Capítulo 6. Prova. Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática

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1 Capítulo 6 Prova 113

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3 QUESTÕES OBJETIVAS 1 Sendo este o gráfico de f(x), (C) 1 o ou 4 o (D) 2 o ou 3 o (E) 3 o ou 4 o o gráfico de f( x) será: 3 Multiplicando os números (de 23 algarismos) e (de 22 algarismos) obtemos um produto cuja quantidade de algarismos é: (A) 43 (B) 44 (C) 45 (D) 46 (E) 47 (A) (B) 4 Dois pontos se movimentam em uma linha reta com equações horárias, s 1 (t) = sen (3t) e s 2 (t) = sen (t), com t 0. Quando o primeiro retornar pela primeira vez à sua posição inicial, onde estará o segundo? (A) π /3 (B) π (C) 3π (D) sen (π /3) (E) sen (3π) (C) 5 Em certa região, a área ocupada por plantações de soja tem aumentado de 10% ao ano, e a ocupada por milharais tem crescido 1km 2 por ano. Considere os gráficos a seguir. (D) Os gráficos que melhor representam as áreas ocupadas pelas plantações de soja e de milho em função do tempo são, respectivamente: (A) I e II. (B) I e III. (C) II e I. (D) II e III. (E) III e I. (E) 2 Se z 1 é um número complexo do 1 o quadrante e z 2, um número complexo do 2 o quadrante, ambos com partes reais e imaginárias não nulas, então o quadrante em que fica o produto z 1 z 2 é o: (A) 1 o ou 2 o (B) 1 o ou 3 o 6 Se x 2 1 (mod 5) então: (A) x 1 (mod 5) (B) x 2 (mod 5) (C) x 4 (mod 5) (D) x 1 (mod 5) ou x 4 (mod 5) (E) x 2 (mod 5) ou x 4 (mod 5) 7 Em um grupo multiplicativo, o elemento x satisfaz x 4 = x. O número de elementos do conjunto {x,x 2,x 3,x 4,...} (A) é igual a 1. (B) é igual a

4 (C) é igual a 4. (D) só pode ser 1 ou 3. (E) só pode ser 2 ou 4. 8 Um pai tem dois filhos, de 2 e 4 anos. Ele prometeu dividir sua fazenda entre os filhos de modo diretamente proporcional às suas idades assim que se case o mais velho dos filhos. Quanto mais tarde este filho se casar, a fração da fazenda que lhe caberá será (A) maior e nunca será menor do que (B) maior, mas nunca será maior do que da fazenda. da fazenda. (C) menor, mas sempre será maior do que a metade da fazenda. (D) menor, podendo ser menor do que a metade da fazenda. (E) igual a da fazenda, independente da data do seu lado, 2 2 for irracional, como ( 2 2 ) = 2 2 = 2, teremos um exemplo de um irracional que elevado a um irracional dá um racional. O argumento acima prova que: (A) (B) é um racional. é um irracional. (C) existem x e y irracionais tais que x y é racional. (D) existem x e y irracionais tais que x y é irracional. (E) se x e y são irracionais, x y é irracional. 12 Um programa de computador apresentou para um polinômio do 4 o grau com coeficientes reais o seguinte gráfico, em que x varia entre - 5,7 e 7,1: casamento. 9 As retas reversas r e t são paralelas aos vetores u e v, respectivamente. A perpendicular comum a essas retas é paralela (A) à soma u + v. (B) à diferença u v. (C) ao produto vetorial u v. (D) ao produto escalar <u,v>. (E) ao espaço gerado por u e v. 10 Em certa cidade o tempo, bom ou chuvoso, é igual ao do dia anterior com probabilidade. Se hoje faz bom tempo, a probabilidade de que chova depois de amanhã vale: (A) (B) (C) (D) (E) Se 11 for racional, temos um exemplo de um irracional que elevado a um irracional dá um racional. Se, por outro Pode-se, então, concluir que esse polinômio tem: (A) duas raízes reais simples e uma raiz real dupla. (B) duas raízes reais e duas raízes complexas conjugadas. (C) três raízes reais e uma raiz complexa não real. (D) somente três raízes, todas reais. (E) alguma raiz real com módulo maior que No sistema de três equações lineares com três incógnitas, a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 são nulos os determinantes a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a 1 b 1 d 1 a 1 d 1 c 1 d 1 b 1 c 1, a 2 b 2 d 2, a 2 d 2 c 2 e d 2 b 2 c 2. a 3 b 3 d 3 a 3 d 3 c 3 d 3 b 3 c 3 Tal sistema é: (A) possível e indeterminado. (B) possível e determinado. (C) possível. (D) impossível. (E) impossível ou indeterminado. 14 Em um cubo, CC é uma aresta e ABCD e A B C D são faces opostas. O plano que contém o vértice C e os pontos médios das arestas AB e AD determina no cubo uma seção que é um 116

5 (A) triângulo isósceles. (B) triângulo retângulo. (C) quadrilátero. (D) pentágono. (E) hexágono. (A) 15 Um programa de computador desenhou o gráfico das retas y = 2x + 15 e y = 45 x/2. O ângulo α formado por elas no desenho é aparentemente diferente de 90 o, como mostra a figura abaixo. (B) (C) (D) Observa-se que: (A) houve algum erro porque o ângulo α deveria ter 90 o. (B) o ângulo α formado pelos gráficos não depende das escalas dos eixos. (C) o programa usou escalas diferentes para cada um dos gráficos. (D) os gráficos estão certos, mas α 90 o porque as escalas nos eixos são diferentes. (E) as coordenadas do ponto de encontro das retas é que dependem das escalas dos eixos. 16 Se a população de certa cidade cresce 2% ao ano, os valores da população a cada ano formam uma progressão: (A) geométrica de razão 1,2. (B) geométrica de razão 1,02. (C) geométrica de razão 0,02. (D) aritmética de razão 1,02. (E) aritmética de razão 0, Os pontos (x,y,z) pertencentes às retas que contêm o ponto (0,0,1) e que se apóiam na curva y = x 2 do plano z = 0 formam um conjunto dado pela equação: (A) x 2 + yz y = 0 (B) x 2 + xz y = 0 (C) x 2 + 2xz y = 0 (D) x 2 + z y = 0 (E) x 2 z y = 0 18 Se um corpo cai de grande altura, partindo do repouso e submetido apenas à ação da gravidade e a uma força de atrito (resistência do ar) diretamente proporcional à sua velocidade, o gráfico que melhor representa esta velocidade em função do tempo é: (E) 19 A seqüência {a n } definida por a n = ( 1) n sen n : (A) não é convergente, mas admite subseqüência convergente. (A) é monótona. (B) é divergente para. (C) é convergente para um número racional. (D) é convergente para um número irracional. (E) não é convergente, mas admite subseqüência convengente. 20 Solta-se uma pedra em queda livre na boca de um poço e ouve-se seu impacto na água 2 segundos depois. Usando a lei que rege a queda dos corpos, desprezando-se a resistência do ar, s = (1/2) gt 2, com g = 10 m/s 2 e considerando a velocidade de propagação do som no ar igual a 340 m/s, conclui-se que a distância, em metros, entre o ponto de onde a pedra foi solta e a superfície da água está compreendida entre: (A) 17 e 18. (B) 18 e 20. (C) 20 e 21. (D) 21 e 23. (E) 23 e Considere o retângulo no plano (x,y) cujo vértice inferior esquerdo tem coordenadas cartesianas (0,0) e o vértice superior direito é (x 0,y 0 ). Deseja-se representar esse retângulo numa tela de computador de resolução 640 por 200. Considere na tela as coordenadas (l,c) como na figura: 117

6 (A) não faz sentido, porque tal triângulo não existe. (B) admite mais de uma solução. (C) admite uma única solução, Uma possível correspondência entre os pontos (x,y) do plano e os pontos (l,c) da tela, tal que a imagem do retângulo seja a tela inteira e a orientação seja preservada, é dada por: (D) admite uma única solução, (E) admite uma única solução, (A) (B) (C) l = 199 c = 639 l = 639 c = 199 l = c = Uma urna contém N bolas, numeradas de 1 a N, sem repetições. Para estimar o valor desconhecido de N, um estatístico retira, ao acaso, três bolas dessa urna. As bolas retiradas foram as de números 15, 43 e 17. Ele toma para estimativa de N o valor para o qual a média dos números das bolas retiradas é igual à média dos números de todas as bolas da urna. A estimativa que ele obtém para N é: (A) 43 (B) 49 (C) 51 (D) 53 (E) O Método de Newton, aplicado ao cálculo de, consiste em tomar uma aproximação inicial x 0 > 0 e obter aproximações sucessivas de modo que seja igual a: (A) (B) (D) l = 639 c = (C) (D) (E) (E) l = c = 22 Considere o problema a seguir: Em um triângulo ABC, temos AC = 3m, BC = 4m e B = Calcule sen A. Esse problema: 25 A Lei de Boyle diz que, mantida constante a temperatura, o produto da pressão pelo volume de um gás perfeito é constante. Um gás perfeito, inicialmente à pressão de Pa, ocupa um cilindro de volume 100L. Um êmbolo é deslocado no cilindro de modo a reduzir o volume do gás. Se a temperatura é mantida constante e o volume diminui à razão de 1L/s, com que velocidade, em Pa/s, está aumentando a pressão no instante em que o volume for igual a 80L? (A) (B) (C) (D) (E)

7 QUESTÕES DISCURSIVAS PARTE B QUESTÕES ABERTAS COMUNS AOS FORMANDOS DE BACHARELADO E DE LICENCIATURA 1 Identifique e corrija o(s) erro(s) da argumentação a seguir. (i) "A função f(x) = tg x tem derivada positiva em todo seu domínio, pois f (x) = sec 2 x. (ii) Uma função cuja derivada é positiva no seu domínio é crescente nesse domínio. (iii) Logo, a função tangente é crescente em todo o seu domínio. (iv)então, como, temos Ou seja, 1 > 1." (valor: 20,0 pontos) Questão nº 1 Conteúdos predominantes: Cálculo diferencial das funções de uma variável real; Funções trigonométricas. compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas; analisar criticamente textos matemáticos e redigir formas alternativas. A afirmação (i) "A função f(x) = tg x... f' (x) = sec 2 x" está correta. A afirmação (ii) está errada. A afirmação correta seria "Uma função cuja derivada é positiva em um intervalo é crescente nesse intervalo." A afirmação (iii) está errada. A afirmação correta seria "Logo, a função tangente é crescente em qualquer intervalo do seu domínio." A conclusão (iv) está evidentemente errada ( 1 não é maior que 1) e, apesar de, não se pode concluir que porque não é subconjunto do domínio da função tangente (, que está compreendido entre, não pertence ao domínio da função tangente). (valor: 20,0 pontos) Observação: Na argumentação acima, tem-se que (i) e (ii) implicam (iii) e (iv) (que são falsos). A falha do argumento se concentra em (ii). 2 a) Mostre que, se um número inteiro a não é divisível por 3, então a 2 deixa resto 1 na divisão por 3. b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3 divide a 2 + b 2, então a e b são divisíveis por

8 Questão nº 2 Conteúdos predominantes: Números inteiros, divisibilidade. Teoria dos números, divisibilidade e congruências. compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas. a) Se a não é divisível por 3, então a 1 ou a 2 (mod 3). Daí, a 2 1 ou a 2 4 (mod 3), ou seja, em ambos os casos, a 2 1 (mod 3). b) Suponhamos que 3 (a 2 + b 2 ), 1 º caso: 3 a e b. Tem-se, então, b 2 0 (mod 3) e, pela parte a), a 2 1 (mod 3); donde a 2 + b 2 1(mod 3), o que é incompatível com a hipótese. 2 º caso: Por simetria, não se pode ter 3 a e 3 b. 3 º caso: Falta examinar o caso em que 3 a e 3 b. Neste caso, tem-se, pela parte a), a 2 + b (mod 3), ou seja a 2 + b 2 2 (mod 3), o que é também incompatível com a hipótese. Logo, 3 a e 3 b. Alternativa: não usar congruências e escrever a = 3 k + r, onde r pode ser 0,1 ou 2, e prosseguir a argumentação. 3 Um modo de cifrar uma mensagem é associar um inteiro positivo a cada letra do alfabeto (A = 1, B = 2,..., W = 23, X = 24, Y = 25, Z = 26) e usar uma chave f, de conhecimento apenas do emissor e do receptor. Assim, em vez de transmitir a letra associada ao número p, transmite-se aquela associada a f(p). O receptor, recebendo q = f(p), decifra a letra determinando p = f 1 (q). O imperador romano Júlio César, por exemplo, usava como chave f(p) = p + 3 (na aritmética dos inteiros módulo 26). Assim, a mensagem ZERO seria transmitida CHUR e a mensagem recebida PAZ seria decifrada como MXW. a) Mostre que a chave f(p) = 2p + 1 (na aritmética dos inteiros módulo 26) não é invertível. b) Determine f 1 (q) para a chave f(p) = 3p + 1 (na aritmética dos inteiros módulo 26). Conteúdo predominante: Estruturas algébricas: grupos, anéis e corpos. compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas; fazer uso apropriado de novas tecnologias. a) f não é injetora pois, por exemplo, f(1) = 3 e f(14) = 29 = 3, em Z 26 ; logo não pode ser invertível. Pode-se também provar que f não é sobrejetora, pois 2, por exemplo, não pertence à imagem de f. b) 1 a alternativa: q = 3p + 1 3p = q -1 p = 3-1. (q -1) p = 9(q -1) p = 9q -9, isto é, f -1 (q) = 9q a alternativa: O estudante, se não souber inverter a função algebricamente, poderá demonstrar iniciativa construindo a tabela para a função f e daí montar a tabela para a inversa, tendo em vista que o domínio de cada uma destas funções tem 26 elementos e os cálculos não são tão complicados. Obs.: Serão também aceitas respostas com: alguma pesquisa sobre valores de f e de f 1 ; a apresentação da inversa mesmo sem prova. 120

9 4 Em visita ao Museu da Academia, em Florença, Maria observa maravilhada a estátua de David feita por Michelângelo. A sala está lotada de turistas e, por isto, Maria foi empurrada para muito perto da estátua, cujo pedestal está acima do nível dos seus olhos. Como resultado, ela não pode ver quase nada! a) Faça um esquema geométrico e identifique as variáveis relevantes para o estudo da situação. b) Calcule a distância ideal de onde Maria veja a estátua sob o maior ângulo de visão possível (supondo, é claro, que a multidão a deixe movimentar-se à vontade pela sala!). Conteúdo predominante: Trigonometria; Cálculo diferencial das funções de uma variável real. Habilidade aferida: interpretar dados, elaborar modelos e resolver problemas. 1ª alternativa: a) Contados a partir do nível dos olhos de Maria, sejam: a a altura total da estátua, incluindo o pedestal; b a altura do pedestal, x a distância dos olhos de Maria à estátua, medida na perpendicular à estátua. O ângulo γ será o ângulo sob o qual Maria vê a estátua. É preciso determinar x de modo que γ seja máximo. É claro que d = a b, altura da estátua excluindo o pedestal, pode ser introduzido no problema em substituição a a ou a b. b) Tem-se: tg γ = tg (α β) =, com x, a, b e a b > 0 e que se anula para x > 0 somente quando x =, passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor de x, a função f(x) passa por um máximo. Sendo a função arctg uma função crescente, para esse valor de x, tem-se que o valor de γ também será máximo. Logo o valor de x procurado é x = 2ª alternativa: a) 121

10 b) tg α = e tg β =. Como γ = arctg arctg tem-se que γ' = que se anula para x > 0 somente quando x =, passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor de x, γ passa por um máximo. Logo o valor de x procurado é x = 5 Seja uma série convergente de números reais. a) É sempre verdade que também converge? (valor: 5,0 pontos) b) Forneça uma demonstração se a sua resposta a a) for afirmativa ou um contra-exemplo, se negativa. (valor: 15,0 pontos) Conteúdo predominante: Análise matemática: seqüências e séries infinitas. compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas; compreender e utilizar definições, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas. a) Não. (valor: 5,0 pontos) b) Um exemplo de série convergente é o da série (converge porque é uma série alternada em que os valores absolutos dos termos formam uma seqüência decrescente tendendo a 0). Tomada, entretanto, a série só dos termos pares, tem-se: e esta última é divergente para, pois é a série harmônica. (valor: 15,0 pontos ) 122

11 PARTE C QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE BACHARELADO 6 Seja γ um caminho no plano complexo, fechado, simples, suave (isto é, continuamente derivável) e que não passa por i nem por i. Quais são os possíveis valores da integral? (valor: 20,0 pontos) Conteúdo predominante: Funções de variáveis complexas: Fórmula Integral de Cauchy, resíduos. compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas. 1 a alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. O valor da integral I é igual a. Calculando os resíduos da função em seus pólos, i e i, temos: De modo análogo, calcula-se o resíduo em z = i, que dá. Daí, têm-se os 4 casos: 1. γ não contém nem i nem i em seu interior, então: I = 0; 2. γ contém i no interior, mas não i, então: I = 3. γ contém i no interior, mas não i, então: I = 4. γ contém i e i, no interior, então: I = Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima. 2 a alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. Decompondo f em frações simples, chega-se a:. Têm-se novamente os 4 casos: 1. γ não contém nem i nem i em seu interior; então a função é analítica no interior de γ e I = 0; 2. γ contém i no interior, mas não i; então a parcela é analítica no interior de γ, e o valor da integral se reduz à integral da outra parcela que, pela Fórmula de Cauchy, é: I = 3. γ contém i no interior, mas não i; então é a parcela que é analítica no interior de γ, e o valor da integral será o valor da integral da outra parcela, que também pode ser calculada pela Fórmula de Cauchy dando: I = 4. γ contém i e i, no interior, então o valor da integral é a soma dos valores de I nos casos 2 e 3, isto é: I = π π = 0. Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima. (valor: 20,0 pontos) 123

12 7 Uma função u : R 2 R, com derivadas contínuas até a 2 a ordem, é dita harmônica em R 2 se satisfaz a Equação de Laplace: em R 2. Mostre que se u e u 2 são harmônicas em R 2, então u é uma função constante. (valor: 20,0 pontos) Conteúdos predominantes: Equações diferenciais parciais: Equação de Laplace; Diferenciação de funções de várias variáveis. compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas; compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas. Se u 2 é harmônica, tem-se que: u 2 = 0, mas Se u é harmônica, tem-se então que, mas este 1º membro é o quadrado do módulo do gradiente de u. Sendo grad u = 0 no plano, que é conexo, tem-se u = constante. Alternativas: o graduando pode trabalhar com a diferencial, ou mesmo com as derivadas parciais de u em vez do gradiente. (valor: 20,0 pontos) 8 Seja {A n }, n N, uma seqüência de números reais positivos e considere a série de funções de uma variável real t dada por. Suponha que tal série converge se t = t 0 R. Prove que ela converge uniformemente no intervalo [t 0, [. (valor: 20,0 pontos) Conteúdo predominante: Séries de funções. Convergência uniforme. compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas; compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas. Esse resultado é verdadeiro no caso em que t 0 > 0 (dado não informado). Com efeito, se converge, então. Logo, sendo c um número fixado entre 0 e 1, existe n 0 tal que para n n 0 tem-se que 0 < 124

13 < c < 1. Mas, então, como a exponencial de base menor que 1 é decrescente, tem-se que, para todo n n 0 e t t 0 > 0 : 0 < porque 1. Isto é, a série admite uma série majorante convergente e essa majoração é a mesma para todo t. Então, (pelo critério M de Weierstrass) a série é uniformemente convergente. Alternativa: Se t 0 < 0, a tese não pode ser verdadeira, pois, neste caso, 0 [ t 0, [ e esta série não converge quando t = 0. (valor: 20,0 pontos) 9 Sejam A = e n um inteiro positivo. Calcule A n. Sugestão: Use a Forma Canônica de Jordan ou o Teorema de Cayley-Hamilton. (valor: 20,0 pontos) Conteúdo predominante: Matrizes e redução à forma diagonal. compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas. 1ª alternativa: Os autovalores dessa matriz são as raízes de = 0. São, portanto, λ = 0, 2 e 3 e os respectivos autovetores são: (x, 0, 0), (y, y, y) e (z, 0, z). Daí tem-se, tomando a Forma Canônica de Jordan para A, que: A = P J P 1. onde Logo, A n = P J n P 1, mas: 125

14 2ª alternativa: O polinômio característico é P(λ) = λ (2 λ) (3 λ). Dividindo λ n por P(λ) teremos λ n = P(λ). Q (λ) + a λ 2 + b λ + c. Para calcular a, b, e c, fazemos sucessivamente λ = 0, λ = 2 e λ = 3, obtendo 0 = c, 2 n = 4a + 2b e 3 n = 9a + 3b. Daí, a = 3 n 1 2 n 1, b = 3. 2 n n 1, c = 0. Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, P (A) = 0. Daí, A n = a A 2 + ba. Como. 3ª alternativa: Calcular A 2, A 3, sugerir uma expressão para A n e provar por indução. (valor: 20,0 pontos) 10 Como bem se sabe, a América do Sul (17,9 milhões de km 2 ) é muito maior que a Europa (9,8 milhões de km 2 ), embora ambas pareçam aproximadamente do mesmo tamanho nos mapas comuns. Tais mapas utilizam a projeção criada na Alemanha em 1569 pelo geógrafo e matemático Gerhard Kremer Mercator ( ). Uma alternativa à projeção de Mercator é a projeção criada pelo historiador alemão Arno Peters, que preserva a razão entre as áreas dos diversos países. Esta projeção é feita da seguinte maneira: considere um cilindro de altura 2R circunscrito a uma esfera de raio R, ambos com o mesmo baricentro. Dado um ponto P no cilindro, considere o segmento de reta que liga P ao eixo do cilindro e que é perpendicular a esse eixo. Defina f(p) como sendo a intersecção desse segmento com a esfera. Mostre que f preserva a razão de áreas entre regiões no cilindro e as correspondentes imagens na esfera. (valor: 20,0 pontos) Projeção cilíndrica equatorial ou de Mercator. 126

15 Projeção cilíndrica equivalente de Peters. Conteúdo predominante: Geometria diferencial: estudo local de superfícies, primeira forma fundamental, ou Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis reais. interpretar dados, elaborar modelos e resolver problemas, integrando os vários campos da Matemática; compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas matemáticas. 1ª alternativa: Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ, R cos ϕ) para a esfera e C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se: S θ = ( R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) e S ϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, R sen ϕ) na esfera e C θ = ( R sen θ, R cos θ, 0) e C ϕ = (0, 0, R sen ϕ) no cilindro. Daí, = = R 2 sen ϕ em ambas as superfícies. 2ª alternativa: Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ, R cos ϕ) para a esfera e C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se: S θ = ( R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) e S ϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, R sen ϕ) na esfera e C θ = ( R sen θ, R cos θ, 0) e C ϕ = (0, 0, R sen ϕ) no cilindro. Daí, EG F 2 = R 4 sen 2 ϕ, em ambas as superfícies. 127

16 3ª alternativa: Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por: S(u,v)=( R v cosu, R v senu, v). Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes por f em cada uma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v). Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região no domínio das parametrizações em cada uma destas superfícies. Ora, a área de uma tal imagem pode ser calculada, em cada uma das superfícies, pela integral dupla da expressão EG F 2 estendida ao mesmo domínio, onde E = <S u, S u > ; G = <S v, S v > e F = <S u, S v > na esfera e expressões análogas para o cilindro. Como tem-se que na esfera: EG F 2 = (R 2 v 2 ) (sen 2 u + cos 2 u) [1 + v 2 (cos 2 u + sen 2 u) / (R 2 v 2 )] [v sen u cos u v cos u sen u] 2 = R 2 e no cilindro: EG F 2 = R 2 (sen 2 u + cos 2 u) x 1 0 = R 2. Logo, áreas de regiões correspondentes são iguais. 4ª alternativa: Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por:. Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes por f em cada uma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v). Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região D no domínio das parametrizações em cada uma destas superfícies. Ora, a área de uma tal imagem na esfera pode ser calculada, pela integral dupla Su Sv dudv e no cilindro por, D Cu Cv dudv, onde D Como, tem-se que áreas de regiões correspondentes são iguais. (valor: 20,0 pontos) PARTE C QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE LICENCIATURA 11 Numa prova, o professor apresenta a seguinte questão: Dois estados do país, num certo ano, apresentam o modo como dividiram os impostos arrecadados. Os gráficos de setores a seguir ilustram a relação entre a quantia gasta em cada área e a arrecadação total daquele estado naquele ano. 128

17 i) Determine que percentual da arrecadação do estado II, daquele ano, foi gasto com Saúde e Educação, juntas. Justifique. ii) Pode-se dizer que naquele ano o estado I gastou mais com Segurança do que o estado II? Por quê? Um aluno apresentou as seguintes respostas a estas questões: i) 50%. Os gastos com Saúde e Educação correspondem à metade da circunferência. ii) Sim. Setor circular de área maior. a) Analise a resposta desse aluno à questão i). b) Faça o mesmo, em relação à questão ii). Conteúdo predominante: Avaliação e Educação Matemática: formas e instrumentos. analisar criticamente textos matemáticos; elaborar, representar e interpretar gráficos. a) A resposta está certa. Melhor seria se o estudante respondesse aproximadamente 50%, de vez que ele só dispõe do desenho e não tem os dados numéricos. b) A resposta do aluno está errada. A resposta certa seria afirmar que não se pode saber quem gastou mais em termos absolutos. A informação que se pode tirar do gráfico é que o estado I gastou com segurança uma porcentagem de sua arrecadação maior do que o estado II, em relação à própria arrecadação, mas, sem o dado sobre os respectivos totais de arrecadação, não se podem comparar as quantias gastas por um e por outro. 12 O aluno de Licenciatura nem sempre se dá conta da relação entre o curso da Universidade e os temas que vai lecionar. A Integral de Riemann, por exemplo, esclarece a definição de área. Tanto o cálculo da integral pode servir para o cálculo de áreas quanto vice-versa. a) Esboce o gráfico de y = para 0 x 1. b) Calcule o valor da integral dx por meio de sua interpretação como área no plano, recorrendo apenas à Geometria e à Trigonometria estudadas usualmente nos cursos Fundamental e Médio. 129

18 Conteúdo predominante: Organização dos conteúdos de Matemática em sala da aula. compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas. a) Como y = tem-se que o gráfico solicitado é o arco da circunferência de raio 1 e centro (0, 0), que fica no 1º quadrante. b) A figura em questão pode ser decomposta em um triângulo de base e altura, e um setor circular de ângulo central Então sua área pode ser calculada como a soma de com =. Ou seja, a área é:. 13 O conceito de logaritmo, introduzido na Matemática no século XVII, teve grande importância por facilitar cálculos numéricos. Atualmente, com o aperfeiçoamento dos computadores e a popularização das calculadoras, esse emprego dos logaritmos perdeu o interesse. Apesar disso, o estudo dos logaritmos e de suas inversas, as exponenciais, permanece nos cursos médio e superior. a) De acordo com os princípios orientadores dos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), de contextualizar os assuntos tratados, justifique essa permanência citando alguma aplicação da Matemática a outra Ciência (Física, Química, Economia, Estatística,...) em que seja empregada a função logaritmo ou sua inversa. b) Desenvolva os cálculos que levam à utilização da função logaritmo ou de sua inversa na aplicação citada em a). 130

19 Conteúdo predominante: Tendências em Educação Matemática. (PCN). Elaborar modelos e resolver problemas, integrando os vários campos da Matemática. a) Qualquer grandeza cuja variação seja, em cada instante, proporcional ao seu valor nesse instante pode ser modelada por uma função exponencial que é a inversa do logaritmo. Alguns exemplos são: em Química, a quantidade de uma substância radioativa; em Economia, um capital empregado a juros; em Biologia, certas populações (de bactérias, por exemplo), etc. b) Sendo x(t) a medida dessa grandeza no instante t, tem-se: e daí, se x (t 0 ) 0, tem-se: In x (t)/ x (t 0 ) = k (t t 0 ) ou x (t) = x (t 0 ) exp [k (t t 0 )] (e esta vale mesmo para x(t 0 ) = 0) 14 Ensinando Trigonometria, um professor construiu, para motivar seus alunos, um aparelho rudimentar, usado por alguns engenheiros e guardas-florestais para medir, à distância, a altura de árvores. Este aparelho é formado por uma placa retangular de madeira, que tem um canudo colado ao longo de um dos seus lados, e tem um fio de prumo preso a um dos vértices, próximo a uma das extremidades do canudo (Figura A). Observando o topo de uma árvore através do canudo, os profissionais verificam o ângulo indicado no transferidor pelo fio de prumo. Segundo esses profissionais, a medida do ângulo de "visada", isto é, do ângulo formado com o plano horizontal pelo canudo, quando por ele se observa o topo da árvore, é a mesma determinada pelo fio de prumo sobre o transferidor. a) Com o auxílio do esquema da Figura B, verifique, justificando, se de fato o ângulo de visada tem a mesma medida do ângulo indicado pelo fio de prumo sobre o transferidor. b) Suponha que você deseja medir a altura, em relação ao plano horizontal dos seus olhos, do topo de uma árvore da qual você não consegue se aproximar por haver um rio entre ela e você. Utilizando esse aparelho, mostre como fazê-lo, indicando os cálculos necessários para chegar ao resultado. 131

20 Conteúdo predominante: Teorias da cognição e sua relação com a sala de aula de Matemática; Metodologia do ensino de Matemática: uso de material concreto. trabalhar diferentes métodos pedagógicos na sua prática profissional. a) Como a linha horizontal e o fio de prumo fazem um ângulo reto, o mesmo se dando com a borda do aparelho e o canudo, o ângulo formado pelo fio de prumo e o canudo terá por medida + 90 = 90 +, logo, =. b) Seja W o topo da árvore, X o ponto em que estão os olhos do observador, Z o ponto de encontro entre a vertical traçada do topo da árvore e a linha que parte de X no plano horizontal e que encontra essa vertical. O triângulo XZW é retângulo em Z e o observador pode medir o ângulo <X = v. Em seguida, andando na direção de Z uma distância d, o observador faz uma nova medida a partir do ponto Y, obtendo o ângulo p. Considerando os triângulos retângulos XWZ e YWZ, tem-se que tg v 1 = x/(d + YZ) e tg v 2 = x/yz Então, tg v 1 = x. tg v 2 / (d. tg v 2 + x), de onde x (tg v 2 tg v 1 ) = d. tg v 1. tg v 2. Como os ângulos v 1 e v 2 são diferentes (pois o ponto Y se encontra mais próximo de Z) e estão ambos entre 0 e 180, tem-se que a diferença tg v 2 tg v 1 não se anula; logo, pode-se escrever: x = d. tg v 1. tg v 2 / (tg v 2 tg v 1 ), como a expressão que dá a altura pedida. Observação: Uma simplificação interessante no processo se dá quando seja possível localizar o aparelho de forma que os valores de v 1 e v 2 sejam ângulos com tangente conhecida como por exemplo o caso em que v 1 = 45 e v 2 = 60 quando então 15 Seja T um tetraedro regular e considere um plano que passa pelos pontos médios das três arestas que formam um dos vértices de T. Este plano divide T em dois poliedros, sendo um deles um tetraedro regular que chamaremos de t. Analogamente, considerando outros três planos relativamente a cada um dos outros vértices do tetraedro, é possível decompor T em quatro tetraedros regulares iguais a t e mais um poliedro, que chamaremos de P. Responda justificando: a) Qual é a forma do poliedro P? (valor: 5,0 pontos) b) Qual é a razão entre o volume de T e o volume de t? (valor: 5,0 pontos) c) Qual é a razão entre o volume de P e o volume de t? (valor: 5,0 pontos) 132

21 d) Descreva um material didático na forma de um "quebra-cabeças para montar, constituído por 8 (oito) peças com formas de poliedros, o qual possa ser utilizado para auxiliar o aluno a perceber os fatos geométricos envolvidos na situação descrita anteriormente. (valor: 5,0 pontos) Conteúdo predominante: Metodologia do ensino de Matemática: uso de material concreto. visualizar formas geométricas espaciais. a) 1 a alternativa: P é um octaedro regular inscrito no tetraedro, pois possui quatro pares de faces paralelas. Esses pares são formados por uma face do octaedro obtida pelo corte do plano que passa pelos três pontos médios de cada um dos vértices e por uma face triangular inscrita numa face do tetraedro. 2 a alternativa: O aluno também poderá, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na figura do octaedro inscrito no tetraedro. (valor: 5,0 pontos) b) Como as arestas de T foram divididas ao meio para se obterem as arestas de t, e como T e t são tetraedros regulares figuras semelhantes, portanto, e com razão de semelhança igual a ½ o volume de T é oito vezes o volume de t. (valor: 5,0 pontos) c) Como V(T) = 4 V(t) + V(P) e V(T) = 8 V(t), tem-se: V(P) = 8 V(t) 4 V(t) = 4 V(t). (valor: 5,0 pontos) d) 1 a alternativa: O jogo poderá ser formado por 4 tetraedros regulares iguais a t (com arestas do tamanho da metade das de T) e quatro tetraedros não regulares, obtidos por cortes de P, de tal forma que cada dois desses tetraedros não regulares formem uma das pirâmides de base quadrada que compõem P. 2 a alternativa: O aluno também poderá, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na figura anterior, onde aparece a diagonal do quadrado da base das duas pirâmides que formam o octaedro P. (valor: 5,0 pontos) 133

22 Impressões sobre a Prova As questões abaixo visam levantar sua opinião sobre a qualidade e a adequação da prova que você acabou de realizar e também sobre o seu desempenho na prova. Assinale as alternativas correspondentes à sua opinião e à razão que explica o seu desempenho nos espaços próprios (parte inferior) do Cartão-Resposta. Agradecemos sua colaboração. 26 Qual o ano de conclusão deste seu curso de graduação? (A) (B) (C) (D) (E) Outro. 27 Qual o grau de dificuldade desta prova? (A) Muito fácil. (B) Fácil. (C) Médio. (D) Difícil. (E) Muito difícil. 28 Quanto à extensão, como você considera a prova? (A) Muito longa. (B) Longa. (C) Adequada. (D) Curta. (E) Muito curta. 29 Para você, como foi o tempo destinado à resolução da prova? (A) Excessivo. (B) Pouco mais que suficiente. (C) Suficiente. (D) Quase suficiente. (E) Insuficiente. 30 As questões da prova apresentam enunciados claros e objetivos? (A) Sim, todas apresentam. (B) Sim, a maioria apresenta. (C) Sim, mas apenas cerca de metade apresenta. (D) Não, poucas apresentam. (E) Não, nenhuma apresenta. 31 Como você considera as informações fornecidas em cada questão para a sua resolução? (A) Sempre excessivas. (B) Sempre suficientes. (C) Suficientes na maioria das vezes. (D) Suficientes somente em alguns casos. (E) Sempre insuficientes. 32 Como você avalia a adequação da prova aos conteúdos definidos para o Provão/2000 desse curso? (A) Totalmente adequada. (B) Medianamente adequada. (C) Pouco adequada. (D) Totalmente inadequada. (E) Desconheço os conteúdos definidos para o Provão/ Como você avalia a adequação da prova para verificar as habilidades que deveriam ter sido desenvolvidas durante o curso, conforme definido para o Provão/2000? (A) Plenamente adequada. (B) Medianamente adequada. (C) Pouco adequada. (D) Totalmente inadequada. (E) Desconheço as habilidades definidas para o Provão/ Com que tipo de problema você se deparou mais freqüentemente ao responder a esta prova? (A) Desconhecimento do conteúdo. (B) Forma de abordagem do conteúdo diferente daquela a que estou habituado. (C) Falta de motivação para fazer a prova. (D) Espaço insuficiente para responder às questões. (E) Não tive qualquer tipo de dificuldade para responder à prova. 35 Como você explicaria o seu desempenho nas questões objetivas da prova? (A) Não estudei durante o curso a maioria desses conteúdos. (B) Estudei somente alguns desses conteúdos durante o curso, mas não os aprendi bem. (C) Estudei a maioria desses conteúdos há muito tempo e já os esqueci. (D) Estudei muitos desses conteúdos durante o curso, mas nem todos aprendi bem. (E) Estudei e conheço bem todos esses conteúdos. Como você explicaria o seu desempenho em cada questão aberta da parte comum da prova? Números referentes ao CARTÃO-RESPOSTA Números das questões da prova. O conteúdo... (A) não foi ensinado; nunca o estudei. (B) não foi ensinado; mas o estudei por conta própria. (C) foi ensinado de forma inadequada ou superficial. (D) foi ensinado há muito tempo e não me lembro mais. (E) foi ensinado com profundidade adequada e suficiente. Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 134