QUESTÕES COMENTADAS º Exame de Qualificação - Questão 22 Área do conhecimento: Matemática

Transcrição

1 QUESTÕES COMENTADAS º Exame de Qualificação - Questão 22 Ano 6, n. 18, ano 2013 O personagem da tira diz que, quando ameaçado, o comprimento de seu peixe aumenta 50 vezes, ou seja, 5000%. Admita que, após uma ameaça, o comprimento desse peixe atinge 1,53 metros. O comprimento original do peixe, em centímetros, corresponde a: (A) 2,50 (B) 2,75 (C) 3,00 (D) 3,25 Alternativa correta: (C) Eixo interdisciplinar: Aritmética Item do programa: Números reais Subitem do programa: Porcentagem Objetivo: Calcular um número real com base em fator de aumento. O comprimento original do peixe corresponde a x. Como, após ameaçado, x aumenta 50 vezes, o peixe passa a ter o seguinte comprimento: x + 50x = 1,53 m 51x = 153,00 cm x = 3,00 cm Percentual de acertos: 63,94% º Exame de Qualificação - Questão 23 Ano 6, n. 18, ano 2013 Observe no gráfico o número de médicos ativos registrados no Conselho Federal de Medicina (CFM) e o número de médicos atuantes no Sistema Único de Saúde (SUS), para cada mil habitantes, nas cinco regiões do Brasil.

2 O SUS oferece 1,0 médico para cada grupo de x habitantes. Na região Norte, o valor de x é aproximadamente igual a: (A) 660 (B) 1000 (C) 1334 (D) 1515 Alternativa correta: (D) Eixo interdisciplinar: Aritmética Item do programa: Números reais Subitem do programa: Regra de três Item do programa 2: Representação de dados Subitem do programa 2: Tabulações Objetivo: Calcular um número real com base em regra de três. De acordo com o gráfico, na região Norte, há 0,66 médicos atuantes no SUS para cada 1000 habitantes. Logo, nessa região, o SUS oferece 1,0 médico para cada grupo de x habitantes, ou seja: Percentual de acertos: 29,37% Nível de dificuldade: Difícil (abaixo de 30%) º Exame de Qualificação - Questão 24 Ano 6, n. 18, ano 2013 Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem:. Esse plano contém o segmento OV, Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano, como se observa nas imagens:

3 Considere as seguintes informações: o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro; a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 0 < x ; x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano ; o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y. O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em m 3, em função do ângulo x, em radianos, é: (A) (B) (C) (D) Alternativa correta: (A) Eixo interdisciplinar: Geometria Item do programa: Figuras tridimensionais Subitem do programa: Volume de Pirâmides Eixo interdisciplinar 2: Álgebra Item do programa 2: Funções Subitem do programa 2: Seno e coseno Objetivo: Calcular volume de um sólido em função de um ângulo. O volume de uma pirâmide corresponde a: sendo A = área da base h = altura Na pirâmide ABCDV, como os lados da base medem 1 m, sua área é igual a 1 m 2. Já sua altura corresponde a sen x. Assim: Trata-se de uma função seno, com. O gráfico que melhor representa essa função é:

4 Percentual de acertos: 25,06% Nível de dificuldade: Difícil (abaixo de 30%) º Exame de Qualificação - Questão 25 Ano 6, n. 18, ano 2013 Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios: os dois primeiros cartões recebidos não geram multas; o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00; os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior. Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta. Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a: (A) (B) (C) (D) Alternativa correta: (B) Eixo interdisciplinar: Álgebra Item do programa: Sucessões Subitem do programa: Progressões Aritméticas Objetivo: Calcular a soma de termos de uma progressão aritmética. O atleta que recebeu 13 cartões vai pagar um total T de 11 multas. Cada multa corresponde a um número múltiplo de 500: Colocando 500 em evidência, obtém-se: A expressão entre parênteses corresponde a soma dos 11 termos de uma P.A., logo: Percentual de acertos: 67,88% º Exame de Qualificação - Questão 26

5 Ano 6, n. 18, ano 2013 Na figura a seguir, estão representados o triângulo retângulo ABC e os retângulos semelhantes I, II e III, de alturas h 1, h 2 e h 3 respectivamente proporcionais às bases, e. Se = 4 m e = 3 m, a razão é igual a: (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 Alternativa correta: (A) Eixo interdisciplinar: Geometria Item do programa: Figuras no plano Subitem do programa: Relações métricas Objetivo: Calcular uma razão. De acordo com o teorema de Pitágoras, se = 4m e = 3m, = 5m. Como h 1, h 2 e h 3 são proporcionais a 5, 4 e 3, respectivamente, então existe um número real positivo n, tal que h 1 = 5n, h 2 = 4n e h 3 = 3n. Calculando-se a razão: Percentual de acertos: 62,07% º Exame de Qualificação - Questão 27 Ano 6, n. 18, ano 2013 Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apontados, e o porta-lápis B com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados.

6 Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B. Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: (A) 0,64 (B) 0,57 (C) 0,52 (D) 0,42 Alternativa correta: (B) Eixo interdisciplinar: Álgebra Item do programa: Problemas de contagem Subitem do programa: Cálculo de probabilidades Objetivo: Calcular uma probabilidade. O porta-lápis A possui 3 lápis apontados e 7 não apontados, enquanto o porta-lápis B possui 4 lápis apontados e 5 não apontados. Considere os seguintes eventos e suas probabilidades: E = Retirar um lápis do porta-lápis A e ele ser apontado. = Retirar um lápis do porta-lápis A e ele não ser apontado. = Retirar um lápis não apontado do porta-lápis B. A probabilidade de ocorrer, dado que ocorreu o evento E, é: Então: A probabilidade de ocorrer, dado que ocorreu o evento, é: Então: Observe a árvore de probabilidades:

7 A probabilidade pedida corresponde a: Percentual de acertos: 31,50% º Exame de Qualificação - Questão 28 Ano 6, n. 18, ano 2013 O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3, 0). O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5. O comprimento do segmento AB corresponde a: (A) 5 (B) 6 (C) (D) Alternativa correta: (C) Eixo interdisciplinar: Álgebra Item do programa: Funções Subitem do programa: Quadrática Eixo interdisciplinar 2: Geometria Item do programa 2: Figuras no plano Subitem do programa 2: Simetrias e homotetias Objetivo: Calcular uma distância com base na função quadrática. Considere o triângulo:

8 Os triângulos OAB e CPB são semelhantes, então: Se OA = h, logo: Designando o produto entre p e q por y, tem-se: y = p q Como p é variável e h fixo, tem-se uma função polinomial do 2º grau. O máximo dessa função é 4,5. Portanto: h = 6 O triângulo OAB é retângulo; assim, pelo teorema de Pitágoras: Percentual de acertos: 41,45% º Exame de Qualificação - Questão 29 Ano 6, n. 18, ano 2013 Para saber o dia da semana em que uma pessoa nasceu, podem-se utilizar os procedimentos a seguir. 1. Identifique, na data de nascimento, o dia D e o mês M, cada um com dois algarismos, e o ano A, com quatro algarismos. 2. Determine o número N de dias decorridos de 1º de janeiro até D/M. 3. Calcule Y, que representa o maior valor inteiro que não supera. 4. Calcule a soma S = A + N + Y. 5. Obtenha X, que corresponde ao resto da divisão de S por Conhecendo X, consulte a tabela:

9 O dia da semana referente a um nascimento ocorrido em 16/05/1963 é: (A) domingo (B) segunda-feira (C) quarta-feira (D) quinta-feira Alternativa correta: (D) Eixo interdisciplinar: Aritmética Item do programa: Números reais Subitem do programa: Adição, subtração, multiplicação Objetivo: Calcular um número real com base em procedimentos apresentados. De acordo com os procedimentos: 1. A data de nascimento ocorreu em D = 16, M = 05 e A = O número N de dias decorridos de 1º de janeiro até D/M corresponde a N = 136 dias 3. Como y é um número inteiro que não supera, y = S = S = X é o resto da divisão de 2589 por 7, logo X = O dia da semana referente ao nascimento em 16/05/1963 é quinta-feira. Percentual de acertos: 30,73% º Exame de Qualificação - Questão 22 Ano 6, n. 17, ano 2013

10 De acordo com as informações do texto, a soma x + y é igual a: (A) 13,7 (B) 15,0 (C) 23,5 (D) 29,0 Alternativa correta: (D) Eixo interdisciplinar: Aritmética Item do programa: Números reais Subitem do programa: Adição, subtração Objetivo: Calcular uma adição de números reais. De acordo com as informações, pode-se considerar x = 14,5 0,8 e y = 14,5 + 0,8. Então, x + y = (14,5 0,8) + (14,5 + 0,8) x + y = 14,5 + 14,5 x + y = 29,0 Percentual de acertos: 74,11% Nível de dificuldade: Fácil (acima de 70%) º Exame de Qualificação - Questão 23 Ano 6, n. 17, ano 2013 Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40 cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que DÂE = 45º e BÂC = 30º, conforme ilustrado a seguir: Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que equivale a: = 1,7, a área, em cm 2, do triângulo CAE (A) 80 (B) 100 (C) 140 (D) 180 Alternativa correta: (C)

11 Eixo interdisciplinar: Geometria Item do programa: Figuras no plano Subitem do programa: Relações trigonométricas; áreas Objetivo: Calcular a área de um triângulo. No triângulo retângulo ABC, o ângulo BÂC mede 30º, logo: O triângulo retângulo ADE é isósceles, logo: Pode-se, com esses valores, calcular a base do triângulo ACE: Como a altura do triângulo ACE relativa à base é, tem-se: Área do triângulo Percentual de acertos: 51,52% º Exame de Qualificação - Questão 24 Ano 6, n. 17, ano 2013 Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém 200 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a 20 mg. Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um destes comprimidos tenha 30 mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados os seguintes procedimentos: numeram-se os frascos de 1 a 15; retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua numeração; verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos retirados é igual a 2540 mg. A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é: (A) 12 (B) 13 (C) 14

12 (D) 15 Alternativa correta: (C) Eixo interdisciplinar: Álgebra Item do programa: Sucessões Subitem do programa: Progressões aritméticas Objetivo: Calcular uma soma com base em progressão aritmética. Supondo que todos os frascos contivessem comprimidos de mesma massa igual a 20 mg, a massa total T dos comprimidos corresponderia a: T = (20) + 3(20) (20) T = 20( ) A soma entre parênteses é a de uma progressão aritmética (P.A.) de razão 1, portanto: Com uma balança, verificou-se que a massa total de comprimidos corresponde, de fato, a 2540 mg. Isso ocorre pois o frasco n contém comprimidos de massa igual a 30 mg, ou seja, cada um possui 10 mg a mais do que o indicado no rótulo. Assim: 10 n = n = 140 n = 14 A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é 14. Percentual de acertos: 37,25% º Exame de Qualificação - Questão 25 Ano 6, n. 17, ano 2013 Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a 11 cm, como mostra o esquema: Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a: (A) 2,5 (B) 3,0 (C) 3,5 (D) 4,0 Alternativa correta: (B) Eixo interdisciplinar: Geometria Item do programa: Figuras no plano Subitem do programa: Circunferências e círculo; perímetros

13 Objetivo: Calcular a medida do raio de um círculo. O comprimento de uma volta de qualquer circunferência é igual a 2 vezes o seu raio. Sendo R e r as medidas dos raios das circunferências de centros A e B, respectivamente, tem-se: R = 11 r 8r = 3 (11 r) 8r = 33 3r 11r = 33 r = 3 cm Logo, o raio da engrenagem menor é igual a 3 cm. Percentual de acertos: 35,74% º Exame de Qualificação - Questão 26 Ano 6, n. 17, ano 2013 Em uma sala, encontram-se dez halteres, distribuídos em cinco pares de cores diferentes. Os halteres de mesma massa são da mesma cor. Seu armazenamento é denominado perfeito quando os halteres de mesma cor são colocados juntos. Nas figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos de armazenamento perfeito. Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade de que eles formem um armazenamento perfeito equivale a: (A) (B) (C) (D) Alternativa correta: (B) Eixo interdisciplinar: Álgebra Item do programa: Problemas de contagem

14 Subitem do programa: Análise combinatória simples e com repetição Objetivo: Calcular uma probabilidade com base em análise combinatória. O número total de arrumações distintas é igual ao número de permutações dos dez objetos com repetições de dois objetos cinco vezes, isto é: O número de armazenamentos perfeitos é igual ao número de permutações simples dos cinco pares de mesma cor. Isso corresponde a: Portanto, a probabilidade de organizar ao acaso os halteres, obtendo um armazenamento perfeito, equivale a: Veja-se outra solução possível a seguir A probabilidade de escolher um halter qualquer corresponde a, e a probabilidade de o segundo halter ter a mesma cor do primeiro é de. Então, a probabilidade de os halteres do primeiro par terem a mesma cor é de. A probabilidade de escolher outro halter qualquer, dado que já foram arrumados dois da mesma cor, é de. A probabilidade de um quarto halter ter a mesma cor do terceiro é de Então, a probabilidade de os halteres do segundo par terem a mesma cor é de. Para os outros três pares de halteres, o raciocínio é o mesmo. Observe: Probabilidade de os halteres do terceiro par terem a mesma cor Probabilidade de os halteres do quarto par terem a mesma cor Probabilidade de os halteres do quinto par terem a mesma cor Então, a probabilidade de obter um armazenamento perfeito ao acaso equivale a: Percentual de acertos: 24,80% Nível de dificuldade: Difícil (abaixo de 30%) º Exame de Qualificação - Questão 27 Ano 6, n. 17, ano 2013

15 Um feirante vende ovos brancos e vermelhos. Em janeiro de um determinado ano, do total de vendas realizadas, 50% foram de ovos brancos e os outros 50% de ovos vermelhos. Nos meses seguintes, o feirante constatou que, a cada mês, as vendas de ovos brancos reduziram-se 10% e as de ovos vermelhos aumentaram 20%, sempre em relação ao mês anterior. Ao final do mês de março desse mesmo ano, o percentual de vendas de ovos vermelhos, em relação ao número total de ovos vendidos em março, foi igual a: (A) 64% (B) 68% (C) 72% (D) 75% Alternativa correta: (A) Eixo interdisciplinar: Aritmética Item do programa: Números reais Subitem do programa: Porcentagem Objetivo: Calcular uma porcentagem. Em janeiro, suponhamos que o total de vendas tenha sido de 200n ovos, sendo 100n de ovos brancos e 100n de ovos vermelhos. Como reduzir 10% corresponde a multiplicar por 0,9 e aumentar 20% corresponde a multiplicar por 1,2, pode-se resumir a evolução da quantidade de ovos vendidos a cada mês conforme a tabela abaixo: Tipo de ovos Janeiro Fevereiro Março brancos 100 n 90 n 81 n vermelhos 100 n 120 n 144 n total 200 n 210 n 225 n Logo, o percentual de vendas dos ovos vermelhos vendidos em março corresponde a: Percentual de acertos: 24,78% Nível de dificuldade: Difícil (abaixo de 30%) º Exame de Qualificação - Questão 28 Ano 6, n. 17, ano 2013 Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm 3. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa. Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. Considerando 2 10 = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é: (A) 15 (B) 16 (C) 17 (D) 18

16 Alternativa correta: (B) Eixo interdisciplinar: Álgebra Item do programa: Sucessões Subitem do programa: Progressões geométricas Eixo interdisciplinar 2: Geometria Item do programa 2: Figuras tridimensionais Subitem do programa 2: Volumes de prismas Objetivo: Calcular o volume de sólidos. O volume V E, em cm 3, de todas as esferas depositadas até a enésima etapa é: A expressão entre colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica (P.G.) de razão 2. Então: Como o recipiente tem o formato de um paralelepípedo, o volume V R do recipiente, em cm 3, equivale a: Como V E > V R, tem-se: Logo, o menor número de etapas é 16. Percentual de acertos: 33,39% º Exame de Qualificação - Questão 29 Ano 6, n. 17, ano 2013 Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano a de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração:

17 Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros, corresponde a: (A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7 Alternativa correta: (C) Eixo interdisciplinar: Geometria Item do programa: Figuras tridimensionais Subitem do programa: Áreas de cones e esferas Objetivo: Calcular a altura de um cone com base em semelhança de triângulos. Considere-se o raio do círculo definido pela sombra igual a x. A área desse círculo será igual a x 2. A esfera possui raio r = 3 dm. Logo, a área de sua superfície corresponde a: 4 r 2 = 36 Como a área do círculo é igual à da superfície esférica: x 2 = 36 x 2 = 36 x = 6 dm Observe agora a figura: Os triângulos FMT e AFN são semelhantes. Sua razão de semelhança é expressa por: Sabe-se assim que cada lado do triângulo maior equivale ao dobro do lado correspondente do triângulo menor. Pode-se estabelecer a seguinte equivalência: No triângulo AFN:

18 Então: Percentual de acertos: 33,42% Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Todos os direitos reservados