Mecânica de fluidos. Fluidos perfeitos

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1 Capítulo 7 Mecânica de fluidos. Fluidos perfeitos A designação de fluidos abrange todos os líquidos e gases. Estes têm algumas propriedades distintas excepto em regiões críticas. Assim um líquido ocupa um volume definido e apresenta uma superfície livre. Ao contrário um gás ocupa sempre completamente o recipiente onde é introduzido e não têm superfície livre. Daqui resulta que um líquido tem uma densidade definida a uma dada temperatura, o que não acontece com um gás. Estes efeitos têm a sua origem na estrutura microscópica. Nos líquidos as moléculas estão ligadas por forças intermoleculares enquanto que num gás as moléculas estão praticamente livres. Assim é evidente que um líquido é fracamente compressível o que não acontece com os gases. Esta propriedade permite uma importante divisão no estudo dos fluidos, isto é, fluidos incompressíveis e compressíveis. O estudo dos fluidos pode ainda ser subdividido: fluidos em equilíbrio e em movimento. Para um fluido em repouso a interacção entre dois elementos contíguos do fluido é normal à superfície comum, pois se isto não se verificasse, isto é, se existisse uma componente tangencial as moléculas deslizariam o que contrariava a hipótese de equilíbrio. Todavia essa componente tangencial pode existir em fluidos em movimento. Assim um fluido em movimento pode exibir essa componente sobre a superfície com a qual está em contacto; um tal fluido diz-se viscoso. Um fluido não viscoso ou perfeito pode ser definido como um meio contínuo que não exibe reacção tangencial com qualquer superfície com a qual está em contacto. Todos os fluidos possuem um certo grau de viscosidade mas, em alguns casos, ela é pequena e pode ser desprezada, considerando o fluido como não viscoso. Problemas ligados a fluidos perfeitos são de mais fácil estudo que os outros. Estudaremos aqui alguns aspectos ligados a fluidos ideais com algum pormenor, terminando o curso com uma breve referência a fluidos viscosos. Antes de passar ao estudo de fluidos ideais vamos referir que também em mecânica de fluidos os fenómenos estudados têm um caracter macroscópico sendo o fluido olhado como um meio contínuo e homogéneo, isto é, não existem lacunas nele. Isto significa que cada pequeno elemento de volume é tal que contém um elevado número de moléculas. Assim qualquer elemento de volume infinitesimal é um elemento pequeno em relação ao corpo mas grande em relação às distâncias entre as moléculas. É também neste sentido que entendemos partícula do fluido e ponto do fluido. Assim quando se fala de deslocamento duma partícula do fluido, tem-se em vista não o deslocamento duma molécula isolada, mas o de um elemento de volume contendo um grande número de moléculas. 61

2 7.1 A Hidrostática A hidrostática estuda os fluidos em repouso. Vamos começar por considerar o problema das tensões que se exercem num meio contínuo. A força df exercida pelas moléculas será proporcional à extensão da superfície ds e perpendicular à superfície. Teremos df = p ˆn ds, (7.1) d f n ˆ d S onde df é a resultante das forças que as moléculas do lado de fora, para o qual aponta o vector ˆn, normal à superfície, exercem sobre as moléculas do lado oposto, e p uma constante de proporcionalidade que designaremos por pressão. Esta equação é aplicável a fluidos em repouso ou a fluidos ideais em movimento, nos quais não existem forças tangenciais. Da maneira como definimos a pressão somos levados a concluir que ela pode variar de ponto para ponto, e como se pode considerar uma infinidade de orientações da superfície, em torno do ponto P, a grandeza física p dependeria ainda dessa orientação que podemos caracterizar pelo vector ˆn. Isto é, p = p(p, ˆn). (7.2) Verifica-se, no entanto, que p não depende de ˆn. Assim, num dado ponto do fluido em equilíbrio, a pressão tem o mesmo valor em todas as direcções, sendo, por isso, uma quantidade escalar. De facto, dado que df = t(ˆn)ds, (7.3) comparando esta equação com a eq. (7.1) vem t(ˆn) = p(ˆn)ˆn. (7.4) Como a tensão é função linear das componentes da normal ˆn, p(ˆn) terá os mesmos valores para todos os ˆn. Assim, t(ˆn) = p ˆn, (7.5) onde p pode, como já vimos, variar de ponto para ponto. Multiplicando esta equação escalarmente por ê i t(ˆn) ê i = pˆn ê i e comparando com (??) obtemos t ij n j = p n i t ij = p δ ij. (7.6) j Assim para um fluido em equilíbrio t = p p p. (7.7) 62

3 Como já vimos a condição de equilíbrio pode escrever-se na forma t ij + ρg i = 0, (7.8) x j ou seja j j j x j (pδ ij ) + ρg i = 0 p x j δ ij + ρg i = 0 Vectorialmente a equação anterior pode ser escrita como p x i + ρg i = 0. (7.9) p + ρg = 0, (7.10) p = ρg. (7.11) Esta equação descreve o equilíbrio mecânico do fluido. Na ausência de forças exteriores, a equação de equilíbrio reduz-se a p = 0, quer dizer p = cte, a pressão é a mesma em todos os pontos do fluido. Suponhamos que um fluido não se encontra somente em equilíbrio mecânico, mas também em equilíbrio térmico. Usando a relação da termodinâmica dφ = sdt + V dp, (7.12) sendo φ o potencial termodinâmico referido à unidade de massa do fluido e s a entropia por unidade de massa. A temperatura constante Da identidade dφ = φ dr e dp = p dr, temos Assim a equação (7.11) toma a forma Substituindo na última equação, temos Concluímos então que dφ = V dp = 1 dp. (7.13) ρ p ρ φ = p ρ. = φ = g. (7.14) g = (gz), (7.15) (φ + gz) = 0. (7.16) φ + g z = cte, (7.17) sendo g z a energia potencial da unidade de massa do fluido no campo da força gravítica. Esta condição é conhecida em física estatística como condição de equilíbrio termodinâmico dum sistema colocado num campo externo. 63

4 7.2 Fluidos incompressíveis Pressão em diferentes pontos de um fluido A equação (7.11) é fácil de integrar se a densidade do fluido puder ser considerada como constante em todo o seu volume, quer dizer, se não há compressão significativa do fluido sob o efeito do campo exterior. Dirigindo o eixo dos z (referencial de inércia) verticalmente para cima tem-se Donde p x = p y = 0, p z = ρg. (7.18) p = ρ g z + cte. (7.19) Se o fluido em repouso, tem a superfície livre à altura h, na qual existe uma pressão exterior p 0, a mesma para todos os pontos, esta superfície deve ser um plano horizontal z = h. Da condição p = p 0 para z = h deduz-se de tal modo que p 0 = ρgh + cte donde cte = p 0 + ρgh (7.20) p = p 0 + ρ g (h z). (7.21) Situações bem conhecidas como, por exemplo, o princípio dos vasos comunicantes onde a pressão é a mesma em todos os pontos situados à mesma profundidade em todos os ramos que comunicam entre si, ou o princípio de Arquimedes cujo enunciado é: um corpo total ou parcialmente imerso num fluido fica sujeito, da parte deste, a uma força vertical (força de impulsão), dirigida de baixo para cima, igual ao peso do volume de líquido deslocado, facilmente se compreendem à luz da eq. (7.21) Superfície livre de um líquido incompressível em rotação Vamos considerar nesta secção um líquido incompressível contido num recipiente que roda com velocidade angular ω, em torno do seu eixo, como mostra a figura. O líquido roda juntamente com o recipiente, mantendo-se, relativamente a ele, em equilíbrio. A análise desta situação física e, em particular, o estudo da forma da superfície livre do líquido podem ser feitos a partir da condição de equilíbrio em relação a um referencial acelerado (não inercial), neste caso o próprio recipiente. Nesta situação, a condição de equilíbrio (7.10) deve incluir as forças inerciais para além das forças newtonianas já consideradas e que são a força gravitacional e as forças superficiais (de pressão). A expressão geral das forças inerciais é da forma F = m a, em que m é a massa do objecto cujo movimento está a ser analisado e a é a aceleração do referencial. Neste caso concreto, a = ω 2 rˆr e a força inercial F = mω 2 rˆr tem a designação de força centrífuga apontando para fora do eixo. Atendendo a que as dimensões das parcelas que entram na condição de equilíbrio são de forças por unidade de volume, a condição de equilíbrio relativo a um referencial de inércia toma a forma p + ρ g + ρ ω 2 rˆr = 0. (7.22) 64

5 A condição de equilíbrio pode também ser reescrita em função de potenciais como já foi feito ao escrever (7.16), tendo em conta que r = d dz g z ˆk, e ω 2 r ˆr = ˆ fracddr ω2 r 2 2 r = ( ω 2 r 2 2 ), permitindo obter ( p ρ + g z 1 2 ρ r2 ω 2 ) = 0, (7.23) que implica e ˆ p + ρ ( g z 1 z 2 ρ r2 ω 2 ) = constante. (7.24) e ˆ r Os valores das diferentes grandezas físicas definidas para o ponto B (ver figura) sobre a superfície livre permitem determinar a constante do segundo membro B da equação anterior, conduzindo a z 0 p p 0 = ρ g (z 0 z + r 2 ω 2 /2g). (7.25) Para a superfície livre, p = p 0, reduzindo-se esta equação a z z 0 = r 2 ω 2 /2g, (7.26) que representa um paraboloide de revolução. Estas equações mostram que a forma da superfície livre depende da velocidade angular ω e que todos os pontos ω a igual profundidade relativamente à superfície livre se encontram à mesma pressão. 7.3 Fluidos compressíveis Superfície livre de um líquido compressível em rotação Para grandes massas de fluido a densidade ρ não será, em geral, constante. Isto acontece principalmente com os gases como já referimos, em que a densidade varia com a pressão. Para um gás ideal a relação entre estas grandezas físicas constitui a equação de estado ou p V = n R T, (7.27) p = ρ R T/M com ρ = n M/V, (7.28) onde R é uma constante universal dos gás, n é o número de moles e M é a massa molar.. A temperatura constante (estado isotérmico) a eq. (7.28) pode ser escrita na forma p = c ρ, onde c é uma constante. Assim, o potencial termodinâmico toma a forma (ver eq. (7.13)) ou seja, φ = R T M 65 dp p, (7.29)

6 z A B C z= 0 r ω φ = R T lnp. (7.30) M Considerando um problema análogo ao tratado na secção anterior, e admitindo que a temperatura T é constante, obtemos, usando a condição de equilíbrio, ln p + M R T ( g z 1 2 r2 ω 2 ) = constante. (7.31) Uma vez que para z = 0 e r = 0 a pressão é p = p 0, a constante de integração da equação anterior é ln p 0, permitindo escrever p = p 0 exp [ M R T ( g z r2 ω 2 )]. (7.32) Assim as superfícies a pressão constante são paraboloides, sendo estes definidos, por exemplo, por g z r2 ω 2 = 0, (7.33) para o caso em que p = p 0 Os paraboloides com p < p 0, p = p 0 e p > p 0 estão, respectivamente, acima (curva A) e abaixo (curva C) do paraboloide de referência (7.33) (curva B) como se mostra na figura. Vamos apresentar de seguida algumas aplicações da eq. (7.32). (i) Princípio da centrifugação: Desprezando o efeito da gravidade (g = 0), a eq. (7.32) reduz-se a p = p 0 exp [( M 2 R T ) r2 ω 2 ], (7.34) mostrando que para r = 0 temos p = p 0. Por outro lado, para valores definidos de r e ω, a pressão depende da massa molecular M. Isto significa se tivermos uma mistura de 66

7 dois fluidos compressíveis com massas moleculares M 1 e M 2 diferentes, podemos obter, a partir da eq. (7.34), pressões parciais da forma p i = p 0i exp [( M i 2 R T ) r2 ω 2 ], i = 1, 2 (7.35) onde p 01 e p 02 são as pressões parciais dos gases para r = 0. A pressão total é obtida através da soma, p = p 1 + p 2. Da equação anterior conclui-se que, à medida que r aumenta, a pressão sobre o componente de maior massa aumenta mais que a pressão sobre o componente de menor massa. Este facto traduz-se numa concentração do componente de maior massa junto das bordas enquanto o componente de menor massa se situa próximo do eixo princípio da centrifugação. Esta descoberta tem sido largamente desenvolvida e aplicada, por exemplo, na separação da nata do leite, na separação parcial dos gases na atmosfera terrestre, na separação dos isótopos do urâneo, etc. As ciências biológicas também beneficiaram consideravelmente do princípio da centrifugação. (ii) Fórmula barométrica para uma atmosfera isotérmica Fazendo ω = 0 na eq. (7.32), ou usando directamente a condição de equilíbrio (7.10), obtém-se p = p 0 exp ( M g z/r T ). (7.36) Esta equação pode ser usada para determinar a altitude de um ponto, z, na atmosfera acima de um determinado nível de referência onde a sua pressão é p 0, a partir da leitura de um barómetro. Considerando, por exemplo, os seguintes valores para a atmosfera M = kg, R = 8, 3 JK 1 obtém-se p/p 0 0, 88. T = 273 K, g = 9, 8m s 2, z = 1000 m Este cálculo mostra que a uma leitura no barómetro de p/p 0 isotérmica, corresponde a uma altitude de 1000 m. 0, 88 numa atmosféra Para o estado a temperatura constante a eq. (7.36) pode também ser escrita em termos da densidade, ρ = ρ 0 exp ( M g z/r T ), (7.37) onde ρ 0 é a densidade para um nível de referência z = 0. escrevendo M g z/r T = m g z/k T = U/k T, onde U é a energia potencial da partícula de massa m no campo gravítico situado à altura z, a equação anterior conduz a ρ = ρ 0 exp ( U/k T ). (7.38) A função exponencial desta equação tem a designação de factor de Boltzmann, constituindo uma quantidade fundamental em física estatística. 67

8 Capítulo 8 Hidrodinâmica A hidrodinâmica estuda fluidos em movimento. Efeitos irreversíveis tais como os que são associados à viscosidade e conductividade térmica não são tratados neste ponto. Reservaremos um outro capítulo para uma breve referência a fluidos viscosos. A descrição matemática do estado dum fluido em movimento faz-se por meio de funções que determinam a distribuição da velocidade do fluido, v = v(x, y, z, t), e de duas quaisquer das suas grandezas termodinâmicas, por exemplo, a pressão p(x, y, z, t) e a densidade ρ(x, y, z, t). A equação de estado permite determinar todas as grandezas termodinâmicas a partir dos valores de duas delas. São, por isso, necessárias cinco grandezas (três componentes da velocidade v, a pressão p e a densidade ρ) para determinar completamente o estado do fluido em movimento. Todas estas grandezas são funções das coordenadas x, y, z e do tempo t. Assim v(x, y, z, t) é a velocidade do fluido em cada ponto do espaço x, y, z no instante t, quer dizer, refere-se a pontos determinados no espaço. E o mesmo para p e ρ. Consequentemente a mudança de qualquer destas quantidades durante um certo intervalo de tempo depende não só do intervalo de tempo mas também da posição dentro do fluido. É conveniente, para o que se pretende desenvolver, exprimir esta dependência do tempo e da posição no fluido introduzindo explicitamente o conceito de derivada total. Vamos fazê-lo a seguir através de um exemplo. 8.1 A derivada total Consideremos a densidade do fluido ρ(x, y, z, t). A variação da densidade δρ durante o intervalo de tempo δt é dada por δρ = δρ(x, y, z, t) = ρ t ρ ρ δt + δx + x y ρ δy + δz, (8.1) z onde (δx, δy, δz) são os correspondentes incrementos das componentes da posição durante δt. Dividindo a equação por δt obtemos ρ t = ρ t + ρ x x t + ρ δy y δt + ρ δz z δt. (8.2) Considerando o limite desta expressão quando δt 0, e introduzindo neste limite a notação usual de cálculo δx δt dx dt, δy δt dy dt, δz δt dz (8.3) dt 68

9 que são, respectivamente, as componentes v x, v y e v z, do vector velocidade do fluido v no ponto (x, y, z) e no instante t, podemos escrever dρ dt = ρ t + ρ x v x + ρ y v y + ρ z v z (8.4) em que também se substitui δρ por dρ. δt dt Introduzindo o vector (grad ρ) e o produto escalar (v.grad)ρ, temos finalmente em que dρ dt = ρ + (v.grad)ρ, (8.5) t grad ρ = ρ xî + ρ y ĵ + ρ z ˆk. (8.6) O primeiro termo do 2 o membro da equação (8.5) é a variação de ρ no tempo numa dada posição (x, y, z) de tal modo que dx, dy, dz são todos nulos. O segundo termo é a variação da densidade do fluido com a posição num dado instante, isto é, dt = 0, dx 0, dy 0, dz 0. Assim a eq. (8.5) traduz a variação total da densidade em torno de um elemento do fluido, quando este se move no espaço com o fluido. É esta a interpretação física da quantidade dρ dt que é a chamada a derivada total da densidade do fluido. A expressão é um operador chamado derivada total Notação das componentes d dt = + (v.grad) (8.7) t A equação (8.7) pode ser expressa em termos das componentes dos vectores. Cada vector tem três componentes independentes, por exemplo a velocidae v tem componentes v x, v y, v z que vamos substituir por v 1, v 2, v 3. Vamos usar esta notação em conjunto com o conceito de derivada total (v.grad) = v x x + v y y + v 3 z z = v k. (8.8) x k Assim, a derivada total na notação das componentes toma a forma d dt = t + e a derivada total da densidade é dada por dρ dt = ρ t + 3 k=1 3 k=1 v k k=1, (8.9) x k v k ρ x k. (8.10) A densidade é uma quantidade escalar, isto é, tem amplitude mas não tem propriedades direccionais. No entanto a derivada total dum vector, por ex. a velocidade duma partícula do fluido, também está incluida neste esquema. Assim dv dt = v + (v.grad)v. (8.11) t 69

10 Na notação das componentes temos dv i dt = v i t + Esta equação traduz três equações (i = 1, 2, 3). 3 k=1 v k v i x k. (8.12) 70