A afirmação (ii) está errada. A afirmação correta seria "Uma função cuja derivada é positiva em um intervalo é crescente nesse intervalo.

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1 Questão nº 1 A afirmação (i) "A função f(x) = tg x... f' (x) = sec x" está correta. A afirmação (ii) está errada. A afirmação correta seria "Uma função cuja derivada é positiva em um intervalo é crescente nesse intervalo." A afirmação (iii) está errada. A afirmação correta seria "Logo, a função tangente é crescente em qualquer intervalo do seu domínio." A conclusão (iv) está evidentemente errada ( 1 não é maior que 1) e, apesar de 3 π π > 4 4, não se pode concluir que 3π π tg > tg 4 4 porque π 3π, 4 4 não é subconjunto do domínio da função tangente ( π π π, que está compreendido entre e 3, não pertence ao 4 4 domínio da função tangente). (valor: 0,0 pontos) Observação: Na argumentação acima, tem-se que (i) e (ii) implicam (iii) e (iv) (que são falsos). A falha do argumento se concentra em (ii). 1

2 Questão nº a) Se a não é divisível por 3, então a 1 ou a (mod 3). Daí, a 1 ou a 4 (mod 3), ou seja, em ambos os casos, a 1 (mod 3). (valor: 10,0 pontos) b) Suponhamos que (a + b ), 1 º caso: 3 a e b. Tem-se, então, b 0 (mod 3) e, pela parte a), a 1 (mod 3); donde a + b 1(mod 3), o que é incompatível com a hipótese. º caso: Por simetria, não se pode ter a e 3 b. 3 º caso: Falta examinar o caso em que 3 a e 3 b. Neste caso, tem-se, pela parte a), a + b (mod 3), ou seja a + b (mod 3), o que é também incompatível com a hipótese. Logo, a e b. Alternativa: não usar congruências e escrever a = 3 k + r, onde r pode ser 0,1 ou, e prosseguir a argumentação. (valor: 10,0 pontos)

3 Questão nº 3 a) f não é injetora pois, por exemplo, f(1) = 3 e f(14) = 9 = 3, em Z 6 ; logo não pode ser invertível. Pode-se também provar que f não é sobrejetora, pois, por exemplo, não pertence à imagem de f. (valor: 10,0 pontos) b) 1 a alternativa: q = 3p + 1 3p = q 1 p = 3 1. (q 1) p = 9(q 1) p = 9q 9, isto é, f 1 (q) = 9q a alternativa: O estudante, se não souber inverter a função algebricamente, poderá demonstrar iniciativa construindo a tabela para a função f e daí montar a tabela para a inversa, tendo em vista que o domínio de cada uma destas funções tem 6 elementos e os cálculos não são tão complicados. (valor: 10,0 pontos) Obs.: Serão também aceitas respostas com: alguma pesquisa sobre valores de f e de f 1 ; a apresentação da inversa mesmo sem prova. 3

4 Questão nº 4 1ª alternativa: a) β α x γ b a Contados a partir do nível dos olhos de Maria, sejam: a a altura total da estátua, incluindo o pedestal; b a altura do pedestal, x a distância dos olhos de Maria à estátua, medida na perpendicular à estátua. O ângulo γ será o ângulo sob o qual Maria vê a estátua. É preciso determinar x de modo que γ seja máximo. É claro que d = a b, altura da estátua excluindo o pedestal, pode ser introduzido no problema em substituição a a ou a b. (valor: 10,0 pontos) tg α tg β (a b) x b) Tem-se: tg γ = tg (α β) = = 1. =f(x), com x, a, b e a b > 0 e +tgα tgβ x + ab (a b) (ab x ) f (x) = (x + ab) que se anula para x > 0 somente quando x = ab, passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor de x, a função f(x) passa por um máximo. Sendo a função arctg uma função crescente, para esse valor de x, tem-se que o valor de γ também será máximo. Logo o valor de x procurado é x = ab (valor: 10,0 pontos) ª alternativa: a) β α x γ b a (valor: 10,0 pontos) a b (a b)(ab x ) b) tg α = a x e tg β = b x. Como γ = arctg a x arctg b x tem-se que γ' = + = x +a x +b (x + a )(x + b ) que se anula para x > 0 somente quando x = ab, passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor de x, γ passa por um máximo. Logo o valor de x procurado é x = ab (valor: 10,0 pontos) 4

5 Questão nº 5 a) Não. (valor: 5,0 pontos) b) Um exemplo de série convergente é o da série n 1 ( 1) n=1 n (converge porque é uma série alternada em que os valores absolutos dos termos formam uma seqüência decrescente tendendo a 0). Tomada, entretanto, a série só dos termos pares, tem-se: n ( 1) = = n=1 n n=1 n n=1 n e esta última é divergente para, pois é a série harmônica. (valor: 15,0 pontos) 5

6 PARTE C (BACHARELADO) Questão nº a alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. O valor da integral I é igual a π ix Res. Calculando os resíduos da z int γ 1+ z função em seus pólos, i e i, temos: Res i 1 z i 1 1 = lim = lim = z i 1+ z 1+ z z i z + i i z De modo análogo, calcula-se o resíduo em z = i, que dá 1 i. Daí, têm-se os 4 casos: 1. γ não contém nem i nem i em seu interior, então: I = 0;. γ contém i no interior, mas não i, então: I = i x 1 π = π i 1 3. γ contém i no interior, mas não i, então: I = πi x = π; i γ contém i e i, no interior, então: I = π i + =0 i i Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima. a alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. Decompondo f em frações simples, chega-se a: f(z) = 1 = i z z +i z i Têm-se novamente os 4 casos: 1. γ não contém nem i nem i em seu interior; então a função é analítica no interior de γ e I = 0;. γ contém i no interior, mas não i; então a parcela i 1 x z + i é analítica no interior de γ, e o valor da integral se reduz à integral da outra parcela que, pela Fórmula de Cauchy 1 f(z) f(z 0 ) = π i! z z 0 dz, é: I = i π i x ( 1) = ; π 3. γ contém i no interior, mas não i; então é a parcela i 1 x que é analítica no interior de γ, e o valor da integral será o valor da z i integral da outra parcela, que também pode ser calculada pela Fórmula de Cauchy dando: i I = πi x () 1 = π; 4. γ contém i e i, no interior, então o valor da integral é a soma dos valores de I nos casos e 3, isto é: I = π π = 0. Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima. (valor: 0,0 pontos) 6

7 Questão nº 7 Se u é harmônica, tem-se que: u = 0, mas u u u u u = u = + u e, analogamente : x x x x x u y u u = + u, donde : y y u u u = + + u u = 0 x y u u Se u é harmônica, tem-se então que + = 0, mas este 1º membro é o quadrado do módulo do gradiente de u. Sendo grad u = 0 x y no plano, que é conexo, tem-se u = constante. Alternativas: o graduando pode trabalhar com a diferencial, ou mesmo com as derivadas parciais de u em vez do gradiente. (valor: 0,0 pontos) 7

8 Questão nº 8 Esse resultado é verdadeiro no caso em que t 0 > 0 (dado não informado). Com efeito, se (A ) n=0 t 0 n converge, então ( n ) t 0 n lim A = 0. Logo, sendo c um número fixado entre 0 e 1, existe n 0 tal que para n n 0 tem-se que 0 < t A 0 n < c < 1. Mas, então, como a exponencial de base menor que 1 é decrescente, tem-se que, para todo n n 0 e t t > 0 : 0 < A = ( A ) 0 t t 0 t/t 0 n n t 0 A porque n t t0 1. Isto é, a série t (A n) admite uma série majorante convergente e essa majoração é a mesma para todo t. Então, (pelo critério M de n=0 Weierstrass) a série t (A n ) é uniformemente convergente. n=0 Alternativa: Se t 0 < 0, a tese não pode ser verdadeira, pois, neste caso, 0 [ t 0, [ e esta série não converge quando t = 0. (valor: 0,0 pontos) 8

9 Questão nº 9 1ª alternativa: Os autovalores dessa matriz são as raízes de λ λ λ = 0. São, portanto, λ = 0, e 3 e os respectivos autovetores são: (x, 0, 0), (y, y, y) e (z, 0, z). Daí tem-se, tomando a Forma Canônica de Jordan para A, que: A = P J P 1. onde J= 0 0, P= e P = Logo, A n = P J n P 1, mas: n n n n n n n n 1 n 1 n J = 0 0 e PJ P = 0 0. P = 0 0. n n n n n n ª alternativa: O polinômio característico é P(λ) = λ ( λ) (3 λ). Dividindo λ n por P(λ) teremos λ n = P(λ). Q (λ) + a λ + b λ + c. Para calcular a, b, e c, fazemos sucessivamente λ = 0, λ = e λ = 3, obtendo 0 = c, n = 4a + b e 3 n = 9a + 3b. Daí, a = 3 n 1 n 1, b = 3. n 1. 3 n 1, c = 0. Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, P (A) = 0. Daí, n n n A n = a A + ba. Como n n A = e A = 0 0, A = 0 0 n n n ª alternativa: Calcular A, A 3, sugerir uma expressão para A n e provar por indução. (valor: 0,0 pontos) 9

10 Questão nº 10 1ª alternativa: Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ, R cos ϕ) para a esfera e C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se: S θ = ( R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) e S ϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, R sen ϕ) na esfera e C θ = ( R sen θ, R cos θ, 0) e C ϕ = (0, 0, R sen ϕ) no cilindro. Daí, Su Sv = Cu Cv = R sen ϕ em ambas as superfícies. ª alternativa: Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ, R cos ϕ) para a esfera e C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se: S θ = ( R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) e S ϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, R sen ϕ) na esfera e C θ = ( R sen θ, R cos θ, 0) e C ϕ = (0, 0, R sen ϕ) no cilindro. Daí, EG F = R 4 sen ϕ, em ambas as superfícies. 3ª alternativa: Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por: S(u,v) = ( R v cos u, R v sen u, v). Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes por f em cada uma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v). Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região no domínio das parametrizações em cada uma destas superfícies. Ora, a área de uma tal imagem pode ser calculada, em cada uma das superfícies, pela integral dupla da expressão EG F estendida ao mesmo domínio, onde E = <S u, S u > ; G = <S v, S v > e F = <S u, S v > na esfera e expressões análogas para o cilindro. Como u v S = ( R v sen u, R v cos u, 0), S = ( v cos u / R v, v sen u / R v, 1) C = ( Rsen u, R cos u, 0) e C = (0, 0, 1). u v tem-se que na esfera: EG F = (R v ) (sen u + cos u) [1 + v (cos u + sen u) / (R v )] [v sen u cos u v cos u sen u] = R e no cilindro: EG F = R (sen u + cos u) x 1 0 = R. Logo, áreas de regiões correspondentes são iguais. 10

11 4ª alternativa: Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por: S(u,v) = ( R v cos u, R v sen u, v). Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes por f em cada uma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v). Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região D no domínio das parametrizações em cada uma destas superfícies. Ora, a área de uma tal imagem na esfera pode ser calculada, pela integral dupla Su Sv du dv e no cilindro por D Cu Cv du dv, onde S u = ( R v sen u, R v cos u, 0), S v= ( v cos u / R v, v sen u / R v, 1), D C = ( Rsen u, R cos u, 0) e C = (0, 0, 1). u v Como Su Sv = ( R v cos u, R v sen u,v) = R e Cu Cv = (R cos u, R sen u,0) = R, tem-se que áreas de regiões correspondentes são iguais. (valor: 0,0 pontos) 11

12 PARTE C (LICENCIATURA) Questão nº 11 a) A resposta está certa. Melhor seria se o estudante respondesse aproximadamente 50%, de vez que ele só dispõe do desenho e não tem os dados numéricos. (valor: 10,0 pontos) b) A resposta do aluno está errada. A resposta certa seria afirmar que não se pode saber quem gastou mais em termos absolutos. A informação que se pode tirar do gráfico é que o estado I gastou com segurança uma porcentagem de sua arrecadação maior do que o estado II, em relação à própria arrecadação, mas, sem o dado sobre os respectivos totais de arrecadação, não se podem comparar as quantias gastas por um e por outro. (valor: 10,0 pontos) 1

13 Questão nº 1 a) Como y = 1 x, 0 x 1 x + y = 1, 0 x 1e 0 y 1, tem-se que o gráfico solicitado é o arco da circunferência de raio 1 e centro (0, 0), que fica no 1º quadrante. (valor: 10,0 pontos) b) A figura em questão pode ser decomposta em um triângulo de base 1 e altura 3 π π π, e um setor circular de ângulo central =. 3 6 Então sua área pode ser calculada como a soma de 1 x 1 x 3 = 3 com 8 1 x1 π π x =. 6 1 Ou seja, a área é: 3 + π. (valor: 10,0 pontos)

14 Questão nº 13 a) Qualquer grandeza cuja variação seja, em cada instante, proporcional ao seu valor nesse instante pode ser modelada por uma função exponencial que é a inversa do logaritmo. Alguns exemplos são: em Química, a quantidade de uma substância radioativa; em Economia, um capital empregado a juros; em Biologia, certas populações (de bactérias, por exemplo), etc. (valor: 10,0 pontos) b) Sendo x(t) a medida dessa grandeza no instante t, tem-se: x =kxe daí, se x (t 0 ) 0, tem-se: In x (t)/ x (t 0 ) = k (t t 0 ) ou x (t) = x (t 0 ) exp [k (t t 0 )] (e esta vale mesmo para x(t 0 ) = 0) (valor: 10,0 pontos) 14

15 Questão nº 14 a) Como a linha horizontal e o fio de prumo fazem um ângulo reto, o mesmo se dando com a borda do aparelho e o canudo, o ângulo formado pelo fio de prumo e o canudo terá por medida p + 90 = 90 + v, logo, p = v. (valor: 10,0 pontos) b) Seja W o topo da árvore, X o ponto em que estão os olhos do observador, Z o ponto de encontro entre a vertical traçada do topo da árvore e a linha que parte de X no plano horizontal e que encontra essa vertical. O triângulo XZW é retângulo em Z e o observador pode medir o ângulo <X = v. Em seguida, andando na direção de Z uma distância d, o observador faz uma nova medida a partir do ponto Y, obtendo o ângulo p. Considerando os triângulos retângulos XWZ e YWZ, tem-se que tg v 1 = x/(d + YZ) e tg v = x/yz Então, tg v 1 = x. tg v / (d. tg v + x), de onde x (tg v tg v 1 ) = d. tg v 1. tg v. Como os ângulos v 1 e v são diferentes (pois o ponto Y se encontra mais próximo de Z) e estão ambos entre 0 e 180, tem-se que a diferença tg v tg v 1 não se anula; logo, pode-se escrever: x = d. tg v 1. tg v / (tg v tg v 1 ), como a expressão que dá a altura pedida. Observação: Uma simplificação interessante no processo se dá quando seja possível localizar o aparelho de forma que os valores de v 1 e d 3 d (3+ 3) v sejam ângulos com tangente conhecida como por exemplo o caso em que v 1 = 45 e v = 60 quando então x= =. 3 1 (valor: 10,0 pontos) 15

16 Questão nº 15 a) 1 a alternativa: P é um octaedro regular inscrito no tetraedro, pois possui quatro pares de faces paralelas. Esses pares são formados por uma face do octaedro obtida pelo corte do plano que passa pelos três pontos médios de cada um dos vértices e por uma face triangular inscrita numa face do tetraedro. a alternativa: O aluno também poderá, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na figura do octaedro inscrito no tetraedro. (valor: 5,0 pontos) b) Como as arestas de T foram divididas ao meio para se obterem as arestas de t, e como T e t são tetraedros regulares figuras semelhantes, portanto, e com razão de semelhança igual a ½ o volume de T é oito vezes o volume de t. (valor: 5,0 pontos) c) Como V(T) = 4 V(t) + V(P) e V(T) = 8 V(t), tem-se: V(P) = 8 V(t) 4 V(t) = 4 V(t). (valor: 5,0 pontos) d) 1 a alternativa: O jogo poderá ser formado por 4 tetraedros regulares iguais a t (com arestas do tamanho da metade das de T) e quatro tetraedros não regulares, obtidos por cortes de P, de tal forma que cada dois desses tetraedros não regulares formem uma das pirâmides de base quadrada que compõem P. a alternativa: O aluno também poderá, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na figura anterior, onde aparece a diagonal do quadrado da base das duas pirâmides que formam o octaedro P. (valor: 5,0 pontos) 16