui sua resolução utilizando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. Sejam x, y e z o comprimento, a largura e a altura, respectivamente, da caixa (em metros). Queremos maximizar o volume sujeita à restrição Resolvendo para z, obtemos V (x, y, z) = xyz g(x, y, z) = xz + yz + xy = 1. z = 1 xy (x + y). Utilizando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, devemos olhar para todos os valores de x, y, z e λ tais que V = λ g e g(x, y, z) = 1. Isso gera as equações V x = λg x, V y = λg y, V z = λg z e xz + yz + xy = 1. Assim, devemos determinar a solução do seguinte sistema de equações yz = λ(z + y) xz = λ(z + x) xy = λ(x + y) xz + yz + xy = 1. (4.) Notemos que λ, pois se λ =, tem-se yz = xz = xy =, contradizendo (4.) 4. Multiplicando (4.) 1 por x, (4.) por y e (4.) 3 por z, teremos o sistema equivalente xyz = λ(xz + xy) xyz = λ(yz + xy) (4.3) xyz = λ(xz + yz) xz + yz + xy = 1. Como λ segue de (4.3) 1 e (4.3), que xz + xy = yz + xy xz = yz x = y. e modo análogo, segue de (4.3) 1 e (4.3) 3, que xz + xy = xz + yz xy = yz x = z. Substituindo x = y = z em (4.3) 4, obtemos (z)z + (z) + (z)(z) = 1 4z + 4z + 4z = 1 1z = 1 z = ±1. Como z = 1 não serve, pois x, y e z são todos positivos, teremos z = 1 e x = y =, como no Exemplo

68 Exemplo 56 eterminar os pontos da esfera x +y +z = 4 mais próximos e mais distantes do ponto (3, 1, 1). Solução: A distância de um ponto (x, y, z) ao ponto (3, 1, 1) é dado pela fórmula d = (x 3) + (y 1) + (z + 1). Como o ponto (x, y, z) deve pertencer à esfera, então podemos determinar os pontos da esfera x + y + z = 4 mais próximos e mais distantes do ponto (3, 1, 1) determinando os extremos da função f(x, y, z) = (x 3) + (y 1) + (z + 1) = d, sujeito à restrição g(x, y, z) = x + y + z = 4. Usando multiplicadores de Lagrange, fazemos f = λ g e g(x, y, z) = 4, obtemos o sistema de equações (x 3) = xλ (y 1) = yλ (4.4) (x + 1) = zλ x + y + z = 4. Escrevendo x, y e z em função de λ e substituindo na quarta equação de (4.4), obtemos 11 λ = 1 ±. Substituindo λ nas três primeiras equações de (4.4), obtemos os pontos críticos para f ( 6,, ) e ( 6,, ) O primeiro é ponto de mínimo para f, portanto, o mais próximo de (3, 1, 1). O segundo é ponto de máximo para f, portanto, o mais distante de (3, 1, 1). 68

69 Capítulo 5 Integrais uplas 5.1 Somas de Riemman Considere uma função f de duas variáveis, definida num retângulo fechado R = {(x, y) R ; a x b e c y d} = [a, b] [c, d] onde a < b e c < d são números reais dados. O gráfico de f é a superfície z = f(x, y). Supondo que f(x, y), seja S o sólido que está contido na região acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f, ou seja, S = {(x, y, z) R 3 ; z f(x, y), (x, y) R}. (Ver Figura 5.1). Nosso objetivo é determinar o volume do sólido S. Primeiro, consideremos as partições Figura 5.1: P 1 : a = x < x 1 <... < x m = b e P : c = y < y 1 <... < y n = d dos intervalos [a, b] e [c, d], respectivamente. A partição P 1 determina m subintervalos da forma [x i 1, x i ] de comprimentos iguais a x = b a m e a partição P determina n subintervalos da forma [y i 1, y i ] de comprimentos iguais a y = d c n. O conjunto P = {(x i, y i ); i =, 1,..., n j =, 1,..., m} 69

70 denomina-se partição do retângulo R e é obtido quando traçamos retas paralelas aos eixos x e y passando pelos extremos dos subintervalos. Uma partição P do retângulo R determina m.n subretângulos da forma R ij = {(x, y) R ; x i 1 < x < x i, y j 1 < y < y j } (Veja Figura 5.). Para cada par de índices (i, j), considere X ij = (x ij, y ij ) um ponto escolhido arbitrariamente no retângulo R ij. Figura 5.: Para cada ponto X ij em R ij, com f(x ij ) >, obtemos um paralelepípedo cuja base é o retângulo R ij e a altura é dada por f(x ij ) (Ver Figura 5.3). Neste caso, o volume de cada paralelepípedo é dado pelo número f(x ij ) x y. Como teremos m.n paralelepípedos, somaremos seus respectivos volumes e obteremos uma aproximação do volume do sólido S. Assim, teremos V n m f(x ij ) x y, i=1 j=1 O número n i=1 m j=1 f(x ij) x y é denominado Somas de Riemann relativa a partição P e aos pontos X ij. O volume do sólido S pode ser obtido quando fazemos m e n crescer indefinidamente (Ver Figura 5.4). Assim, teremos quando o limite existir. V = lim m,n n i=1 m f(x ij ) x y. (5.1) j=1 7

71 Figura 5.3: Figura 5.4: Exemplo 57 Estime o volume do sólido que se encontra acima do quadrado R = {(x, y) R ; x e y } = [, ] [, ] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 x y. ivida o quadrado em quatro subquadrados R ij iguais e escolha o ponto X ij como sendo o canto superior direito de cada R ij. Solução: ividindo os intervalos [, ], nos eixos x e y, em duas partes iguais e traçando retas paralelas aos eixos coordenados, obtemos quatro subquadrados R ij de áreas iguais a 1 (Ver Figura 5.5). O volume do sólido é obtido a partir da soma dos volumes dos paralelepípedos cujas bases são os subquadrados R ij (Ver Figura 5.6). Figura 5.5: Figura 5.6: Usando as somas duplas de Riemman com f(x, y) = 16 x y e m = n =, teremos 71

72 o volume aproximado dado por V f(x i, y i ) x y i=1 j=1 = f(1, 1)(1 )(1 ) + f(, 1)( 1)(1 ) + f(1, )(1 )( 1) + f(, )( 1)( 1) = = 34. que é o volume aproximado do sólido quando dividimos o quadrado maior em apenas quatro subquadrados. Observação: Para obtermos o volume aproximado do sólido, usamos apenas a soma dos volumes de quatro paralelepípedos. Se aumentarmos o número de subquadrados, também aumentamos o número de paralelepípedos e, consequentemente, obtemos uma aproximação maior do volume do sólido, somando os volumes destes paralelepípedos. Por exemplo, se dividirmos o quadrado R em 4 subquadrados, obteremos V 41, 5, dividindo R em 8 subquadrados, obteremos V 44, 875 e dividindo R em 16 subquadrados, obtemos V 46, 46875, e assim por diante (Ver Figura 5.7). Veremos que o volume exato do sólido é V = 48. Figura 5.7: 5. Integral upla Sobre Retângulos O limite que aparece em (5.1), também aparece em outras situações, até mesmo quando f não é positiva. A esse limite damos o nome de integral dupla de f. efinition 5..1 A integral dupla de f sobre o retângulo R é dada por n m f(x, y)da = f(x ij ) x y. (5.) R lim m,n 7 i=1 j=1

73 se o limite existir. Observação: 1) O limite em (5.) existe se dado ɛ > existir um inteiro N > tal que n m f(x, y)da f(x ij ) x y < ɛ R R i=1 para todos os inteiros m e n maiores que N e para qualquer ponto X ij em R ij. ) O limite em (5.) existe sempre que f for uma função contínua; 3) Se o ponto X ij em R ij é tomado como sendo o ponto que se encontra no canto superior direito de R ij (ou seja, o ponto (x i, y j )), então a integral dupla torna-se n m f(x, y)da = f(x i, y j ) x y. R lim m,n 4) Se o ponto X ij em R ij é tomado como sendo o centro de R ij (ou seja, X ij = ( x i, ȳ j ), onde x i é o ponto médio de [x i 1, x i ] e ȳ j é o ponto médio de [y j 1, y j ]), então a integral dupla torna-se n m f(x, y)da = f( x i, ȳ j ) x y. lim m,n 5) Se f(x, y), então o volume V do sólido que se encontra acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x, y) é dado por V = f(x, y)da. R Exemplo 58 Estime o valor da integral dupla R (x 3y )da onde R é o retângulo j=1 i=1 i=1 j=1 j=1 R = {(x, y); x e 1 y } = [, ] [1, ]. Solução: ividindo o retângulo R em quatro subretângulos R ij de mesma área, tomaremos os pontos X ij como sendo o centro de cada subretângulo R ij. Teremos que x 1 = 1, x = 3, ȳ 1 = 5 e ȳ 4 = 7. Para f(x, y) = x 4 3y, temos (x 3y )da f( x i, ȳ i ) x y R i=1 = f( x 1, ȳ 1 )(1 )( 3 1)+f( x 1, ȳ )(1 )( 3 )+f( x, ȳ 1 )( 1)( 3 1)+f( x, ȳ )( 1)( 3 ) j=1 = f( 1, 5 4 )(1 ) + f(1, 7 4 )(1 ) + f(3, 5 4 )(1 ) + f(3, 4 4 )(1 ) = ( )(1 ) + ( )(1 ) + ( )(1 ) + ( )(1 ) = 95 = 11,

74 5.3 Integrais Iteradas e o Teorema de Fubini Suponha que f seja uma função contínua de duas variáveis definida no retângulo R = [a, b] [c, d]. enotamos o número d c f(x, y)dy representando a integral da função f(x, y) de y = c até y = d, quando x é mantido constante. Este procedimento é chamado de integração parcial em relação a y. Como d f(x, y)dy é um c número que depende de x, ele define uma função de x dada por A(x) = d c f(x, y)dy. Integrando a função A em relação a x desde x = a até x = b, teremos b a A(x)dx = b a [ d c ] f(x, y)dy dx. (5.3) A integral do lado direito de (5.3) é chamada de integral iterada. Em geral, escrevemos b d a c f(x, y)dydx = b a [ d c ] f(x, y)dy dx significando que, primeiro integramos em relação a y de c até d e depois em relação a x de a até b. a mesma forma, escrevemos d b c a f(x, y)dxdy = d c [ b a ] f(x, y)dx dy significando que, primeiro integramos em relação a x de a até b e depois integramos a função resultante em relação a y de c até d. Exemplo 59 etermine o valor das integrais em cada caso abaixo: a) 3 1 (x y)dydx b) 3 1 (x y)dxdy. Solução: a) Integramos primeiro em relação a y e depois em relação a x. Temos 3 1 (x y)dydx = 3 [ ] (x y)dy dx = 1 3 ( x y y= y=1 ) dx = b) Integramos primeiro em relação a x e depois em relação a y. Temos 3 1 (x y)dxdy = 1 [ 3 ] (x y)dx dy = 1 ( yx 3 3 x=3 x= ) dy = 3 1 ( 3 x ) dx = 7. (9y)dy = 7. O seguinte teorema fornece um método prático para determinar uma integral dupla como uma integral iterada em qualquer ordem. 74

75 Teorema (Teorema de Fubini) Seja f uma função contínua definida num retângulo R = [a, b] [c, d]. Então R f(x, y)da = b d a c f(x, y)dydx = d b c a f(x, y)dxdy. Observação: O teorema ainda é válido se f for descontínua em um número finito de curvas, desde que f seja limitada em R e que exista as integrais iteradas. Exemplo 6 etermine o valor da integral dupla (x 3y )da onde R é o retângulo R = {(x, y); x e 1 y } = [, ] [1, ]. Solução: Pelo teorema de Fubini, temos (x 3y )da = (x 3y )dydx = R = [ (xy y 3 ) y= y=1 1 ] dx = R [ ] (x 3y )dy dx ( x ) (x 7)dx = 7x x= = 1. x= Se usarmos o teorema de Fubini, integrando primeiro em relação a y, também teremos o mesmo resultado. Exemplo 61 Calcule a integral dupla ysen(xy)da onde R é o retângulo R R = {(x, y); 1 x e y π} = [1, ] [, π]. Solução: Pelo teorema de Fubini, temos π ysen(xy)da = ysen(xy)dxdy = = π R [ cos(xy) x= x=1 ] dy = π 1 π 1 [ 1 ] ysen(xy)dx dy ( ( cos(y) + cos y)dy = 1 ) sen(y) + sen y x=π =. Se usarmos o teorema de Fubini, invertendo a ordem de integração, teremos o mesmo resultado. No entanto, será necessário o cálculo de integrais mais complicadas. Observação: Se pudermos separar a função f(x, y) num produto de duas funções g(x) e h(y), então podemos escrever a integral dupla como o produto de duas integrais de uma única variável, ou seja, onde R = [a, b] [c, d]. R ( b )( d g(x)h(y)da = g(x)dx a 75 c ) h(y)dy, x=

76 Exemplo 6 Calcule a integral dupla sen(x) cos(y)da, onde R = [, π] [, π]. Solução: Temos ( π sen(x) cos(y)da = R R )( π ) ( sen(x)dx cos(x)dy = cos(x) π )( sen(x) 5.4 Integrais uplas Sobre Regiões Mais Gerais π ) = (1)(1) = 1. Nosso objetivo agora é determinar a integral dupla de uma função de duas variáveis definida sobre uma região mais geral. Suponhamos que é uma região limitada, isto é, pode ser cercada por um retângulo. Se R é um retângulo que cerca a região e f é uma função definida em, definimos a função { f(x, y), se (x, y) está em F (x, y) =, se (x, y) não está em. Figura 5.8: Figura 5.9: Se existe a integral dupla de F sobre R, definimos a integral dupla de f sobre como sendo f(x, y)da = F (x, y)da. A região que trataremos aqui se comporta de dois tipos, os quais chamaremos de região do tipo I e região do tipo II que são definidas a seguir. R efinition Uma região plana é dita ser do tipo I se está contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x, isto é, = {(x, y); a x b, e f 1 (x) y f (x)}, onde f 1 e f são funções contínuas em [a, b] (Ver Figura 5.1). Uma região plana é dita ser do tipo II se está contida entre os gráficos de duas funções contínuas de y, isto é, = {(x, y); g 1 (y) x g (y), e c y d}, 76

77 Figura 5.1: Região do tipo I Figura 5.11: Região do tipo II onde g 1 e g são funções contínuas em [c, d] (Ver Figura 5.11). epois de algumas considerações, chegamos aos seguintes resultados. Teorema 5.4. Se f é uma função contínua definida em uma região do tipo I, então b f (x) f(x, y)da = f(x, y)dydx. a e modo análogo, se f é uma função contínua definida em uma região do tipo II, então d g (y) f(x, y)da = f(x, y)dxdy. Exemplo 63 y = 1 + x. c f 1 (x) g 1 (y) Calcule (x + y)da, onde é a região limitada pelas parábolas y = x e Solução: As parábolas se interceptam quando x = 1 + x, isto é, quando x = ±1 (Ver Figura 5.1). Figura 5.1: Notamos que é uma região do tipo I e que x 1 + x, para todo x [ 1, 1]. Assim, podemos escrever a região na forma = {(x, y); 1 x 1; x y 1 + x }. 77

78 Logo, teremos (x + y)da = 1 1+x 1 1 x (x + y)dydx = 1 ] y=1+x [xy + y dx y=x Exemplo 64 parábola y = x + 6. = 1 1 ( 3x 4 x 3 + x + x + 1)dx = Calcule xyda, onde é a região limitada pela reta y = x 1 e pela Solução: A região pode ser escrita como uma região do tipo I (Ver figura 5.13) ou como uma região do tipo II (Ver figura 5.14). Figura 5.13: como região do tipo I Figura 5.14: como região do tipo II Os cálculos são mais simples quando escolhemos como uma região do tipo II. Neste caso, teremos a reta x = y +1 e a parábola x = y 3 que se interceptam nos pontos y = e y = 4. Notando que y 3 y + 1, para todo y [, 4], podemos escrever a região na forma Logo, = {(x, y); y 4; xyda = = 1 4 y+1 4 ( y5 y 3 xy dxdy = y 3 x y + 1}. 4 [ 1 x y] x=y+1 x= y 3 dx 4 + 4y3 + y 8y)dy = 36. Exemplo 65 Calcule a integral iterada 1 1 x sen(y )dydx. 78

79 Solução: Podemos escrever a integral iterada como uma integral dupla da forma 1 1 sen(y )dydx = xyda, x onde é a região = {(x, y); x 1; x y 1}. que é uma região do tipo I (Ver figura 5.15). Também podemos escrever da seguinte forma = {(x, y); y 1; x y}. que é uma região do tipo II (Ver figura 5.16) Figura 5.15: como região do tipo I Figura 5.16: como região do tipo II Usando como uma região do tipo II, teremos y sen(y )dydx = sen(y )da = sen(y )dxdy = x = 1 1 ysen(y )dy = 1 cos(y ) 1 = 1 (1 cos 1). 5.5 Propriedades das Integrais uplas ( ) [xsen(y )] x=y x= dy Supondo que existam as integrais duplas f(x, y)da e g(x, y)da, temos as seguintes propriedades: P 1 ) Existe a integral dupla (f ± g)da e ainda [f(x, y) ± g(x, y)]da = f(x, y)da ± g(x, y)da. 79

80 P ) Se c é uma constante real, então existe a integral dupla cf(x, y)da e ainda cf(x, y)da = c f(x, y)da. P 3 ) Se f(x, y) g(x, y) para todo (x, y) em, então f(x, y)da g(x, y)da. P 4 ) Se = 1, onde 1 e não se sobrepõem, exceto possivelmente nas fronteiras, então f(x, y)da = f(x, y)da + f(x, y)da. 1 desde que as integrais f(x, y)da e f(x, y)da existam. 1 P 5 ) Se A() representa a área da região, então 1dA = A(). P 6 ) Se m f(x, y) M para todo (x, y) em, então ma() f(x, y)da = MA(). Exemplo 66 Estime o valor da integral e sen x cos y da, onde é o disco com centro na origem e raio. Solução: Sabemos que 1 senx 1 e 1 cos x 1. Portanto, 1 senx cos x 1. Logo, e 1 e senx cos x e 1. Fazendo m = e 1, M = e, f(x, y) = e senx cos y, segue que m f(x, y) M, para todo (x, y) em. Usando a propriedade P 6 ), segue que e 1 A() e senx cos y da = ea(). Como A() = π() = 4π, segue que 4π e e senx cos y da = 4eπ. 8

81 5.6 Integrais uplas em Coordenadas Polares Suponhamos que queiramos calcular a integral dupla f(x, y)da, onde R é o disco de raio 1 (Ver figura 5.17), ou onde R é a região do semiplano superior limitado pelos círculos x + y = 1 e x + y = 4 (Ver figura 5.18). R Figura 5.17: Figura 5.18: Em qualquer um dos casos a descrição de R é complicada em coordenadas retangulares. No entanto, em coordenadas polares, a descrição de R torna-se mais simples. As coordenadas polares (r, θ) de um ponto, estão relacionados com as coordenadas retangulares (x, y) pelas equações x + y = r, x = r cos θ y = rsenθ. (Veja figura 5.19). Neste caso, o retângulo polar (Veja figura 5.) é dado por R = {(r, θ); a r b; α θ β}. Figura 5.19: Coordenadas Retangulares Figura 5.: Coordenadas Polares As regiões que aparecem nas figura 5.17 e 5.18 podem ser escritas em coordenadas polares, respectivamente, da forma R = {(r, θ); r 1; θ π} e R = {(r, θ); 1 r ; θ π}. 81

82 Para calcular a integral dupla f(x, y)da, onde R é um retângulo polar, dividimos o R intervalo [a, b] em m subintervalos [r i 1, r i ] de larguras iguais a r = b a m e dividimos o intervalo [α, β] em n subintervalos [θ i 1, θ i ] de larguras iguais a θ = β α. A partir daí, n obtemos o seguinte resultado: Teorema Se f é uma função contínua num retângulo polar R = {(r, θ); a r b; α θ β, β α π}, onde a, β α π, então R f(x, y)da = β b α a rf(r cos θ, rsenθ)drdθ. Exemplo 67 Calcule a integral dupla (3x + 4y )da, onde R é a região do semiplano superior limitado pelos círculos x + y = 1 e x + y = 4. Solução: A região R pode ser dada por R R = {(x, y); y ; 1 x + y 4} (Ver figura 5.18). Neste caso, o retângulo polar é Usando coordenadas polares, temos = R π = 1 π R = {(r, θ); 1 r ; θ π} (3x + 4y )da = π [ ] π 3r cos θ + 4r 3 sen θ drdθ = 1 ] r [3r cos θ + 4(rsenθ) drdθ [ ] π [ 7 cos θ + 15sen θ dθ = 7 cos θ + 15 [ = 7senθ + 15θ 15 ] θ=π 4 sen(θ) θ= [ r 3 cos θ + r 4 sen θ ] r= r=1 ] (1 cos(θ)) dθ = 15 π. Podemos usar coordenadas polares para regiões mais gerais como podemos ver no teorema abaixo. dθ 8

83 Teorema 5.6. Se f é uma função contínua em uma região polar da forma = {(r, θ); α θ β, h 1 (θ) r h (θ)}, então f(x, y)da = β h (θ) α h 1 (θ) rf(r cos θ, rsenθ)drdθ. Observações: 1) A região polar dada no teorema anterior é semelhante a uma região em coordenadas retangulares do tipo II (Ver figura 5.1). ) Tomando f(x, y) = 1, h 1 (θ) =, h (θ) = h(θ), segue que a área da região limitada por θ = α, θ = β e r = h(θ) é dada por A() = 1dA = β h(θ) α rdrdθ = 1 β α [h(θ)] dθ. Figura 5.1: 5.7 Área de Regiões Planas e Volume de Sólidos Vimos na interpretação geométrica de integral dupla que, se f(x, y), a integral V = f(x, y)da, representa o volume de um sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x, y), inferiormente pela região e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de. Fazendo f(x, y) = 1, teremos a integral dupla A = da, 83

84 que representa a área de integração da região. A seguir veremos alguns exemplos onde se aplica os conceitos de integral dupla estudados até aqui para determinar áreas de regiões planas e volumes de sólidos. Exemplo 68 eterminar a área da região delimitada por x = y + 1 e x + y = 3. Solução: A região está dada na figura 5.. A região pode ser descrita como Logo, a área da região é dada por A = da = Figura 5.: = {(x, y); y + 1 x 3 y, y 1}. 1 3 y y +1 dxdy = 9. Exemplo 69 eterminar a área contida em um laço de rosácea de quatro pétalas r = cos(θ). Solução: Um laço de rosácea de quatro pétalas r = cos(θ) pode ser visto na figura 5.3. Ele é representado pela região Figura 5.3: = {(r, θ); π 4 θ π 4, r cos(θ)}. 84

85 Portanto, a área de um laço é dada por π 4 A() = da = π 4 cos(θ) rdrdθ = 1 π 4 π 4 [cos(θ)] dθ = 1 4 π 4 π 4 [1 + cos(4θ)]dθ = 1 4 [θ sen(4θ) ] π 4 π 4 = π 8. Exemplo 7 etermine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x + y + z = 16, pelos planos x = e y = e pelos três eixos coordenados. Solução: O sólido S é o sólido que está abaixo da superfície z = 16 x y e acima do quadrado R = [, ] [, ]. Vimos um valor aproximado para o volume de S. Mas agora, podemos usar o teorema de Fubini para determinar um valor exato deste volume, visto que, o volume deste sólido pode ser dado pela integral dupla da função f(x, y) = 16 x y sobre o retângulo R. Assim, teremos V = (16 x y )da = (16 x y )dxdy = R (16x 1 3 x3 xy ) x= x= = ( 88 3 y 4 3 y3 ) )dy = x= x= = 48. ( y )dy Exemplo 71 etermine o volume do sólido que está contido abaixo do parabolóide z = x + y e acima da região do plano xy limitada pela reta y = x e pela parábola y = x. Solução: A reta y = x e a parábola y = x se interceptam nos pontos x = e x =. Notamos que é uma região do tipo I (Ver figura 5.4) e que x x, para todo x [, ]. Assim podemos escrever a região na forma = {(x, y); x ; x y x}. Portanto, o volume abaixo de z = x + y e acima de é x V = (x + y )da = (x + y )dydx = x = ( 1 3 x6 x x3 )dx = [x y y3 ] y=x y=x dx A região do exemplo anterior também pode ser escrita como um região do tipo II (Ver figura 5.5). e fato, podemos escrever = {(x, y); y 4; 85 y x y}.

86 Figura 5.4: como região do tipo I Figura 5.5: como região do tipo II Neste caso, o volume é dado por V = (x + y )da = = 4 4 y y (x + y )dxdy = 4 ( 1 3 y y 4 y3 )dy = [ 1 x= y 3 x3 + y x] dx Exemplo 7 eterminar o volume do sólido limitado pelo plano z = e pelo parabolóide z = 1 x y. Solução: O plano z = e o parabolóide z = 1 x y se interceptam no círculo x +y = 1. O sólido, cujo volume se deseja determinar, se encontra abaixo do parabolóide e acima do disco circular dado por x + y 1 (Ver figura 5.6). x= y Figura 5.6: Podemos escrever em coordenadas retangulares como uma região do tipo I da forma = {(x, y); 1 x 1, 1 x y 1 x }. 86

87 Mas neste caso, teríamos cálculo de integrais bem mais complicadas, pois o volume seria dado por 1 1 x V = (1 x y )da = (1 x y )dydx. 1 1 x Em coordenadas polares, pode ser escrito da forma e o volume do sólido é dado por V = (1 x y )da = = π 1 = {(r, θ); r 1, θ π} π 1 [ ] π r 1 r cos θ r sen θ drdθ = )( 1 ) ( π = dθ (r r 3 )dr ] r [1 (r cos θ) (rsenθ) drdθ = ( π 1 (r r 3 )drdθ )( 1 1 = 4) π. Exemplo 73 eterminar o volume do sólido que está sob o parabolóide z = x + y, acima do plano xy e dentro do cilindro x + y = x. Solução: O sólido está acima do disco cuja fronteira é x + y = x ou (x 1) + y = 1 (Ver figura 5.7). Em coordenadas polares, escrevemos Figura 5.7: = {(r, θ); π θ π, r cos(θ)}. O volume é dado por A() = (x + y )da = π π cos(θ) r(r )drdθ = π π [ r 4 4 ] cos(θ) dθ 87

88 π = 4 cos 4 (θ)dθ = 8 π π π = (1 + cos(θ) + 1 ) cos(4θ) dθ = 5.8 Áreas de Superfícies π cos 4 (θ)dθ = 8 ( 1 + cos(θ) ) dθ ( 3 θ + sen(θ) sen(4θ) ) π = 3π. Veremos aqui como determinar a área de uma superfície cuja equação é dada por z = f(x, y) que representa o gráfico de uma função de duas variáveis. Usaremos o teorema abaixo. Teorema A área da superfície com equação z = f(x, y), onde (x, y) e f x e f y são contínuas, é dada por ( z ) ( z ) da. A(S) = 1 + [f x (x, y)] + [f y (x, y)] da ou A(S) = x y Exemplo 74 eterminar a área da parte do parabolóide z = x + y que está abaixo do plano z = 9. Solução: O plano intercepta o parabolóide no círculo x + y = 9, z = 9. A superfície está acima do disco com centro na origem e raio 3 (Ver figura 5.8). Em coordenadas polares, teremos Figura 5.8: = {(r, θ); θ π, r 3}. Portanto, a área da superfície é dada por ( z ) ( z ) da A(S) = = x y 1 + (x) + (y) da 88

89 = 1 + 4(x + y )da = π = 3 r ( π )( r drdθ = dθ [ 1 ] 3 π][ 1 (1 + 4r ) 3 = π 6 ( ). r ) 1 + 4r dr Exemplo 75 eterminar a área da parte da superfície z = x +y que está acima da região triangular T no plano xy com vértices (, ), (1, ) e (1, 1). Solução: A região T é mostrada na figura 5.9 e na figura 5.3, vemos a porção da superfície cuja área deseja-se determinar. A região T é dada por T = {(x, y); x 1, y x}. e a área da superfície desejada é 1 A(S) = 1 + (x) + () da = T = 1 x x 4x + 5dx = 1 1 (7 5 5). 4x + 5dydx Figura 5.9: Figura 5.3: 5.9 Momentos e Centro de Massa Consideremos uma lâmina colocada em uma região do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidades de área) no ponto (x, y) em é dada por ρ(x, y). Aqui, ρ é uma função contínua sobre denominada densidade superficial de massa associada a. Temos que ρ(x, y) m A, onde m e A são, respectivamente, a massa e a área de um pequeno retângulo contido em que contém (x, y). O limite é tomado quando as dimensões do retângulo se aproximam de. 89

90 Para determinar a massa total m da lâmina, dividimos o retângulo R que contém em subretângulos R ij todos de mesmo tamanho e consideramos ρ(x, y) sendo fora de. Usando argumentos análogos aos da definição de integral dupla, chegamos que a massa total da lâmina é dada por m = ρ(x, y)da. Suponha que uma lâmina ocupe uma região e que possua a função densidade dada por ρ(x, y). efinimos o momento de uma partícula em torno de um eixo como sendo o produto de sua massa pela distância (perpendicular) ao eixo. Usando integrais duplas obtemos que o momento da lâmina inteira em torno do eixo x é dada por M x = yρ(x, y)da e o momento em torno do eixo y é dado por M y = xρ(x, y)da. A partir daí, definimos o centro de massa da lâmina como sendo o ponto (x c, y c ) que satisfaz mx c = M y e my c = M x. Assim, temos a seguinte definição de centro de massa. efinition Se uma lâmina ocupa uma região e possui densidade ρ(x, y), então seu centro de massa é dado por (x c, y c ), onde x c = M y m = 1 xρ(x, y)da e y c = M x m m = 1 yρ(x, y)da m onde m é a massa total da lâmina dada por m = ρ(x, y)da. O centro de massa de uma lâmina é o ponto onde toda a massa da lâmina se concentra, deixando-a em equilíbrio. Exemplo 76 etermine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (, ), (1, ) e (, ) se a função densidade é ρ(x, y) = 1 + 3x + y. Solução: A região triangular está dada na figura Essa região triangular pode ser descrita por T = {(x, y); x 1, y x. 9

91 Figura 5.31: A massa da lâmina é m = ρ(x, y)da = 1 x (1 + 3x + y)dydx = 1 [y + 3xy + y ] y= x y= O centro de massa é o ponto (x c, y c ), onde e = x c = 1 m = y c = 1 m [ y xρ(x, y)da = 3 8 [xy + 3x y + xy + 3xy dx = x ] y= x y= yρ(x, y)da = y3 3 ] y= x y= Logo o centro de massa é o ponto ( 8 3, ). dx = 3 1 x dx = (1 x )dx = 8 3. (x + 3x + xy)dydx 1 (x x 3 )dx = 3 8. (y + 3xy + y )dydx (7 9x 3x + 5x 3 )dx = Exemplo 77 A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do ponto ao centro do circulo. etermine a massa e o centro de massa da lâmina. Solução: Consideremos a lâmina como a metade superior do círculo x +y = a (Ver figura 5.3). A distância do ponto (x, y) ao centro do círculo é x + y. Portanto, a função densidade é ρ(x, y) = k x + y, onde k é a constante de proporcionalidade. Em coordenadas polares, a metade superior do semicírculo pode ser descrito por = {(r, θ); θ π, r a}. 91

92 Figura 5.3: Fazendo x = r cos θ e y = rsenθ, segue que x + y = r. Assim, a massa da lâmina é m = ρ(x, y)da = k π a x + y da = r(kr)drdθ ( π )( a ) = k dθ r dr = k(π)( a3 3 ) = 1 3 kπa3. O centro de massa é o ponto (x c, y c ), onde e x c = 1 m = 1 π πa 3 y c = 1 m = 1 π πa 3 xρ(x, y)da = 3 kπa 3 a r 3 cos θdrdθ = 1 πa 3 ( π yρ(x, y)da = 3 kπa 3 a r 3 senθdrdθ = 1 πa 3 ( π kx x + y da = 3 πa 3 )( a cos θdθ π a ) r 3 dr = 1 ( πa 3 ky x + y da = 3 π πa 3 )( a senθdθ a ) r 3 dr = 1 ( πa 3 r[(r cos θ)r]drdθ )( a 4 ) = 4 r[(rsenθ)r]drdθ )( a 4 ) 4 = 3a π. Logo o centro de massa é o ponto (, 3a ). π O momento de inércia, também chamado segundo momento, de uma partícula de massa m em torno de um eixo é definido como mr, onde r é a distância da partícula ao eixo. Para uma lâmina com função densidade ρ(x, y), ocupando uma região, definimos o momento de inércia da lâmina em torno do eixo x como I x = y ρ(x, y)da. Analogamente, o momento de inércia da lâmina em torno do eixo y é I y = x ρ(x, y)da. 9

93 Também definimos o momento de inércia em torno da origem, também chamado momento polar de inércia, como I = (x + y )ρ(x, y)da. Notemos que I = I x + I y. Exemplo 78 etermine os momentos de inércia I x, I y e I do disco homogêneo com densidade ρ(x, y) = ρ, centro na origem e raio a. Solução: A fronteira de é o círculo x + y = a. Em coordenadas polares, escrevemos = {(r, θ); θ π, r a}. Fazendo x = r cos θ e y = rsenθ, segue que x + y = r. Assim, teremos I = (x + y )ρ(x, y)da = π a r[r ρ]drdθ ( π )( a ) ( )( a = ρ dθ r 3 4 ) dr = ρ π 4 dr = 1 ρπa4. Temos que I x = I y, devido a simetria do problema. Logo I x + I y = I = 1 ρπa4 I x = 1 ρπa4 I x = I y = 1 4 ρπa4. Observação: A massa do disco no exemplo anterior é m=densidade área= ρπa. O momento de inércia do disco em torno da origem (como uma roda em torno de seu eixo) pode ser escrito como I = 1 ma. Se aumentarmos a massa ou o raio do disco, aumentaremos também o momento de inércia. Em geral, o momento de inércia tem um papel em movimento de rotação semelhante ao que a massa tem em um movimento linear. O momento de inércia de uma roda é o que torna difícil começar ou parar a rotação da roda, assim como a massa do carro dificulta seu movimento inicial e a freada. 93

94 Capítulo 6 Integrais Triplas 6.1 Somas Triplas de Riemann e a efinição de Integral Tripla Consideremos uma função f de três variáveis x, y e z definida em uma caixa retangular R = {(x, y, z), a x b, c y d, p z q}. ividimos R em subcaixas, dividindo o intervalo [a, b] em m subintervalos [x i 1, x i ] de comprimentos iguais a x, dividindo [c, d] em n subintervalos [y i 1, y i ] de comprimentos iguais a y e dividindo [p, q] em t subintervalos [z i 1, z i ] de comprimentos iguais a z. Traçando planos paralelos aos planos coordenados através dos pontos extremos desses subintervalos, subdividiremos a caixa em mnt subcaixas da forma R ijk = [x i 1, x i ] [y i 1, y i ] [z i 1, z i ]. Cada subcaixa tem volume V = x y z. Somando todas as subcaixas, obtemos a soma tripla de Riemann m n t f(x ijk, y ijk, z ijk ) V, i=1 j=1 k=1 onde X ijk = (x ijk, y ijk, z ijk ) é um ponto em R ijk. efinition A integral tripla de uma função f(x, y, z) definida sobre uma caixa retangular R = {(x, y, z), a x b, c y d, p z q} é dada por R f(x, y, z)dv = lim m,n,t m i=1 n j=1 k=1 t f(x ijk, y ijk, z ijk ) V. 94

95 Uma maneira mais fácil de determinar uma integral tripla é expressá-la como uma integral iterada usando o teorema de Fubini para integrais triplas. Teorema 6.1. (Teorema de Fubini para Integrais Triplas) Se f é uma função contínua em uma caixa retangular R = [a, b] [c, d] [p, q], então R f(x, y, z)dv = q d b p c a f(x, y, z)dxdydz. Exemplo 79 Calcular a integral tripla xyz dv, onde R é a caixa R R = {(x, y, z), x 1, 1 y, z 3}. Solução: Integramos primeiro em relação a x, depois em relação a y e, por último, em relação a z. Teremos [ 1 x=1 xyz dv = xyz dxdydz = (x yz )] dydz = R (yz )dydz = 1 3 [ 1 4 (y z )] y= y= 1 dz = 3 1 x= 3 [ 1 ] z=3 4 z dz = 4 z3 = 7 z= 4. A seguir definiremos integral tripla de uma função f definida sobre regiões sólidos T mais gerais. O que fazemos é envolver o sólido T por uma caixa retangular R e definir uma função F de modo que F coincida com f em T e seja nula fora de T. Assim, teremos f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dv. T R Essa integral existe se f for contínua em todo T e suave na fronteira de T. Uma região sólida T é dita ser do tipo I se está contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e de y, isto é, uma região da forma T = {(x, y, z), (x, y), u 1 (x, y) z u (x, y)}, onde é a projeção da região T sobre o plano xy. Se T é uma região sólida do tipo I, então f(x, y, z)dv = T [ u (x,y) u 1 (x,y) ] f(x, y, z)dz da. Em particular, se a projeção de T sobre o plano xy é uma região plana do tipo I, então T é uma região sólida do tipo I da forma T = {(x, y, z), a x b, g 1 (x) y g (x) u 1 (x, y) z u (x, y)} 95

96 e a integral tripla torna-se f(x, y, z)dv = T b g (x) u (x,y) a g 1 (x) u 1 (x,y) f(x, y, z)dzdydx. Por outro lado, se a projeção de T sobre o plano xy é uma região plana do tipo II, então T é uma região sólida do tipo I da forma T = {(x, y, z), c x d, h 1 (y) x h (y) u 1 (x, y) z u (x, y)} e a integral tripla torna-se f(x, y, z)dv = T d h (y) u (x,y) c h 1 (y) u 1 (x,y) f(x, y, z)dzdxdy. Figura 6.1: Regiões Sólidas do Tipo I Exemplo 8 Calcular zdv, onde T é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos x =, y =, z = e x + y + z = 1. T Solução: O tetraedro sólido T está dado na figura 6. e a região plana que é a projeção de T sobre o plano xy está dado na figura 6.3. A fronteira inferior do tetraedro é o plano z = e a fronteira superior é o plano x + y + z = 1 (ou z = 1 x y). Notemos que os planos z = e z = 1 x y se interceptam na reta y = 1 x. Portanto, a projeção de T sobre o plano xy é a região triangular da figura 6.3. Assim, a região sólida T é dada por Logo, = 1 T 1 1 x T = {(x, y, z), x 1, y 1 x z 1 x y}. zdv = 1 1 x 1 x y (1 x y) dydx = 1 1 [ zdzdydx = 1 1 x (1 x y) ] y=1 x y= [ z ] z=1 x y z= dx = dydx (1 x) 3 dx = 1 4.

97 Figura 6.: Figura 6.3: Uma região sólida T é dita ser do tipo II se está contida entre os gráficos de duas funções contínuas de y e de z, isto é, uma região da forma T = {(x, y, z), (y, z), u 1 (y, z) x u (y, z)}, onde é a projeção da região T sobre o plano yz (Ver figura 6.4). A superfície de trás é x = u 1 (y, z) e a superfície da frente é x = u (y, z). Se T é uma região sólida do tipo II, então [ u (y,z) ] f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dx da. T u 1 (y,z) Uma região sólida T é dita ser do tipo III se está contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e de z, isto é, uma região da forma T = {(x, y, z), (x, z), u 1 (x, z) y u (x, z)}, onde é a projeção da região T sobre o plano xz (Ver figura 6.5). A superfície da esquerda é y = u 1 (x, z) e a superfície da direita é y = u (x, z). Se T é uma região sólida do tipo III, então [ u (x,z) ] f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dy da. T u 1 (x,z) Figura 6.4: Região Sólida do Tipo II Figura 6.5: Região Sólida do Tipo III 97

98 Para cada uma das regiões sólidas dos tipos II e III, a região plana pode ser do tipo I ou do tipo II. Exemplo 81 Calcular x + z dv, onde T é a região sólida limitada pelo parabolóide y = x + z e pelo plano y = 4. T Solução: A região sólida T (Ver figura 6.6) pode ser considerada como uma região do tipo III, onde sua projeção sobre o plano xz é o disco x +z 4 (Ver figura 6.7). A superfície lateral esquerda de T é o parabolóide y = x + z e a superfície lateral direita é o plano y = 4. Figura 6.6: Figura 6.7: Logo, a região sólida T pode ser escrita da forma T = {(x, y, z), x, 4 x z 4 x, x + z y 4}. Logo, T x + z dv = [ 4 ] x + z dy da = x +z (4 x z ) x + z )da. Portanto, T x + z dv = 4 x 4 x (4 x z ) x + z )da. (6.1) É mais fácil calcular a integral dupla que aparece no lado direito de (6.1) usando coordenadas polares no plano xz. Fazendo x = r cos(θ) e z = r sen(θ), teremos x + z = r, r [, ] e θ [, π]. Portanto, T x + z dv = 4 x 4 x (4 x z ) x + z dzdx = [ π ][ ] = dθ (4r r 4 )dr = 98 π [ ][ 4r 3 ] π 3 r5 = 18π r(4 r )r drdθ

99 6. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Veremos a seguir que algumas integrais triplas são mais fáceis de calcular usando integrais triplas em coordenadas cilíndricas As coordenadas cilíndricas de um ponto P é da forma (r, θ, z), onde (r, θ) são dadas em coordenadas polares e z é a distância do ponto P ao plano xy (Ver figura 6.8). Se T é uma região sólida do tipo I (Ver figura 6.9) cuja projeção sobre o plano xy, pode ser dado em coordenadas polares, isto é, = {(r, θ); α θ β, h 1 (θ) r h (θ)}, então a região T pode ser escrita na forma cilíndra T = {(r, θ, z); α θ β, h 1 (θ) r h (θ), u 1 (r cos θ, rsen θ) z u (r cos θ, rsen θ)}. Logo, T f(x, y, z)dv = β h (θ) u (r cos θ,rsenθ) α h 1 (θ) u 1 (r cos θ,rsen θ) rf(r cos θ, rsenθ, z)dzdrdθ, que é a fórmula para integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Figura 6.8: Figura 6.9: T Exemplo 8 Calcular x + y dv, onde T é a região sólida que está contida no cilindro x + y = 1, abaixo do plano z = 4 e acima do parabolóide z = 1 x y. Solução: A região sólida T está dada na Figura 6.1. Em coordenadas cilíndricas, o cilindro é r = 1 e o parabolóide é z = 1 r. Assim, escrevemos T = {(r, θ, z); θ π, r 1, 1 r z 4}. 99

100 Logo, T x + y dv = π r r(r)dzdrdθ = [ π ][ 1 ] = dθ (3r + r 4 )dr = [ π π 1 ][r 3 + r5 5 ] 1 r (4 1 + r )drdθ = 1π 5. Figura 6.1: Exemplo 83 Calcular a integral tripla 4 x 4 x x +y (x + y )dzdydx. Solução: Temos uma integral iterada sobre a região sólida T = {(x, y, z); x, 4 x y 4 x, x + y z } cuja projeção sobre o plano xy é o disco x + y 4 (Ver figura 6.11). A superfície inferior de T é o cone z = x + y e a superfície superior é o plano z =. Podemos escrever T em coordenadas cilíndricas dada por A integral tripla é dada por 4 x 4 x T = {(r, θ, z); θ π, r, r z }. x +y (x + y )dzdydx = π [ π ][ ] = dθ (r 3 r 4 )dr = r r(r )dzdrdθ = π [ ][ r 4 ] π r5 = 16π 5 5. r 3 ( r)drdθ 1

101 Figura 6.11: 6.3 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas ado um ponto P (x, y, z) em coordenadas retangulares, temos as coordenadas esféricas de P da forma (ρ, θ, φ) (Ver figura 6.1), que satisfazem x = ρsenφ cos θ, y = ρsenφ senθ e z = ρ cos φ. Notemos que x + y + z = ρ. Neste sistema de coordenadas esféricas, a caixa retangular se transforma numa cunha esférica dada por onde a, β α π e δ γ π. T = {(ρ, θ, φ); a ρ b, α θ β, γ φ δ}, Figura 6.1: A fórmula para integrais triplas em coordenadas esféricas é a seguinte: f(x, y, z)dv = δ β b γ α a T ρ senφf(ρsenφ cos θ, ρsenφ senθ, ρ cos φ)dρdθdφ. 11

102 Em geral, usamos coordenadas esféricas para calcular integrais triplas, quando a fronteira da região de integração são superfícies como cones e esferas. Exemplo 84 Calcular e (x +y +z ) 3/ dv, onde T é a bola unitária T T = {(x, y, z); x + y + z 1}. Solução: Podemos escrever T em coordenadas esféricas da forma T = {(ρ, θ, φ); ρ 1, θ π, φ π}. Usando que x + y + z = ρ na fórmula para integrais triplas em coordenadas esféricas, segue que π π 1 e (x +y +z ) 3/ dv = ρ sen φ e (ρ ) 3/ dρdθdφ T [ π ][ π ][ 1 = sen φdφ dθ ] [ ρ e ρ3 dρ = cos φ 6.4 Aplicações da Integral Tripla ] π [ ][ 1 π 3 eρ3] 1 = 4π 3 (e 1). T A integral tripla f(x, y, z)dv pode ser interpretada em diferentes situações físicas, dependendo das interpretações físicas de x, y, z e f(x, y, z). Em particular, se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) T, então o volume de T pode ser dado pela integral tripla V = dv. T Exemplo 85 Calcular o volume do tetraedro T limitado pelos planos x + y + z =, x = y, x = e z =. Solução: O tetraedro T e sua projeção são dados nas figuras 6.13 e 6.14, respectivamente. A fronteira inferior de T é o plano z = e a fronteira superior é o plano x + y + z = (ou z = x y). Assim, teremos V = T dv = 1 1 x x x y dzdydx = 1 1 x x ( x y)dydx =

103 Figura 6.13: Figura 6.14: Exemplo 86 Calcular o volume do sólido que está acima do cone z = x + y e abaixo da esfera x + y + z = z. Solução: O sólido em questão pode ser visto na figura Notemos que a esfera passa pela origem e tem centro no ponto (,, 1 ). Escrevendo x + y + z = z em coordenadas esféricas, temos ρ = ρ cos φ ρ = cos φ. Escrevendo a equação do cone z = x + y em coordenadas esféricas, temos ρ cos φ = (ρ sen φ cos θ) + (ρ sen φ sen θ) = ρ sen φ ρ cos φ = ρ sen φ φ = π 4. Assim, podemos descrever o sólido como a cunha esférica T = {(ρ, θ, φ); ρ cos φ, θ π, φ π 4 }. Figura 6.15: Usando a fórmula para integrais triplas em coordenadas esféricas, segue que π π 4 cos φ V = dv = ρ sen φ dρdφdθ T 13

104 [ π ][ π 4 = dθ ( ρ 3 sen φ 3 ) ρ=cos φ ρ= ] dφ = π 3 π 4 sen φ cos 3 φ dφ = π 8. Se a função densidade de um objeto sólido que ocupa uma região T é dada por ρ(x, y, z), em unidades de massa por unidades de volume, em qualquer ponto (x, y, z), então sua massa é dada por m = ρ(x, y, z)dv. Os momentos em relação aos três planos coordenados, são M xy = zρ(x, y, z)dv, M xz = yρ(x, y, z)dv e M yz = T xρ(x, y, z)dv. T T T O centro de massa é o ponto (x c, y c, z c ), onde x c = M yz m, y c = M xz m e z c = M xy m. Os momentos de inércia em relação aos três eixos coordenados são I x = (y + z )ρ(x, y, z)dv, I y = (x + z )ρ(x, y, z)dv T e I z = (x + y )ρ(x, y, z)dv. T T Exemplo 87 eterminar o centro de massa de um sólido, de densidade constante, que é limitado pelo cilindro parabólico x = y e pelos planos x = z, z = e x = 1. Solução: O sólido T e sua projeção estão dados nas figuras 6.16 e 6.17, respectivamente. Figura 6.16: Figura 6.17: A superfície inferior de T é o plano z = e a superfície superior é o plano z = x. Assim, T pode ser descrita como uma região do tipo I da forma T = {(x, y, z); 1 y 1, y x 1, z x}. 14

105 A densidade é a função constante ρ(x, y, z) = k e a massa do sólido é m = T ρ(x, y, z)dv = 1 1 x 1 y 1 1 k dzdxdy = k xdxdy = k 1 y 1 1 (1 y 4 )dy = 4k 5. evido a simetra de T e ρ em relação ao plano xz, segue que M xz =. Além disso, M xy = T M yz = T zρ(x, y, z)dv = xρ(x, y, z)dv = ) Logo, o centro de massa é (x c, y c, z c = 1 1 x 1 y 1 1 x 1 y zk dzdxdy = k 7 xk dzdxdy = 4k 7. ( Myz m, M xz m, M ) ( xy 5 = m 7 14),, 5. e 15

106 Capítulo 7 Cálculo Vetorial 7.1 Campos Vetoriais efinition Seja uma região plana do R. Um campo vetorial sobre R é uma função F que associa a cada ponto (x, y) em, um vetor bidimensional F(x, y). e modo análogo, se E é um conjunto do R 3, então um campo vetorial sobre R 3 é uma função F que associa a cada ponto (x, y, z) em E, um vetor tridimensional F(x, y, z). Se F é um campo vetorial sobre R, podemos escrevê-lo em termo de suas funções componentes P e Q da forma F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j. Notemos que P e Q são funções escalares de duas variáveis, muitas vezes chamadas de campo escalares. Se F é um campo vetorial sobre R 3, escrevemos F(x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k. A partir daí defini-se continuidade de campos vetoriais e mostra-se que um campo vetorial F é contínuo se, e somente se, suas funções componentes são contínuas. Figura 7.1: Campo Vetorial sobre R Figura 7.: Campo Vetorial sobre R 3 16

107 Exemplo 88 Um campo vetorial em R é definido por F(x, y) = y i + x j. escreva alguns vetores de F. Solução: Como F(1, ) = j = (, 1), desenhamos o vetor j = (, 1) começando no ponto (1, ). Como F(, 1) = i = ( 1, ), desenhamos o vetor i = ( 1, ) começando no ponto (, 1). Na Figura 7.3, desenhamos alguns vetores do campo vetorial F, tais como, F(1, ) = (, 1), F(, 1) = ( 1, ), F(, 3) = ( 3, ), F(, ) = (, ), etc. Note que cada vetor é tangente a um círculo de centro na origem. Figura 7.3: Campo Vetorial F(x, y) = y i + x j Exemplo 89 esenhe o campo vetorial em R 3 dado por F(x, y, z) = z k. Solução: O desenho está mostrado na Figura 7.4. Note que todos os vetores são verticais e apontam para cima quando estão acima do plano xy e apontam para baixo quando estão abaixo do plano xy. Figura 7.4: Campo Vetorial F(x, y, z) = z k 17

108 Campos Gradientes Se f é uma função escalar de duas variáveis, definimos o gradiente de f como sendo f(x, y) = f x (x, y) i + f y (x, y) j. O gradiente de f é um campo vetorial em R denominado campo do vetor gradiente. e modo análogo, se f é uma função de três variáveis, o gradiente de f é um campo vetorial em R 3 dado por f(x, y, z) = f x (x, y, z) i + f y (x, y, z) j + f z (x, y, z) k. Exemplo 9 etermine o vetor gradiente de f(x, y) = x y y 3 vetores gradientes juntamente com o mapa de contorno de f. e desenhe o campo de Solução: O campo de vetor gradiente é f(x, y) = (xy) i + (x 3y ) j. A Figura 7.5 mostra o mapa de contorno de f com o campo de vetor gradiente. Note que os vetores gradientes são perpendiculares às curvas de nível de f. Figura 7.5: Mapa de contorno e vetores gradientes de f(x, y) = x y y 3 Um campo vetorial F é dito um campo vetorial conservativo se ele é o gradiente de alguma função escalar, ou seja, se existe uma função f tal que F = f. Neste caso, f é chamada função potencial de F. Por exemplo, o campo gravitacional mmg x F(x, y, z) = (x + y + z ) 3/ i mmg y (x + y + z ) 3/ j é um campo vetorial conservativo, pois se definirmos a função f(x, y, z) = mmg x + y + z mmg z (x + y + z ) 3/ k teremos F(x, y, z) = f(x, y, z). 18

109 Exemplo 91 Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = y z 3 i + xyz 3 j + 3xy z k é conservativo e determine uma função f tal que F = f. Solução: evemos mostrar que existe uma função escalar f(x, y, z) tal que F = f. Para determinar f devemos resolver o sistema abaixo Integrando (7.1) 1, em relação a x, obtemos f x (x, y, z) = y z 3 f y (x, y, z) = xyz 3 f z (x, y, z) = 3xy z. f(x, y, z) = xy z 3 + g(y, z). iferenciando em relação a y e comparando com (7.1), obtemos xyz 3 + g y (y, z) = xyz 3 g y (y, z) = g(y, z) = h(z). (7.1) Logo, f(x, y, z) = xy z 3 + h(z). iferenciando em relação a z e comparando com (7.1) 3, obtemos 3xy z + h (z) = 3xy z h (z) = h(z) = K. Portanto, f é dada por f(x, y, z) = xy z 3 + K, onde K é uma constante arbitrária. Logo existe uma função escalar f(x, y, z) = xy z 3 + K tal que F = f. Portanto, F é um campo vetorial conservativo. 7. Integrais de Linha Considere uma curva plana C dada pelas equações paramétricas ou dada pela equação vetorial x = x(t), y = y(t), a t b. r(t) = x(t) i + y(t) j. Suponha que C seja uma curva lisa, isto é, que r é contínua e que r(t). Se dividirmos o intervalo [a, b] em n subintervalos [t i 1, t i ] de igual comprimento e fazendo x i = x(t i ), y i = y(t i ) teremos os pontos P i (x i, y i ) dividindo a curva C em n subarcos de comprimentos s 1, s,..., s n. A partir daí, teremos a definição abaixo. efinition 7..1 Se f é definida sobre uma curva lisa C dada pelas equações x = x(t), y = y(t), a t b, 19

110 definimos a integral de linha de f sobre C por n f(x, y)ds f(x i, y j ) s i n se o limite existir. C Em geral, se f é contínua então o limite acima sempre existe e podemos escrever a integral de linha de f sobre C na forma C f(x, y)ds = b a i=1 ( f x(t), y(t) ) ( dx dt ) ( dy ) dt. + dt O valor da integral de linha não depende da parametrização da curva, desde que cada ponto da curva seja atingido uma única vez quando t cresce de a para b. Exemplo 9 Calcule ( + x y)ds, onde C é a metade superior do círculo x + y = 1. C Solução: Primeiro, devemos determinar equações paramétricas que representem a curva C. O círculo unitário pode ser parametrizado pelas equações x = cos t, y = sen t e a metade superior do círculo é descrito pelo intervalo t π. Logo, teremos π ( + x y)ds = ( + cos t sen t) π sen t + cos t dt = ( + cos t sen t)dt = π + 3. C Figura 7.6: Suponha agora que C seja uma curva lisa por trechos, ou seja, C é a união de um número finito de curvas lisas C 1, C,..., C n, onde o ponto inicial de C i+1 é o ponto final de C i. Então a integral de linha de f sobre C é f(x, y)ds = f(x, y)ds + f(x, y)ds f(x, y)ds. C C 1 C 11 C n

111 Figura 7.7: Exemplo 93 Calcule xds, onde C é formada pelo arco C 1 da parábola y = x entre os C pontos (, ) e (1, 1) e pelo segmento de reta vertical C de (1, 1) até (1, ). Solução: As curvas C 1 e C estão mostradas na Figura 7.7. A curva C 1 é o gráfico de uma função de x. Assim, podemos escolher x como parâmetro e escrever as equações de C 1 na forma x(x) = x, y(x) = x x 1. Logo, C 1 xds = 1 x(x) (dx dx ) + ( dy dx ) dx = 1 x 1 + 4x dx = Por outro lado, para a curva C podemos escolher y como parâmetro e escrever as equações de C da forma x(y) = 1, y(y) = y 1 y. Logo, C xds = 1 x(y) (dx dy ) ( dy ) dy + = dy 1 (1) + 1 dy = 1 dy =. Portanto, xds = xds + xds = C C 1 C = efinimos acima integrais de linha com relação ao comprimento de arco ds. Agora, C definiremos a integral de linha de f ao longo de uma curva C com relação a x e y. Essas integrais são calculadas escrevendo-se tudo em função de t, isto é, x = x(t), y = y(t), dx = x (t)dt, dy = y (t)dt, a t b. 111

112 Assim, definimos f(x, y)dx = b a C f(x(t), y(t))x (t)dt, C f(x, y)dy = b a f(x(t), y(t))y (t)dt. As vezes essas integrais aparecem juntas. Quando isso acontece, costumamos abreviar da seguinte forma P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. C C C Em alguns casos é necessário parametrizar um segmento de reta que inicia em X e termina em X 1. Para isto, usamos a seguinte representação vetorial X(t) = (1 t)x + tx 1, t 1. (7.) Exemplo 94 Calcule y dx + xdy, onde C a) C = C 1 é o segmento de reta de ( 5, 3) até (, ). b) C = C é o arco de parábola x = 4 y de ( 5, 3) até (, ). Solução: As curvas C 1 e C estão mostradas na Figura 7.8. Figura 7.8: a) Fazendo X = ( 5, 3), X 1 = (, ) e X(t) = (x(t), y(t)) na Eq. (7.), obtemos a representação paramétrica de C 1 dada por Logo, dx = 5dt, dy = 5dt e C 1 y dx + xdy = 1 x = 5t 5, y = 5t 3, t 1. (5t 3) (5dt) + (5t 5)(5dt) = (5t 5t + 4)dt = 5 6.

113 b) Como a parábola é dada em função de y, podemos usar y como parâmetro para a curva C. Neste caso teremos x = 4 y, y = y, 3 y. Logo, dx = ydy, dy = dy e C 3 y dx + xdy = (y) ( ydy) + (4 y )(dy) = Em geral, uma parametrização 3 x = x(t), y = y(t), a t b ( y 3 y + 4)dy = determina uma orientação de uma curva C. A orientação positiva corresponde aos valores crescentes do parâmetro t. Se C denota a curva constituída pelos mesmos pontos que C, mas com orientação contrária, então f(x, y)dx = f(x, y)dx e f(x, y)dy = f(x, y)dy. C C C C No entanto, se integrarmos em relação ao comprimento de arco, o valor da integral de linha não mudará quando revertemos a orientação da curva C, isto é, f(x, y)ds = f(x, y)ds. C C Integrais de Linha no Espaço Suponhamos agora que C seja uma curva espacial lisa dada pelas equações paramétricas ou pela equação vetorial x = x(t), y = y(t), z = z(t), a t b, r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. Se f é uma função de três variáveis, contínua em alguma região contendo C, então a integral de linha de f ao longo de C é dada por C f(x, y, z)ds = b a ( f x(t), y(t), z(t) ) ( dx dt ) + ( dy dt ) ( dz ) dt. + dt Também definimos integrais de linha, ao longo de C, em relação a x, y e z da forma b b f(x, y, z)dx = f(x(t), y(t), z(t))x (t)dt, f(x, y, z)dy = f(x(t), y(t), z(t))y (t)dt, C a 113 C a

114 f(x, y, z)dz = b a C f(x(t), y(t), z(t))z (t)dt. Quando essas integrais aparecem juntas, escrevemos P (x, y, z)dx+ Q(x, y, z)dy+ R(x, y, z)dz = P (x, y, z)dx+q(x, y, z)dy+r(x, y, z)dz C C C C escrevendo (x, y, z, dx, dy, dz) em função de um parâmetro t. Exemplo 95 Calcule C ysenz ds, onde C é a hélice circular dada pelas equações x(t) = cos t, y(t) = sent, z = t, t π. Solução: A curva C está dada na Figura 7.9. Usando a fórmula, temos π ysenz ds = sen t π sen t + cos t + 1dt = [1 cos(t)]dt = π. C Figura 7.9: Exemplo 96 Calcule ydx + zdy + xdz, onde C é formada pelo segmento de reta C 1 que C une os pontos (,, ) a (3, 4, 5) e pelo segmento de reta vertical C de (3, 4, 5) até (3, 4, ). Solução: A curva C está dada na Figura 7.1. Escrevemos C 1 na forma paramétrica x = + t, y = 4t, z = 5t, t

115 Figura 7.1: Logo, C 1 ydx + zdy + xdz = 1 (4t)dt + (5t)4dt + ( + t)5dt = e modo análogo, escrevemos C na forma paramétrica Logo, C ydx + zdy + xdz = 1 x = 3, y = 4, z = 5 5t, t 1. 1 (4)() + (5 5t)() + (3)( 5)dt = (1 + 9t)dt = ( 5)dt = 15. Portanto, C ydx + zdy + xdz = = Teorema de Green O Teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e um integral dupla sobre a região plana cercada por C. Para enunciar o Teorema de Green, usaremos a convensão de que uma curva fechada simples C é orientada positivamente se C é percorrida no sentido anti-horário apenas uma vez. Teorema (Teorema de Green) Seja C é uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos, orientada positivamente e seja a região delimitada por C. Se P e Q tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha, então C P dx + Qdy = ( Q dx P ) da. dy 115

116 As vezes usamos a notação P dx + Qdy C para indicar que a integral de linha é calculada usando-se a orientação positiva para a curva C. Outra notação positiva da curva fronteira de é. Neste caso, o Teorema de Green é escrito na forma ( Q P dx + Qdy = dx P ) da. dy Exemplo 97 Calcule x 4 dx + xydy, onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (, ) a (1, ), de (1, ) a (, 1) e de (, 1) a (, C ). Solução: Usaremos o Teorema de Green. Note que a região cercada por C é simples e C tem orientação positiva (Ver Figura 7.11). Figura 7.11: Fazendo P (x, y) = x 4 e Q(x, y) = xy, temos C x 4 dx + xydy = ( Q dx P ) da = dy 1 1 x ydydx = 1 6. Exemplo 98 Calcule (3y e sen x )dx + (7x + y 4 + 1)dy, onde C é o círculo x + y = 9. C Solução: A região cercada por C é o disco x + y 9. Em coordenadas polares, é da forma = {(r, θ); r 3, θ π}. Usando o Teorema de Green com P (x, y) = 3y e sen x e Q(x, y) = 7x + y 4 + 1, segue que (3y e sen x )dx + (7x + ( Q y 4 + 1)dy = dx P ) da dy C 116

117 = (7 3)dA = π 3 4rdrdθ = 36π. Observação: Se C é uma curva que cerca uma região, então podemos determinar a área de usando a seguinte fórmula A = 1 xdy ydx. Exemplo 99 eterminar a área da região cercada pela elípse C x a + y b = 1. Solução: A elipse possui equações paramétricas dadas por A área da região cercada pela elipse C é A = 1 C xdy ydx = 1 x = a cos(t) y = bsen(t), t π. π (a cos(t))(b cos(t))dt (bsen(t))( asen(t))dt = ab π dt = abπ. O Teorema de Green também pode ser extendido para o caso em que é a união de regiões simples. Ou seja, se = 1, onde 1 e são regiões simples, e a fronteira de é a curva C = C 1 C, então P dx + Qdy = C 1 C ( Q x P ) da. y Exemplo 1 Calcule C y dx+3xydy, onde C é a fronteira da região semi-anular contida no semiplano superior entre os círculos x + y = 1 e x + y = 4. Solução: Apesar de não ser uma região simples, o eixo y divide em duas regiões simples (Ver Figura 7.1). Escrevendo em coordenadas polares, temos = {(r, θ); 1 r, θ π}. Usando o Teorema de Green, segue que C y dx + 3xydy = [ x (3xy) ] y (y ) da = yda = π 1 (rsenθ)rdrdθ =

118 Figura 7.1: O Teorema de Green também pode ser aplicado para regiões com furos, ou seja, regiões que não são simplesmente conexas. 7.4 ivergência e Rotacional Nesta seção definiremos duas operações realizadas em campos vetoriais que são usadas nas aplicações de cálculo vetorial à mecânica dos fluidos e a eletricidade e magnetismo. Essas operações são chamadas de rotacional e divergência. A primeira produz um campo vetorial e a segunda produz um campo escalar. Rotacional Considere o campo vetorial F = P i + Q j + R k sobre R 3. Se as derivadas parciais de P, Q e R existem, então o rotacional de F é um campo vetorial sobre R 3 definido por ( R rotf = y Q ) ( P i + z z R ) ( Q j + x x P ) k. y O modo mais fácil de lembrar a fórmula para o rotacional é escrevendo i j k rotf = F = x y z. P Q R Exemplo 11 Se F(x, y, z) = xz i + xyz j y k, determine o rotacional de F. Solução: Temos [ = y ( y ) ] z (xyz) i i j k rotf = F = x y z xy xyz y [ x ( y ) ] z (xz) j [ x (xyz) y (xz) ] k

119 = y( + x) i + x j + yz k. Teorema Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então rot( f) =. Reciprocamente, se F é um campo vetorial definido sobre todo R 3 cujas funções componentes tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e rot F =, então F é um campo vetorial conservativo. Como um campo vetorial F é conservativo se F = f, segue que: Se um campo vetorial F é conservativo, então rot F =. Exemplo 1 Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xz i+xyz j y k não é conservativo. Solução: Como vimos no exemplo anterior rot F = y( + x) i + x j + yz k. Segue que rot F. Portanto, F não é conservativo. Exemplo 13 Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = y z 3 i + xyz 3 j + 3xy z k é conservativo e determine uma função f tal que F = f. Solução: Temos i j k rot F = F = x y z y z 3 xyz 3 3xy z = (6xyz 6xyz ) i (3y z 3y z ) j + (yz 3 yz 3 ) k =. Como rot F = e domínio de F é o R 3, segue que F é conservativo. Para determinar f devemos resolver o sistema abaixo f x (x, y, z) = y z 3 f y (x, y, z) = xyz 3 f z (x, y, z) = 3xy z. (7.3) Integrando (7.3) 1, em relação a x, obtemos f(x, y, z) = xy z 3 + g(y, z). iferenciando em relação a y e comparando com (7.3), obtemos xyz 3 + g y (y, z) = xyz 3 g y (y, z) = g(y, z) = h(z). 119

120 Logo, f(x, y, z) = xy z 3 + h(z). iferenciando em relação a z e comparando com (7.3) 3, obtemos 3xy z + h (z) = 3xy z h (z) = h(z) = K. Portanto, f é dada por onde K é uma constante arbitrária. ivergência f(x, y, z) = xy z 3 + K, Considere o campo vetorial F = P i + Q j + R k sobre R 3. Se as derivadas parciais de P, Q e R existem, então a divergência de F é uma função de três variáveis definida por div F = P x + Q y + R z. Em termos do operador gradiente = x i+ y j + z k, a divergência de F pode ser escrita como o produto escalar de com F, isto é, div F =.F. Exemplo 14 Encontre div F, onde F(x, y, z) = xz i + xyz j y k. Solução: Temos div F =.F = x (xz) + y (xyz) + z ( y ) = z + xz. Teorema 7.4. Se F = P i+q j +R k é um campo vetorial definido sobre todo R 3 e P, Q, R possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então div rot F =. Observações: 1) Em mecânica dos fluidos, se F(x, y, z) é a velocidade de um líquido (ou gás), então div F(x, y, z) representa a taxa líquida de variação (com relação ao tempo) da massa do líquido (ou gás) fluindo no ponto (x, y, z) por unidade de volume. Em outras palavras, div F(x, y, z) mede a tendência de o fluido diferir do ponto (x, y, z). Se div F(x, y, z) =, então F é dito incompressível. ) Se f é uma função de três variáveis, então div ( f) =.( f) = f x + f y + f z. 1

121 Ao operador div ( f), denotado por f, damos o nome de operador laplaciano ou laplaciano por sua relação com a equação de Laplace f = f x + f y + f z =. Também podemos aplicar o laplaciano a um campo vetorial F = P i + Q j + R k. Neste caso, teremos F = P i + Q j + R k. Em geral, usamos a notação = para o laplaciano. 7.5 Integrais de Superfícies Suponhamos que f seja uma função de três variáveis cujo domínio contém uma superfície S. ividindo S em retalhos S ij com área S ij, definimos a integral de superfície de f sobre a superfície S como sendo S f(x, y, z)ds = lim m,n m i=1 n f(p ij ) S ij, onde P ij é um ponto de S ij. Vejamos alguns tipos de superfícies. 1 o caso: A superfície S é o gráfico de uma função de duas variáveis. Teorema Suponhamos que a superfície S seja o gráfico de uma função de duas variáveis cuja equação é z = g(x, y), (x, y), onde é a projeção da superfície no plano xy. Se f é contínua sobre S e se g possui derivadas parciais contínuas, então a integral de superfície de S é f(x, y, z)ds = f(x, y, g(x, y)) 1 + [g x (x, y)] + [g y (x, y)] da. j=1 S ou da forma S f(x, y, z)ds = f(x, y, g(x, y)) 1 + ( z ) ( z ) + da. x y Se S for uma superfície com equação y = h(x, z), (x, z), onde é a projeção da superfície no plano xz, então ( y ) ( y ) f(x, y, z)ds = f(x, h(x, z), z) da x z S 11

122 e se S for uma superfície com equação x = p(y, z), (y, z), onde é a projeção da superfície no plano yz, então ( x ) ( x ) f(x, y, z)ds = f(p(y, z), y, z) da. y z S Exemplo 15 Calcule yds, onde S é a superfície z = x + y, x 1 e y. Solução: Temos que a região é da forma Logo, S S = = {(x, y) x 1 y }. yds = 1 y 1 + o caso: S é uma superfície paramétrica. ( z ) ( z ) + da x y y y dydx = Teorema 7.5. Suponhamos que a superfície S tenha equação vetorial r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k, (u, v). Então a integral de superfície de S é f(x, y, z)ds = f(r(u, v)) r u r v da, S onde r u = x u i + y u j + z u k e r v = x v i + y v j + z v k. Exemplo 16 Calcule x ds, onde S é a esfera unitária x + y + z = 1. S Solução: A representação paramétrica da esfera unitária é x = senφ cos θ, y = senφ senθ, z = cos φ, φ π, θ π. Assim, podemos escrever r(φ, θ) = senφ cos θ i + senφ senθ j + cos φ k, (φ, θ), onde = {(φ, θ); φ π, θ π}. Segue que r φ = cos φ cos θ i + cos φ senθ j senφ k e r θ = senφ senθ i + senφ cos θ j. 1

123 onde segue que i j k r φ r θ = cos φ cos θ cos φ senθ senφ = sen φ cos θ i + sen φsen θ j + cos φsen φ k. senφ senθ senφ cos θ Logo, Portanto, r φ r θ = (sen φ cos θ) + (sen φsen θ) + (cos φsen φ) = sen φ. x ds = (senφ cos θ) r φ r θ da = π π S [ π sen 3 φ cos θ dφdθ = ][ π ] sen 3 φdφ cos θdθ ] [ π ][ π = sen 1 + cos(θ) φ senφdφ dθ [ π ][ 1 π ] = (senφ senφ cos φ)dφ (1 + cos(θ))dθ [ = Observações: 1) Notemos que cos φ + cos3 φ 3 S 1dS = ] π [ 1 sen(θ) (θ + ) ] π r u r v da = A(S). = 4π 3. ) Qualquer superfície S com equação z = g(x, y) pode ser olhada como uma superfície paramétrica com equações x = x, y = y z = g(x, y) satisfazendo r x r y = 1 + ( z ) ( z ). + x y 3) Se S é uma superfície lisa por trechos, ou seja, a união de superfícies lisas S 1, S,..., S n que se interceptam somente ao longo de suas fronteiras, então a integral de superfície de f sobre S é definida por f(x, y, z)ds = f(x, y, z)ds f(x, y, z)ds. S S 1 3 o caso: Integrais de Superfícies de Campos Vetoriais. S n 13

124 Teorema Seja F um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada S com versor normal n. A integral de superfície de F sobre S é F.dS = F.n ds. S S A integral de superfície de F sobre S é também chamada fluxo de F através de S. No caso da superfície S ser dada pelo gráfico z = f(x, y) e o vetor normal n apontar para cima, a integral de superfície de F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k sobre S é S F.dS = ( P z ) x Q z y + R da, (7.4) onde é a projeção de S no plano xy. No caso do vetor n apontar para baixo, multiplicamos por -1. Fórmulas análogas são obtidas quando S é dada por y = g(x, z) e x = h(x, z). Exemplo 17 Calcule F.dS, onde F (x, y, z) = y i + x j + z k e S é a fronteira da região S sólida T contida pelo parabolóide z = 1 x y e pelo plano z =. Solução: A superfície S é constituida pela superfície parabólica do topo S 1 e pela superfície circular no fundo S (Ver Figura 7.13). Figura 7.13: Como S é uma superfície fechada, usamos a convenção de orientação positiva (para fora). Isso significa que S é orientada para cima e podemos usar a equação (7.4), onde a projeção de S 1 sobre o plano xy é a região que é o círculo x + y = 1. Neste caso, teremos = ( F.dS = P z ) x Q z y + R da S 1 ( ) ) (y)( x) (x)( y) + 1 x y da = (1 + 4xy x y da = π. 14

125 O círculo S é orientado para baixo, portanto seu versor normal é n = k e temos S S F.dS = F.( k)ds = ( z)da = ()da =, pois z = em S. Logo, F.dS = π + = π. S No caso em que a superfície S é dada pela função vetorial r(u, v), teremos F.dS = F.(r u r v )da, S onde r u = x u i + y u j + z u k e r v = x v i + y v j + z v k. Exemplo 18 etermine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = z i + y j + x k através da esfera x + y + z = 1. Solução: A representação paramétrica da esfera unitária é x = senφ cos θ, y = senφ senθ, z = cos φ, φ π, θ π. Assim, podemos escrever r(φ, θ) = senφ cos θ i + senφ senθ j + cos φ k, (φ, θ), onde = {(φ, θ); φ π, θ π}. Segue que r φ = cos φ cos θ i + cos φ senθ j senφ k e r θ = senφ senθ i + senφ cos θ j. e i j k r φ r θ = cos φ cos θ cos φ senθ senφ = sen φ cos θ i + sen φsen θ j + cos φsen φ k. senφ senθ senφ cos θ Neste caso, teremos F(r(φ, θ)) = cos φ i + sen φ sen θ j + sen φ cos θ k. Portanto, F(r(φ, θ)).(r φ r θ ) = sen φ cos θ cos φ + sen 3 φsen θ. 15

126 Logo, F.dS = S F.(r φ r θ )da = π π (sen φ cos θ cos φ + sen 3 φsen θ)dφdθ = 4π 3. Observações a) Se o campo vetorial do exemplo anterior é um campo de velocidade descrevendo o fluxo de um fluido de densidade 1, então 4π representa a taxa de vazão através da esfera unitária 3 em unidade de massa por unidade de tempo. b) Se E é um campo elétrico, então a integral de superfície E.dS é chamada fluxo elétrico de E através da superfície S. c) A lei de Gauss na eletrostática diz que a carga contida por uma superfície S é Q = ɛ E.dS S S onde ɛ é uma constante (denominada permissividade do espaço livre) que depende das unidadas usadas. d) Supondo que a temperatura em um ponto (x, y, z) seja u(x, y, z), então o fluxo de calor é definido pelo campo vetorial F = K u, onde K é uma constante determinada experimentalmente, chamada condutividade da substância. A taxa de fluxo de calor através da superfície S no corpo é dada pela integral de superfície E.dS = K u.ds S S 7.6 Teorema de Stokes O teorema de Stokes é uma versão do teorema de Green em dimensão maior. Enquanto o teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre uma região plana com uma integral de linha ao redor de sua curva fronteira plana, o teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral ao redor da curva fronteira S (que é uma curva no espaço). Teorema (Teorema de Stokes) Seja S uma superfície orientada, lisa por trechos, cuja fronteira é formada por uma curva C simples, fechada, lisa por trechos, com orientação 16

127 positiva (para fora). Seja F um campo vetorial cujas funções componentes tem derivadas parciais contínuas na região aberta de R 3 que contém S. Então F.dr = rot F.dS. C S Exemplo 19 Calcule C F.dr, onde F(x, y, z) = y i+x j+z k e C é a curva de interseção do plano y +z = com o cilindro x +y = 1 com orientação no sentido anti-horário quando vista de cima. Solução: A curva C é uma elipse e está dada na figura A superfície escolhida é a região elíptica no plano y + z = cuja fronteira é C. Orientando S para cima, então a orientação induzida em C será positiva. A projeção de S sobre o plano xy é o disco dado por x + y 1. Figura 7.14: Notemos que i j k rot F = x y z = (1 + y) k. y x z Usando o teorema de Stokes, segue que F.dr = rot F.dS = [(1 + y) k].ds. C S S Para resolver a integral de superfície [(1 + y) k].ds, usamos a fórmula (7.4) com z = S g(x, y) = y, P =, Q = e R = 1 + y. Neste caso, teremos π 1 F.dr = (1 + y) k.ds = (1 + y)da = r(1 + rsenθ)dθdr = π. C S 17

128 7.7 Teorema da ivergência Teorema Teorema da ivergência Seja E uma região sólida simples (região sólida dos tipos 1, ou 3) e seja S a superfície fronteira de E, orientada positivamente. Seja F um campo vetorial cujas funções componentes tem derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. Então F.dS = div FdV. S E Exemplo 11 etermine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = z i + y j + x k sobre a esfera unitária x + y + z = 1. Solução: A divergência de F é div F = x (z) + y (y) + (x) = 1. z A esfera unitária é a fronteira da bola unitária B dada por x + y + z 1. O teorema da divergência dá o fluxo como sendo F.dS = div FdV = 1dV = V (B) = 4 3 π(1) = 4π 3. S B B Exemplo 111 Calcule F.dS, onde F(x, y, z) = xy i + (y + e xz ) j + sen(xy) k e S é a S superfície da região sólida E limitada pelo cilindro parabólico z = 1 x e pelos planos z =, y = e y + z =. Solução: A região E e a superfície S estão dadas na Figura Figura 7.15: É extremamente difícil calcular a integral de superfície diretamente. Além disso, é mais fácil usar div F do que o próprio F. Por isso, usaremos o teorema da divergência. Temos div F = x (xy) + y (y + e xz ) + (sen(xy)) = 3y. z 18

129 Podemos escrever E como uma região do tipo III da forma E = {(x, y, z); 1 x 1, z 1 x, y z}. Usando o teorema da divergência, segue que F.dS = div FdV = 3ydV S E E 1 1 x z = 3 y dydzdx =

130 7.8 Resumo dos Teoremas Teorema Fundamental do Cálculo b a F (x)dx = F (b) F (a) Teorema Fundamental Para as Integrais de Linha f.dr = f(r(b)) f(r(a)) C Teorema de Green ( Q x P ) da = y C P dx + Qdy Teorema de Stokes rot F.dS = F.dr S C 13

131 Teorema da ivergência div FdV = E S F.dS 7.9 Aplicações 131

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