JOSÉ MILTON DE ARAÚJO Departamento de Materiais e Construção FURG, Rio Grande, RS ed.dunas@mikrus.com.br

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1 Teria e Prática na Engenharia Civil, n5, p1-10, Agst, 2004 Prcesss simplificads para cálcul de flechas de vigas de cncret armad Simplified prcedures t predictin f deflectins f reinfrced cncrete beams RESUMO JOSÉ MILTON DE ARAÚJO Departament de Materiais e Cnstruçã FURG, Ri Grande, RS eddunas@mikruscmbr O bjetiv deste trabalh é avaliar a precisã de alguns métds simplificads para cálcul de flechas em vigas de cncret armad Para ist, desenvlve-se um mdel para análise nã-linear, qual é utilizad na aferiçã ds prcesss simplificads Os métds simplificads analisads sã métd bilinear d CEB, uma fórmula prática apresentada n códig mdel CEB-FIP/90 e métd d ACI, adtad na NBR-6118 Os resultads btids indicam que este últim métd nã deve ser utilizad para cálcul das flechas de lnga duraçã das vigas de cncret armad ABSTRACT The subject f this wrk is t analyze sme simplified methds t predictin f deflectins f reinfrced cncrete beams A nnlinear mdel is develped and it is emplyed t verify simplified prcedures Simplified methds cnsidered are the bilinear methd f CEB, an apprximate equatin presented in the CEB-FIP/90 mdel cde and the ACI methd, which is adpted by Brazilian nrm NBR-6118 Obtained results indicate that this last methd is nt recmmended t calculate lng-term deflectins f reinfrced cncrete beams 1 - INTRODUÇÃO O prjet das estruturas de cncret armad envlve duas etapas distintas, prém de igual imprtância para a btençã de uma estrutura bem prjetada Numa primeira etapa, avaliam-se as cargas e s esfrçs slicitantes e realiza-se dimensinament ds diverss elements estruturais, intrduzind-se s ceficientes de segurança Esta é a etapa crrespndente à análise ds estads limites últims, nde a precupaçã fundamental é cm a segurança da estrutura Numa segunda etapa, deve-se verificar s estads limites de utilizaçã: estad limite de abertura das fissuras e estad limite de defrmações excessivas Para essas verificações, cnsideram-se as cmbinações de serviç das ações, u seja, s esfrçs sã btids para carregament de serviç, sem a intrduçã de ceficientes de majraçã Da mesma frma, cnsideram-se as resistências médias ds materiais, n lugar das resistências de cálcul empregadas n dimensinament De acrd cm as nrmas de prjet, em particular a NBR-6118 (6), as flechas das vigas devem ser calculadas para as cmbinações quase permanentes d carregament, incluind-se s efeits da fissuraçã e das defrmações diferidas d cncret As cmbinações quase permanentes sã cmbinações de ações que pdem atuar durante grande parte d períd de vida da estrutura, da rdem da metade deste períd Em cada cmbinaçã, as ações permanentes sã cnsideradas cm s seus valres integrais e as ações variáveis sã cnsideradas cm s seus valres reduzids pr mei de um ceficiente ψ 2 < 1, estabelecids na NBR-8681(7) N cas particular ds edifícis, quand se cnsideram apenas as cargas permanentes e as

2 2 Teria e Prática na Engenharia Civil, n5, p1-10, Agst, 2004 cargas acidentais, a carga de serviç na cmbinaçã quase permanente, p, é dada pr p = g + 0, 3q (1) nde g e q representam s valres característics das cargas permanentes e da carga acidental, respectivamente Uma vez que a análise é feita para as cargas de serviç, admite-se que as tensões de cmpressã na estrutura sã pequenas bastante para que se pssa cnsiderar um cmprtament elástic linear para cncret Dessa frma, pdem ser elabrads prcesss simplificads de análise, ns quais a única fnte de nã-linearidade é decrrente da fissuraçã d cncret Cm iss, cnsegue-se uma razável simplificaçã, que facilita prjet das estruturas de cncret armad N cálcul das flechas das vigas, deve-se levar em cnta a fissuraçã, a fluência e a retraçã d cncret Para a intensidade d carregament quase permanente, a clabraçã d cncret tracinad entre fissuras pde ser muit imprtante, devend ser incluída na análise A análise pde ser feita cm diferentes níveis de sfisticaçã, desde a análise nã-linear até empreg de fórmulas simplificadas que prcuram representar uma rigidez equivalente da viga fissurada O bjetiv deste trabalh é avaliar a precisã de alguns desses métds simplificads para cálcul de flechas em vigas de cncret armad Para ist, cnsidera-se cm referência mdel nã-linear apresentad na seçã 2 Os métds simplificads analisads sã s seguintes: métd bilinear d CEB (9), fórmula prática d CEB/90 (10) e fórmula d ACI (1), adtada na atual NBR (6) 2 - MODELO NÃO-LINEAR PARA CÁLCULO DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Para se efetuar um cálcul rigrs das defrmações em vigas de cncret armad, devese levar em cnta a nã-linearidade física decrrente d cmprtament mecânic ds materiais Para ist, é necessári adtar diagramas tensã-defrmaçã cmpatíveis cm s resultads btids experimentalmente N cas das vigas de cncret armad, submetidas às cargas de serviç, a clabraçã d cncret tracinad entre fissuras é de extrema imprtância Esse cmprtament pde ser mdelad através de um diagrama tensãdefrmaçã enrijecid para a armadura, u através de um diagrama tensã-defrmaçã para cncret tracinad (3) Pr utr lad, deve-se levar em cnta s efeits da fluência e da retraçã d cncret, que pde ser feit através de mdels relógics cm diferentes níveis de sfisticaçã (8) O empreg ds mdels relógics, baseads na cadeia de Maxwell u na cadeia de Kelvin, requer uma integraçã n temp, na qual as defrmações da estrutura sã btidas pass a pass Esse prcediment é ners e desnecessári em nível de prjet, especialmente n prjet ds edifícis, pelas seguintes razões: - a integraçã n temp leva a resultads que sã dependentes da funçã de fluência utilizada; - s resultads experimentais indicam uma enrme variabilidade na lei de evluçã das defrmações diferidas d cncret, de md que qualquer funçã de fluência que fr adta representa apenas uma estimativa grsseira d cmprtament d cncret; - carregament quase permanente empregad na análise representa apenas um valr cnvencinal das reais cargas de lnga duraçã que atuam na estrutura; - a história d carregament real na estrutura é descnhecida, pdend variar bastante de uma estrutura para utra Em vista dist, as análises numéricas através de cadeias relógicas, apesar de representarem cm mair fidelidade cmprtament d cncret, perdem sentid quand aplicadas a prjet das estruturas reais ds edifícis Nesses cass, interessa estimar a respsta final da estrutura, a partir de parâmetrs de entrada também estimads para as cargas e para as prpriedades ds materiais, particularmente as prpriedades mecânicas d cncret Dessa frma, mdel nã-linear deve ter equilíbri entre a precisã numérica e a simplicidade, cmpatível cm a realidade O mdel nã-linear utilizad neste trabalh tem sua precisã demnstrada em diverss trabalhs anterires (2,5) e permite bter as flechas prváveis das vigas de cncret armad

3 Teria e Prática na Engenharia Civil, n5, p1-10, Agst, Na fig 1, representa-se diagrama tensãdefrmaçã d cncret, btid em um ensai de cmpressã simples f c σ c 1 E ce Para levar em cnta a fluência d cncret, cnsidera-se módul de defrmaçã efetiv E, dad pr ce Ec E ce = (5) 1 + ϕ Para cncret tracinad, adta-se diagrama tensã-defrmaçã indicad na fig 2 σ ct f ct σ ct,lim ε ε u ε c Fig 1 Diagrama tensã-defrmaçã d cncret cmprimid De acrd cm CEB/90 (10), a tensã de cmpressã n cncret, σ, é dada pr c 2 kη η σ c = f c (2) 1+ ( k 2) η nde k = E ce ε fc, η = ε c ε e ε c é a defrmaçã de cmpressã Para a defrmaçã ε, crrespndente à máxima tensã de cmpressã, adta-se valr ε = 0,0022( 1+ ϕ), nde ϕ é ceficiente de fluência d cncret A defrmaçã de ruptura é ε u = 0,0035( 1+ ϕ) O módul de defrmaçã lngitudinal inicial, E c, é btid a partir da resistência média à cmpressã, f c, através da expressã cm f c e ( f 10) 1 3 E c = c (3) E c em MPa De acrd cm as recmendações d CEB/90, a resistência média à cmpressã pde ser estimada cm f f + 8 MPa (4) c = ck nde f ck é a resistência característica à cmpressã d cncret, em MPa E c ε cr E ce ε ct Fig 2 Diagrama tensã-defrmaçã para cncret tracinad A tensã de traçã n cncret, σ σ ct ct Eceε ct σ ct,lim, é dada pr = (6) nde ε ct é a defrmaçã de traçã e σ ct, lim é a máxima tensã de traçã para cncret fissurad, dada pr 0,6 ε, lim cr ct = f ct ε ct σ (7) nde ε cr = fct Ec é a defrmaçã de fissuraçã A equaçã (7) leva em cnta a clabraçã d cncret tracinad entre fissuras e reprduz satisfatriamente s resultads experimentais, cnfrme pde ser verificad na referência [2] De acrd cm CEB/90, a resistência à traçã d cncret, f ct, pde ser estimada, a partir da resistência característica à cmpressã, através da expressã cm f ck e f ct em MPa 2 3 fck f ct = 1,40 (8) 10

4 4 Teria e Prática na Engenharia Civil, n5, p1-10, Agst, 2004 Cnfrme se bserva, mdel cnstitutiv é uma extensã d métd d módul efetiv, para cas nã-linear Esse mdel é satisfatóri quand as variações de tensã n cncret, que crrem durante seu envelheciment, sã pequenas Se cncret sfrer grandes variações de tensã a lng d temp, mdel pde ser melhrad adtand-se módul de defrmaçã ajustad Ist é equivalente a cnsiderar um ceficiente de fluência ajustad ϕ a = ζϕ, nde ζ é ceficiente de envelheciment (3) Em geral, pde-se cnsiderar ζ = 0, 8 Na presente análise, cm cnsidera-se que a carga quase permanente p nã sfre variaçã a lng d temp, pde-se adtar ζ = 1 cm uma ba aprximaçã A defrmaçã ttal n cncret, pr ε σ + ε c, tt, é dada c, tt = ε c ε cs (9) nde ε c σ é a parcela da defrmaçã dependente da tensã aplicada e ε cs é a defrmaçã de retraçã Desse md, as tensões n cncret sã btidas cm mdel anterir, cnsiderand a parcela da defrmaçã ε c σ = ε c, tt ε cs Para aç, adta-se diagrama tensãdefrmaçã representad na fig 3, para traçã e para cmpressã σ s f y E s ε y Para traçã e cmpressã ε s Fig 3 Diagrama tensã-defrmaçã para aç A análise estrutural é feita cm métd ds elements finits, cnfrme descrit n capítul 9 da referência [4] O element empregad é tradicinal element de pórtic plan, cm dis nós e três graus de liberdade pr nó Em cada element, cnsideram-se três pnts de integraçã de Gauss-Legendre, para a determinaçã das ações ndais nã-lineares Na fig 4, indica-se a seçã transversal analisada e a discretizaçã da mesma em n faixas, para as integrações numéricas a lng da altura da seçã n d' h/2 A's h d A s b Fig 4 Seçã transversal e discretizaçã em faixas Empregand métd ds elements finits, a defrmaçã axial ε x em uma fibra genérica da seçã, situada a uma distância z d eix da barra, é dada pr ε = ε zχ (10) x + nde ε e χ representam a defrmaçã axial e a curvatura, btidas a partir ds deslcaments ndais d element A expressã (10) é empregada para calcular a defrmaçã nas camadas de aç, bastand usar para z a distância da camada até eix da barra Entrand cm essa defrmaçã n diagrama tensã-defrmaçã da fig 3, btém-se a tensã σ s nas armaduras A expressã (10) frnece as defrmações ttais n cncret, incluind a fluência e a retraçã A defrmaçã mecânica ε c é dada pr σ ε c σ ε + zχ ε cs 1 z i = (11) nde z = zi, cm i = 1,, n, representa a distância d centr da faixa de cncret até eix da barra Cm a defrmaçã ε c σ, emprega-se mdel cnstitutiv para cncret, btend-se a tensã n centr de cada faixa A partir daí, segue-se prcediment descrit em [4] para bter s deslcaments da estrutura crrespndentes a um determinad nível de carga Empregand um prcess incremental n carregament, pde-se bter uma respsta

5 Teria e Prática na Engenharia Civil, n5, p1-10, Agst, cmpleta até a ruína da estrutura, u até um nível de carga desejad Cnsidera-se a crrência da ruína, quand a defrmaçã de cmpressã n cncret fr menr u igual a ε u = 0,0035( 1+ ϕ), u quand a defrmaçã de traçã na armadura alcançar valr limite de 0, MÉTODO BILINEAR DO CEB De acrd cm métd bilinear d CEB (9), descrit em detalhes na referência[3], a flecha W da viga é btida pr interplaçã da flecha W 1, calculada n estádi I, e da flecha W 2, calculada n estádi II pur Essas flechas sã dadas pr ( t ) + ( W1 ) cc + ( W ) cs W1 = W1 1 (12) ( t ) + ( W2 ) cc + ( W ) cs W2 = W2 2 (13) nde W 1 ( t ) e W 2 ( t ) = flechas n instante inicial t, calculadas n estádi I e n estádi II pur; ( W 1 ) cc e ( W 2 ) cc = increments de flecha devids à fluência d cncret, calculads n estádi I e n estádi II pur; ( W 1 ) cs e ( W 2 ) cs = increments de flecha devids à retraçã d cncret, calculads n estádi I e n estádi II pur Os increments de flecha devids à fluência d cncret sã dads pr ( ) = r W ( t ) (14) W1 cc cc1ϕ 1 ( ) = r W ( t ) (15) W2 cc cc2ϕ 2 nde r cc1 e r cc2 sã ceficientes que dependem das taxas de armadura na seçã transversal Os increments de flecha devids à retraçã d cncret sã dads pr nde r cs1 e r cs2 sã ceficientes dependentes das taxas de armadura, ε cs é a defrmaçã específica de retraçã, l é vã da viga, d é a altura útil da seçã transversal, α e f r sã ceficientes que dependem da vinculaçã da viga Para uma viga biapiada, α = 8 e f r = 1 Os ceficientes r cc1, r cc2, r cs1 e r cs2 pdem ser btids das tabelas apresentadas na referência [3] Assim, a flecha W, levand em cnta a clabraçã d cncret tracinad entre fissuras, é interplada na frma nde W ( 1 η ) W1 + ηw2 = (18) η = 0, se M < M r (19) η = 1 0,5 M r M, se M M r (20) Nas equações (19) e (20), M é mment fletr slicitante e M r é mment de fissuraçã Deve-se bservar que ceficiente η varia a lng d eix da viga pis, tant M, quant M r, variam de seçã para seçã transversal Na prática, é necessári adtar um valr cnstante para η, calculad para uma seçã crítica D mesm md, as flechas W 1 e W 2 devem ser calculadas cnsiderand a rigidez da seçã crítica Assim, a rigidez n estádi I, K I, e a rigidez n estádi II pur, K II, sã btidas cm as armaduras existentes na seçã crítica N cas de uma viga biapiada u de uma viga cntínua, a seçã crítica é cnsiderada n mei d vã Para s balançs, a seçã crítica crrespnde a extrem engastad Observa-se que a flecha é calculada em uma seçã de referência, que pde nã cincidir cm a seçã crítica O mment de fissuraçã é dad pr l cs (16) αd ( W1 ) = rcs1ε cs fr 2 M r K I fct = (21) E cs ( h x ) I l cs (17) αd ( W2 ) = rcs2ε cs fr 2 nde Ecs = 0, 85Ec é módul de defrmaçã lngitudinal secante d cncret, h é a altura da

6 6 Teria e Prática na Engenharia Civil, n5, p1-10, Agst, 2004 seçã e x I é a prfundidade da linha neutra n estádi I Se as armaduras frem desprezadas, x I = 0, 5h 3 e K I = Ecsbh 12, resultand a expressã aprximada M = bh f 6 r 2 ct As expressões de x I, btidas na referência [3] K I e 4 FÓRMULA PRÁTICA DO CEB/90 K II pdem ser O CEB/90 (10) recmenda uma fórmula prática para cálcul das flechas das vigas fissuradas sb as cargas de serviç Inicialmente, calcula-se a flecha de referência W, cnsiderand a rigidez c E csi c da seçã de cncret simples, nde E cs é módul secante e I c é mment de inércia da seçã de cncret simples (n estádi I e sem a cnsideraçã das armaduras) A flecha W, incluind s efeits da fluência e da fissuraçã d cncret, é dada pr 3 h W = K t 20ρ W d ( 1 ) c nde ρ = ( bd ), = A s ( bd ) A s (22) ρ e ceficiente K t é dad em uma tabela, em funçã da taxa de armadura tracinada ρ Cnfrme a referência [3], ceficiente pde ser escrits na frma 0,71186 K t K = 0,09547ρ (23) t A flecha btida cm a expressã (22) nã inclui s efeits da retraçã d cncret Esse efeit pde ser cnsiderad, a favr da segurança, adicinand-se a valr de W a parcela ( W 2 ) cs dada na equaçã (17) 5 CÁLCULO DE FLECHAS EM VIGAS SEGUNDO A NBR-6118 A NBR-6118 (6) adta prcess simplificad d ACI (1) para cálcul de flechas das vigas de cncret armad A flecha inicial W ( t ) é btida cnsiderand-se um mment de inércia equivalente I eq, dad pr nde I 1 Ic (24) M 3 3 M r M r eq = Ic + I 2 M I c = mment de inércia da seçã de cncret simples; I 2 = mment de inércia da seçã de cncret armad n estádi II pur; M = mment fletr slicitante; M = mment de fissuraçã r De acrd cm a NBR-6118, mment de fissuraçã é dad pr M r αic fct = (25) y nde y t é a distância d centróide da seçã à fibra mais tracinada O ceficiente α tem s seguintes valres: α = 1,2 para seções T u dupl T; α = 1,5 para seções retangulares N cas das seções retangulares, mment de fissuraçã passa a ser dad pr M 2 r = bh f ct 4 O mment de inércia I 2 é igual a K II Ecs, nde K II é a rigidez n estádi II, determinada cm na referência [3] Entretant, de acrd cm a NBR-6118, módul de defrmaçã secante d cncret é dad pr E = 0,85x5600, MPa (26) cs f ck A flecha adicinal W, incluind s efeits das defrmações diferidas d cncret, é dada pr W = ( t) f ( t ) t f 1+ 50ρ W ( t ) nde = A s ( bd ) cmpressã na seçã crítica e a funçã ( t) dada pr (27) ρ é a taxa da armadura de cm t em meses f t 0,32 ( t) = 0,68x0,996 t 2 f é (28)

7 Teria e Prática na Engenharia Civil, n5, p1-10, Agst, Cnsiderand t 1mês e t 70 meses, resulta 1,32 W = W ( t ) 1+ 50ρ (29) que é a expressã adtada ns exempls apresentads a seguir A flecha final da viga é dada pr 6 - RESULTADOS ( t ) + W W = W (30) Os resultads apresentads neste trabalh referem-se à viga biapiada representada na fig 5 p l=500 cm h=50 A' s A s b=20 Fig 5 Carregament e gemetria da viga 4 46 A viga é submetida a uma carga unifrmemente distribuída, cmpsta pela parcela permanente, g, e pela parcela acidental, q Admitind que q 0, 15g e cnsiderand a equaçã (1), resulta p = 0, 90 pk, nde p k = g + q é a carga ttal de serviç atuante na viga Em tds s exempls, cnsidera-se um cncret cm fck = 20 MPa e aç CA-50 ( f yk = 50 kn/cm 2 ) O ceficiente de fluência d cncret é ϕ = 2, 5 e a defrmaçã de retraçã é 5 cnsiderada igual a ε cs = 50x10 Para um dad valr da carga de serviç, realiza-se dimensinament da seçã retangular indicada na fig 5, cnsiderand s ceficientes parciais de segurança γ f = 1, 4 (para majrar as cargas), γ c = 1, 4 (para minrar a resistência à cmpressã d cncret) e γ s = 1, 15 (para minrar a tensã de escament d aç) Quand dimensinament indicar a sluçã cm armadura simples, adta-se a área A s = 0, 62 cm 2 (área de 2 barras de 6,3mm) cm armadura de cmpressã Para a armadura tracinada, respeitase a área mínima de 1,50cm 2 Na tabela 1, apresentam-se s resultads d dimensinament das vigas Tabela 1 Armaduras das vigas Viga Cargas (kn/m) Armaduras (cm 2 ) p k p A s A s V1 5 4,5 1,50 0,62 V2 10 9,0 2,29 0,62 V ,5 3,52 0,62 V ,0 4,83 0,62 V ,5 6,22 0,62 V ,0 7,72 0,62 V ,5 9,36 0,62 V ,0 11,18 0,62 V ,5 13,00 0,62 V ,0 14,20 1,52 Na análise nã-linear, cnsidera-se módul de defrmaçã lngitudinal tangente d cncret, dad pelas expressões (3) e (4), cnfrme CEB/90 Para um cncret cm fck = 20 MPa, resulta Ec = MPa N métd bilinear e na fórmula prática d CEB, emprega-se módul secante, cuj valr é Ecs = MPa, cnfrme CEB/90 N métd da NBR-6118, adta-se módul secante Ecs = MPa, cnfrme a equaçã (26) Em tds s cass, adta-se Es = 200 GPa cm send módul de elasticidade d aç Na fig 6, apresentam-se as respstas da viga V3, btidas cm mdel nã-linear Nessa figura, W representa a flecha inicial, W, c é a flecha inicial acrescida ds efeits da fluência e W, c + s é a flecha ttal, incluind a fluência e a retraçã A análise é feita até a carga de 20kN/m, inferir à carga de ruptura da viga Pela fig 6, bserva-se que a carga quase permanente é mair que a carga de fissuraçã Lg, a viga V3 está n estádi II, quand submetida a carregament quase permanente Ist crre para tdas as vigas analisadas, excet para a viga V1, que se encntra n estádi I quand submetida à carga quase permanente Lg, para a viga V1, nã se aplica a fórmula prática indicada na seçã 4

8 8 Teria e Prática na Engenharia Civil, n5, p1-10, Agst, 2004 Carga (kn/m) W p = 13,5 kn/m W,c Estádi I W,c+s Estádi II Iníci da fissuraçã Flecha n centr (mm) Fig 6 Respstas para a viga V3, btidas cm mdel nã-linear Pr analgia cm a equaçã (29), pde-se escrever W, W = R W (31) c c+ s cc W, W = R W (32) nde s ceficientes glbais R cc e R cs permitem bter s acréscims de flecha decrrentes da fluência e decrrentes da fluência mais a retraçã, respectivamente Na fig 7, apresentam-se as variações ds ceficientes R btids para a viga V3 R cc e cs cm mdel nã-linear Na mesma figura, indica-se a relaçã prpsta na NBR-6118, pr mei da expressã (29) Observa-se pela fig 7 que s ceficientes Rcc e R sã frtemente dependentes d nível d cs carregament Esses ceficientes sã maires n estádi I, quand as cargas sã pequenas e cncret nã está fissurad À medida que a fissuraçã se prpaga, em decrrência d aument d carregament, s ceficientes vã diminuind Cnclui-se, prtant, que s acréscims de flecha devids às defrmações diferidas d cncret dependem d grau de fissuraçã da viga, qual pde ser medid pela relaçã entre mment fletr slicitante M e mment de fissuraçã M r Desse md, a relaçã (27), indicada na NBR- 6118, nã representa adequadamente as cs defrmações diferidas d cncret, pis ela é independente d carregament Essa expressã subestima s efeits das defrmações diferidas para vigas cm uma carga pequena, cm M < M r (n estádi I), u cm M puc mair que M r (n iníci d estádi II) Pr utr lad, a expressã (27) superestima as defrmações diferidas para vigas em avançad estad de fissuraçã, quand M >> M Ceficientes Rcc e Rcs Carga (kn/m) r NBR-6118 Rcc Rcs Fig 7 Ceficientes glbais para cálcul da flecha diferida para a viga V3 Na fig 8, apresenta-se a flecha inicial n mei d vã das 10 vigas analisadas, quand as mesmas estã submetidas às respectivas cargas quase permanentes, cnfrme a tabela 1 Observa-se que a fig 8 nã representa uma relaçã cargadeslcament, pis cada pnt crrespnde a uma viga cm armadura diferente Cnfrme se verifica na fig 8, tant métd bilinear, quant métd da NBR-6118 (equaçã 24), se aprximam bastante d mdel nã-linear As pequenas diferenças verificadas entre s diverss métds sã devidas às diferentes definições para mment de fissuraçã e para módul de defrmaçã lngitudinal d cncret Entretant, as variações sã da rdem de 10% na mairia ds cass Assim, cnclui-se que as flechas iniciais das vigas pdem ser avaliadas pr qualquer um desses métds simplificads

9 Teria e Prática na Engenharia Civil, n5, p1-10, Agst, W + Na fig 10, apresentam-se as flechas, c s incluind s efeits da fluência e da retraçã Observa-se que, mesm cnsiderand a retraçã, a flecha final é menr u igual à flecha admissível para tdas as vigas, quand cálcul é feit cm mdel nã-linear, cm métd bilinear u através da fórmula prática Apenas a frmulaçã da NBR-6118 indica que 6 vigas apresentam flecha mair que a flecha admissível Ist crre prque a equaçã (27) superestima s efeits das defrmações diferidas d cncret Fig 8 Flecha inicial para as cargas quase permanentes pels diferentes métds W, Na fig 9, apresentam-se as flechas c incluind s efeits da fluência (mas sem cnsiderar a retraçã) para as vigas analisadas 300 Flecha inicial + fluência (mm) Flecha admissível Nã-linear Métd bilinear Fórmula prática NBR Carga quase permanente (kn/m) Fig 9 Flecha inicial acrescida da fluência pels diferentes métds Cnfrme se bserva na fig 9, tant métd bilinear, quant a fórmula prática d CEB/90, cncrdam satisfatriamente cm mdel nãlinear Entretant, a frmulaçã da NBR-6118 frnece valres excessivs para a flecha final das vigas cm carga superir a 15kN/m Para 6 vigas analisadas, métd da NBR-6118 indica que a flecha final é mair que a flecha admissível, que cntraria tds s demais métds Fig 10 Flecha ttal pels diferentes métds 7 - CONCLUSÕES Os resultads apresentads neste trabalh indicam uma ba cncrdância entre s mdels simplificads, n que se refere a cálcul das flechas iniciais das vigas de cncret armad Neste cas, métd bilinear e métd adtad pela NBR-6118 frnecem resultads cmpatíveis cm a análise nã-linear Quand se cnsideram as defrmações diferidas d cncret, verifica-se uma ba cncrdância d métd bilinear e da fórmula prática d CEB em relaçã à análise nã-linear Qualquer um desses dis métds simplificads pde ser utilizad para a avaliaçã das flechas das vigas sb cargas de lnga duraçã Entretant, métd da NBR-6118 nã reprduz satisfatriamente s efeits das defrmações diferidas d cncret na respsta das vigas de cncret armad Esse métd subestima as flechas das vigas puc slicitadas, quand elas ainda se encntram n estádi I, u n iníci d

10 10 Teria e Prática na Engenharia Civil, n5, p1-10, Agst, 2004 estádi II (na regiã de frmaçã das fissuras) Pr utr lad, métd da NBR-6118 superestima as flechas das vigas mais slicitadas, em um estad de fissuraçã mais adiantad Em vista ds resultads apresentads, pde-se recmendar tant métd bilinear, quant a fórmula prática d CEB/90 para cálcul das flechas das vigas de cncret armad, incluindse s efeits das defrmações diferidas Entretant, nã se recmenda empreg d métd da NBR-6118, em virtude das imprecisões mstradas neste trabalh 9 Cmité Eur-Internatinal du Bétn CEB Design Manual n Cracking and Defrmatins Lausanne, Cmité Eur-Internatinal du Bétn - CEB- FIP Mdel Cde 1990 Lausanne, 1993 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1 American Cncrete Institute Building Cde Requirements fr Structural Cncrete (ACI ) and Cmmentary (ACI 318R-95) Detrit, Araúj, J M Mdel para análise de vigas de cncret armad Revista Prtuguesa de Engenharia de Estruturas, N 32, p9-14, Lisba, Julh, Araúj, J M Curs de Cncret Armad Vl 2 Editra Dunas, Ri Grande, 2 a ed, 2003 wwwmikruscmbr/eddunas 4 Araúj, J M Curs de Cncret Armad Vl 3, Editra Dunas, Ri Grande, 2 a ed 2003 wwwmikruscmbr/eddunas 5 Araúj, J M Um mdel para análise nãlinear de lajes nervuradas de cncret armad Revista Engenharia, Ciência e Tecnlgia, v06, n2, p3-13, UFES, Vitória, Assciaçã Brasileira de Nrmas Técnicas - Prjet de Estruturas de Cncret NBR-6118 Ri de Janeir, Assciaçã Brasileira de Nrmas Técnicas Ações e Segurança nas Estruturas NBR-8681 Ri de Janeir, Bazant, Z P; Prasannan, S - Slidificatin thery fr cncrete creep Jurnal f Engineering Mechanics, v 115, n8, p , 1989