AULA 08 PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA. Eduardo Camargo de Siqueira PESQUISA OPERACIONAL TECNÓLOGO EM ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS

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1 AULA 08 PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA Eduardo Camargo de Siqueira PESQUISA OPERACIONAL TECNÓLOGO EM ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS

2 INTRODUÇÃO Os problemas de Programação Linear Inteira podem ser entendidos como casos específicos da Programação Linear. Todas, ou parte, das variáveis de decisão devem ser inteiras. Importante se ter mente o grau de dificuldade associado à sua solução. 2

3 INTRODUÇÃO Não quer dizer que problemas que exijam computadores com alta capacidade. Mesmo que a solução ótima não seja encontrada, é possível obter boas soluções viáveis. E mostrar quão próximo da solução ótima podem estar. 3

4 INTRODUÇÃO Problemas de Programação Linear Inteira Pura (PLI). Problemas de Programação Linear Inteira Mista (PLIM). Problemas de Programação Linear Inteira Binária (PLIB). Problemas de Otimização Combinatória. 4

5 FORMAS DE RESOLUÇÃO Inicialmente, pode-se ignorar a restrição que impõe que as variáveis de decisão devam ser inteiras (relaxação linear) e resolver com o método Simplex. Caso a resposta não seja um número inteiro, deve-se arredondá-la. A solução arredondada pode ser inviável ou longe da solução ótima. 5

6 FORMAS DE RESOLUÇÃO 6

7 FORMAS DE RESOLUÇÃO 7

8 FORMAS DE RESOLUÇÃO Outra abordagem é o método de enumeração. A aplicação deste método é impraticável para problemas reais que geralmente envolvem várias variáveis de decisão. 8

9 CONSIDERAÇÕES O número de soluções em um problema de PLI é finito, mas isto não implica que seja fácil de resolver. Num problema PLIB com n variáveis há 2 n soluções. Os melhores algoritmos não podem garantir a solução de todos os problemas. 9

10 EXEMPLO 1 Uma confeitaria pode produzir dois tipos de sorvete em lata: chocolate e creme. Cada lata do sorvete de chocolate é vendido com um lucro de $3 e as latas de creme com um lucro de $1. Contratos com várias lojas impõem que sejam produzidas no mínimo 10 latas de sorvete de chocolate por dia e que o total de latas fabricadas por dia nunca seja menor que

11 EXEMPLO 1 O mercado só é capaz de consumir até 40 latas de sorvete de creme e 60 de chocolate. As máquinas de preparação do sorvete disponibilizam 180 horas de operação por dia, sendo que cada lata de sorvete de chocolate consome 2 horas de trabalho e cada lata de creme, 3 horas. Determine o esquema de produção que maximiza os lucros com a venda de latas de sorvete. 11

12 EXEMPLO 1 - SOLUÇÃO Variáveis de decisão: x 1 = quantidade de latas de sorvete de chocolate. x 2 = quantidade de latas de sorvete de creme. Função-objetivo: max z = 3x 1 + x 2 12

13 EXEMPLO 1 - SOLUÇÃO Demanda do mercado: x 1 60 (mercado só é capaz de consumir até 60 latas de chocolate) x 2 40 (mercado só é capaz de consumir até 40 latas de creme) Contrato com as lojas: x 1 10 (mínimo 10 latas de sorvete de chocolate) x 1 + x 2 20 (total de latas fabricadas nunca seja menor que 20) Disponibilidade das máquinas: 2x 1 + 3x (máquinas disponibilizam 180 horas de operação). Restrições de integralidade e não-negativadade: x 1, x 2 Z + 13

14 EXEMPLO 1 - SOLUÇÃO Formulação completa: max z = 3x 1 + x 2 sujeito a 2x 1 + 3x x 1 + x 2 20 x 1 10 x 1 60 x 2 40 x 1, x 2 Z + 14

15 EXEMPLO 1 (Gráfico) 15

16 EXEMPLO 1 (Considerações) Propriedade de um PPL: O ótimo de um PPL, se existir, estará em um vértice do politopo definido pela região viável. O ótimo do PPL em questão ocorre no vértice de coordenadas (60; 20), com valor ótimo dado por f(x) = 200. Devem ser produzidas diariamente 60 latas de sorvete de chocolate e 20 de creme, com um retorno de $

17 EXEMPLO 1 (Considerações) No exemplo dado, a solução ótima ocorreu em um ponto extremo de coordenadas inteiras. No entanto, nem sempre isso ocorre. 17

18 EXEMPLO 2 Formulação: max z = x x 2 sujeito a x x 2 50 x 1 + x 2 20 x 1, x 2 Z + Solução: z = 48,42 x 1 = 18,42 x 2 = 1,58 18

19 EXEMPLO 2 Vamos supor que seja uma boa estratégia determinar os inteiros mais próximos do entorno dessa solução contínua: x 1 x 2 z 19 2 inviável inviável

20 EXEMPLO 2 Se essa estratégia fosse correta, concluiríamos que x 1 = 19 e x 2 = 1 é a solução ótima do problema, com z = 38. A solução ótima é: x 1 = 10 e x 2 = 2, com z = 48. Diferença de 21%. 20

21 EXEMPLO 2 (Considerações) Esse exemplo mostra que pode não ser uma boa estratégia arredondar os valores do entorno de uma solução ótima contínua como uma forma de determinar a solução ótima do problema de variáveis inteiras. 21

22 FORMULAÇÕES ALTERNATIVAS 22

23 FORMULAÇÕES ALTERNATIVAS 23

24 EXEMPLO 3 (PLIB) Uma indústria quer se expandir, construindo nova fábrica ou em Los Angeles ou em São Francisco. Também será considerada a construção de um novo depósito na cidade que for selecionada para receber a nova fábrica. O valor presente líquido de cada alternativa está na tabela a seguir. 24

25 EXEMPLO 3 (PLIB) Achar a combinação viável de alternativas que maximize o valor presente líquido total. 25

26 EXEMPLO 3 - SOLUÇÃO Variáveis de decisão: x 1 = Construir fábrica em Los Angeles?. x 2 = Construir fábrica em São Francisco? x 3 = Construir depósito em Los Angeles? x 4 = Construir depósito em São Francisco? Função-objetivo: max z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 26

27 EXEMPLO 3 - SOLUÇÃO Capital disponível: 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 Outras restrições: x 1 + x 2 1 (fábrica ou em LA ou em SF) x 3 + x 4 1 (depósito ou em LA ou em SF) x 1 + x 3 0 (depósito na cidade que receber a fábrica) x 2 + x 4 0 (depósito na cidade que receber a fábrica) 27

28 EXEMPLO 3 - SOLUÇÃO Formulação completa: max z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 sujeito a 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 1 + x 2 1 x 3 + x 4 1 x 1 + x 3 0 x 2 + x 4 0 x 1, x 2, x 3, x 4 {0, 1} 28

29 PROBLEMAS DE PLI Alocação de recursos. Problema da Mochila. Problema de Corte de Estoque. Alocação de pessoal. Fluxo Máximo em Redes 29

30 PROBLEMAS DE PLI (Cont.) Problema de Caminho Mínimo. Problema de empacotamento. Programação de horários. Problemas de Localização. Sequenciamento de Tarefas. 30

31 MÉTODOS DE SOLUÇÃO Plano de Cortes. Enumeração Implícita. Branch-and-Bound. Heurísticas e Meta-heurísticas. 31

32 PACOTES DE SOFTWARES Excel Solver. Lindo/Lingo. MPL/CPLEX. GLPK. 32

33 GLPK GNU Linear Programming Kit. Resolvedor de problemas lineares, incluindo problemas de programação inteira. Código aberto, disponível gratuitamente. Farta documentação. 33

34 GUSEK Interface gráfica gratuita para Windows. GUSEK é uma versão personalizada do editor SciTE ligada ao solver GLPK. Download: < 34

35 FIM Dúvidas? Obrigado pela atenção! 35