Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade

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1 Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências Instituto de Física Armando Dias Tavares Henrique Carli Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade Rio de Janeiro 2011

2 Henrique Carli Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade Dissertação apresentada, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Orientador: Luis Antônio Campinho Pereira da Motta Coorientador: Luiz Guilherme Silva Duarte Rio de Janeiro 2011

3 CATALOGAÇÃO NA FONTE UERJ/REDE SIRIUS/CTC-D C282 Carli, Henrique Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade f.: il. color. Orientador: Luis Antônio Campinho Pereira da Motta. Coorientador: Luiz Guilherme Silva Duarte. Dissertação (Mestrado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares. 1.Análise de séries temporais - Métodos de simulação - Teses. 2. Sistemas dinâmicos diferenciais - Teses. 3. Probabilidades - Teses. I. Mota, Luis Antônio Campinho Pereira da. II. Duarte, Luiz Guilherme da Silva. III. Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares. IV.Título. CDU :519.6 Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação. Assinatura Data

4 Henrique Carli Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade Aprovada em: 04 de fevereiro de 2011 Banca Examinadora: Dissertação apresentada, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Prof. Dr. Luis Antônio Campinho Pereira da Motta (Orientador) Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ Prof. Dr. Luiz Guilherme Silva Duarte (Coorientador) Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ Prof. Dr. Caio Henrique Lewenkpof Universidade Federal Fluminense Prof. Dr. Eduardo Vasquez Corrêa da Silva Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de janeiro 2011

5 DEDICATÓRIA Aos meus pais, Dino Carli e Maria Lúcia Carli.

6 AGRADECIMENTOS Agradeço aos professores Luis Antônio Campinho Pereira da Motta e Luiz Guilherme Silva Duarte, pela oportunidade de trabalharmos juntos nesta dissertação de Mestrado. Agradeço aos meus pais Maria Lúcia Carli e Dino Carli, pelo apoio e dedicação durante toda a minha vida; Agradeço à minha namorada Luana Soares Jorge, pelo incentivo e apoio nos momentos difíceis desta jornada; Agradeço à Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Física, por ter dado condições para que esse trabalho fosse executado; Agradeço aos secretários da Pós-Graduação, Rogério e Laurimar, pela ajuda e companheirismo nos momentos difíceis deste trabalho; Agradeço, por fim, à todos que contribuíram de maneira indireta para a elaboração desse trabalho.

7 RESUMO CARLI, Henrique. Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade f. Dissertação (Mestrado em Física) - Instituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Para qualquer sistema observado, físico ou qualquer outro, geralmente se deseja fazer predições para sua evolução futura. Algumas vezes, muito pouco é conhecido sobre o sistema. Se uma série temporal é a única fonte de informação no sistema, predições de valores futuros da série requer uma modelagem da lei da dinâmica do sistema, talvez não linear. Um interesse em particular são as capacidades de previsão do modelo global para análises de séries temporais. Isso pode ser um procedimento muito complexo e computacionalmente muito alto. Nesta dissertação, nos concetraremos em um determinado caso: Em algumas situações, a única informação que se tem sobre o sistema é uma série sequencial de dados (ou série temporal). Supondo que, por detrás de tais dados, exista uma dinâmica de baixa dimensionalidade, existem técnicas para a reconstrução desta dinâmica. O que se busca é desenvolver novas técnicas para poder melhorar o poder de previsão das técnicas já existentes, através da programação computacional em Maple e C/C++. Palavras-chave: Análise de séries temporais - Métodos de simulação. Sistemas dinâmicos diferenciais. Probabilidades. Comportamento caótico nos sistemas.

8 ABSTRACT For any observed system, physical or otherwise, one generally wishes to make predictions on its future evolution. Sometimes, very little is known about the system. If a time series is the only source of information on the system, prediction of the future values of the series requires a modelling of the system s (perhaps nonlinear) dynamical law. In particular, one is interested on the forecasting capabilities of the global approach to time series analysis. This can be a very complex and computationaly expensive procedure. In this work, we will concentrate in specific case: in some situations, the only information that we have about the system is a sequential data (or time serie). If we suppose that, for behind this data exists a dynamic with low dimensionality, we can use some techniques to reconstruct this dynamic. We are looking for build new techniques to improve the forecast for the known techniques over computional programming in Maple and C/C++. Keywords: Analysis of time series - Simulation methods. Differentiable dynamical systems. Probabilities. Chaotic behavior in systems.

9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Nó estável Figura 2 - Nó impróprio Figura 3 - Exemplo de ponto de sela hiperbólico Figura 4 - Espiral foco instável Figura 5 - Centro Figura 6 - Significado geométrico da aplicação de Poincaré P: x 0 é uma órbita não periódica que corta Ω em P(x 1 ) x Figura 7 - Seções de Poincaré: (a) unidimensional; (b) bidimensional Figura 8 - Contração de um volume no espaço de fases de sistemas dissipativos para um oscilador de Van der Pol Figura 9 - Evolução do elemento de volume esférico de raio ε 0 (x 0 ) em torno de um ponto inicial x Figura 1 - Série de Lorenz Original Figura 2 - Gráfico da correlação x Tau Figura 3 - Gráfico da informação mútua média x tau Figura 4 - Reconstrução para T= Figura 5 - Reconstrução para T= Figura 6 - Atrator de Lorenz original Figura 7 - Grafico dos falsos vizinhos x dimensão para a série de Lorenz Figura 8 - Reconstrução sem ruído Figura 9 - Ruído a 45% Figura 10 -Reconstrução limpa 1 vez Figura 11 -Reconstrução limpa 5 vezes Figura 12 -Reconstrução limpa 10 vezes Figura 13 -Reconstrução limpa 30 vezes Figura 14 -Série de Lorenz ruidosa Figura 15 -Série limpa 1 vez Figura 16 -Série limpa 5 vezes Figura 17 -Série limpa 10 vezes Figura 18 -Série limpa 30 vezes Figura 1 - Gráfico do comando GrafiTS, TG=1, para a posição

10 Figura 2 - Gráfico do comando GrafiTS, TG =2, para a posição Figura 3 - Gráfico do comando GrafiTS, TG =3, para a posição Figura 4 - Gráfico do comando GrafiTS, TG =4, para a posição Figura 1 - Gráfico do ponto 800 da série de Lorenz Figura 2 - Série IBOV de 3000 pontos Figura 3 - Gráfico da correlação para a série IBOV Figura 4 - Gráfico da informação mútua média para a série IBOV Figura 5 - Gráfico ampliado da informação mútua média da série IBOV Figura 6 - Análise de falsos vizinhos para a série Figura 7 - Projeção do atrator da série em 3 coordenadas com ruído Figura 8 - Projeção do atrator da série em 3 coordenadas limpa 30 vezes Figura 9 - GrafiTS para posição Figura 10 -GrafiTS para posição Figura 11 -GrafiTS para posição Figura 12 -GrafiTS para posição Figura 13 -GrafiTS para posição Figura 14 -GrafiTS para posição Figura 15 -GrafiTS para posição Figura 16 -GrafiTS para posição Figura 17 -GrafiTS para posição Figura 18 -GrafiTS para posição

11 SUMÁRIO INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS Introdução Sistemas Classificações de Sistemas Dinâmicos Sistemas de tempo discreto Sistemas de tempo contínuo Sistemas lineares Sistemas não linear Sistemas a parâmetro fixo Sistemas a parâmetros variáveis Sistemas a parâmetros concentrados Sistemas a parâmetros distribuídos Sistemas instantâneos (sem memória) Sistemas dinâmicos (com memória) Outras classificações de sistemas dinâmicos Sistemas autônomos Sistemas não autônomos Sistemas conservativos Sistemas não conservativos Espaço de Fases Conceitos de Estabilidade e Estabilidade Estrutural Estabilidade linear e classificação dos pontos de equilíbrio em duas dimensões Estabilidade linear Classificação dos Pontos de Equilíbrio Linearização, Estabilidade e Bifurcações em Sistema não lineares Linearização e Estabilidade Não Linear Mapa de Poincaré e Seção de Poincaré Atratores e atratores estranhos Caracterização da Dinâmica Caótica

12 1.12 Expoentes de Lyapunov Entropia de Kolmogorov-Sinai Dimensão Fractal e Dimensões Generalizadas Dimensão Fractal Dimensões Generalizadas RECONSTRUÇÃO DO ATRATOR Introdução Reconstrução do Espaço de Fases por Atrasos Temporais Determinando o passo (defasagem) Auto correlação Informação mútua média Dimensão do espaço de fase A técnica dos falsos vizinhos Ruído PACOTE PRGSERIES Introdução Nome do comando: Corr Descrição Nome do comando: tviz Descrição Nome do comando: Vec Descrição Nome do comando: limpas Descrição PREVISIBILIDADE DE SÉRIES TEMPORAIS Introdução Analise não linear de séries temporais Iniciando o problema Um algorítmo para melhorar a previsão global Transformações de grupo, teoria de Lie para mapeamentos Bases matemáticas para o algorítmo Os passos do algoritmo Previsão média PACOTE TIMES O Pacote TimeS Nome do comando: TS Nome do comando: VecTS Nome do comando: GfiTS Nome do comando: ForecasTS

13 5.1.5 Nome do comando: IforecasTS Nome do comando: NIforecasTS Nome do comando: AnalysTS Nome do comando: GrafiTS Nome do comando: PlatAnalys Exemplo de uso para o pacote de comandos ANÁLISE DO PLATEAU E IMPLEMENTAÇÃO EM SÉRIES REAIS Introdução A análise de plateau Análise de uma série real CONCLUSÃO REFERÊNCIAS

14 14 INTRODUÇÃO Nos últimos anos tem sido verificado um grande desenvolvimento no estudo dos fenômenos não lineares com a introdução de novas abordagens e conceitos no tratamento de sistemas dinâmicos conservativos e dissipativos. Neste trabalho se faz uma breve introdução a sistemas dinâmicos, descrevendo seus principais conceitos. Nesta dissertação, nos concetraremos em um determinado caso: Em algumas situações, a única informação que se tem sobre o sistema é uma série sequencial de dados (daqui para frente chamada de série temporal). Supondo que, por detrás de tais dados, exista uma dinâmica de baixa dimensionalidade, existem técnicas para a reconstrução desta dinâmica. O que se busca é desenvolver novas técnicas para poder melhorar o poder de previsão das técnicas já existentes. O trabalho se iniciou em 2004, com a dissertação de mestrado da aluna Lívia e aqui dá-se prosseguimento as análises inciadas naquele ano. No capitulo 1, conceitua-se sistemas dinâmicos e suas principais classificações, tais como sistemas de tempo discreto, sistemas de tempo contínuo, sistemas lineares, sistemas não lineares, a parâmetros fixos, a parâmetros variáveis, a parâmetros concentrados, a parâmetros distribuídos, etc. Conceitua-se estabilidade e estabilidade estrutural, classificando pontos de equilíbrio e ainda discutindo sobre linearização e estabilidade não linear. Define-se espaço de fases, mapa de poincaré, atratores estranhos e faz-se comentários a respeito da caracterização da dinâmica caótica. No capítulo 2, apresenta-se as metodologias utilizadas na reconstrução do espaço onde a dinâmica estudada se desenvolve, através do teorema da imersão, atribuído a Takens(1981), analizando conceitos como defasagem temporal, dimensão de imersão, técnica dos falsos vizinhos. Analísa-se também a influência do ruído na reconstrução dos vetores do atrator. No capítulo 3, é apresentado o pacote PrgSeries, criado para aplicar de forma prática o que foi mostrado no capítulo 2, mostrando quais são as rotinas de programação criadas para realizar o cálculo da correlação, o teste dos falsos vizinhos, a criação dos vetores para reconstrução espaço de fase e limpeza do ruído da série. No capítulo 4, apresenta-se as bases matemáticas para a construção de algorítmo em Maple que está focado em melhorar as capacidades de previsão de um modelo global

15 15 para séries temporais. No capítulo 5, é apresentado o pacote TimeS e feita uma breve revisão de seus comandos, com alguns exemplos. No capítulo 6, é discutido a análise do plateau gerado quando se faz a variação do optimal k, buscando novas melhorias na previsão realizada pelo iforecast. utiliza-se os programas citados anteriormente pra realizar a análise da série de Lorenz é também de uma série real. Utiliza-se a série histórica do índice Bovespa - Ibovespa, com 3000 pontos, sendo o mais importante indicador do desempenho médio das cotações das ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo, formado pelas ações com maior volume negociado nos últimos meses.

16 1 SISTEMAS DINÂMICOS 1.1 Introdução Neste capítulo, conceitua-se sistemas dinâmicos e suas principais classificações. Conceitua-se estabilidade e estabilidade estrutural, classificando pontos de equilíbrio e ainda discutindo sobre linearização e estabilidade não linear. Define-se espaço de fases, mapa de poincaré, atratores estranhos e faz-se comentários a respeito da caracterização da dinâmica caótica. 1.2 Sistemas Um sistema pode ser definido como um conjunto de objetos agrupados por alguma interação ou interdependência, de modo que existam relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem com os elementos desse conjunto. São exemplos de sistemas: o circuito elétrico de um rádio-telescópio, a situação financeira de um país, o ecossistema de um mangue, as batidas do coração de uma pessoa. Um sistema é dinâmico quando algumas grandezas que caracterizam seus objetos constituintes variam no tempo. São sistemas fora do equilíbrio, caracterizados por estados que mudam com o tempo, diversas vezes utilizados para modelar e fazer previsões de sistemas físicos, biológicos, financeiros, etc. 1.3 Classificações de Sistemas Dinâmicos Sistemas de tempo discreto Um sistema é de tempo discreto se o tempo t é um número inteiro positivo, ou seja, se t ε a Z +. A evolução é governada por uma ou mais equações de diferenças finitas, que é um tipo de equação que relaciona o valor de uma variável x ε R no instante t a valores de x em outros instantes, tais como, t +1,t +3,t 2. Num sistema de tempo discreto, o tempo t só pode assumir determinados valores; o que não implica que x(t) seja quantificado, isto é, que x(t) também só possa assumir determinados valores.

17 Sistemas de tempo contínuo Um sistema é de tempo contínuo se o tempo t é um número real positivo, ou seja, se t ε R. A evolução é governada por uma ou mais equações diferenciais, um tipo de equação escrita em termos de derivadas da variável desconhecida x ε R Sistemas lineares Suas regras ou equações podem ser descritas por equações lineares. Um sistema linear pode ser escrito como uma equação de diferença linear para a variável x(t) da forma mais geral: a n (t)x(t + n) + a n 1 x(t + n 1) a 1 x(t + 1) + a 0 (t)x(t) = F(t) (1.1) Uma equação de diferença é linear se x(t),x(t + 1),...,x(t + n) aparecem como termos de primeiro grau, ou seja, elevados a primeira potência. Escreve-se uma equação diferencial linear para a variável dependente x(t), como: a n (t) dn x(t) dt n + a n 1 (t) dn 1 x(t) dt n a 1 (t) dx(t) dt + a 0 (t)x(t) = F(t) (1.2) sendo t ε R +. Uma equação diferencial é linear se x(t),dx(t)/dt,...,d n x(t)/dt n aparecem como termos de primeiro grau, isto é, estão elevados a primeira potência. Os coeficientes a j (t) e a entrada ou forçamento externo F(t) podem ser apenas funções da variável independente. Os sistemas lineares não são a melhor aproximação para descrever os fenômenos físicos, porém através da linearização pode-se estudar localmente sistemas não lineares, através da análise do sistema linear associado. Para sistemas lineares, valem o princípio da aditividade e o princípio da proporcionalidade entre excitação e resposta Sistemas não linear Um sistema não linear é um sistema que não pode ser descrito pela forma linear. Em sistemas não lineares não valem os princípios da aditividade e da proporcionalidade entre excitação e resposta. De um modo geral, os modelos não lineares descrevem melhor os sistemas físicos, porém suas soluções analíticas são difícies de se obter Sistemas a parâmetro fixo Em um sistema a parâmetros fixos os coeficientes a j (t) são constantes. O tempo só aparece explicitamente na função de entrada F(t).

18 Sistemas a parâmetros variáveis Em um sistema a parâmetros variáveis, um ou mais coeficientes a j (t) são funções explícitas do tempo t Sistemas a parâmetros concentrados Em sistemas a parâmetros concentrados a variável dependente é função apenas de uma variável independente. Uma equação diferencial escrita em termos de uma única variável independente é chamada de equação diferencial ordinária Sistemas a parâmetros distribuídos Em sistemas a parâmetros distribuídos, as dimensões dos componentes não são desprezíveis, quando comparadas com o comprimento de onda do sinal. Considera-se então que o sinal é função do tempo e do espaço, o que leva a um modelo matemático descrito por uma equação a derivadas parciais Sistemas instantâneos (sem memória) Em sistemas instantâneos, a resposta num dado instante depende apenas da exitação nesse mesmo instante Sistemas dinâmicos (com memória) Em sistemas dinâmicos, a resposta num dado instante depende dos valores das entradas passadas. 1.4 Outras classificações de sistemas dinâmicos Classificam-se ainda os sistemas dinâmicos como: Sistemas autônomos Um sistema autônomo é um conjunto de equações diferenciais, lineares ou não lineares, a parâmetros constantes, sujeitas a funções de entrada que não dependem explicitamente do tempo t. Considerando por exemplo o sistema de equações diferenciais

19 19 ordinárias de primeira ordem dx dt dy dt = ẋ = f (x,y) = ẏ = g(x,y) (1.3) Este sistema é dito autônomo, uma vez que as funções f e g não dependem explicitamente do tempo Sistemas não autônomos Um sistema não autônomo é um conjunto de equações diferenciais, lineares ou não lineares, sujeitas a funções de entrada onde o tempo aparece explicitamente em algum coeficiente e/ou em alguma função de entrada. dx dt dy dt = ẋ = f (x,y,t) (1.4) = ẏ = g(x,y,t) Pode-se reduzir um sistema não autônomo a um sistema autônomo introduzindo mais uma dimensão no sistema, bastando considerar o tempo como uma variável adicional, ou seja, t = z, tal que dz dt = 1. dx dt dy dt dz dt = ẋ = f (x,y,z) = ẏ = g(x,y,z) = ż = 1 (1.5) Sistemas conservativos Um sistema é conservativo se, durante sua evolução temporal, há preservação de volume no espaço de fases. Os pontos num dado volume se movem, com o passar do tempo de forma que, em um instante posterior, o volume ocupado por esses pontos permanece inalterado Sistemas não conservativos Um sistema é não conservativo se, durante sua evolução temporal, não há preservação de volume no espaço de fases. Os pontos num dado volume se movem, com o passar do tempo de forma que, em um instante posterior, o volume ocupado por esses pontos se contrai.

20 Espaço de Fases A melhor maneira de caracterizar os possíveis estados de um sistema é através do seu espaço de fase. Espaço de fases é um sistema de coordenadas no qual as coordenadas são todas as variáveis necessárias para descrever completamente o estado de um sistema, para qualquer momento. Um estado é representado como um ponto com coordenadas x 1 (t),x 2 (t),,x n (t) nesse espaço. Acompanha-se a evolução temporal do sistema através da movimentação dos pontos no espaço de fases, ou melhor, através das trajetórias de fase. A dimensão do espaço de fases equivale ao número de equações de primeira ordem necessárias para descrever o sistema, que é igual ao número de variáveis de estado. 1.6 Conceitos de Estabilidade e Estabilidade Estrutural Pode-se falar em estabilidade de uma solução estacionária (ponto fixo) e de significado diverso de estabilidade estrutural de um sistema. Seja P = (x,y ) um ponto fixo do sistema de E.D.O do tipo ẋ = f (x,y), ẏ = g(x,y) tal que f (x,y ) = g(x,y ) = 0 (1.6) Diz-se que (x,y ) é assintoticamente estável se a resposta do sistema a uma pequena perturbação aproxima-se de (x,y ) quando t, ou seja (x(t),y(t)) (x,y ) para (x,y) próximo de (x,y ). O ponto fixo (x,y ) t é nesse caso um atrator. Pontos fixos assintoticamente estáveis são também chamados sorvedouros (ou sink). Um ponto de equilíbrio é chamado estável, também chamado de estabilidade neutra ou estabilidade de Lyapunov, se a resposta do sistema a uma pequena perturbação permanece pequena quando t. Um ponto de equilíbrio (x,y ) é instável se a perturbação cresce quando t. Nesse caso é dito que (x,y ) é um repulsor ou uma fonte ( source ). Um ponto (x,y ) assintoticamente estável é estável, mas o inverso pode não ocorrer. Se for considerado, por exemplo, o sistema ẋ = λx (1.7) x = 0 é um ponto de equilíbrio; x(t) = e λt é a solução de (1.7). x é assintoticamente estável se λ < 0, estável se λ 0 e instável se λ > 0. Um sistema é denominado estruturalmente estável se para qualquer perturbação suficientemente pequena das equações que o define, o fluxo resultante é topologicamente equivalente àquele das equações sem a perturbação. Dados dois campos vetoriais F(x) e G(x), definidos no mesmo espaço, x ε R n, diz-se que esses campos estão na mesma vizinhança de raio ε se F(x) G(x) < ε para cada x. Diz-se que F e G são ε-próximos na topologia C 0 (C r é a classe dos campos vetoriais r vezes diferenciáveis com derivadas contínuas).

21 21 A matriz Jacobiana de F, J = F 1 x 1. F n x 1 F 1 x n. F n x n pode ser considerada como um campo vetorial, podendo portanto definir vizinhanças da matriz J. Um campo vetorial G é uma perturbação de tamanho ε de F (na topologia C 1 se ele pertence a uma vizinhança C 0, de raio ε, de F, e além disso, sua matriz Jacobiana J pertence a uma vizinhança de raio ε de JF(x) 1. Define-se a equivalência de dois campos vetoriais F e G se existir uma função invertível que transforme o retrato de fases de F no retrato de fases de G. Com esses conceitos a noção de estabilidade estrutural pode ser definida como um sistema é estruturalmente estável se campos vetoriais suficientemente próximos têm retrato de fases equivalentes. Assim, a estabilidade estrutural significa robustez de um ponto no espaço dos campos vetoriais, definindo robustez como a propriedade que o sistema apresenta de reter as características qualitativas de sua dinâmica, relativamente a pequenas perturbações ou mudanças nas funções envolvidas na sua definição.. De uma maneira geral, a perda da estabilidade estrutural é denominada bifurcação 1.7 Estabilidade linear e classificação dos pontos de equilíbrio em duas dimensões Estabilidade linear Seja o sistema linear ẋ = ax + by = f (x,y) ẏ = cx + dy = g(x,y) (1.8) Esse sistema apresenta um ponto de equilíbrio para (x,y ) = (0,0). Seja uma solução geral do tipo 1 Em alguns casos é conveniente considera-se perturbações para as quais todas as derivadas até a ordem r permanecem dentro do raio ε; essa é a topologia C r dos campos vetoriais

22 22 x(t) = e λt x 0 y(t) = e λt y 0 (1.9) Substituindo (1.9) em (1.8), obtem-se o sistema (a λ)x 0 + by 0 = 0cx 0 + (d λ)y 0 = 0 (1.10) Para que se possa achar uma solução não trivial para o sistema, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo, ou seja det [ (a λ) b c (d λ) ] = 0 Generalizando para n dimensões, reescrevem-se as equações (1.8) e (1.9) em notação vetorial. Pode-se definir os vetores x(t) = (x(t),y(t)) e x(t) = (ẋ(t),ẏ(t)). A matriz [ a c b d ] = [ f x g x f y g y ] = J é a matriz Jacobiana ( f,g)/ (x,y) do sistema (1.9). O sistema pode ser reescrito na notação vetorial, sendo Se é admitida a solução ẋ(t) = J x(t) (1.11) tem-se x(t) = e λt x 0 (1.12) (J λi) x 0 = 0 (1.13) onde I é a matriz identidade, sendo λ e x 0, respectivamente, os autovalores e autovetores da matriz Jacobiana. Para encontrar os autovalores deve-se resolver det(j λ I) = 0, que é a generalização n-dimensional do caso bi-dimensional. Retornando para duas dimensões tem-se:

23 23 (a λ)(d λ) bc = 0 (1.14) Essa equação apresenta duas raízes:λ 1 e λ 2 ; essas raízes determinarão a estabilidade do ponto de equilíbrio (ponto fixo) P = (0.0). No caso geral n-dimensional os λ i, soluções do determinante, podem ser reais ou complexos. Seja λ = Re(λ) + iim(λ), onde Re e Im designam as parter real e imaginária do autovalor. Da solução (1.12) tem-se x(t) = e Re(λ)t e iim(λ)t x 0 (1.15) Como exp[iim(λ)t] é uma função limitada, a estabilidade de x(t) vai depender essencialmente de Re(λ). Se Re(λ) > 0, exp[re(λ)t] cresce continuamente com o tempo e x(t) quando t ; isso significa que as trajetórias x(t) deixam a vizinhança de P (0,0). Inversamente, se Re(λ) < 0, x(t) 0 quando t e x(t) P = (0,0); nesse caso o ponto de equilíbrio é estável. As diferentes possibilidades de combinação dos autovalores, que podem ser reais, imaginários puros, todos com parte real positiva, etc..., vão definir não só a estabilidade do ponto de equilíbrio mas também a forma das soluções em sua vizinhança, podendo assim ser classificados. Se Re(λ i ) 0 para todos os λ i, o equilíbrio é dito hiperbólico ou não -degenerado. A estabilidade do ponto é determinada pelos autovalores da matriz Jacobiana: Re(λ i ) < 0 para todo i implica estabilidade assintótica. Re(λ i ) > 0 para um (ou mais) valores de i implica instabilidade. O resultado geral de estabilidade acima é atribuído a Lyapunov 2. Esse tipo de estabilidade é chamada estabilidade condicional ou estabilidade linear. Se Re(λ) = 0 o equilíbrio é dito não hiperbólico, elíptico ou degenerado. Se o sistema de equações é linear, Re(λ) = 0 significa que as soluções x(t) para t não se afastam nem tendem a (x,y ), permanecendo em sua vizinhança. O ponto é então estável e é chamado um centro Classificação dos Pontos de Equilíbrio A quantidade de casos diferentes gerados pelas inúmeras combinações possíveis de autovalores cresce com a dimensão do sistema. Para 3 dimensões existem 10 tipos 2 A.M. Lyapunov, Stability of Motion. Academic Press, NY (1966). Ver também R. Seydel, op. cit.,p.20