Figuras de Lissajous

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1 Figuras de Lissajous Jules-Antoine Lissajous Larissa Couto man06112 Natália Grillo man06118 Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professor: Dr. José Ricardo Zeni Universidade Estadual Paulista UNESP, Campus de Guaratinguetá Julho de 2007

2 Biografia Jules-Antoine Lissajous nasceu em Versailles-França em 4 de março de Ele entrou na École Normale Supérieure (Escola Normal Superior) em Logo após se formar, tornou-se professor de Matemática em Lycée Saint-Louis. Em 1850 foi concedido um doutorado para uma tese baseada em barras vibrando usando o método do teste padrão da areia de Chladni (padrões geométricos formados numa camada fina de areia sobre uma placa de vidro ou metal vibrando em frequências diferentes são chamados "Figuras Sonoras de Chladni"). Em 1874 Lissajous se tornou reitor da Academy Chambéry, a seguir em 1875 foi apontado reitor da Academy Besançon. Lissajous se interessava por ondas e desenvolveu um método óptico de estudar vibrações. Em 1855 desenvolveu uma maneira de estudar vibrações acústicas refletindo um feixe luminoso de um espelho unido a um objeto vibrando em uma tela. Outro matemático, Duhamel já havia tentado demonstrar essas vibrações, mas de uma maneira mal sucedida. Tentando evitar os problemas obtidos na tentativa de Duhamel, Lissajous obteve as figuras por reflexões sucessivas da luz em espelhos fixos em duas hastes posicionadas perpendicularmente e vibrando. As figuras de Lissajous também são conhecidas como Bowditch curves (curvas de Bowditch), pois em 1815 já haviam sido estudadas por Nathaniel Bowditch (primeiro matemático americano a ser reconhecido internacionalmente). Jules-Antoine Lissajous morreu em Plombières, França, em 24 de junho de Dois diapasões vibrando em planos perpendiculares. 2

3 Equações As equações para obtermos as figuras de Lissajous são: onde são as amplitudes( achatar ou alongar ao longo dos eixos x e y), as freqüências angulares eθ θ as fases iniciais. As figuras de Lissajous são feitas no plano OXY, utilizando-se as Equações (1) e (2). Existem ainda formas paramétricas de se escrever as equações das figuras utilizando termos em cosseno e seno. 3

4 Exemplos: 1-Mudança de amplitude x = sen(t) y = sen(2t) x = 2sen(t) y = 2sen(2t) 2-Mudança de freqüências angulares x = sin(5t) y = sin(2t) x = sin(3t) y = sin(2t) 4

5 3-Mudança de fases iniciais x = sin(t +5) x = sin(t +6) y = sin(2t + 5) y = sin(2t + 6) Figuras obtidas utilizando o software Winplot. 5

6 Algumas aplicações Embora um círculo ou uma elipse também possa ser chamado assim, as figuras de Lissajous propriamente ditas são obtidas quando os movimentos harmônicos perpendiculares possuem períodos diferentes. Se esses períodos estiverem na razão de dois números inteiros, a trajetória do móvel formará uma curva fechada. As trajetórias que se obtém com diferentes combinações de freqüências formam figuras bonitas e interessantes. 6

7 Figuras de Lissajous com razão irracional entre as frequências Todas as figuras abaixo têm a mesma equação x = sen(t) y = sen( 2 t) o que muda é a variação do parâmetro t. 0 t 2π 0 t 10π 0 t 20π 0 t 50π Com isso, pode mos concluir que as figuras com frequências irracionais não se fecham nunca e conforme o parâmetro t varia, as figuras vão ficando mais preenchidas, ou seja, elas nunca param de se desenhar. 7

8 Reta tangente A reta tangente a uma curva num dado ponto é obtida através do cálculo da derivada primeira. Analogamente, para as equações paramétricas das figuras de Lissajous, tem-se a derivada pelas equações: x = cos( t + θ ) y = cos( t + θ ) Utilizando a figura de equação (cos(3t),sen(4t)),podemos encontrar as seguintes retas tangentes: Figuras obtidas utilizando o software Cabri. 8

9 Curvatura A seguir apresentamos exemplos do círculo de curvatura encontrado em alguns pontos da curva de equação (cos(3t),sen(4t)). Figuras obtidas utilizando o software Cabri. 9

10 Bibliografia Lissajous.html

11 Índice Biografia 2 Equações 3 Exemplos 4 Algumas aplicações 6 Figuras de Lissajous com razão irracional entre as frequências 7 Reta tangente 8 Curvatura 9 Bibliografia 10 11