Involuta da Circunferência

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1 Involuta da Circunferência Bianca Bianchi Stella Christina Cajueiro Camargo Thelma Regina Vitor da Costa Curso de Licenciatura em Matemática Universidade Estadual Paulista Campus Guaratinguetá Junho de 2007 Palavras-chave: involuta, curvas especiais. Trabalho desenvolvido durante a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II ministrada pelo Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni.

2 I)Definição Definição 1.1 (involuta de uma circunferência) A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando o mesmo, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel está colocado na origem do plano xy e seu raio é a, e que o fio começa a se desenrolar no ponto A = (a,0). A equação paramétrica da involuta ao desenrolar uma volta do fio no carretel, são: x() = a. (cos +.sen ) y() = a. (sen. cos ), 0 2 Definição 1.2 (involuta de uma curva plana regular) Seja : I R² uma curva plana regular. A involuta de a partir de c, onde c I, é a curva plana ic: I R² dada por: t ic(t) = (t) + ( s(c) s(t) ). (t), II (t)ii para todo t I, onde s(t) = to II (u)ii. du, to I, é o comprimento de arco a partir de um ponto t0. Quando está parametrizada pelo comprimento de arco s, a expressão da involuta de a partir de c se reduz a: ic(s) = (s) + (c - s). (s). Neste caso ic (s) = (c - s). (s) = (c s). k(s). n(s) e, portanto, ( ic (s), (s)) = 0 para todo s I, isto é o traço de ic intersecta ortogonalmente as retas tangentes a. Notase que se k(s) 0, para todo s I, então a involuta ic deixa de ser regular apenas em s = c. 2

3 Proposição: O traço de uma involuta de uma curva regular é a trajetória descrita por um fio quando o mesmo é desenrolado do traço de permanecendo tenso durante o movimento. (Prova) Suponhamos que está parametrizada pelo comprimento de arco s. Então II (c) - (s) II = I c s I é a distância entre (s) e (c) medida ao longo de enquanto que II ic(s) - (s) II é a distância de ic(s) e (s) medida ao longo da reta tangente a em s. II)Traçado da involuta Seja um círculo de raio AO e seja t a tangente em A. Para o traçado da curva basta fazer o seguinte: em cada ponto considerado do círculo, como por exemplo o ponto P, marca-se na respectiva tangente o segmento PM igual ao arco PA retificado. O lugar dos pontos M assim obtidos é a curva chamada involuta da circunferência. Para facilidade de traçado, divide-se o círculo em partes iguais; divide-se a retificação do círculo no mesmo número de partes, e marca-se em cada tangente o segmento correspondente ao respectivo arco retificado. 3

4 III)Equação paramétrica Pela definição 1.1 de involuta, a distância do ponto de tangência, P, na circunferência ao ponto A é igual ao comprimento do arco entre o ponto de tangência P e o ponto A1. Chamemos o ponto de tangência de P. Logo PA = a. sen = h, por tanto h = a..sen a. cos = m, por tanto m = a..cos a. cos = d, por tanto d = a.cos a sen = n, por tanto n = a.sen a Portanto: x() = h + d = a.cos + a..sen = a.(cos +.sen) y() = n m = a.sen a..cos = a.(sen -.cos) 4

5 IV) Propriedades 1. As involutas são curvas planas e transcendentes ; 2. As normais à involuta são tangentes ao círculo. 3. Na involuta, em cada posição do ponto gerador a sua distância ao ponto de tangencia da respectiva tangente é igual ao arco percorrido pelo ponto de tangência. 4. Na involuta ordinária o raio de curvatura em um ponto da curva é diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento do arco da curva que tem um extremo nesse ponto e o outro extremo em um ponto fixo da curva. VI)Aplicação Detalhes das engrenagens involutas No dente de uma engrenagem involuta, o ponto de contato começa mais próximo a uma engrenagem e, conforme ela gira, o ponto de contato se distancia dessa engrenagem e vai em direção à outra. Se tivesse de seguir o ponto de contato, ele descreveria uma linha reta que começa perto de uma engrenagem e termina próximo de outra. Isso significa que o raio do ponto de contato cresce conforme os dentes se encontram. O diâmetro de afastamento é o diâmetro de contato. E já que o diâmetro de contato não é constante, o afastamento é a distância média de contato. Conforme os dentes começam a se unir, o dente superior da engrenagem entra em contato com o dente inferior dentro do afastamento. Mas repare que a parte do dente superior que entra em contato com o dente inferior ainda é muito pequena nesse ponto. Mas como as engrenagens continuam girando, o ponto de contato desliza para a parte mais espessa do dente superior. E isso empurra a engrenagem superior para frente, de forma a compensar o diâmetro de contato que ficou um pouco menor. Conforme os dentes continuam a girar, o ponto de contato fica ainda mais distante, saindo do afastamento. No entanto, o perfil do dente inferior compensa esse movimento. O ponto de contato começa a deslizar sobre a parte mais fina do dente inferior, tirando um pouco de velocidade da engrenagem superior para compensar pelo aumento do diâmetro de contato. O resultado final é que mesmo com o ponto de contato mudando continuamente, a velocidade continua a mesma. O que faz com que uma engrenagem involuta produza uma relação constante de velocidade de rotação. VII)Referência Bibliografica Curvas Alcyr Pinheiro Rangel; publicação independente,