Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade"

Transcrição

1 Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências Instituto de Física Armando Dias Tavares Henrique Carli Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade Rio de Janeiro 2011

2 Henrique Carli Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade Dissertação apresentada, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Orientador: Luis Antônio Campinho Pereira da Motta Coorientador: Luiz Guilherme Silva Duarte Rio de Janeiro 2011

3 CATALOGAÇÃO NA FONTE UERJ/REDE SIRIUS/CTC-D C282 Carli, Henrique Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade f.: il. color. Orientador: Luis Antônio Campinho Pereira da Motta. Coorientador: Luiz Guilherme Silva Duarte. Dissertação (Mestrado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares. 1.Análise de séries temporais - Métodos de simulação - Teses. 2. Sistemas dinâmicos diferenciais - Teses. 3. Probabilidades - Teses. I. Mota, Luis Antônio Campinho Pereira da. II. Duarte, Luiz Guilherme da Silva. III. Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares. IV.Título. CDU :519.6 Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação. Assinatura Data

4 Henrique Carli Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade Aprovada em: 04 de fevereiro de 2011 Banca Examinadora: Dissertação apresentada, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Prof. Dr. Luis Antônio Campinho Pereira da Motta (Orientador) Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ Prof. Dr. Luiz Guilherme Silva Duarte (Coorientador) Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ Prof. Dr. Caio Henrique Lewenkpof Universidade Federal Fluminense Prof. Dr. Eduardo Vasquez Corrêa da Silva Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de janeiro 2011

5 DEDICATÓRIA Aos meus pais, Dino Carli e Maria Lúcia Carli.

6 AGRADECIMENTOS Agradeço aos professores Luis Antônio Campinho Pereira da Motta e Luiz Guilherme Silva Duarte, pela oportunidade de trabalharmos juntos nesta dissertação de Mestrado. Agradeço aos meus pais Maria Lúcia Carli e Dino Carli, pelo apoio e dedicação durante toda a minha vida; Agradeço à minha namorada Luana Soares Jorge, pelo incentivo e apoio nos momentos difíceis desta jornada; Agradeço à Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Física, por ter dado condições para que esse trabalho fosse executado; Agradeço aos secretários da Pós-Graduação, Rogério e Laurimar, pela ajuda e companheirismo nos momentos difíceis deste trabalho; Agradeço, por fim, à todos que contribuíram de maneira indireta para a elaboração desse trabalho.

7 RESUMO CARLI, Henrique. Sistemas complexos, séries temporais e previsibilidade f. Dissertação (Mestrado em Física) - Instituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Para qualquer sistema observado, físico ou qualquer outro, geralmente se deseja fazer predições para sua evolução futura. Algumas vezes, muito pouco é conhecido sobre o sistema. Se uma série temporal é a única fonte de informação no sistema, predições de valores futuros da série requer uma modelagem da lei da dinâmica do sistema, talvez não linear. Um interesse em particular são as capacidades de previsão do modelo global para análises de séries temporais. Isso pode ser um procedimento muito complexo e computacionalmente muito alto. Nesta dissertação, nos concetraremos em um determinado caso: Em algumas situações, a única informação que se tem sobre o sistema é uma série sequencial de dados (ou série temporal). Supondo que, por detrás de tais dados, exista uma dinâmica de baixa dimensionalidade, existem técnicas para a reconstrução desta dinâmica. O que se busca é desenvolver novas técnicas para poder melhorar o poder de previsão das técnicas já existentes, através da programação computacional em Maple e C/C++. Palavras-chave: Análise de séries temporais - Métodos de simulação. Sistemas dinâmicos diferenciais. Probabilidades. Comportamento caótico nos sistemas.

8 ABSTRACT For any observed system, physical or otherwise, one generally wishes to make predictions on its future evolution. Sometimes, very little is known about the system. If a time series is the only source of information on the system, prediction of the future values of the series requires a modelling of the system s (perhaps nonlinear) dynamical law. In particular, one is interested on the forecasting capabilities of the global approach to time series analysis. This can be a very complex and computationaly expensive procedure. In this work, we will concentrate in specific case: in some situations, the only information that we have about the system is a sequential data (or time serie). If we suppose that, for behind this data exists a dynamic with low dimensionality, we can use some techniques to reconstruct this dynamic. We are looking for build new techniques to improve the forecast for the known techniques over computional programming in Maple and C/C++. Keywords: Analysis of time series - Simulation methods. Differentiable dynamical systems. Probabilities. Chaotic behavior in systems.

9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Nó estável Figura 2 - Nó impróprio Figura 3 - Exemplo de ponto de sela hiperbólico Figura 4 - Espiral foco instável Figura 5 - Centro Figura 6 - Significado geométrico da aplicação de Poincaré P: x 0 é uma órbita não periódica que corta Ω em P(x 1 ) x Figura 7 - Seções de Poincaré: (a) unidimensional; (b) bidimensional Figura 8 - Contração de um volume no espaço de fases de sistemas dissipativos para um oscilador de Van der Pol Figura 9 - Evolução do elemento de volume esférico de raio ε 0 (x 0 ) em torno de um ponto inicial x Figura 1 - Série de Lorenz Original Figura 2 - Gráfico da correlação x Tau Figura 3 - Gráfico da informação mútua média x tau Figura 4 - Reconstrução para T= Figura 5 - Reconstrução para T= Figura 6 - Atrator de Lorenz original Figura 7 - Grafico dos falsos vizinhos x dimensão para a série de Lorenz Figura 8 - Reconstrução sem ruído Figura 9 - Ruído a 45% Figura 10 -Reconstrução limpa 1 vez Figura 11 -Reconstrução limpa 5 vezes Figura 12 -Reconstrução limpa 10 vezes Figura 13 -Reconstrução limpa 30 vezes Figura 14 -Série de Lorenz ruidosa Figura 15 -Série limpa 1 vez Figura 16 -Série limpa 5 vezes Figura 17 -Série limpa 10 vezes Figura 18 -Série limpa 30 vezes Figura 1 - Gráfico do comando GrafiTS, TG=1, para a posição

10 Figura 2 - Gráfico do comando GrafiTS, TG =2, para a posição Figura 3 - Gráfico do comando GrafiTS, TG =3, para a posição Figura 4 - Gráfico do comando GrafiTS, TG =4, para a posição Figura 1 - Gráfico do ponto 800 da série de Lorenz Figura 2 - Série IBOV de 3000 pontos Figura 3 - Gráfico da correlação para a série IBOV Figura 4 - Gráfico da informação mútua média para a série IBOV Figura 5 - Gráfico ampliado da informação mútua média da série IBOV Figura 6 - Análise de falsos vizinhos para a série Figura 7 - Projeção do atrator da série em 3 coordenadas com ruído Figura 8 - Projeção do atrator da série em 3 coordenadas limpa 30 vezes Figura 9 - GrafiTS para posição Figura 10 -GrafiTS para posição Figura 11 -GrafiTS para posição Figura 12 -GrafiTS para posição Figura 13 -GrafiTS para posição Figura 14 -GrafiTS para posição Figura 15 -GrafiTS para posição Figura 16 -GrafiTS para posição Figura 17 -GrafiTS para posição Figura 18 -GrafiTS para posição

11 SUMÁRIO INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS Introdução Sistemas Classificações de Sistemas Dinâmicos Sistemas de tempo discreto Sistemas de tempo contínuo Sistemas lineares Sistemas não linear Sistemas a parâmetro fixo Sistemas a parâmetros variáveis Sistemas a parâmetros concentrados Sistemas a parâmetros distribuídos Sistemas instantâneos (sem memória) Sistemas dinâmicos (com memória) Outras classificações de sistemas dinâmicos Sistemas autônomos Sistemas não autônomos Sistemas conservativos Sistemas não conservativos Espaço de Fases Conceitos de Estabilidade e Estabilidade Estrutural Estabilidade linear e classificação dos pontos de equilíbrio em duas dimensões Estabilidade linear Classificação dos Pontos de Equilíbrio Linearização, Estabilidade e Bifurcações em Sistema não lineares Linearização e Estabilidade Não Linear Mapa de Poincaré e Seção de Poincaré Atratores e atratores estranhos Caracterização da Dinâmica Caótica

12 1.12 Expoentes de Lyapunov Entropia de Kolmogorov-Sinai Dimensão Fractal e Dimensões Generalizadas Dimensão Fractal Dimensões Generalizadas RECONSTRUÇÃO DO ATRATOR Introdução Reconstrução do Espaço de Fases por Atrasos Temporais Determinando o passo (defasagem) Auto correlação Informação mútua média Dimensão do espaço de fase A técnica dos falsos vizinhos Ruído PACOTE PRGSERIES Introdução Nome do comando: Corr Descrição Nome do comando: tviz Descrição Nome do comando: Vec Descrição Nome do comando: limpas Descrição PREVISIBILIDADE DE SÉRIES TEMPORAIS Introdução Analise não linear de séries temporais Iniciando o problema Um algorítmo para melhorar a previsão global Transformações de grupo, teoria de Lie para mapeamentos Bases matemáticas para o algorítmo Os passos do algoritmo Previsão média PACOTE TIMES O Pacote TimeS Nome do comando: TS Nome do comando: VecTS Nome do comando: GfiTS Nome do comando: ForecasTS

13 5.1.5 Nome do comando: IforecasTS Nome do comando: NIforecasTS Nome do comando: AnalysTS Nome do comando: GrafiTS Nome do comando: PlatAnalys Exemplo de uso para o pacote de comandos ANÁLISE DO PLATEAU E IMPLEMENTAÇÃO EM SÉRIES REAIS Introdução A análise de plateau Análise de uma série real CONCLUSÃO REFERÊNCIAS

14 14 INTRODUÇÃO Nos últimos anos tem sido verificado um grande desenvolvimento no estudo dos fenômenos não lineares com a introdução de novas abordagens e conceitos no tratamento de sistemas dinâmicos conservativos e dissipativos. Neste trabalho se faz uma breve introdução a sistemas dinâmicos, descrevendo seus principais conceitos. Nesta dissertação, nos concetraremos em um determinado caso: Em algumas situações, a única informação que se tem sobre o sistema é uma série sequencial de dados (daqui para frente chamada de série temporal). Supondo que, por detrás de tais dados, exista uma dinâmica de baixa dimensionalidade, existem técnicas para a reconstrução desta dinâmica. O que se busca é desenvolver novas técnicas para poder melhorar o poder de previsão das técnicas já existentes. O trabalho se iniciou em 2004, com a dissertação de mestrado da aluna Lívia e aqui dá-se prosseguimento as análises inciadas naquele ano. No capitulo 1, conceitua-se sistemas dinâmicos e suas principais classificações, tais como sistemas de tempo discreto, sistemas de tempo contínuo, sistemas lineares, sistemas não lineares, a parâmetros fixos, a parâmetros variáveis, a parâmetros concentrados, a parâmetros distribuídos, etc. Conceitua-se estabilidade e estabilidade estrutural, classificando pontos de equilíbrio e ainda discutindo sobre linearização e estabilidade não linear. Define-se espaço de fases, mapa de poincaré, atratores estranhos e faz-se comentários a respeito da caracterização da dinâmica caótica. No capítulo 2, apresenta-se as metodologias utilizadas na reconstrução do espaço onde a dinâmica estudada se desenvolve, através do teorema da imersão, atribuído a Takens(1981), analizando conceitos como defasagem temporal, dimensão de imersão, técnica dos falsos vizinhos. Analísa-se também a influência do ruído na reconstrução dos vetores do atrator. No capítulo 3, é apresentado o pacote PrgSeries, criado para aplicar de forma prática o que foi mostrado no capítulo 2, mostrando quais são as rotinas de programação criadas para realizar o cálculo da correlação, o teste dos falsos vizinhos, a criação dos vetores para reconstrução espaço de fase e limpeza do ruído da série. No capítulo 4, apresenta-se as bases matemáticas para a construção de algorítmo em Maple que está focado em melhorar as capacidades de previsão de um modelo global

15 15 para séries temporais. No capítulo 5, é apresentado o pacote TimeS e feita uma breve revisão de seus comandos, com alguns exemplos. No capítulo 6, é discutido a análise do plateau gerado quando se faz a variação do optimal k, buscando novas melhorias na previsão realizada pelo iforecast. utiliza-se os programas citados anteriormente pra realizar a análise da série de Lorenz é também de uma série real. Utiliza-se a série histórica do índice Bovespa - Ibovespa, com 3000 pontos, sendo o mais importante indicador do desempenho médio das cotações das ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo, formado pelas ações com maior volume negociado nos últimos meses.

16 1 SISTEMAS DINÂMICOS 1.1 Introdução Neste capítulo, conceitua-se sistemas dinâmicos e suas principais classificações. Conceitua-se estabilidade e estabilidade estrutural, classificando pontos de equilíbrio e ainda discutindo sobre linearização e estabilidade não linear. Define-se espaço de fases, mapa de poincaré, atratores estranhos e faz-se comentários a respeito da caracterização da dinâmica caótica. 1.2 Sistemas Um sistema pode ser definido como um conjunto de objetos agrupados por alguma interação ou interdependência, de modo que existam relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem com os elementos desse conjunto. São exemplos de sistemas: o circuito elétrico de um rádio-telescópio, a situação financeira de um país, o ecossistema de um mangue, as batidas do coração de uma pessoa. Um sistema é dinâmico quando algumas grandezas que caracterizam seus objetos constituintes variam no tempo. São sistemas fora do equilíbrio, caracterizados por estados que mudam com o tempo, diversas vezes utilizados para modelar e fazer previsões de sistemas físicos, biológicos, financeiros, etc. 1.3 Classificações de Sistemas Dinâmicos Sistemas de tempo discreto Um sistema é de tempo discreto se o tempo t é um número inteiro positivo, ou seja, se t ε a Z +. A evolução é governada por uma ou mais equações de diferenças finitas, que é um tipo de equação que relaciona o valor de uma variável x ε R no instante t a valores de x em outros instantes, tais como, t +1,t +3,t 2. Num sistema de tempo discreto, o tempo t só pode assumir determinados valores; o que não implica que x(t) seja quantificado, isto é, que x(t) também só possa assumir determinados valores.

17 Sistemas de tempo contínuo Um sistema é de tempo contínuo se o tempo t é um número real positivo, ou seja, se t ε R. A evolução é governada por uma ou mais equações diferenciais, um tipo de equação escrita em termos de derivadas da variável desconhecida x ε R Sistemas lineares Suas regras ou equações podem ser descritas por equações lineares. Um sistema linear pode ser escrito como uma equação de diferença linear para a variável x(t) da forma mais geral: a n (t)x(t + n) + a n 1 x(t + n 1) a 1 x(t + 1) + a 0 (t)x(t) = F(t) (1.1) Uma equação de diferença é linear se x(t),x(t + 1),...,x(t + n) aparecem como termos de primeiro grau, ou seja, elevados a primeira potência. Escreve-se uma equação diferencial linear para a variável dependente x(t), como: a n (t) dn x(t) dt n + a n 1 (t) dn 1 x(t) dt n a 1 (t) dx(t) dt + a 0 (t)x(t) = F(t) (1.2) sendo t ε R +. Uma equação diferencial é linear se x(t),dx(t)/dt,...,d n x(t)/dt n aparecem como termos de primeiro grau, isto é, estão elevados a primeira potência. Os coeficientes a j (t) e a entrada ou forçamento externo F(t) podem ser apenas funções da variável independente. Os sistemas lineares não são a melhor aproximação para descrever os fenômenos físicos, porém através da linearização pode-se estudar localmente sistemas não lineares, através da análise do sistema linear associado. Para sistemas lineares, valem o princípio da aditividade e o princípio da proporcionalidade entre excitação e resposta Sistemas não linear Um sistema não linear é um sistema que não pode ser descrito pela forma linear. Em sistemas não lineares não valem os princípios da aditividade e da proporcionalidade entre excitação e resposta. De um modo geral, os modelos não lineares descrevem melhor os sistemas físicos, porém suas soluções analíticas são difícies de se obter Sistemas a parâmetro fixo Em um sistema a parâmetros fixos os coeficientes a j (t) são constantes. O tempo só aparece explicitamente na função de entrada F(t).

18 Sistemas a parâmetros variáveis Em um sistema a parâmetros variáveis, um ou mais coeficientes a j (t) são funções explícitas do tempo t Sistemas a parâmetros concentrados Em sistemas a parâmetros concentrados a variável dependente é função apenas de uma variável independente. Uma equação diferencial escrita em termos de uma única variável independente é chamada de equação diferencial ordinária Sistemas a parâmetros distribuídos Em sistemas a parâmetros distribuídos, as dimensões dos componentes não são desprezíveis, quando comparadas com o comprimento de onda do sinal. Considera-se então que o sinal é função do tempo e do espaço, o que leva a um modelo matemático descrito por uma equação a derivadas parciais Sistemas instantâneos (sem memória) Em sistemas instantâneos, a resposta num dado instante depende apenas da exitação nesse mesmo instante Sistemas dinâmicos (com memória) Em sistemas dinâmicos, a resposta num dado instante depende dos valores das entradas passadas. 1.4 Outras classificações de sistemas dinâmicos Classificam-se ainda os sistemas dinâmicos como: Sistemas autônomos Um sistema autônomo é um conjunto de equações diferenciais, lineares ou não lineares, a parâmetros constantes, sujeitas a funções de entrada que não dependem explicitamente do tempo t. Considerando por exemplo o sistema de equações diferenciais

19 19 ordinárias de primeira ordem dx dt dy dt = ẋ = f (x,y) = ẏ = g(x,y) (1.3) Este sistema é dito autônomo, uma vez que as funções f e g não dependem explicitamente do tempo Sistemas não autônomos Um sistema não autônomo é um conjunto de equações diferenciais, lineares ou não lineares, sujeitas a funções de entrada onde o tempo aparece explicitamente em algum coeficiente e/ou em alguma função de entrada. dx dt dy dt = ẋ = f (x,y,t) (1.4) = ẏ = g(x,y,t) Pode-se reduzir um sistema não autônomo a um sistema autônomo introduzindo mais uma dimensão no sistema, bastando considerar o tempo como uma variável adicional, ou seja, t = z, tal que dz dt = 1. dx dt dy dt dz dt = ẋ = f (x,y,z) = ẏ = g(x,y,z) = ż = 1 (1.5) Sistemas conservativos Um sistema é conservativo se, durante sua evolução temporal, há preservação de volume no espaço de fases. Os pontos num dado volume se movem, com o passar do tempo de forma que, em um instante posterior, o volume ocupado por esses pontos permanece inalterado Sistemas não conservativos Um sistema é não conservativo se, durante sua evolução temporal, não há preservação de volume no espaço de fases. Os pontos num dado volume se movem, com o passar do tempo de forma que, em um instante posterior, o volume ocupado por esses pontos se contrai.

20 Espaço de Fases A melhor maneira de caracterizar os possíveis estados de um sistema é através do seu espaço de fase. Espaço de fases é um sistema de coordenadas no qual as coordenadas são todas as variáveis necessárias para descrever completamente o estado de um sistema, para qualquer momento. Um estado é representado como um ponto com coordenadas x 1 (t),x 2 (t),,x n (t) nesse espaço. Acompanha-se a evolução temporal do sistema através da movimentação dos pontos no espaço de fases, ou melhor, através das trajetórias de fase. A dimensão do espaço de fases equivale ao número de equações de primeira ordem necessárias para descrever o sistema, que é igual ao número de variáveis de estado. 1.6 Conceitos de Estabilidade e Estabilidade Estrutural Pode-se falar em estabilidade de uma solução estacionária (ponto fixo) e de significado diverso de estabilidade estrutural de um sistema. Seja P = (x,y ) um ponto fixo do sistema de E.D.O do tipo ẋ = f (x,y), ẏ = g(x,y) tal que f (x,y ) = g(x,y ) = 0 (1.6) Diz-se que (x,y ) é assintoticamente estável se a resposta do sistema a uma pequena perturbação aproxima-se de (x,y ) quando t, ou seja (x(t),y(t)) (x,y ) para (x,y) próximo de (x,y ). O ponto fixo (x,y ) t é nesse caso um atrator. Pontos fixos assintoticamente estáveis são também chamados sorvedouros (ou sink). Um ponto de equilíbrio é chamado estável, também chamado de estabilidade neutra ou estabilidade de Lyapunov, se a resposta do sistema a uma pequena perturbação permanece pequena quando t. Um ponto de equilíbrio (x,y ) é instável se a perturbação cresce quando t. Nesse caso é dito que (x,y ) é um repulsor ou uma fonte ( source ). Um ponto (x,y ) assintoticamente estável é estável, mas o inverso pode não ocorrer. Se for considerado, por exemplo, o sistema ẋ = λx (1.7) x = 0 é um ponto de equilíbrio; x(t) = e λt é a solução de (1.7). x é assintoticamente estável se λ < 0, estável se λ 0 e instável se λ > 0. Um sistema é denominado estruturalmente estável se para qualquer perturbação suficientemente pequena das equações que o define, o fluxo resultante é topologicamente equivalente àquele das equações sem a perturbação. Dados dois campos vetoriais F(x) e G(x), definidos no mesmo espaço, x ε R n, diz-se que esses campos estão na mesma vizinhança de raio ε se F(x) G(x) < ε para cada x. Diz-se que F e G são ε-próximos na topologia C 0 (C r é a classe dos campos vetoriais r vezes diferenciáveis com derivadas contínuas).

21 21 A matriz Jacobiana de F, J = F 1 x 1. F n x 1 F 1 x n. F n x n pode ser considerada como um campo vetorial, podendo portanto definir vizinhanças da matriz J. Um campo vetorial G é uma perturbação de tamanho ε de F (na topologia C 1 se ele pertence a uma vizinhança C 0, de raio ε, de F, e além disso, sua matriz Jacobiana J pertence a uma vizinhança de raio ε de JF(x) 1. Define-se a equivalência de dois campos vetoriais F e G se existir uma função invertível que transforme o retrato de fases de F no retrato de fases de G. Com esses conceitos a noção de estabilidade estrutural pode ser definida como um sistema é estruturalmente estável se campos vetoriais suficientemente próximos têm retrato de fases equivalentes. Assim, a estabilidade estrutural significa robustez de um ponto no espaço dos campos vetoriais, definindo robustez como a propriedade que o sistema apresenta de reter as características qualitativas de sua dinâmica, relativamente a pequenas perturbações ou mudanças nas funções envolvidas na sua definição.. De uma maneira geral, a perda da estabilidade estrutural é denominada bifurcação 1.7 Estabilidade linear e classificação dos pontos de equilíbrio em duas dimensões Estabilidade linear Seja o sistema linear ẋ = ax + by = f (x,y) ẏ = cx + dy = g(x,y) (1.8) Esse sistema apresenta um ponto de equilíbrio para (x,y ) = (0,0). Seja uma solução geral do tipo 1 Em alguns casos é conveniente considera-se perturbações para as quais todas as derivadas até a ordem r permanecem dentro do raio ε; essa é a topologia C r dos campos vetoriais

22 22 x(t) = e λt x 0 y(t) = e λt y 0 (1.9) Substituindo (1.9) em (1.8), obtem-se o sistema (a λ)x 0 + by 0 = 0cx 0 + (d λ)y 0 = 0 (1.10) Para que se possa achar uma solução não trivial para o sistema, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo, ou seja det [ (a λ) b c (d λ) ] = 0 Generalizando para n dimensões, reescrevem-se as equações (1.8) e (1.9) em notação vetorial. Pode-se definir os vetores x(t) = (x(t),y(t)) e x(t) = (ẋ(t),ẏ(t)). A matriz [ a c b d ] = [ f x g x f y g y ] = J é a matriz Jacobiana ( f,g)/ (x,y) do sistema (1.9). O sistema pode ser reescrito na notação vetorial, sendo Se é admitida a solução ẋ(t) = J x(t) (1.11) tem-se x(t) = e λt x 0 (1.12) (J λi) x 0 = 0 (1.13) onde I é a matriz identidade, sendo λ e x 0, respectivamente, os autovalores e autovetores da matriz Jacobiana. Para encontrar os autovalores deve-se resolver det(j λ I) = 0, que é a generalização n-dimensional do caso bi-dimensional. Retornando para duas dimensões tem-se:

23 23 (a λ)(d λ) bc = 0 (1.14) Essa equação apresenta duas raízes:λ 1 e λ 2 ; essas raízes determinarão a estabilidade do ponto de equilíbrio (ponto fixo) P = (0.0). No caso geral n-dimensional os λ i, soluções do determinante, podem ser reais ou complexos. Seja λ = Re(λ) + iim(λ), onde Re e Im designam as parter real e imaginária do autovalor. Da solução (1.12) tem-se x(t) = e Re(λ)t e iim(λ)t x 0 (1.15) Como exp[iim(λ)t] é uma função limitada, a estabilidade de x(t) vai depender essencialmente de Re(λ). Se Re(λ) > 0, exp[re(λ)t] cresce continuamente com o tempo e x(t) quando t ; isso significa que as trajetórias x(t) deixam a vizinhança de P (0,0). Inversamente, se Re(λ) < 0, x(t) 0 quando t e x(t) P = (0,0); nesse caso o ponto de equilíbrio é estável. As diferentes possibilidades de combinação dos autovalores, que podem ser reais, imaginários puros, todos com parte real positiva, etc..., vão definir não só a estabilidade do ponto de equilíbrio mas também a forma das soluções em sua vizinhança, podendo assim ser classificados. Se Re(λ i ) 0 para todos os λ i, o equilíbrio é dito hiperbólico ou não -degenerado. A estabilidade do ponto é determinada pelos autovalores da matriz Jacobiana: Re(λ i ) < 0 para todo i implica estabilidade assintótica. Re(λ i ) > 0 para um (ou mais) valores de i implica instabilidade. O resultado geral de estabilidade acima é atribuído a Lyapunov 2. Esse tipo de estabilidade é chamada estabilidade condicional ou estabilidade linear. Se Re(λ) = 0 o equilíbrio é dito não hiperbólico, elíptico ou degenerado. Se o sistema de equações é linear, Re(λ) = 0 significa que as soluções x(t) para t não se afastam nem tendem a (x,y ), permanecendo em sua vizinhança. O ponto é então estável e é chamado um centro Classificação dos Pontos de Equilíbrio A quantidade de casos diferentes gerados pelas inúmeras combinações possíveis de autovalores cresce com a dimensão do sistema. Para 3 dimensões existem 10 tipos 2 A.M. Lyapunov, Stability of Motion. Academic Press, NY (1966). Ver também R. Seydel, op. cit.,p.20

Glossário de Dinâmica Não-Linear

Glossário de Dinâmica Não-Linear Glossário de Dinâmica Não-Linear Dr. Fernando Portela Câmara, MD, PhD Coordenador do Depto. Informática da ABP (2004-2007) Atrator O estado no qual um sistema dinâmico eventualmente se estabiliza. Um atrator

Leia mais

MAT1154 ANÁLISE QUALITATIVA DE PONTOS DE EQUILÍBRIO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES

MAT1154 ANÁLISE QUALITATIVA DE PONTOS DE EQUILÍBRIO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES MAT1154 ANÁLISE QUALITATIVA DE PONTOS DE EQUILÍBRIO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES VERSÃO 1.0.2 Resumo. Este texto resume e complementa alguns assuntos dos Capítulo 9 do Boyce DiPrima. 1. Sistemas autônomos

Leia mais

objetivos A partícula livre Meta da aula Pré-requisitos

objetivos A partícula livre Meta da aula Pré-requisitos A partícula livre A U L A 7 Meta da aula Estudar o movimento de uma partícula quântica livre, ou seja, aquela que não sofre a ação de nenhuma força. objetivos resolver a equação de Schrödinger para a partícula

Leia mais

Equações diferencias são equações que contém derivadas.

Equações diferencias são equações que contém derivadas. Equações diferencias são equações que contém derivadas. Os seguintes problemas são exemplos de fenômenos físicos que envolvem taxas de variação de alguma quantidade: Escoamento de fluidos Deslocamento

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

ESTUDO DA DINÂMICA POPULACIONAL DE UM VÍRUS COMPUTACIONAL

ESTUDO DA DINÂMICA POPULACIONAL DE UM VÍRUS COMPUTACIONAL ESTUDO DA DINÂMICA POPULACIONAL DE UM VÍRUS COMPUTACIONAL Aluno: João Henrique Carneiro Orientador: Carlos Frederico Palmeira Introdução Foi feito um estudo sobre dinâmica populacional a fim de buscar

Leia mais

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E Ondas Eletromagnéticas. (a) Ondas Planas: - Tendo introduzido dinâmica no sistema, podemos nos perguntar se isto converte o campo eletromagnético de Maxwell em uma entidade com existência própria. Em outras

Leia mais

PE-MEEC 1S 09/10 118. Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e. 4.1 Variáveis. densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado,

PE-MEEC 1S 09/10 118. Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e. 4.1 Variáveis. densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado, Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e distribuições contínuas 4.1 Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado, variância e algumas das suas propriedades. Moda e quantis

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES Caros concurseiros, Como havia prometido, seguem comentários sobre a prova de estatística do ICMS RS. Em cada questão vou fazer breves comentários, bem como indicar eventual possibilidade de recurso. Não

Leia mais

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D 6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados

Leia mais

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente: Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas

Leia mais

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico

Leia mais

BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação

BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação BC-0005 Bases Computacionais da Ciência Aula 8 Modelagem e simulação Santo André, julho de 2010 Roteiro da Aula Modelagem O que é um modelo? Tipos de modelos Simulação O que é? Como pode ser feita? Exercício:

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ENG JR ELETRON 2005 29 O gráfico mostrado na figura acima ilustra o diagrama do Lugar das Raízes de um sistema de 3ª ordem, com três pólos, nenhum zero finito e com realimentação de saída. Com base nas

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Produtos. 4.1 Produtos escalares

Produtos. 4.1 Produtos escalares Capítulo 4 Produtos 4.1 Produtos escalares Neste tópico iremos estudar um novo tipo de operação entre vetores do plano e do espaço. Vamos fazer inicialmente uma consideração geométrica, como segue. Seja

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 Para determinarmos um valor aproximado das raízes de uma equação não linear, convém notar inicialmente

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I (1108030) - Capítulo 04

ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I (1108030) - Capítulo 04 ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I (1108030) - Capítulo 04 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil 2012.2 1 / 15 Sumário Trabalho e EP Energia potencial Forças conservativas Calculando

Leia mais

Cálculo Numérico Computacional Lista 09 integral aproximada

Cálculo Numérico Computacional Lista 09 integral aproximada ORIENTAÇÃO ORIENTAÇÃO 2 Cálculo Numérico Computacional Lista 09 integral aproximada tarcisio@member.ams.org T. Praciano-Pereira Dep. de Matemática alun@: Univ. Estadual Vale do Acaraú 3 de março de 2008

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma

Leia mais

² Servomecanismo: Sistema de controle realimentado para controle automático de posição, velocidade ou aceleração. Muito empregado na indústria.

² Servomecanismo: Sistema de controle realimentado para controle automático de posição, velocidade ou aceleração. Muito empregado na indústria. 1. Introdução 1.1. De nições Básicas ² Sistema: Interconexão de dispositivos e elementos para cumprir um objetivo desejado. ² Processo: Um sistema ou dispositivo a ser controlado. ² Sistema de controle:

Leia mais

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 1 3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 3.3.1 Sistema de Coordenadas Tridimensionais Como vimos no caso do R, para localizar um ponto no plano precisamos de duas informações e assim um ponto P

Leia mais

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s Representação numérica Cálculo numérico Professor Walter Cunha Um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam

Leia mais

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 69 Roteiro 1 Modelo Não-Linear Modelo

Leia mais

Universidade Federal da Bahia

Universidade Federal da Bahia Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: CALCULO B UNIDADE III - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizado 2008.2 Domínio, Imagem e Curvas/Superfícies de Nível y2 è [1] Determine o domínio

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

A FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO E A ESCOLHA DO PASSO DA RECONSTRUÇÃO

A FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO E A ESCOLHA DO PASSO DA RECONSTRUÇÃO A FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO E A ESCOLHA DO PASSO DA RECONSTRUÇÃO Antônio Carlos da Silva Filho (Uni-FACEF) Fabiano Guasti Lima (USP) 1 INTRODUÇÃO A função de autocorrelação mede o grau de correlação de

Leia mais

Capítulo 1 - Estática

Capítulo 1 - Estática Capítulo 1 - Estática 1.1. Generalidades sobre forças 1.1.1. A Grandeza Vetorial A finalidade da Estática, parte da Mecânica Geral, é o estudo das condições nas quais um sólido ou um sistema de sólidos,

Leia mais

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3

Leia mais

FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO. Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante.

FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO. Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO META Aula 8 Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante. Mostrar a lei da circulação de Ampère-Laplace e a lei de Biot-Savart. Estudar

Leia mais

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Professor Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera Belo Horizonte 2012 Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Monografia

Leia mais

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis

Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis Universidade Federal do Amazonas Instituto de Educação, Agricultura e Ambiente Janeiro de 2014 Bem-vindo Este material trata da introdução ao estudo de

Leia mais

Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas Departamento de Engenharia de Controle e Automação. Ronilson Rocha

Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas Departamento de Engenharia de Controle e Automação. Ronilson Rocha Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas Departamento de Engenharia de Controle e Automação PROJETO E CARACTERIZAÇÃO DE CIRCUITOS ELETRÔNICOS CAÓTICOS: O LADO NEGATIVO DO CIRCUITO DE CHUA Ronilson

Leia mais

Resolução Comentada CEFET/MG - 2 semestre 2014

Resolução Comentada CEFET/MG - 2 semestre 2014 Resolução Comentada CEFET/MG - 2 semestre 2014 01 - A figura mostra um sistema massa-mola que pode oscilar livremente, sem atrito, sobre a superfície horizontal e com resistência do ar desprezível. Nesse

Leia mais

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com

Leia mais

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Palavras-chave: Modelo de Lotka-Volterra, Lagarta do Cartucho do milho, Controle Biológico.

Palavras-chave: Modelo de Lotka-Volterra, Lagarta do Cartucho do milho, Controle Biológico. ISSN 177-9139 MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA AO CONTROLE BIOLÓGICO DE PRAGAS EM LAVOURAS DE MILHOS. Jéssica C. S. Bueno E-mail: jessica_bsaldivia@hotmail.com Universidade Federal de Pelotas, Departamento

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3 Linhas de Força Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday (79-867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a interação elétrica entre duas cargas. Para Faraday, as

Leia mais

1. Extremos de uma função

1. Extremos de uma função Máximo e Mínimo de Funções de Várias Variáveis 1. Extremos de uma função Def: Máximo Absoluto, mínimo absoluto Seja f : D R R função (i) Dizemos que f assume um máximo absoluto (ou simplesmente um máximo)

Leia mais

IA344 - Dinâmica Caótica em Sistemas de Engenharia

IA344 - Dinâmica Caótica em Sistemas de Engenharia IA344 - Dinâmica Caótica em Sistemas de Engenharia (FEEC/Unicamp - Primeiro Semestre de 2005) 1 Transformações (Mapas) de Poincaré Um sistema dinâmico é usualmente definido como um fluxo contínuo, que

Leia mais

5 Transformadas de Laplace

5 Transformadas de Laplace 5 Transformadas de Laplace 5.1 Introdução às Transformadas de Laplace 4 5.2 Transformadas de Laplace definição 5 5.2 Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6 Sinal exponencial 6 Exemplo 5.1 7 Sinal

Leia mais

O caso estacionário em uma dimensão

O caso estacionário em uma dimensão O caso estacionário em uma dimensão A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico no caso de o potencial ser independente do tempo. objetivos verificar que, no caso de o potencial ser independente

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)

Leia mais

Resumo. Sinais e Sistemas Transformada de Laplace. Resposta ao Sinal Exponencial. Transformada de Laplace

Resumo. Sinais e Sistemas Transformada de Laplace. Resposta ao Sinal Exponencial. Transformada de Laplace Resumo Sinais e Sistemas Transformada de aplace lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Definição da transformada de aplace. Região de convergência. Propriedades da transformada de aplace. Sistemas caracterizados

Leia mais

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Gustavo Sousa Pavani Universidade Federal do ABC (UFABC) 3º Trimestre - 2009 Aulas 1 e 2 Sobre o curso Bibliografia: James Stewart, Cálculo, volume I,

Leia mais

Simulação Numérica Direta de Escoamentos Transicionais e Turbulentos

Simulação Numérica Direta de Escoamentos Transicionais e Turbulentos Simulação Numérica Direta de Escoamentos Transicionais e Turbulentos Simulação numérica direta (DNS), Formalismo, Equações Navier-Stokes no espaço espectral, Considerações sobre métodos numéricos para

Leia mais

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0,,, 3,...} * = {,, 3,...} Ø: conjunto vazio A\B =

Leia mais

Leis de Conservação. Exemplo: Cubo de gelo de lado 2cm, volume V g. =8cm3, densidade ρ g. = 0,917 g/cm3. Massa do. ρ g = m g. m=ρ.

Leis de Conservação. Exemplo: Cubo de gelo de lado 2cm, volume V g. =8cm3, densidade ρ g. = 0,917 g/cm3. Massa do. ρ g = m g. m=ρ. Leis de Conservação Em um sistema isolado, se uma grandeza ou propriedade se mantém constante em um intervalo de tempo no qual ocorre um dado processo físico, diz-se que há conservação d a propriedade

Leia mais

MODELAGEM DIGITAL DE SUPERFÍCIES

MODELAGEM DIGITAL DE SUPERFÍCIES MODELAGEM DIGITAL DE SUPERFÍCIES Prof. Luciene Delazari Grupo de Pesquisa em Cartografia e SIG da UFPR SIG 2012 Introdução Os modelo digitais de superficie (Digital Surface Model - DSM) são fundamentais

Leia mais

36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase

36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase 36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase Problema 1 Turbo, o caracol, está participando de uma corrida Nos últimos 1000 mm, Turbo, que está a 1 mm por hora, se motiva e

Leia mais

TEORIA DO RISCO. LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com

TEORIA DO RISCO. LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com TEORIA DO RISCO LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com 1 TARIFAÇÃO (FERREIRA, 2002) Diversos conceitos e metodologias envolvidos no cálculo do preço pago

Leia mais

LEI DE OHM. Professor João Luiz Cesarino Ferreira. Conceitos fundamentais

LEI DE OHM. Professor João Luiz Cesarino Ferreira. Conceitos fundamentais LEI DE OHM Conceitos fundamentais Ao adquirir energia cinética suficiente, um elétron se transforma em um elétron livre e se desloca até colidir com um átomo. Com a colisão, ele perde parte ou toda energia

Leia mais

Simulação Transiente

Simulação Transiente Tópicos Avançados em Avaliação de Desempenho de Sistemas Professores: Paulo Maciel Ricardo Massa Alunos: Jackson Nunes Marco Eugênio Araújo Dezembro de 2014 1 Sumário O que é Simulação? Áreas de Aplicação

Leia mais

MAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11.

MAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11. MT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - tualizado 13.11.2012 1. Segunda-feira, 30 de julho de 2012 presentação do curso. www.ime.usp.br/

Leia mais

Cálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante

Cálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Cálculo Numérico Aula : Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Computação Numérica - O que é Cálculo Numérico? Cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos

Leia mais

AULAS 13, 14 E 15 Correlação e Regressão

AULAS 13, 14 E 15 Correlação e Regressão 1 AULAS 13, 14 E 15 Correlação e Regressão Ernesto F. L. Amaral 23, 28 e 30 de setembro de 2010 Metodologia de Pesquisa (DCP 854B) Fonte: Triola, Mario F. 2008. Introdução à estatística. 10 ª ed. Rio de

Leia mais

Sistemas Dinâmicos em dimensão um

Sistemas Dinâmicos em dimensão um Sistemas Dinâmicos em dimensão um 4 de Novembro de 2014 Artur Avila, Marco Martens e Welington de Melo real e complexa Fluxo de Teichmuller, transformações de intercâmbio de intervalos, bilhares poligonais.

Leia mais

Universidade Federal do Paraná

Universidade Federal do Paraná Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo Curitiba, 1 de Dezembro de 005 1. A posição de uma particula é dada por: r(t) = (sen t)i+(cost)j

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas

Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Teórico-Práticas Mestrado em BBC, 2008/2009 1 Capítulo 1 Nos exercícios 1) e 2) suponha que o crescimento é exponencial. 1. Entre 1700 e 1800 a população humana

Leia mais

1. Introdução. 1.1 Introdução

1. Introdução. 1.1 Introdução 1. Introdução 1.1 Introdução O interesse crescente dos físicos na análise do comportamento do mercado financeiro, e em particular na análise das séries temporais econômicas deu origem a uma nova área de

Leia mais

INE 7001 - Procedimentos de Análise Bidimensional de variáveis QUANTITATIVAS utilizando o Microsoft Excel. Professor Marcelo Menezes Reis

INE 7001 - Procedimentos de Análise Bidimensional de variáveis QUANTITATIVAS utilizando o Microsoft Excel. Professor Marcelo Menezes Reis INE 7001 - Procedimentos de Análise Bidimensional de variáveis QUANTITATIVAS utilizando o Microsoft Excel. Professor Marcelo Menezes Reis O objetivo deste texto é apresentar os principais procedimentos

Leia mais

2 Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (Q, R)

2 Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (Q, R) Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (, ) Neste capítulo é apresentado um modelo para o sistema de controle de estoque (,). Considera-se que a revisão dos estoques é continua e uma encomenda de

Leia mais

FÍSICA 3 Circuitos Elétricos em Corrente Contínua. Circuitos Elétricos em Corrente Contínua

FÍSICA 3 Circuitos Elétricos em Corrente Contínua. Circuitos Elétricos em Corrente Contínua FÍSICA 3 Circuitos Elétricos em Corrente Contínua Prof. Alexandre A. P. Pohl, DAELN, Câmpus Curitiba EMENTA Carga Elétrica Campo Elétrico Lei de Gauss Potencial Elétrico Capacitância Corrente e resistência

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE VESTIBULAR 0 a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. 0. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da

Leia mais

Modelos Variáveis de Estado

Modelos Variáveis de Estado Modelos Variáveis de Estado Introdução; Variáveis de Estados de Sistemas Dinâmicos; Equação Diferencial de Estado; Função de Transferência a partir das Equações de Estados; Resposta no Domínio do Tempo

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

Problemas sobre Sistemas Não Lineares

Problemas sobre Sistemas Não Lineares Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo em Espaço de Estados Problemas sobre Sistemas Não Lineares Organizada por J. Miranda Lemos 0 J. M. Lemos IST P. (Construção do

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

1. Objectivo Durante uma experiência, medem-se certas variáveis, ex.: concentrações, pressões, temperaturas,

1. Objectivo Durante uma experiência, medem-se certas variáveis, ex.: concentrações, pressões, temperaturas, MODELAÇÃO E DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS CINÉTICOS FILIPE GAMA FREIRE 1. Objectivo Durante uma experiência, medem-se certas variáveis, ex.: concentrações, pressões, temperaturas, etc. a que chamaremos y

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL420. Módulo 2

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL420. Módulo 2 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I EEL420 Módulo 2 Thévenin Norton Helmholtz Mayer Ohm Galvani Conteúdo 2 Elementos básicos de circuito e suas associações...1 2.1 Resistores lineares

Leia mais

Capítulo 5: Transformações Lineares

Capítulo 5: Transformações Lineares 5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Números Complexos. Note com especial atenção o sinal "-" associado com X C. Se escrevermos a expressão em sua forma mais básica, temos: = 1

Números Complexos. Note com especial atenção o sinal - associado com X C. Se escrevermos a expressão em sua forma mais básica, temos: = 1 1 Números Complexos. Se tivermos um circuito contendo uma multiplicidade de capacitores e resistores, se torna necessário lidar com resistências e reatâncias de uma maneira mais complicada. Por exemplo,

Leia mais

por séries de potências

por séries de potências Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio

Leia mais

Caracterização temporal de circuitos: análise de transientes e regime permanente. Condições iniciais e finais e resolução de exercícios.

Caracterização temporal de circuitos: análise de transientes e regime permanente. Condições iniciais e finais e resolução de exercícios. Conteúdo programático: Elementos armazenadores de energia: capacitores e indutores. Revisão de características técnicas e relações V x I. Caracterização de regime permanente. Caracterização temporal de

Leia mais

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios.

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. Exercícios A U L A 10 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. objetivo aplicar os conhecimentos adquiridos nas Aulas 4 a 9 por meio da

Leia mais

MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262

MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC) MECÂNICA DOS FLUIDOS ME6 Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO (Capítulo 5) Recife - PE Capítulo

Leia mais

Grupo I Perguntas de resposta rápida (1 valor cada)

Grupo I Perguntas de resposta rápida (1 valor cada) ISCTE INSTITUTO UNIVERSITÁRIO de LISBOA Mestrado de Economia Mestrado de Economia Monetária e Financeira MACROECONOMIA e ANÁLISE da CONJUNTURA Teste Exemplo 4 Dezembro 2009 Duração: 2.00 h SOLUÇÕES Grupo

Leia mais

Chapter 2. 2.1 Noções Preliminares

Chapter 2. 2.1 Noções Preliminares Chapter 2 Seqüências de Números Reais Na Análise os conceitos e resultados mais importantes se referem a limites, direto ou indiretamente. Daí, num primeiro momento, estudaremos os limites de seqüências

Leia mais

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata

Leia mais

11/07/2012. Professor Leonardo Gonsioroski FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA.

11/07/2012. Professor Leonardo Gonsioroski FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Aulas anteriores Tipos de Sinais (degrau, rampa, exponencial, contínuos, discretos) Transformadas de Fourier e suas

Leia mais

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas Capítulo 14 Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 14.1 Introdução A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora é da forma y = f(x), em que y é dado diretamente ou, explicitamente, por meio

Leia mais

MÁRCIO PAIXÃO DANTAS SELEÇÃO NATURAL ESPONTÂNEA EM SISTEMAS PRESA-PREDADOR COM DIFUSÃO

MÁRCIO PAIXÃO DANTAS SELEÇÃO NATURAL ESPONTÂNEA EM SISTEMAS PRESA-PREDADOR COM DIFUSÃO MÁRCIO PAIXÃO DANTAS SELEÇÃO NATURAL ESPONTÂNEA EM SISTEMAS PRESA-PREDADOR COM DIFUSÃO Monografia de graduação apresentada ao Departamento de Ciência da Computação da Universidade Federal de Lavras como

Leia mais

Modelamento e simulação de processos

Modelamento e simulação de processos Modelamento e simulação de processos 4. Método de Monte Carlo Prof. Dr. André Carlos Silva 1. INTRODUÇÃO O Método de Monte Carlo (MMC) é um método estatístico utilizado em simulações estocásticas com diversas

Leia mais

NECESSIDADES DE PREVISÃO DA CADEIA DE SUPRIMENTOS. Mayara Condé Rocha Murça TRA-53 Logística e Transportes

NECESSIDADES DE PREVISÃO DA CADEIA DE SUPRIMENTOS. Mayara Condé Rocha Murça TRA-53 Logística e Transportes NECESSIDADES DE PREVISÃO DA CADEIA DE SUPRIMENTOS Mayara Condé Rocha Murça TRA-53 Logística e Transportes Setembro/2013 Introdução Estimativas acuradas do volume de produtos e serviços processados pela

Leia mais

MODELAGEM E SIMULAÇÃO

MODELAGEM E SIMULAÇÃO MODELAGEM E SIMULAÇÃO Professor: Dr. Edwin B. Mitacc Meza edwin@engenharia-puro.com.br www.engenharia-puro.com.br/edwin Como Funciona a Simulação Introdução Assim como qualquer programa de computador,

Leia mais

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel. Matemática Essencial Equações do Primeiro grau Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de

Leia mais

Controle de Conversores Estáticos Retroação de estados: Projeto por alocação de pólos. Prof. Cassiano Rech cassiano@ieee.org

Controle de Conversores Estáticos Retroação de estados: Projeto por alocação de pólos. Prof. Cassiano Rech cassiano@ieee.org Controle de Conversores Estáticos Retroação de estados: Projeto por alocação de pólos cassiano@ieee.org 1 Projeto por alocação de pólos Na abordagem convencional, usando por exemplo o método do lugar das

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL- ESTREMOZ MATEMÁTICA A 12ºANO ANO LETIVO 2015/2016 OBJECTIVOS ESPECÍFICOS

ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL- ESTREMOZ MATEMÁTICA A 12ºANO ANO LETIVO 2015/2016 OBJECTIVOS ESPECÍFICOS PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL- ESTREMOZ MATEMÁTICA A 12ºANO ANO LETIVO 2015/2016 Introdução ao cálculo Conhecer terminologia das probabilidades de Probabilidades

Leia mais

PASSEIOS ALEATÓRIOS E CIRCUITOS ELÉTRICOS

PASSEIOS ALEATÓRIOS E CIRCUITOS ELÉTRICOS PASSEIOS ALEATÓRIOS E CIRCUITOS ELÉTRICOS Aluno: Ricardo Fernando Paes Tiecher Orientador: Lorenzo Justiniano Díaz Casado Introdução A teoria da probabilidade, assim como grande parte da matemática, está

Leia mais

2 Modelo Clássico de Cramér-Lundberg

2 Modelo Clássico de Cramér-Lundberg 2 Modelo Clássico de Cramér-Lundberg 2.1 Conceitos fundamentais Nesta sessão introduziremos alguns conceitos fundamentais que serão utilizados na descrição do modelo de ruína. A lei de probabilidade que

Leia mais