=6,93 10! Prova 1 Tema 1 Básicos, Notação Científica e Conversão de medidas via fator unitário Prof. Leandro Neckel

Transcrição

1 Prova 1 Tema 1 Básicos, Notação Científica e Conversão de medidas via fator unitário Prof. Leandro Neckel 1 - BÁSICOS Importante: Você não irá avançar na disciplina de física I se não tiver conhecimentos das seguintes igualdades matemáticas: (1.1) = (1.2) = (1.3) = (1.4) = (1.5) = (1.6) = 2 NOTAÇÃO CIENTÍFICA A notação científica é uma ferramenta matemática utilizada para expressar, de forma breve, valores numéricos muito grandes e muitos pequenos. Observe o exemplo: Então: 2000=200 10=20 100= =2 10 Também, em outro exemplo: 0.003= = 3 10 =3 10 E este é o princípio básico de compreensão da notação científica. Por convenção a notação científica é divida em duas partes, sendo que a primeira é formada por um valor numérico, entre 1 e 9.99, com duas casas decimais, chamada mantissa. A segunda parte é uma potência de base 10. No exemplo 2 10 Temos que 2 é a mantissa e 10 é a potência de base 10. Observe mais alguns exemplos: = = = =25, =2, =2, ,693= = = =6, =6, =6,93 10! Observando desta maneira, a formatação numérica é um tanto quanto trabalhosa. Porém, existe uma maneira mais rápida de executar a conversão. Para tal é necessário seguir alguns passos: a) Identificar a posição do separador decimal no número a converter b) Identificar a posição onde a virgula deve ficar após a formatação c) Contar quantas posições a vírgula deve pular para sair de sua posição original até chegar na posição final, neste caso, considere também a direção na qual o deslocamento da vírgula está sendo feito. Com isto siga a seguinte regra: Se a vírgula se deslocar para a esquerda, conte positivamente o expoente da potência de base 10. Se a vírgula se deslocar para a direita, conte negativamente o expoente da potência de base dez. Observe nos mesmos exemplos: Como é um número inteiro, a vírgula (separados decimal) está escondida após o último zero: ,0 Para que a mantissa fique correta, a virgula deve estar entre o 2 e o 5, formando então um número maior que 1 entre 1 e 9,99. Para isto a virgula deve se deslocar 5 vezes para a esquerda entre os algarismos, logo, o expoente da potencia de base dez deve ser contado positivamente como +5, logo =2,54 10 Idem para o outro exemplo: 0,693 A virgula deve estar entre o 6 e o 9, logo, deve se deslocar em uma casa para a direita. Assim, a contagem do expoente da potência de base dez deve ser contado como -1 (negativo). 0,693=6,93 10!

2 Em casos quando não é possível obter uma mantissa com somente duas casa decimais, é necessário, então, executar um arredondamento para tal. Observe: =5, # =5,27 10 O arredondamento ocorre sempre na segunda casa decimal. As regras de arredondamento utilizadas nas disciplinas de física 1 e física experimental 1 são as expostas no livro Introdução ao Laboratório de Física do Piacentinni, disponível em várias unidades na biblioteca da Unesc. Idem para valores menores que 1: 0,008522=8, =8,52 10 Existe um caso especial de arredondamento onde um certo cuidado extra deve ser tomado, observe: =3, % Neste caso, a princípio, não se sabe dizer exatamente se devemos arredondar o valor para cima (3,48 10 % ) ou para baixo (3,47 10 % ). Porém, uma olhada rápida no livro citado anteriormente nos leva ao seguinte critério: quando o algarismo a ser arredondado é igual a cinco, como no caso acima, arredonda-se sempre para cima, obtendo o algarismo anterior como um valor par. Desta forma obtemos: 0, =3, % =3,48 10 % Em um outro exemplo: 1245=1, =1,24 10 Exemplos e exercícios escrever os números abaixo como notação científica com mantissa de duas casas decimais , , % 3 ORDEM DE GRANDEZA A ordem de grandeza é responsável por passar ideia do quão grande ou quão pequeno é o número. Está diretamente associada, no caso das notações cientificas, com o expoente da potência de base 10. Observe os exemplos: Um distância de 1300km tem ordem de grandeza de milhares de quilômetros Um tempo cronometrado de 25s tem ordem de grandeza de dezenas de segundos A população de São Paulo (11,32 milhões de habitantes) tem ordem de grandeza de milhões de habitantes. O mesmo também serve para valores numéricos menores que 1 e maiores que 0, observe Um milímetro é igual a 0,001m, ou seja, um milímetro corresponde a um milésimo de metro, isto denota sua ordem de grandeza Um micrometro é igual a 0,000001m, ou seja, é uma parte entre um milhão de um metro, ou ainda, corresponde a um milionésimo de metro, o que denota, também, sua ordem de grandeza. Repare que em todos os casos, a ordem de grandeza está diretamente associada com a potência de dez em que os valores numéricos citados estão encaixados. Se pegarmos o primeiro exemplo e convertermos em notação científica observaremos diretamente sua ordem de grandeza, observe: 1300&'=1,3 10 &' Repare que o 10, no caso o expoente 3 da potência de base dez confere com sua ordem de grandeza de milhar. O interessante é que no S.I. (sistema internacional de unidades e medidas) existem padrões de nomenclaturas e simbologias para as ordens de grandeza mais utilizadas. Observe a tabela a seguir:

3 (Fonte: Material IFSC) Assim compreende-se o motivo das simbologias ligadas a unidades de medida. Tomamos como exemplo básico o quilograma: (kg). Este k que precede o símbolo do grama (g) é um prefixo do S.I. que representa uma potência de base dez com expoente 3. O nome associado a este símbolo é o quilo (em português). 4 - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES E MEDIDAS. Este sistema, assim comentado, é uma convenção de unidades e medidas que serve para padronização. Ou seja, o objetivo do mesmo é que países de línguas e culturas diferentes trabalhem em acordo científico com unidades padronizadas. No S.I. as unidades padrões são as seguintes: (fonte: Material IFSC) A partir das unidades padrão é possível, então definir outras unidades derivadas assim como velocidade, aceleração, força, momento, energia, entre uma grande gama de outras. Durante o percurso do semestre trabalharemos algumas destas. 5 TIPOS DE GRANDEZAS Trabalharemos, em física 1, com dois tipos de grandezas somente: vetoriais e escalares. Uma grandeza vetorial é aquela que necessita, obrigatoriamente, de um sistema de coordenadas para ser definido. Em outras palavras, é uma grandeza que necessita que a direção e o sentido estejam presentes na sua descrição para que a mesma seja plenamente compreendida. Bons exemplos disto são grandezas como a velocidade, aceleração, ou até mesmo a posição de corpos no espaço. Todas estas citadas possuem interpretação também escalar, porém trabalharemos de forma a compreendê-las, inicialmente, como vetoriais. Ainda podemos citar outras grandezas obrigatoriamente vetoriais assim como momentos, torques, campo elétrico, campo magnético, entre outros. As grandezas escalares são aquelas que se fazem entender somente com um valor que demonstra sua magnitude. Ou ainda, são aquelas que não necessitam de descrição de sentido ou direção para serem plenamente compreendidas. Bons exemplos disso são grandezas como o tempo, energia, temperatura termodinâmica, quantidade de matéria, intensidade luminosa, massa, etc. 5 CONVERSÃO DE UNIDADES SEGUNDO O MÉTODO DO FATOR UNITÁRIO A vantagem deste método sobre os demais (regra de três, multiplicação simples, divisão, etc) é que este garante a conversão correta de unidades de maneira simples, não importando a sua natureza. É um método

4 que mescla a conversão de valores numéricos carregando junto a conversão das unidades de medida. O nome do método, o fator unitário, vem da utilização de uma razão entre duas medidas que significam a mesma coisa e, que por este motivo, resultam em 1 (unidade). Observe o exemplo: 1&'=10 ' Dividindo os dois lados por 10 ', por exemplo temos: 1&' ' 10 ' =10 10 ' 1&' 10 ' =1 O fator!(, por ser igual a 1, é chamado fator de!) * conversão. Importante é também observar que 1&' 10 ' =10 1&' =1 Desta forma, é o fator de conversão se torna maleável para conversões de ida ou de volta em um exercício, por exemplo. Observe como é possível proceder em uma conversão com o exemplo de fator numérico fornecido: Ex: converter m para km. Inicia-se com o valor a se converter e utiliza-se o fator de conversão em uma posição favorável ao cancelamento da unidade indesejada, no caso aqui, o m (metro) 123,43' + 1&' 10 ',=123,43 1&' 10 =123,43 10 &'=0,12343&' 0,123&' Além de conversões decimais, utilizando a tabela dos prefixos do S.I., a o método unitário também serve para conversões de unidades não-decimais. Observe o exemplo com a conversão de valores de tempo. Ex: converter 450min para h (horas). Inicialmente é interessante investigar o fator de conversão. Observe: 1h =60'/0 1h 60'/0 =60'/0 =1 1h Logo, podemos utilizar o fator!2 #)3, invertido ou não, conforme a necessidade. Iniciamos com o valor inicial de 450min, logo: 450'/0 + 1h 60min,=450 1h 60 =7,5h Ainda, o fator de conversão pode ser utilizado em conversão de medidas quadráticas ou cúbicas, ou seja, para áreas e volumes, que normalmente são geradores de confusão entre os estudantes. Observe: Ex. Converter uma área de 34.5m² para cm². Inicialmente poderíamos pensar que, por outro método bastaria multiplicar o valor em m² por 100, mas é aqui que o erro é cometido. Na conversão de unidades lineares, de comprimento no caso, a conversão rápida citada é válida. A problemática aqui é que não está se convertendo um valor de comprimento, mas sim de uma área. De qualquer forma, o método é maleável o suficiente para garantir a conversão. Precisamos, para iniciar o processo, do fator de conversão entre m² e cm², porém o mesmo não é conhecido. Entretanto, o fator unitário nos confere um mecanismo que pode ser utilizado quando tem-se potências de fatores de conversão conhecidos, como é o caso. Observe: Logo temos que 1' =1007' 1' 1007' =1 1' 10 7'' =1 + 1' 10 7', =1 1 ' 10 % 7' =1 1' 10 % 7' =1 1' =10 % 7' e isto garante o fator de conversão a ser utilizado: 34,5' 8 10% 7' 1' 9=34,5 10% 7' = ' O mesmo serve para a conversão de volumes. Observe a problemática abaixo: Uma caminhão tem seu compartimento de carga em formato de um paralelepípedo com 9m de comprimento, 3,5m de largura e 4m de altura. Deseja-

5 se estimar quantas caixas cúbicas de 25cm de aresta cabem dentro do caminhão. Para resolver este problema é necessário inicialmente contabilizar o volume do caminhão e o volume de cada uma das caixas cúbicas a serem transportadas. : ;32ã= =7 > h : ;32ã= =9' 3,5' 4'=126' : ;3? = : ;3? =257' =156257' Para estimar a quantidade de caixas, inicialmente é necessário termos ambas as medidas expressas na mesma unidade. Logo, faz-se necessário converter o volume do caminhão ou o das caixas. Façamos o volume das caixas. : ;3? =156257' : ;3? =156257' 8 10 ' 17' 9 : ;3? =156257' 8 10# ' 17' 9=0,015625' Considerando que as caixas são pequenas perante o volume do caminhão é esperado que caibam muitas caixas dentro do mesmo. Para fazer esta estimativa podemos dividir o volume a ser preenchido pelo volume das caixas que preencherão o mesmo. Chamaremos isto de 0 (número de caixas) 0 = : ;32ã= = 126' =8064 7/@A : ;3? 0,015625' Logo, caberão 8064 caixas no caminhão. Expressando em notação científica formal temos: 0 8, /@A Além da maleabilidade do método em relação a medidas quadráticas e cúbicas, entre outras potências, o mesmo ainda pode ser utilizado em cadeia, ou seja, executando várias conversões ao mesmo tempo. Observe o seguinte exemplo: Converter 25 ( 2 para B. A princípio, segundo o que é possível recordar do ensino médio, seria suficiente dividir o valor pelo fator 3,6 que obteríamos o resultado em. Mas vamos B utilizar a conversão em fator comum aqui. Primeiro, podemos lembrar dos fatores de conversão necessários: 1&'=10 ' 1h =60'/0=3600A Logo usaremos os seguintes fatores unitários: 1&' 10 ' =1 1h 3600A =1 Iniciando a conversão e utilizando os dois fatores aos mesmo tempo em uma cadeia de multiplicações temos: 25 &' ' 1h h &' 3600A,= = ' 3600 A 6,94' A Assim é possível compreender a divisão por 3.6. Repare que na segunda linha da conversão temos o seguinte fator na multiplicação: Que é igual a =10 36 = 1 3,6 Assim temos o inteiro dividido por 3,6, justificando a existência do fator 3,6. Exemplo Exercício do livro Física para cientistas e engenheiros, Tipler, P.A. - Você é entregador de uma empresa de água mineral. Seu caminhão carrega 6 plataformas de carga. Cada plataforma carrega 60 fardos. Cada fardo possui 24 garrafas de um litro de água. O carrinho que você utiliza para transportar a água para as lojas tem um limite de peso de 250lb (libras). (a) Se um mililitro de água tem uma massa de de 1g e um quilograma tem o peso de 2,2lb, qual é o peso (massa), em libras, de toda água em seu caminhão? (b) Quantos fardos completos de água você pode transportar no carrinho? (a) Aqui pode-se brincar com a ideia de conversão via fator unitário em unidades que não são de medida mas sim de contagem. Iniciemos então com o caminhão: 17'/0hãC =6 D>EFCG'A

6 17' =6D>E 17' 6D>E =1 Ou seja, é possível carregar no máximo 4 fardos, já que o número de fardos está no conjunto dos números naturais (positivos e inteiros). As plataformas por si: Os fardos por si A garrafa por si O quilograma: 1D>E =60FGHCA 1D>E 60FGHCA =1 1FGHC =24IGGFA 1FGHC 24IGGFA =1 1IGGF =1> =1000'> =1000I 1IGGF 1000I =1 1IGGF =1 1&I 1&I=2,2> 1&I 2,2> =1 Utilizando a conversão em cadeia: 17' 6D>E 17' 60FGHCA 1D>E 1&I 24IGGFA 1FGHC 1IGGF 2,2> 1&I = ,2> =19008> Logo, o caminhão carrega 19008lb de água, no máximo. (b) Para o carrinho temos: 17GG/0hC=250> 17GG/0hC =1 250> Logo, usando os mesmos fatores passados temos: 250> 17GG/0hC 17GG/0hC 1&I 2,2> 1IGGF 1&I 1FGHC 24IGGFA = FGHC =4,73FGHCA