Matemática Financeira

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1 Matemática Financeira 012G MATEMÁTICA FINANCEIRA 3E

2 Desenvolvimento de conteúdo, mediação pedagógica e design gráfico Equipe Técnico Pedagógica do Instituto Monitor Monitor Editorial Ltda. Rua dos Timbiras, 257/263 São Paulo SP Tel.: (11) / Fax: (11) atendimento@institutomonitor.com.br Impresso no Parque Gráfico do Instituto Monitor Av. Rangel Pestana, 1105 a 1113 São Paulo SP Tel./Fax: (11) comercial@canadianpost.com.br 3ª Edição - Abril/2005 Todos os direitos reservados Lei nº de 19/02/98 Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio, principalmente por sistemas gráficos, reprográficos, fotográficos, etc., bem como a memorização e/ou recuperação total ou parcial, ou inclusão deste trabalho em qualquer sistema ou arquivo de processamento de dados, sem prévia autorização escrita da editora. Os infratores estão sujeitos às penalidades da lei, respondendo solidariamente as empresas responsáveis pela produção de cópias.

3 Índice Apresentação... 7 Lição 1 - O Valor do Dinheiro no Tempo Introdução Valor Presente e Valor Futuro do Dinheiro Conceitos Financeiros Tipos de Juros Juros Simples Juros Compostos Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juros Inflação Exercícios Propostos Lição 2 - Equivalência de Taxas e de Capitais Introdução Equivalência de Taxas de Juros Simples Equivalência de Taxas de Juros Compostos Equivalência de Capitais com Juros Compostos Exercícios Propostos Lição 3 - Séries Uniformes de Pagamentos e Recebimentos Introdução Características das Séries Uniformes Exercícios Propostos Lição 4 Sistemas de Amortização de Empréstimos Introdução O que é Amortização Sistema de Amortização Constante Sistema Francês (ou Sistema Price) Exercícios Propostos Resolução dos Exercícios Propostos Bibliografia G/5

4 Apresentação Suponhamos que um jovem receba uma herança de 10 milhões de reais e resolva aplicá-la no mercado financeiro. Um banco paga, para ter esse dinheiro, juros de 5% ao ano. Assim, esse jovem vive a vida sem ter de se preocupar com trabalho, já que recebe, por ano, 500 mil reais. O banqueiro, por sua vez, recebe esse dinheiro e o empresta, a juros de 10% ao ano, a uma empresa que ganha, na produção, 15% ao ano. Parece tudo muito simples, já que todos lucram. Mas, e se todas as pessoas que dispõem de recursos resolvessem parar de produzir e viver de juros? Se isso acontecesse, o banqueiro teria muita oferta de dinheiro, e passaria a pagar cada vez menos por ele. Nesse caso, as aplicações deixariam de ser interessantes, e as pessoas tenderiam a voltar ao mercado produtivo. Sabendo que os capitais existentes no país podem estar na área financeira ou no setor produtivo, vale ressaltar que é importante um equilíbrio no direcionamento desses capitais, já que o setor produtivo é o responsável pela geração de riquezas e, conseqüentemente, de empregos e melhor qualidade de vida para maior parcela da população. Essa situação serve para ilustrar o funcionamento do mercado de juros, que pode variar muito em decorrência de fatores internos e externos de qualquer sistema econômico. A Matemática Financeira nos auxilia a calcular os ganhos de uma aplicação do nosso dinheiro, seja no mercado financeiro, seja numa empresa. Ela ajuda, também, a verificar os custos de um financiamento: tanto numa loja (compras a prazo) quanto num banco (empréstimo de dinheiro). Matemática Financeira é o conjunto de conceitos matemáticos utilizados para a análise e operacionalização de transações financeiras. Seu objetivo é avaliar as taxas de juros nas aplicações e nos empréstimos, já que, para fazermos uma aplicação, o melhor é procurar a mais alta taxa de juros disponível; e, para um empréstimo, o ideal é procurar a mais baixa taxa de juros disponível. Para chegar a isso, é necessário conhecer conceitos matemáticos como taxa, capital, saber calcular juros, período ideal de aplicação, etc. Assim, vemos que essa disciplina é importante para a gestão de uma empresa e no processo de tomada de decisão financeira, pois estimar o desgaste do dinheiro no tempo é fundamental para avaliar os custos financeiros de uma empresa. 012G/7

5 lição 1 O Valor do Dinheiro no Tempo Introdução O valor do dinheiro muda ao longo do tempo, e a matemática ajuda-nos a calcular essa transformação. Podemos afirmar que R$ 1,00 hoje jamais é igual a R$ 1,00 em qualquer outro momento. Obs.: obviamente, as mercadorias e produtos não têm seus preços alterados diariamente, mas, periodicamente, sofrem reajustes de preços que visam repor as perdas verificadas em todo o período em que não tiveram aumento. R$ 1,00 R$ 1,00 Hoje 30 dias depois tempo Isso ocorre porque o dinheiro perde valor ao longo do tempo. O que compramos com R$ 100,00 hoje dificilmente poderá ser comprado daqui a dois anos, pelos mesmos R$ 100,00. Isso significa que o dinheiro perde poder aquisitivo. Existem vários motivos que levam à desvalorização do dinheiro; por exemplo, podemos citar a inflação, nossa velha conhecida. Mas é importante saber que nem sempre ela é a principal causadora da perda do poder aquisitivo do dinheiro. 012G/9

6 Instituto Monitor Se o dinheiro necessariamente perde valor, o maior desafio para quem guardou parte de sua renda e possui dinheiro poupado é manter o valor dessa economia ou poupança; ou seja, impedir que o dinheiro perca valor com o passar do tempo. Por outro lado, quem não tem poupança e precisa de dinheiro emprestado terá que compensar aquele que empresta, pois o pagamento do empréstimo será naturalmente efetuado em data futura. Para todas essas questões, a Matemática Financeira fornece métodos e técnicas que permitem o cálculo das perdas e dos ganhos do dinheiro ao longo do tempo. 1. Valor Presente e Valor Futuro do Dinheiro Se o dinheiro desvaloriza-se com o tempo, o primeiro fato a ser considerado é o de que o valor do dinheiro hoje é diferente do valor do dinheiro em qualquer data futura. Sendo assim, o dinheiro tem um valor presente e um valor futuro. Valor presente é aquele que, na escala do tempo, está localizado no momento atual (ou na data de hoje), também chamado de datazero. Para quem estuda Matemática Financeira, o conhecimento de alguns conceitos é imprescindível. Veremos aqui, os mais importantes. Capital ou Principal: é a quantia de dinheiro transacionada 1 numa operação, seja ela de aplicação ou empréstimo. Quando alguém aplica na Caderneta de Poupança, o valor investido é chamado de capital ou de principal da aplicação. Contrariamente, quando alguém vai ao banco e toma dinheiro emprestado, o valor do recurso cedido pelo banco é chamado de principal da dívida ou capital do banco. Juros: é a remuneração do capital ou principal. Ao se tomar dinheiro emprestado, remunera-se com juros quem cedeu o dinheiro (geralmente, o banco). Ao se aplicar um recurso, os juros representam a remuneração da aplicação financeira (nesse caso, o banco remunera o investidor). Os juros impedem que o dinheiro desvalorize ao longo do tempo, compensando quem investe e quem empresta dinheiro. Montante: é o valor composto pelo principal acrescido de juros. Quando alguém aplica na Caderneta de Poupança um determinado valor (principal) durante 6 meses, por exemplo, o montante dessa operação será composto do principal mais os juros acumulados ao longo desse tempo de aplicação. Valor futuro é aquele que se encontra em qualquer data após a data-zero; pode ser aquele de um dia depois, um mês depois, um ano depois, dez anos depois. Valor Presente Data de hoje Valor Futuro Data futura 2. Conceitos Financeiros tempo Taxa de Juros: é a remuneração do capital expressa em porcentagem por unidade ou período de tempo, que pode ser mensal, trimestral, anual, etc. Por exemplo, a Caderneta de Poupança remunera seus aplicadores com juros de 6% ao ano. Em termos relativos, 6% equivalem a 0,06 do principal. 1 Transacionada: aquilo que foi objeto de transação, que foi negociado. No contexto acima, diz respeito à quantia de dinheiro que foi empregada numa aplicação. 012G/10

7 Instituto Monitor Período de Capitalização: refere-se àquele período de tempo (mês, ano, etc.) em que os juros serão efetivamente calculados e somados a uma dívida (no caso de empréstimos) ou aplicação (no caso de investimentos). 3. Tipos de Juros 3.1 Juros Simples Os juros simples são calculados pelo chamado regime de capitalização simples, o que significa dizer que não há incidência de juros sobre juros. Ou seja, o juro é resultado da taxa de juros por período (mês, ano, etc.) multiplicada somente pelo principal. Vejamos um exemplo. O Sr. Martins aplicou R$ 1.000,00 em um banco pelo período de três meses. Ao final do trimestre, ele receberá do banco os R$ 1.000,00 que aplicou; além disso, ao final de cada mês, receberá 2% de juros simples, que correspondem à remuneração do investimento feito. Ao final de cada mês, o banco terá de pagar ao Sr. Martins: 1º mês = R$ 1.000,00 0,02 = R$ 20,00 2º mês = R$ 1.000,00 0,02 = R$ 20,00 3º mês = R$ 1.000,00 0,02 = R$ 20,00 Depois de 3 meses, o banco deverá ter pago ao Sr. Martins R$ 60,00 de juros, além de devolver os R$ 1.000,00 referentes ao principal do investimento. Podemos então dizer que: J = Cin Onde: J: juros C: capital i: taxa de juros n: número de períodos de investimento ou aplicação E podemos também dizer que: Onde: M: montante M = C(1+in) 012G/11

8 Instituto Monitor Assim, na aplicação do Sr. Martins: J = ,02 3 = R$ 60,00 M = (1 + 0,02 3) = R$ 1.060,00 Se representarmos graficamente, através dos fluxos de caixa da operação, a aplicação financeira realizada pelo Sr. Martins, teremos: R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 1.000,00 + R$ 20,00 1º mês 2º mês 3º mês tempo R$ Os fluxos de caixa de uma operação financeira representam graficamente as entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo; no caso acima, o gráfico foi elaborado tendo em vista as entradas e saídas do investidor (Sr. Martins). O gráfico deve ser lido assim: o eixo horizontal representa o tempo dividido em períodos (no exemplo, cada período equivale a um mês); as setas apontadas para baixo representam as saídas de recursos ou aquilo que foi desembolsado pelo investidor; as setas apontadas para cima representam entradas de recursos ou reembolsos do investidor. Vejamos mais um exemplo. O Sr. Pereira aplicou R$ ,00 pelo período de um ano, e a remuneração anual dessa aplicação financeira é de 30%. Vejamos como calcular os juros e o montante, e como apresentar os fluxos de caixa. J = Cin J = ,3 x 1 J = R$ 3.000,00 M = C(1+in) M = (1 + 0,3 1) M = ,00 Fluxos de caixa para o investidor (Sr. Pereira): 1 ano R$ tempo R$ G/12

9 Instituto Monitor Um investidor aplicou R$ ,00 durante seis meses, e a remuneração foi de 4% ao mês (juros simples), paga ao final de cada mês. Quanto recebeu de juros? Qual o montante da operação? J = Cin J = ,04 6 J = R$ ,00 M = C(1+in) M = (1 + 0,04 6) M = R$ ,00 Fluxos de caixa para o investidor: º mês 2º mês 3º mês 4º mês 5º mês 6º mês Vejamos um caso em que se toma dinheiro emprestado. O Sr. Mateus foi ao banco e tomou emprestado R$ 5.000,00 para serem pagos ao final de três meses. Todavia, ao final de cada mês ele deve pagar ao banco 5% de juros (simples) sobre o valor emprestado (R$ 5.000,00). Quanto o Sr. Mateus pagará de juros? Qual o montante do empréstimo? Como são os fluxos de caixa da operação? J = Cin J = ,05 3 J = R$ 750,00 M = C(1 + in) M = (1 + 0,05 3) M = R$ 5.750,00 012G/13

10 Instituto Monitor Para o Sr. Mateus, os fluxos de caixa serão: º mês 2º mês 250 3º mês Vejamos um exemplo. O Sr. José investiu, pelo período de três meses, R$ ,00 numa aplicação financeira que oferece juros de 1% ao mês. Como ele não retirará os juros ao final de cada mês, o banco irá pagá-los no final do trimestre, quando também fará a devolução do principal. Assim, o investimento do Sr. José será acrescido de juros a cada mês: Na data-zero, o Sr. Mateus recebeu R$ 5.000,00. Ao final de cada mês, ele pagou juros; ao final do 3º mês, também pagou ao banco, além dos juros daquele mês, o principal. Juros simples não são comuns em operações financeiras de empréstimos e aplicações. O que se pratica, de fato, é a capitalização composta, ou juros compostos. 3.2 Juros Compostos Os juros compostos são calculados pelo chamado regime de capitalização composta, o que significa dizer que há incidência de juros sobre juros. Ou seja, os juros de cada período são somados ao principal, e sobre esse total incidem novos juros no período seguinte; e assim sucessivamente. O cálculo do montante de uma aplicação com juros compostos é dado por: M = C (1 + i) n Onde (1 + i) n representa o fator de acumulação de capital, que pode ser calculado por máquinas calculadoras que possuem a função exponencial ou ainda pode ser obtido em tabelas prontas, procedimento bastante comum em casas comerciais varejistas que vendem a prazo. O cálculo dos juros pagos por essa aplicação é dado por: J = M C 1º mês = ,01 = R$ ,00 2º mês = ,01 = R$ ,00 3º mês = ,01 = R$ ,01 De outra forma: R$ ,01 1,01 1,01 = R$ ,01 Ou seja: M = C (1 + i) n M = (1 + 0,01)³ M = ,01 Os juros a serem recebidos pelo Sr. José ao final do trimestre: J = M - C J = , ,00 J = 303,01 Para o investidor, os fluxos de caixa serão: ,00 1º mês 2º mês 3º mês ,01 Mais um exemplo: a Caderneta de Poupança remunera seus investidores com juros de 6% ao ano, capitalizando 0,5% de juros ao 012G/14

11 Instituto Monitor mês. Um investidor aplica R$ 4.000,00 por um ano e não faz qualquer retirada durante esse período. Qual será o montante desse investimento? Quanto o investidor receberá de juros? M = (1 + 0,005) 12 M = (1,005) 12 M = (1,061678) M = 4.246,71 J = M - C J = 4.246, ,00 J = R$ 246,71 Para esse investidor, os fluxos de caixa serão: 4.246, meses A Sra. Luciana Alves pediu em um banco R$ 2.000,00 emprestados, e o pagamento total será feito depois de dois meses. Se o banco cobra juros de 5% ao mês, qual será o montante dessa dívida? Quanto ela pagará de juros por esse empréstimo? M = 2.000(1 + 0,05)² M = 2.000(1,1025) M = 2.205,00 J = 2.205, ,00 J = 205,00 Para a Sra. Luciana, os fluxos de caixa serão: º mês 2º mês 2.205,00 012G/15

12 Instituto Monitor 4. Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juros Taxas de Juros Nominais são aquelas taxas de juros cujos períodos de capitalização não coincidem com os períodos informados. A Caderneta de Poupança, por exemplo, informa que paga 6% de juros ao ano, mas esse juro é capitalizado mensalmente. Taxas de Juros Efetivas são aquelas taxas de juros cujos períodos de capitalização são idênticos aos períodos informados. Exemplo: um banco oferece empréstimo a uma taxa mensal de juros de 3,5%, com capitalização (pagamento dos juros) também mensal. Em outras palavras, a taxa efetiva é aquela que efetivamente remunerou um investimento ou onerou um empréstimo de dinheiro. Vimos, anteriormente, que a Caderneta de Poupança oferece um rendimento anual de 6%, que é a taxa nominal da aplicação financeira. Mas como os juros são capitalizados mensalmente? Qual seria a taxa efetiva anual de remuneração da Caderneta de Poupança? A taxa efetiva é dada por: iefe = [(1 + i) n - 1] iefe = [(1 + 0,005) 12-1] = 0,0617 Ou seja, a taxa efetiva de remuneração da Caderneta de Poupança é de 6,17% ao ano. 5. Inflação A inflação é um evento tipicamente monetário, consistindo num aumento generalizado de preços que é decorrência da perda do poder aquisitivo da moeda. Mas, por que ocorre a inflação? A inflação pode iniciar-se devido ao aumento de custos ou de demanda, ou, ainda, pela combinação dos dois fatores. Uma vez iniciada a inflação, ocorre um fenômeno denominado de espiral de preços, onde todos os atores da economia (empresas, empregados, governo, etc.) praticam aumentos sistemáticos de preços. 012G/16

13 Exercícios Propostos 1 Por que o dinheiro perde valor ao longo do tempo? 2 - Apresente o conceito de Montante. 3 O que são juros? 4 - Um investidor aplicou R$ durante três meses, e foi remunerado a 6% ao mês (juros simples) ao final de cada mês. Quanto recebeu de juros? Qual o montante da operação? 012G/17

14 Instituto Monitor 5 - Uma pessoa tomou emprestado R$ 8.000,00 para serem pagos ao final de dois meses. Ao final de cada mês, todavia, ela deve pagar ao banco 9% de juros (simples). Quanto essa pessoa pagará de juros? Qual o montante do empréstimo? 6 - Explique como são calculados os juros compostos. 7 - Você investiu, pelo período de três meses, R$ ,00 numa aplicação financeira que oferece juros de 1% ao mês. Quanto você receberá de volta após três meses? 8 - A Sra Adriana Silva tomou emprestado R$ 4.000,00 de seu banco, e deverá pagar o total desse empréstimo ao final de seis meses. O banco cobra juros de 5% ao mês. Qual será o montante dessa dívida? Quanto a Sra. Adriana pagará de juros por esse empréstimo? 012G/18

15 Instituto Monitor 9 - A Caderneta de Poupança remunera seus investidores com 6% de juros ao ano, capitalizando 0,5% de juros ao mês. Um investidor aplicou R$ ,00 por um ano. Durante esse período, não fez qualquer retirada de juros. Qual será o montante desse investimento? Quanto o investidor receberá de juros? 10 Como se diferenciam taxas de juros nominais e taxas de juros efetivas. 012G/19

16 lição 2 Equivalência de Taxas e de Capitais Introdução Nesta lição, verificamos quão relevante é saber calcular a equivalência de taxas para tomar decisões a respeito dos mais diferentes investimentos. Com esses cálculos em mãos, também podemos calcular o valor real de uma mercadoria, que pode ter variação significativa de preço em uma ou outra loja. O cálculo da equivalência de capitais ou de taxas nos permite a comparação, e é comparando que tomamos decisões de compra, de investimento, de financiamento, etc. 1. Equivalência de Taxas de Juros Simples Duas taxas de juros simples são consideradas equivalentes quando a diferença entre elas é devida exclusivamente ao fato de que representam períodos diferentes de tempo. Assim, uma taxa de juros simples de 5% ao mês é equivalente a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre, 30% ao semestre ou 60% ao ano. Qual a taxa anual equivalente à taxa mensal de 3% (juros simples)? ianual = (0,03 x 12 meses) = 0,36 ou 36% ao ano Qual a taxa trimestral equivalente à taxa anual de 20% (juros simples)? itrimestral = (0,20 4 trimestres) itrimestral = 0,05 ou 5% ao trimestre Nesse exemplo, percebemos que, ao aplicar determinada quantia de dinheiro por seis meses, a uma taxa de 5% ao trimestre ou de 20% ao ano, o resultado (montante) será o mesmo. 2. Equivalência de Taxas de Juros Compostos O conceito de taxa equivalente para juros compostos é o mesmo aplicado aos juros simples, considerando-se aqui a característica da capitalização composta. Uma taxa mensal de 2% equivale a qual taxa anual composta? ianual = [(1 + 0,02) 12-1] ianual = 0,2682 ou 26,82% ao ano Uma taxa anual composta de 40% equivale a qual taxa mensal? imensal = [(1 + 0,40) 1/12 1] imensal = 0,0284 ou 2,84% ao mês 3. Equivalência de Capitais com Juros Compostos O cálculo da equivalência entre capitais permite tomar decisões mais adequadas no que diz respeito a compras, investimentos, financiamentos, etc. A uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, R$ 1.000,00 hoje equivalem a quanto daqui a três meses? 012G/21

17 Instituto Monitor Valor Presente (VP) = R$ 1.000,00 Valor Futuro (VF) =? VF = (1 + 0,03)³ VF = 1.092,73 Ou seja, R$ 1.000,00 hoje equivalem a R$ 1.092,73 daqui a três meses, considerando-se uma atualização mensal de 3%. Vejamos um exemplo em que desejamos calcular o valor presente de uma determinada quantia, sabendo seu valor futuro. Se a inflação mensal prevista é de 1% ao mês, R$ 1.000,00 daqui a seis meses equivalem a que valor hoje? VF = R$ 1.000,00 VP =? VP = (1 + 0,01) -6 VP = (0,942045) VP = R$ 942,05 De outro modo: VP = (1 + 0,01) VP = (1,061520) VP = R$ 942,05 Dessa forma, transportamos o valor de R$ (localizado daqui a seis meses) para a data-zero, ou momento atual. R$ 942,05 R$ 1.000,00 data-zero 6 meses depois Vejamos como aplicar esse conhecimento a uma situação do cotidiano. O Sr. Novais terá de pagar uma dívida de R$ 1.000,00 daqui a três meses. Quanto ele deverá investir hoje no banco para ter o equivalente ao valor da dívida daqui a três meses, se ele obtiver, para o seu dinheiro, uma remuneração de 4% ao mês nas aplicações financeiras? 012G/22

18 Instituto Monitor? R$ 1.000,00 prestações mensais iguais de R$ 300,00 na loja A e em 6 prestações mensais iguais de R$ 110,00 na loja B. Sabendo-se que ambas as lojas cobram juros mensais de 5%, em que loja deveria o Sr. Nogueira adquirir seu aparelho de televisão? VP = 1.000,00 (1,04)³ VP = 889,00 Se o Sr. Novais investir R$ 889,00 hoje, a 4% ao mês, ele terá exatamente R$ 1.000,00 daqui a três meses (dinheiro para quitar sua dívida). Uma loja vende uma geladeira por R$ 200,00 de entrada e mais duas prestações mensais de R$ 300,00. Se a loja cobra juros de 8% ao mês, qual seria o valor equivalente, à vista, dessa geladeira? Os fluxos de caixa na perspectiva do comprador: Trazendo para valor presente todos os valores futuros, e somando-os ao valor da entrada, teremos: VP = 200, , ,00 1,08 1,08² VP = 200, , ,20 VP = 734,98 1º mês 2º mês R$ 200,00 R$ 300,00 R$ 300,00 Ou seja, uma entrada de R$ 200,00 e mais duas prestações mensais de R$ 300,00 equivalem a um valor à vista de R$ 734,98. O Sr. Nogueira gostaria de comprar um aparelho de televisão que é vendido em duas de: Na loja A, o preço à vista do aparelho será VP = ,05 1,05² VP = 557,82 de: Na loja B, o preço à vista do aparelho será VP = ,05 1,05 2 1,05 3 1,05 4 1,05 5 1,05 6 VP = 104, , , , , ,08 VP = R$ 558,32 Levando-se os dois conjuntos de prestações para a mesma data, que é a data atual (valor presente), verificamos que as duas ofertas não são equivalentes, ou seja, na loja A o aparelho de televisão é mais barato. A loja de automóveis RT Veículos vende um carro com entrada de R$ 6.000,00 e mais duas prestações de R$ 4.500,00. A loja de automóveis GP Veículos vende um carro idêntico em três prestações de R$ 5.210,00. Sa- 012G/23

19 Instituto Monitor bendo-se que os juros de financiamento de veículo são de 3% ao mês, qual das duas lojas vende mais barato? Loja RT: VP = ,03 1,03² VP = , ,68 VP = ,61 Loja GP: VP = ,03 1,03² 1,03 3 VP = 5.058, , ,89 VP = ,07 A loja RT vende mais barato, pois seu preço à vista equivale a um valor menor do que o preço à vista da loja GP. 012G/24

20 Exercícios Propostos 1 - Qual a taxa anual equivalente à taxa mensal de 6% (juros simples)? 2 - Qual a taxa trimestral equivalente à taxa anual de 40% (juros simples)? 3 - Uma taxa mensal de 4% equivale a qual taxa anual composta? 4 - Uma taxa anual composta de 30% equivale a qual taxa mensal? 012G/25

21 Instituto Monitor 5 - Se a inflação anual prevista é de 10% para os próximos 10 anos, R$ 1.000,00 daqui a 10 anos equivalem a que valor hoje? 6 - Você gostaria de comprar um aparelho de televisão que é vendido em duas prestações mensais de R$ 250,00 na loja A e em quatro prestações iguais de R$ 140,00 na loja B (ambas sem entrada). Se ambas as lojas cobram juros mensais de 6%, em que loja você deveria adquirir seu aparelho de televisão? 7 - Você terá que pagar uma dívida de R$ 3.000,00 daqui a oito meses. Quanto você terá que investir hoje na Caderneta de Poupança para ter o equivalente ao valor da dívida daqui a oito meses? A Caderneta de Poupança paga juros mensais de 0,5% ao mês (vamos considerar somente os juros, sem correção monetária). 8 - Um terreno custa hoje R$ ,00. Daqui a cinco anos esse terreno poderá ser vendido por R$ ,00. Considerando-se uma inflação anual prevista de 6%, vale a pena adquirir esse terreno para vendê-lo daqui a cinco anos? 012G/26

22 lição 3 Séries Uniformes de Pagamentos e Recebimentos Introdução As séries de fluxos de caixa ou de capital referem-se a todo tipo de seqüência de pagamentos ou recebimentos que, por algum motivo, venham a ocorrer: prestações de dívidas, retornos de investimentos, etc. Por isso a importância de saber calculá-las. 1. Características das Séries Uniformes Nesse gráfico, as prestações ocorrem ao final de cada período (são chamadas de postecipadas), mas também podem ocorrer em início de período (antecipadas). O valor de prestações idênticas pode ser facilmente calculado através de calculadoras financeiras. A fórmula de cálculo para uma série de prestações iguais a serem pagas em final de período é: Considerando-se aqui somente a capitalização composta, as séries uniformes, que também são chamadas de anuidades constantes, representam apenas um tipo de série de pagamentos ou de recebimentos. Ou seja, são aquelas seqüências de pagamentos que se caracterizam por serem iguais, constantes ou uniformes. Mas é importante frisar que, além da característica de uniformidade, as séries de pagamentos ou de recebimentos podem ainda ter outras características, tais como crescimento constante, progressão aritmética, progressão geométrica, perpetuidade, etc. Uma série uniforme pode constituir-se, por exemplo, em uma seqüência de diversas prestações iguais, que se sucedem em intervalos constantes, correspondendo aos períodos de capitalização. R$ tomado emprestado R = P i(1 + i)n (1 + i) n - 1 Onde: R: valor da prestação uniforme P: principal ou capital i: taxa de juros n: número de períodos de capitalização Um comerciante pretende vender, em três prestações iguais, sem entrada, bicicletas que custam, à vista, R$ 450,00. E gostaria de cobrar juros de 4% ao mês. Qual o valor das prestações? R = R = 450 0,04(1 + 0,04)3 (1 + 0,04) , , R = 20, , ª prestação 2ª prestação 3ª prestação Prestação n 012G/27 R = R$ 162,16 O comerciante deve vender as bicicletas em 3 prestações iguais de R$ 162,16.

23 Instituto Monitor Para o comerciante, os fluxos de caixa seriam: 162,16 162,16 162,16 450,00 (valor à vista da bicicleta) Em uma determinada loja, o Sr. Anselmo foi informado de que um aparelho de som, cujo valor à vista é de R$ 900,00, pode ser adquirido em 6 prestações iguais, sem entrada, considerando-se um juro composto de 3% ao mês. Qual seria o valor de cada prestação? R = 900 0,03(1,03)6 (1,03) 6-1 R = 32, , R = R$ 166,14 012G/28

24 Exercícios Propostos 1 Você deseja tomar R$ 5.000,00 emprestados junto a um banco para pagar em 5 prestações iguais. Sabendo-se que o banco cobra 5% ao mês de juros, qual seria o valor de cada prestação? 2 Uma loja vende em 10 prestações iguais uma geladeira que custa R$ 400,00 à vista. Qual será o valor de cada prestação se a loja cobrar juros mensais de 3%? 012G/29

25 lição 4 Sistemas de Amortização de Empréstimos Introdução Jt = i St-1 St = (St-1) - At Quando alguém contrai um empréstimo junto a um banco, por exemplo, terá que pagar a ele o valor principal emprestado e os juros, que representam a remuneração do banco pelo dinheiro cedido. Assim, seja pagando um empréstimo de uma só vez ou em diversas prestações, o devedor terá sempre que pagar esses dois valores ao credor: principal e juros. Vamos estudar, nesta lição, o que significa amortizar o valor de um empréstimo. 1. O que é Amortização Geralmente, os principais componentes da prestação de um empréstimo são uma parcela do principal e os juros. Essa parcela do principal é chamada de amortização e pode ser assim representada: Rt = At + Jt Onde: Rt: valor da prestação na data ou momento t At: amortização (parcela do principal) no momento t Jt: juros no momento t Os juros de uma prestação incidem sempre sobre o principal devido. Mas, à medida que o devedor vai pagando as prestações, ele vai amortizando ou diminuindo o principal devido. Esse principal devido, ainda não pago, é chamado de saldo devedor e pode ser calculado segundo as fórmulas: Onde: Jt: juros a serem pagos no momento t i: taxa de juros conforme contrato da dívida St: saldo devedor no momento t (uma data qualquer de vencimento da prestação) St-1: saldo devedor no momento (t - 1), no período anterior ou no vencimento anterior da prestação Período anterior ao momento t (t -1) t tempo No momento t: Pagam-se juros devidos do período anterior: J = i St-1 Amortiza-se uma parte do principal, gerando novo saldo devedor: St = (St-1) - At A regra para a amortização de dívida depende do sistema de amortização adotado no contrato do empréstimo. Dentre os sistemas de amortização, apresentaremos os dois mais conhecidos: Sistema de Amortização Constante e Sistema Francês (ou Sistema Price). 2. Sistema de Amortização Constante Largamente utilizado por bancos e financeiras, o Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome diz, caracteriza-se pelo 012G/31

26 Instituto Monitor fato de que suas amortizações são constantes, e também pelo fato de suas prestações serem decrescentes. O valor da amortização em cada prestação da dívida é dado por: At = P n Onde: At: valor da amortização da prestação no momento t P: principal da dívida n: número de prestações da dívida ou de períodos de capitalização Vejamos um exemplo. O Sr. Azevedo tomou emprestado R$ 3.000,00 em um banco, para serem pagos em três prestações mensais, a juros de 5% ao mês e pelo Sistema de Amortização Constante. Qual será o valor de cada prestação? Quanto o Sr. Azevedo pagará de juros e de amortização em cada prestação? At = P n At = meses At = n St At Jt Rt ( ,05) = 150, , ( ,05) = 100, , ( ,05) = 50, ,00 Para o Sr. Azevedo, os fluxos de caixa ficarão assim: º mês 2º mês 3º mês (1ª prestação) (2ª prestação) (3ª prestação) O Sr. Souza tomou emprestado, em um banco, R$ ,00 para serem pagos em quatro prestações mensais, com juros de 8% ao mês e pelo Sistema de Amortização Constante. Qual será o valor 012G/32

27 Instituto Monitor de cada prestação? Quanto o Sr. Azevedo pagará de juros e de amortização em cada prestação? At = P n At = meses At = n St At Jt Rt ( ,08) = 960, , ( ,08) = 720, , ( ,08) = 480, , ( ,08) = 240, ,00 3. Sistema Francês (ou Sistema Price) Nesse sistema, também conhecido como Tabela Price, as prestações são de mesmo valor, o que o caracteriza como uma série uniforme (conforme visto na lição anterior). No Sistema Price, deve-se primeiramente calcular o valor da prestação. Em seguida, os juros devidos ao final do primeiro mês (i saldo devedor). Subtraindo-se os juros da prestação, teremos o valor da amortização. E assim sucessivamente: se R = J + A então, A = R - J. O Sr. Araújo tomou emprestado, em um banco, R$ 3.000,00 para serem pagos em três prestações mensais, a juros de 5% ao mês e pelo Sistema Price. Qual será o valor de cada prestação? Quanto o Sr. Azevedo pagará de juros e de amortização em cada prestação? 012G/33

28 Instituto Monitor Valor da Prestação: R = P i(1 + i)n (1 + i) 1 n ,05(1,05)3 R = (1,05) 3-1 R = 173, , R = R$ 1.101,63 n St At Jt Rt ,37 951,63 ( ,05) = 150, , ,16 999,21 (2.048,37 0,05) = 102, , ,16 (1.049,16 0,05) = 52, ,63 O Sr. Souza tomou emprestado R$ ,00 para serem pagos em seis prestações mensais, a juros de 4% ao mês e pelo Sistema Francês de Amortização. Qual será o valor de cada prestação? Quanto o Sr. Souza pagará de juros e de amortização em cada prestação? R = P i(1 + i)n (1 + i) n ,04(1 + 0,04)6 R = (1 + 0,04) 6-1 R = 1.012,2552 0, R = 3.815,24 n St At Jt Rt , , ,00 800, , , ,85 679, , , ,28 553, , , ,73 423, , , ,40 287, , ,50 146, ,24 012G/34

29 Exercícios Propostos 1 - Você tomou emprestado, junto a um banco, R$ 6.000,00. Esse valor será pago em três prestações mensais, a juros de 4% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante. Qual será o valor de cada prestação? Quanto você pagará de juros e de amortização em cada prestação? 2 Resolva, pelo Sistema Price, o problema exposto no exercício anterior. 012G/35

30 Resolução dos Exercícios Propostos Lição Por causa da perda do poder aquisitivo ou da capacidade de compra. A inflação, por exemplo, é causadora dessa desvalorização do dinheiro. 2 - É o valor composto pelo principal acrescido de juros. Quando se faz uma aplicação por um período fixo (seis meses, um ano, 15 meses, etc.), o montante dessa operação será composto do principal mais os juros apurados ao longo desse tempo de aplicação. 3 - É a remuneração do capital ou principal. Ao se tomar dinheiro emprestado, remunera-se com juros quem cedeu emprestado. Ao se aplicar um recurso, os juros representam a remuneração da aplicação financeira. Na verdade, os juros compensam quem cedeu dinheiro emprestado, impedindo que esse dinheiro desvalorizese ao longo do tempo, oferecendo ainda uma remuneração para seu proprietário. 4 - J = Cin J = ,06 3 = R$ M = C(1+in) M = (1 + 0,06 3) = R$ J = Cin J = ,09 2 = R$ 1.440,00 M = C(1+in) M = (1 + 0,09 2 ) = R$ 9.440, Os juros compostos são calculados pelo chamado regime de capitalização composta, o que significa dizer que há incidência de juros sobre juros. Ou seja, no regime de capitalização composta, os juros de cada período são somados ao principal, e sobre esse total incide novos juros no período seguinte (e assim sucessivamente). 7 - M = C (1 + i) n M = (1 + 0,01)³ M = ,61 J = M - C J = , ,00 = 363, M = C (1 + i) n M = (1 + 0,05) 6 M = 5.360,38 J = M - C J = 5.360, ,00 = 1.360, M = (1 + 0,005) 12 M = (1,005) 12 M = ,33 J = M - C J = , ,00 = R$ 1.850,33 012G/37

31 Instituto Monitor 10 - Taxas de juros nominais são aquelas taxas de juros cujos períodos de capitalização não coincidem com o período informado. Diferentemente, taxas de juros efetivos são aquelas taxas cujos períodos de capitalização são idênticos aos períodos informados. O valor presente do aparelho na loja B é de: VP = ,06 1,06 2 1,06 3 1,06 4 VP = 485,11 Resposta: O preço da loja A é mais baixo! Lição ianual = (0,06 12 meses) ianual = 0,72 ou 72% ao ano. 2-0,40 itrimestral = 4 trimestres itrimestral = 0,10 ou 10% ao trimestre 3 - ianual = [(1 + 0,04) 12-1] ianual = 0, ou 60,10% ao ano 4 - imensal = [(1 + 0,30) 1/12-1 imensal = 0, ou 2,21% ao mês 5 - VP = (1 + 0,10) 10 VP = (2,593742) VP = R$ 385, Para compararmos os preços, primeiramente devemos trazer todos os preços para o momento atual: 7 - VP = ,005 8 VP = R$ 2.882, O valor presente de aquisição do terreno é de R$ ,00. O valor presente do preço de venda do terreno é de: VP venda = ,06 5 VPvenda = 9.714,36 Não vale a pena adquirir o terreno, pois o valor atual de venda do terreno é mais baixo que o valor atual de compra. Lição R = ,05 (1,05)5 319,07 = (1,05) 5 1 0,27628 R = 1.154, R = 400 0,03 (1,03)10 16,127 = (1,03) ,34392 R = 46,89 O valor presente do aparelho na loja A é de: VP = ,06 1,06² VP = R$ 458,35 012G/38

32 Instituto Monitor Lição At = P n At = meses At = 2.000,00 n St At Jt Rt , , ,00 240, , , ,00 160, , ,00 80, , ,04(1 + 0,04)3 R = (1 + 0,04) 3-1 R = 2.162,09 n St At Jt Rt , , ,09 240, , , ,97 163, , ,94 83, ,09 012G/39

33 Bibliografia HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau Matemática Financeira, 4ª ed. São Paulo: Atual, 1998 STEPHEN, A. Ross; WESTTERFIELD, Randolph W; JAFFE, Jeffrey F. Administração Financeira: corporate finance, 1ª ed. São Paulo: Atlas, 1995 VIEIRA SOBRINHO, José Dutra Matemática Financeira, 3ª ed. São Paulo: Atlas, G/41

34 Pesquisa de Avaliação 012G - Matemática Financeira Caro Aluno: Queremos saber a sua opinião a respeito deste fascículo que você acaba de estudar. Para que possamos aprimorar cada vez mais os nossos serviços, oferecendo um material didático de qualidade e eficiente, é muito importante a sua avaliação. Sua identificação não é obrigatória. Responda as perguntas a seguir assinalando a alternativa que melhor corresponda à sua opinião (assinale apenas UMA alternativa). Você também pode fazer sugestões e comentários por escrito no verso desta folha. Na próxima correspondência que enviar à Escola, lembre-se de juntar sua(s) pesquisa(s) respondida(s). O Instituto Monitor agradece a sua colaboração. A Editora. Nome (campo não obrigatório): N o de matrícula (campo não obrigatório): Curso Técnico em: Eletrônica Secretariado Gestão de Negócios Transações Imobiliárias Informática Telecomunicações Contabilidade QUANTO AO CONTEÚDO 1) A linguagem dos textos é: a) sempre clara e precisa, facilitando muito a compreensão da matéria estudada. b) na maioria das vezes clara e precisa, ajudando na compreensão da matéria estudada. c) um pouco difícil, dificultando a compreensão da matéria estudada. d) muito difícil, dificultando muito a compreensão da matéria estudada. e) outros: 2) Os temas abordados nas lições são: a) atuais e importantes para a formação do profissional. b) atuais, mas sua importância nem sempre fica clara para o profissional. c) atuais, mas sem importância para o profissional. d) ultrapassados e sem nenhuma importância para o profissional. e) outros: 3) As lições são: a) muito extensas, dificultando a compreensão do conteúdo. b) bem divididas, permitindo que o conteúdo seja assimilado pouco a pouco. c) a divisão das lições não influencia Na compreensão do conteúdo. d) muito curtas e pouco aprofundadas. e) outros:

35 QUANTO AOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4) Os exercícios propostos são: a) muito simples, exigindo apenas que se decore o conteúdo. b) bem elaborados, misturando assuntos simples e complexos. c) um pouco difíceis, mas abordando o que se viu na lição. d) muito difíceis, uma vez que não abordam o que foi visto na lição. e) outros: 5) A linguagem dos exercícios propostos é: a) bastante clara e precisa. b) algumas vezes um pouco complexa, dificultando a resolução do problema proposto. c) difícil, tornando mais difícil compreender a pergunta do que respondê-la. d) muito complexa, nunca consigo resolver os exercícios. e) outros: QUANTO À APRESENTAÇÃO GRÁFICA 6) O material é: a) bem cuidado, o texto e as imagens são de fácil leitura e visualização, tornando o estudo bastante agradável. b) a letra é muito pequena, dificultando a visualização. c) bem cuidado, mas a disposição das imagens e do texto dificulta a compreensão do mesmo. d) confuso e mal distribuído, as informações não seguem uma seqüência lógica. e) outros: 7) As ilustrações são: a) bonitas e bem feitas, auxiliando na compreensão e fixação do texto. b) bonitas, mas sem nenhuma utilidade para a compreensão do texto. c) malfeitas, mas necessárias para a compreensão e fixação do texto. d) malfeitas e totalmente inúteis. e) outros: Lembre-se: você pode fazer seus comentários e sugestões, bem como apontar algum problema específico encontrado no fascículo. Sinta-se à vontade! Sugestões e comentários PAMD1

36 Instruções: Par ara a os alunos matriculados nos cursos oficiais (técnicos), estes exercícios simulados são opcionais. Caso deseje, eles podem ser enviados aos nossos professores de plantão, que farão a correção e os devolverão com as devidas observações. Par ara a os alunos matriculados nos cursos livres (não-oficiais) iciais), estes exercícios simulados terão o valor de provas, realizadas a distância, e devem ser preenchidos obrigatoriament oriamente à caneta e enviados para correção. O endereço para envio dos exercícios simulados em ambos os casos é: Caixa Postal São Paulo - SP Atenção: para questões de múltipla escolha, existe apenas UMA alternativa correta em cada uma. 012G Matemática Financeira Nome:... Nº de Matrícula:... Nota: O que significa dizer que o dinheiro perde valor ao longo do tempo? Conceitue Capital ou Principal O que caracteriza o tipo de juros chamado de juros compostos? /4

37 4 - O que significa espiral de preços? Qual é o período em que um capital de R$ ,00, deve permanecer aplicado, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês, gerando um montante de R$ ,00? 6 - Qual é o montante de uma aplicação de R$ ,00, à taxa de juro composto de 3% ao mês, após 13 meses? 7 - Se possuo uma aplicação financeira de R$ ,00, com rendimento médio de 2,5% a.m., qual será seu valor daqui a 90 dias? 8 - Uma pessoa presta um serviço e recebe, após 2 meses, um valor de R$ 3.000,00. Qual é o valor que corresponde hoje, se a inflação mensal prevista para o período é de 1,6%? 2/4

38 9 - Uma loja A vende um videocassete por R$ 200,00 de entrada e mais duas prestações de R$ 250,00. Na loja B, não é cobrada entrada, mas as duas prestações mensais são de R$ 390,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de juro de ambas as operações for de 10% a.m.? 10 - Que valor preciso investir hoje para saldar uma dívida de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses, se a taxa de juro de mercado for de 2,5% a.m.? 11 - Um título que valerá R$ 2.500,00 daqui a 5 meses, é trocado por outro que valerá R$ 2.300,00 daqui a 3 meses. Sabendo que a taxa de juros do mercado é de 3% a.m., pergunta-se: a troca é vantajosa? 12 - Qual será o valor ao qual corresponderá R$ 5.000,00 daqui a 9 meses, se a taxa de juros compostos for de 3,5% ao mês? 13 - Qual é a fórmula usada para cálculo de uma série de prestações iguais, a serem pagas em final de período? 3/4

39 14 - Um automóvel tem seu preço de mercado de R$ ,00. Ele é financiado em 24 vezes a uma taxa de 1,5% a.m. Qual é o valor das prestações? 15 - O dono de uma concessionária decide vender uma moto de R$ 6.000,00 em 7 vezes iguais, cobrando juros de 2,95% ao mês. Calcule o valor de cada prestação Uma pessoa financia um terreno de R$ 8.000,00 numa instituição financeira. Ficou combinado que este financiamento seria pago em 10 prestações mensais, pelo sistema de amortização price, a juros de 4% ao mês. Qual será o valor das prestações, dos juros e a amortização? n St At Jt Rt 4/4