LISTA DE EXERCÍCIOS 1 PESQUISA OPERACIONAL MODELAGEM

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 PESQUISA OPERACIONAL MODELAGEM 1) Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução ótima do problema, e interprete sua resposta. 2) Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear. 3) Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de soverte: chocolate e creme. Cada lote de bolo de chocolate é vendido com um lucro de 3 u.m e os lotes de bolo de creme com um lucro de 1 u.m. Contratos com várias lojas impõem que sejam produzidos no mínimo 10 lotes de bolos de chocolate por dia e que o total de lotes fabricados nunca seja menos que 20. O mercado só é capaz de consumir até 40 lotes de bolos de creme e 60 de chocolate. As máquinas de preparação do sorvete disponibilizam 180 horas de operação, sendo que cada lote de bolos de chocolate consomem 2 horas de trabalho e cada lote de bolos de creme 3 horas. Formule apenas o modelo do problema. 4) A Fashion Things Ltda. é uma pequena empresa fabricante de diversos tipos de acessórios femininos, entre eles bolsas de modelos diferentes. A empresa foi convencida, pelo seu distribuidor, de que existe mercado tanto para bolsas do modelo padrão (preço médio) quanto para as bolsas do modelo luxo (preço alto). A confiança do distribuidor é tão acentuada que ele garante que ele irá comprar todas as bolsas que forem produzidas nos próximos três meses. Uma análise detalhada dos requisitos de fabricação resultaram na especificação da tabela abaixo, a qual apresenta o tempo despendido (em horas) para a realização das quatro operações que constituem o processo produtivo, assim como o lucro estimado por tipo de bolsa: Produto Corte e coloração Costura Acabamento Inspeção e Empacotamento Lucro por bolsa Padrão 7/10 1/2 1 1/10 R$10,00 De luxo 1 5/6 2/3 1/4 R$9,00 Tempo disp ) A indústria Alumilândia S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessuras fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de Lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da AlumiLândia S/A., há uma demanda extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de R$ ,00 para cada capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 tonelada de Lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ ,00 para cada produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 tonelada de

2 Lâminas grossas por dia. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível? Elabore o modelo. 6) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele já transporta 200 caixas de laranjas a 20 u.m de lucro por caixa por mês. Ele necessita transportar pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? 7) Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama atenção de telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Elabore o modelo. 8) A empresa Have Fun S/A produz uma bebida energética muito consumida pelos frequentadores de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação da bebida são soluções compradas de laboratórios terceirizados solução Red e solução Blue e que provêem os principais ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná e cafeína. A companhia quer saber quantas doses de 10 militros de cada solução deve incluir em cada lata da bebida, para satisfazer às exigências mínimas padronizadas de 48 gramas de extrato de guaraná e 12 gramas de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o custo de produção. Por acelerar o batimento cardiáco, a norma padrão também prescreve que a quantidade de cafeína seja de, no máximo, 20 gramas por lata. Uma dose da solução Red contribui com 8 gramas de extrato de guaraná e 1 grama de cafeína, enquanto uma dose da solução Blue contribui com 6 gramas de extrato de guaraná e 2 gramas de cafeína. Uma dose de solução Red custa R$ 0,06 e uma dose de solução Blue custa R$ 0,08. 9) Um fabricante de bombons tem estocado bombons de chocolate, sendo 130 kg com recheio de cerejas e 170 kg com recheio de menta. Ele decide vender o estoque na forma de dois pacotes sortidos diferentes. Um pacote contém uma mistura com metade do peso dos bombons de cereja e metade em menta e vende por R$ 20,00 por kg. O outro pacote contém uma mistura de um terço de bombons de cereja e dois terços de menta e vende por R$12,50 por kg. O vendedor deveria preparar quantos quilos de cada mistura a fim de maximizar seu lucro nas vendas? 10) Uma mulher tem R$ ,00 para investir e seu corretor sugere investir em dois títulos, A e B. O título A é bastante arriscado, com lucro anual de 10% e o título B é bastante seguro, com um lucro anual de 7%. Depois de algumas considerações, ela resolve investir no máximo R$ 6.000,00 no título A, no mínimo R$ 2.000,00 no título B. Como ela deverá investir seus R$ ,00 a fim de maximizar o rendimento anual? 11) Uma pessoa precisa de 10, 12 e 12 unidades dos produtos químicos A, B e C, respectivamente, para o seu jardim. Um produto contém 5, 2 e 1 unidade de A, B e C, respectivamente, por vidro; um produto em pó contém 1, 2 e 4 unidades de A, B e C respectivamente por caixa. Se o produto líquido custa $3,00 por vidro e o produto em pó custa $2,00 por caixa, quantos vidros e quantas caixas ele deve comprar para minimizar o custo e satisfazer as necessidades?

3 12) Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso. 13) Um carpinteiro dispõe de 90, 80 e 50 metros de compensado, pinho e cedro, respectivamente. O produto A requer 2, 1 e 1 metro de compensado, pinho e cedro, respectivamente. O produto B requer 1, 2 e 1 metros, respectivamente. Se A é vendido por $120,00 e B por $100,00, quantos de cada produto ele deve fazer para obter um rendimento bruto máximo? Elabore o modelo. 14) A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. Elabore o modelo. 15) No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produção. Produto Contribuição (lucro Horas de Horas de uso Demanda máxima por unidade) trabalho de máquinas P P P Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período. Faça a modelagem desse problema. 16) Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que são disponíveis nas quantidades de , e litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: - um litro de gasolina verde 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo; - um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de aditivo; - um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. Como regra de produção, baseada em demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $0,30, $0,25 e $0,20 respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro. Construa o modelo do problema.

4 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 PESQUISA OPERACIONAL MODELAGEM - RESPOSTAS: 1) RESPOSTA: Max Z = 300x x 2 Sujeito a: 2x 1 + x 2 16 x 1 + 2x 2 11 x 1 + 3x restrição do algodão - restrição da seda - restrição da lã 2) RESPOSTA: Min Z = 0,30x 1 + 0,40x 2 Sujeito a: 2x 1 + 3x x 1 + 3x restrição do esp. refrigerado - restrição do esp. não refrigerado 3) RESPOSTA: Max Z = x 1 + 3x 2 Sujeito a: x 1 40 x 2 60 x 2 10 x 1 + x x 1 + 2x ) RESPOSTA: Max Z = 10x 1 + 9x 2 Sujeito a: 7/10x 1 + x /2x 1 + 5/6x x 1 + 2/3x /10x 1 + 1/4x ) RESPOSTA: Min Z = x x 2 Sujeito a: 8x x restrição lâminas finas x 1 + x restrição lâminas médias 2x 1 + 7x restrição lâminas grossas

5 6) RESPOSTA: Max Z = 10x x Sujeito a: x 1 + x x x ) RESPOSTA: Max Z = 30000x x 2 Sujeito a: 20x 1 +10x 2 80 x 1 + x 2 5 8) RESPOSTA: Min Z = 0,06x 1 + 0,08x 2 Sujeito a: 8x 1 + 6x 2 48 x 1 + 2x 2 12 x 1 + 2x ) RESPOSTA: Max Z = 20x ,50x 2 Sujeito a: 1/2x 1 + 1/3x /2x 1 + 2/3x ) RESPOSTA: Max Z =0,10x 1 + 0,07x 2 s.a x1+ x x x x 1,

6 11) RESPOSTA: Min Z = 3x 1 + 2x 2 Sujeito a: 5x 1 + x x 1 + 2x 2 12 x 1 + 4x ) RESPOSTA: Max Z = 1000x x 2 Sujeito a: 20x x x 1 40 x ) RESPOSTA: Max Z = 120x x 2 Sujeito a: 2x 1 + x 2 90 x 1 + 2x 2 80 x 1 + x ) RESPOSTA: Max Z = 60x x 2 Sujeito a: 10x x x 1 + 7x ) RESPOSTA: Max Z = 2100x x x 3 Sujeito a: 6x 1 + 4x 2 + 6x x 1 + 6x 2 + 2x x x x x 3 0

7 16) RESPOSTA: Max Z = 0,30x 1 + 0,25x 2 + 0,20x 3 Sujeito a: 0,22x 1 + 0,52x 2 + 0,74x ,50x 1 + 0,34x 2 + 0,20x ,28x 1 + 0,14x 2 + 0,06x x 3 16x 1 x

8 LISTA DE EXERCÍCIOS 2 PESQUISA OPERACIONAL MODELAGEM 1) Uma pequena metalúrgica deseja maximizar sua receita com a venda de dois tipos de finas fitas de aço que se diferenciam em qualidade no acabamento de corte. As fitas são produzidas a partir do corte de bobinas de grande largura. Existem duas máquinas em operação. Uma das máquinas é mais antiga e permite o corte diário de 4000m de fita. A outra, mais nova, corta até 6000m. A venda das chapas no mercado varia com a qualidade de cada uma. Fitas produzidas na máquina antiga permitem um lucro de 3 u.m por mil metros de produção. Fitas cortadas na máquina mais moderna produzem um lucro de 5 u.m por mil metros de produção. Cada mil metros de fita cortada na máquina antiga consome 3 homens x hora de mão-de-obra. Na máquina moderna são gastos apenas 2 homens x hora. Diariamente são disponíveis 18 homens x hora para a operação de ambas as máquinas. Determinar a produção que otimiza o lucro da metalúrgica. Elabore o modelo. 2)Um pequeno entregador pode transportar madeira ou frutas em seu carrinho de mão, mas cobra 40 reais para cada fardo de madeira e 25 reais para cada saco de frutas. Os fardos pesam 1kg e ocupam 2 dm 3 de espaço. Os sacos de frutas pesam 3 kg e ocupam 2 dm 3 de espaço. O carrinho tem capacidade de transportar 12 kg e 35 dm 3, e o entregador pode levar quantos sacos e quantos fardos desejar. Elabore o modelo para maximizar o lucro do entregador. 3) Uma companhia de investimento dispõe de R$ para investir em ações e letras imobiliárias. Sua política de aplicação consiste em : aplicar, no máximo, 50% do disponível em ações; aplicar, no máximo, 65% do disponível em letras imobiliárias. Através de uma pesquisa de mercado, a companhia verificou que deveria aplicar no máximo 40% do disponível, na diferença entre a quantidade aplicada em ações e a quantidade aplicada em letras; e aplicar 10%, no máximo, do disponível na soma da sétima parte aplicada em ações com a quarta parte aplicada em letras. As ações produzem uma rentabilidade de 5% ao mês e as letras 4% ao mês. Qual é o investimento ótimo que maximiza o lucro da companhia. Formule o modelo do problema. 4) Uma pessoa tem até R$ ,00 para investir e seu corretor sugere investir em dois títulos, A e B. O título A é bastante arriscado, com lucro anual de 15% e o título B é bastante seguro, com um lucro anual de 8,2%. Depois de algumas considerações, ela resolve investir no máximo R$ 6.500,00 no título A, no mínimo R$ 2.500,00 no título B.. Como ela deverá investir seus R$ ,00 a fim de maximizar o rendimento anual?. Elabore o modelo. 5) A empresa de logística Deixa Comigo S/A tem duas frotas de caminhões para realizar transportes de cargas para terceiros. A primeira frota é composta por caminhões médios e a segunda por caminhões gigantes, ambas com condições especiais para transportar sementes e grãos prontos para o consumo, como arroz e feijão. A primeira frota tem a capacidade de peso de quiligramas e um limite de volume de pés cúbicos, enquanto a segunda pode transportar até quilogramas e acomodar pés cúbicos de volume. O próximo contrato de transporte refere-se a uma entrega de até quilogramas de sementes e quilogramas de grãos, sendo que a Deixa Comigo S/A pode aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga, deixando o restante para outra transportadora entregar. O volume ocupado pelas sementes é de 0,4 pé cúbico por quilograma, e o volume dos grãos é de 0,2 pé cúbico por quilograma. Sabendo que o lucro para transportar as sementes é de R$0,12 por quilograma e o lucro para transportar os grãos é de R$0,35 por quilograma. Faça a modelagem do problema com objetivo de encontrar a quantidade de quilogramas de sementes e a quantidade de quilogramas de grãos a Deixa Comigo S/A deve transportar para minimizar o seu lucro. Elabore o modelo.

9 6) Um fabricante de fantasias tem em estoque 32 m de brim, 22 m de seda e 30 m de cetim e pretende fabricar dois modelos de fantasias. O primeiro modelo (M1) consome 4m de brim, 2 m de seda e 2 m de cetim. O segundo modelo (M2) consome 2 m de brim, 4 m de seda e 6 m de cetim. Se M1 é vendido a u.m. e M2 a u.m., quantas peças de cada tipo o fabricante deve fazer para obter a receita máxima? Elabore o modelo. 7)Uma determinada confecção opera com dois produtos: calças e camisas. Como tratam-se de produtos semelhantes, possuem uma produtividade comparável e compartilham os mesmos recursos. A programação da produção é realizada por lotes de produto. O departamento de produção informa que são necessários 10 homens x hora para um lote de calças e 20 homens x hora para um lote de camisas. Sabese que não é necessária mão-de-obra especializada para a produção de calças, mas são necessários 10 homens x hora desse tipo de mão-de-obra para produzir um lote de camisas. O departamento de pessoal informa que a força máxima de trabalho disponível é de 30 homens x hora de operários especializados e de 50 homens x hora de não especializados Da planta de produção, sabemos que existem apenas duas máquinas com capacidade de produzir os dois tipos de produto, sendo que a máquina 1 pode produzir um lote de calças a cada 20 horas e um lote de camisas a cada 10 horas, não podendo ser utilizada por mais de 80 horas no período considerado. A máquina 2 pode produzir um lote de calças a cada 30 horas e um lote de camisas a cada 35 horas, não podendo ser utilizada por mais de 130 horas no período considerado. São necessários dois tipos de matéria-prima para produzir calças e camisas. Na produção de um lote de calças são utilizados 12 quilos de matéria-prima A e 10 da B. Na produção de um lote de camisas são utilizados 8 quilos da matéria-prima A e 15 da B. O almoxarifado informa que, por imposições de espaço, só pode fornecer 120 quilos de A e 100 quilos de B no período considerado. Sabendo-se que o lucro pela venda é de 800 reais nos lotes de camisas e de 500 reais nos lotes de calças. Formule o modelo. 8) Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento) Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açucar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga aluguel da terra $ 300,00 por alqueire por ano. P (Pecuária) Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 kg/alq) e irrigação ( litros de água/alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire no ano. S (Plantio de Soja) Usar uma terça parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e litros de água/alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00 / Alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano: litros de água kg de adubo 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo. 9) Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente, a oficina faz apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir. Recurso Disponibilidade Madeira 12m 2 Mão-de-obra 8 H.h

10 O processo de produção é tal que, para fazer 1 mesa a fábrica gasta 2m 2 de madeira e 2 H.h de mão-deobra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3m 2 de madeira e 1 H.h de mão-de-obra. Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de R$4,00 e cada armário, de R$1,00. O problema do fabricante é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro. Elabore o modelo. 10) Uma companhia fabrica dois produtos P1 e P2 que utilizam os mesmos recursos produtivos: matériaprima, forja e polimento. Cada unidade de P1 exige 4 horas de forjaria, 2 h de polimento e utiliza 100 unidades de matéria-prima. Cada unidade de P2 requer 2 horas de forjaria, 3 h de polimento e 200 unidades de matéria-prima. O preço de venda de P1 é u.m. e de P2, u.m. Toda produção tem mercado garantido. As disponibilidades são de: 20 h de forja; 10 h de polimento e 500 unidades de matéria-prima, por dia. Elabore o modelo linear para o problema.

11 LISTA DE EXERCÍCIOS 2 PESQUISA OPERACIONAL MODELAGEM - RESPOSTAS 1) RESPOSTA: Max Z = 3x 1 + 5x 2 Sujeito a: x 1 4 x 2 6 3x 1 + 2x 2 18 x 1, 2) RESPOSTA: Max Z = 40x x 2 s.a: x 1 + 3x x 1 + 2x 2 35 x 1, 3) RESPOSTA: Max Z = 0,05x 1 + 0,04x 2 Sujeito a: x x x 1 - x /7x 1 + 1/4x ) RESPOSTA: Max Z = 0,15x 1 + 0,082x 2 s.a x1+ x x x x 1,

12 5) RESPOSTA: x 1 sementes transportadas (kg) 0,12 x 2 grãos transportados (kg) 0,35 Teremos uma restrição para a carga. A quantidade de sementes + quantidade de grãos não pode ultrapassar (Kg) x 1 + x Temos uma restrição para o volume. 0,4x 1 + 0,2x ( ) Temos a restrição do transporte das sementes. Transporta até kg de sementes: x Temos a restrição do transporte dos grãos. Transporta até kg de sementes: x Modelo: Max Z = 0,12x 1 + 0,35x 2 Sujeito a: x 1 + x ,4x 1 + 0,2x x x ) RESPOSTA: Max Z = 300x x 2 Sujeito a: 4x 1 + 2x x 1 + 4x x 1 + 6x 2 30

13 7) RESPOSTA: x 1 camisas 800 reais x 2 calças 500 reais CAMISAS CALÇAS SINAL DISPONÍVEL Mão de obra não esp Mão de obra especial Tempo da Máquina Tempo da Máquina Matéria prima A Matéria prima B Max Z = 800x x 2 Sujeito a: 20x x x x x x x x x x x ) RESPOSTA: Max Z = 300x x x 3 Sujeito a: x 1 + x 2 + x x x x x ) RESPOSTA: Max Z = 4x 1 + x 2 Sujeito a: 2x 1 + 3x x 1 + x 2 8

14 10) RESPOSTA: Max Z = 1900x x 2 Sujeito a: 100x x x 1 + 2x x 1 + 3x 2 10