MOQ 43 PESQUISA OPERACIONAL. Professor: Rodrigo A. Scarpel

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1 MOQ PESQUISA OPERACIONAL Professor: Rodrigo A. Scarpel

2 Programa do curso: Semana Conteúdo Apresentação da disciplina. Formulação em programação matemática (PM). Introdução à Programação Linear. (PL) Resolução de problemas de PL pelo Método Gráfico. Introdução ao método simple para resolução de PPL. Resolução de problemas de PL pelo Método Simple. A matemática do método simple. Problemas com soluções iniciais (Método das fases e o Big-M). Degeneração, ciclagem e convergência do método simple. Análise de Sensibilidade. Resolução computacional de problemas de programação matemática. 6 Prova 7 O problema dual. Formulação e Interpretação econômica do problema dual. Teoremas da dualidade. 8 Algoritmos simple adicionais. Análise pós-otimização. 9 O Problema do Transporte. 0 O problema do Transbordo. O problema da Designação. Programação Linear Inteira: Formulação, Método de Branch and Bound. Problemas de otimização combinatória. Prova Otimização em Redes. O problema do caieiro viajante e do carteiro chinês. Os problemas do caminho mínimo e do fluo máimo. Introdução à programação não-linear. Princípios de otimização global. Métodos não eatos para resolução de problemas de PM. 6 Princípios de programação multiobjetivo. Fechamento da disciplina.

3 MOQ OTIMIZAÇÃO EM REDES Professor: Rodrigo A. Scarpel

4 Fluo em Redes (Network Flows) : Muitos problemas de otimização podem ser melhor analisados se for utilizada uma representação gráfica ou em forma de redes. Esses problemas são enquadrados como de otimização em redes ou fluo em redes (network flows) Principais Problemas: Transporte (Transportation) Atribuição ou Designação (Assignment) Transbordo (Transshipment) Caminho Mínimo (Shortest-Path) / Máimo Circuitos Hamiltonianos (TSP) Máimo fluo (Maimum-flow problems) Problema da árvore geradora mínima (Minimum Spanning Tree)

5 Fluo em Redes (Network Flows) : Definições: Um grafo, ou rede, é definido por dois conjuntos de símbolos: nós (ou vértices) e arcos. Um arco consiste de um par ordenado de nós e representa uma possível direção de movimento que pode ocorrer entre os nós. Uma seqüência de arcos distintos que ligam nós é chamado de caminho (path). Uma árvore é uma rede conectada (todos os nós estão conectados por no mínimo caminho) sem ciclos.

6 MOQ OS PROBLEMAS DO CAIXEIRO VIAJANTE E CARTEIRO CHINÊS Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br

7 O problema do caieiro viajante: O problema do caieiro viajante é um problema de otimização associado à determinação dos circuitos hamiltonianos num grafo qualquer. Diz-se que um circuito é Hamiltoniano se passar uma e só uma vez por todos os vértices de uma rede. A designação provém do islandês Hamilton que em 87 propôs um jogo denominado Around the World". Nesse jogo, os vértices representavam as 0 cidades mais importantes do mundo na época. O objetivo do jogo consistia em encontrar um percurso através dos vértices, com início e fim no mesmo vértice e que passasse por cada vértice apenas uma vez

8 O problema do caieiro viajante: Formulação de Dantzig-Fulkerson-Johnson: Seja um grafo G = (V,A), em que V é o conjunto de vértices (cidades) e A é o conjunto de arcos (ligações entre duas cidades). Var. decisão: ij =, se o arco de i para j estiver no caminho 0, caso contrário Minimizar i j d ij ij S. A. i j ij ij,, j i i, js ij S, S grafo

9 O problema do caieiro viajante: Eemplo: 6 F.O.: MIN, +, +, +, +, +, + 6, + 6, +, +, +, +, S.A., +, +, =, +, +, =, +, =, +, =, +, =, +, =, +, +, =, +, +, =, +, =, +, =

10 O problema do caieiro viajante: 6, +, +, +, +, +, +, +, 6, +, +, +, +, +,

11 O problema do caieiro viajante: MIN S.T. + + = + + = + = + = + = + = + + = + + = + = + = <= <= >=0 >=0 >=0 >=0 >=0 >=0 >=0 >=0 >=0 >=0 >=0 >=0 <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <=

12 O problema do caieiro viajante: Embora a formulação de Dantzig-Fulkerson-Johnson tenha conseguido resolver o problema há uma dificuldade de implementação: colocar na formulação de todos os subgrafos de um grafo compleo. Eemplo:

13 O problema do caieiro viajante: Resolução por branch-and-bound: Resolver o problema do caieiro viajante como um problema de atribuição (relaado) Minimizar i j d ij ij S. A. Se a solução do problema relaado for viável para o problema do caieiro viajante, esta é ótima. Caso contrário adicione uma restrição para bloquear o arco ( ij = 0). Repita o procedimento até encontrar uma solução ótima para o problema relaado e que atenda o problema de caieiro viajante. i j ij ij,, j i

14 O problema do caieiro viajante: Resolução por branch-and-bound: Eemplo

15 O problema do caieiro viajante: Resolução pela heurística do vizinho mais próimo: Passo : selecione um ponto de partida. Passo : Conecte este ponto ao seu vizinho mais próimo, desde que esse não forme um subcircuito. Repita o passo até que todos os nós tenham sido escolhidos. Eemplo: D = 668

16 O problema do caieiro viajante: Teste da solução pela heurística da inversão: É possível buscar melhorar a solução invertendo-se a, a,, n- a n-, em que n é o número de nós de uma rede. Eemplo: D = 668 D = 77 D = 96 D = 70 D = 96 D = 807 D = 96

17 O problema do carteiro chinês (PCC): O PCC é um problema de otimização que objetiva cobrir com um passeio todos os arcos de um grafo, minimizando a distância total percorrida, permitindo a repetição de arestas. Ilustração: Eistem formulações do PCC para o caso orientado, não-orientado e misto.

18 O problema do carteiro chinês: Formulação (caso não-orientado): VD: ij é o número de vezes que o arco (i,j) é usado (no sentido i j) i j Minimizar n n d ij ij (MINIMIZAR A DISTÂNCIA PERCORRIDA) S. A. n j ji n j ij 0, i,..., n ij ji, i j ij 0 e inteiro

19 O problema do carteiro chinês (PCC): Eemplo: ,, 0 0 S.A. Min 8,6, 8,6 6,8,,,8 6,8 8, 8,6 8, 6,,,,8,6,, 8,6 8,, 6,8,8,

20 MOQ PROBLEMA DO CAMINHO MÍNIMO / MÁXIMO Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br

21 O problema do caminho mínimo / máimo: Problema do caminho mínimo / máimo Otimização de redes lineares Decisões estratégicas: selecionar o caminho mais curto / longo entre nós Utilidade: caminho mais curto: rota de transporte, substituição de equipam, caminho mais longo: PERT, CPM e problema da mochila Depósito 6 Cidade

22 Formulação do problema do caminho mínimo / máimo: Minimizar Maimizar i j d ij ij d ij é a distância entre a origem i e o destino j Var. decisão: ij =, se o arco (i,j) estiver no caminho mínino / máimo 0, caso contrário S. A. j kj i ik, 0,, k s ( fonte ) para todos os outros k k r ( sorvedouro) ij 0, i, j

23 Formulação do problema do caminho mínimo / máimo: MIN / MAX Z = X + X + X + X + X + X 6 + X 6 Var. decisão: ij =, se a ligação fizer parte do caminho mínimo / máimo 0, caso contrário S.A. X + X = (fonte) - X 6 - X = - (sorvedouro) X = X + X X = X X 6 = X X 6 = X + X Depósito 6 Cidade

24 Resolução do problema do caminho mínimo: Algoritmo Dijkstra: Início: rotule o nó fonte de forma permanente com 0 e cada um dos nós conectados a este, de forma temporária, com a distância do arco que une a este. Todos os outros nós receberão um rótulo temporário. * 0 0 Depósito 6 Cidade

25 Resolução do problema do caminho mínimo: Algoritmo Dijkstra: Passo : Selecione o nó com o menor rótulo temporário e faça-o permanente. Então rotule cada um dos nós conectados a este, de forma temporária, com a distância do arco que os une. Repita o passo até chegar no nó sorvedouro. * 0 0 Depósito 6 Cidade * 7

26 Resolução do problema do caminho mínimo: Algoritmo Dijkstra: Passo : Selecione o nó com o menor rótulo temporário e faça-o permanente. Então rotule cada um dos nós conectados a este, de forma temporária, com a distância do arco que os une. Repita o passo até chegar no nó sorvedouro. * 7 * 0 0 Depósito 6 Cidade * 6

27 Resolução do problema do caminho mínimo: Algoritmo Dijkstra: Passo : Selecione o nó com o menor rótulo temporário e faça-o permanente. Então rotule cada um dos nós conectados a este, de forma temporária, com a distância do arco que os une. Repita o passo até chegar no nó sorvedouro. * 7 * Depósito 6 Cidade * 6 *

28 Resolução do problema do caminho mínimo: Algoritmo Dijkstra: Passo : Selecione o nó com o menor rótulo temporário e faça-o permanente. Então rotule cada um dos nós conectados a este, de forma temporária, com a distância do arco que os une. Repita o passo até chegar no nó sorvedouro. * * 7 * Depósito 6 Cidade * 6 *

29 Resolução do problema do caminho mínimo: Algoritmo Dijkstra: Passo : Selecione o nó com o menor rótulo temporário e faça-o permanente. Então rotule cada um dos nós conectados a este, de forma temporária, com a distância do arco que os une. Repita o passo até chegar no nó sorvedouro. * * 7 * * Depósito 6 Cidade * 6 *

30 Resolução do problema do caminho mínimo: Algoritmo Dijkstra: * * 7 * * Depósito 6 Cidade * 6 * Caminho mais curto: 6 : distância = 8

31 Resolução do problema do caminho mínimo: Problema do Transbordo: Depósito 6 Cidade 6 Oferta M M M 0 M M M 0 M M M M 0 M M M M 0 Demanda

32 Eemplo - problema do caminho mínimo: Um carro novo é comprado por US$, O custo de manutenção e seu preço de revenda dependem da idade do carro como segue: Idade do carro (anos) Custo de Manutenção (US$) Idade do carro (anos) Preço de Revenda (US$) 0, ,000.00, ,000.00,000.00, ,000.00,000.00, , Formule o problema que determine a política ótima de troca de veículos no horizonte de anos (leia-se política ótima aquela que minimiza a soma dos custos de compra, manutenção e revenda). 0

33 Eemplo - problema do caminho mínimo: Custo total: Ficar com o carro ano (US$ mil) = + -7 = 7 Ficar com o carro anos (US$ mil) = = Ficar com o carro anos (US$ mil) = = Ficar com o carro anos (US$ mil) = = Ficar com o carro anos (US$ mil) = =

34 Eemplo - problema do caminho mínimo:

35 Eemplo - problema do caminho mínimo:

36 Eemplo - problema do caminho mínimo: Caminhos mais curtos: 0 : distância = 0 : distância = 0 : distância =

37 Problema do caminho máimo: CPM (critical path method)

38 Eemplo (caminho máimo): CPM (critical path method) Número Atividade Atividade de pré-requisito Duração 0 Início do Trabalho - 0 Projeto de Simulação 0 Treinamento de Pessoal 6 Construção das Instalações Certificação das Instalações,6 Aquisição de material 6 Aferição dos instrumentos 7 Teste do material adquirido, 8 Montagem da cabine de simulação 7 9 Eecução da simulação 8 0 Fim

39 Eemplo (caminho máimo): CPM (critical path method) X_0 0 X_ 6 X_ X_ X_6 X_7 X_ 6 X_6 X_7 7 X_ X_89 X_90 0 Variável de decisão: _ij = se a ligação da etapa i para a etapa j estiver no caminho crítico e 0 caso contrário. Restrições: _0 = _ + _ + _ = _0 _7 = = 6 = 6 = _6 _7 = _ + _6 _78 = _7 + _7 _89 = _78 _90 = _89 _ij = 0, Função Objetivo: MAX *_0 + 6*_ + *_ + *_ + *_7 + *_ + *_6 + *_6 + *_7 + *_78 + *_89

40 Problema do caminho máimo: Resolução CPM (critical path method) Os cálculos do caminho crítico envolvem dois passos: Passo : Forward pass (tempo mais cedo de ocorrência) Passo : Backward pass (tempo mais tarde de ocorrência) Uma atividade estará no caminho crítico se:

41 Eemplo (caminho máimo): CPM (critical path method) Caminho crítico: : distância =

42 Eemplo (caminho máimo): CPM (critical path method) Caminho crítico: : distância = tempo

43 MOQ PROBLEMA DA ÁRVORE GERADORA MÍNIMA Professor: Rodrigo A. Scarpel

44 O problema da árvore geradora mínima: Eemplo:

45 O problema da árvore geradora mínima: Em uma rede com n nós, uma árvore geradora é um grupo de n- arcos que conectam todos os nós de uma rede sem formar loopings. A árvore geradora mínima é uma árvore geradora em que a soma dos n- arcos é a menor possível Eemplo:

46 O problema da árvore geradora mínima: Eemplo: F.O. MIN Xab + Xac + Xae + Xbd + Xbc + Xcd + Xce + Xcg + Xeg + Xdf + Xfg + Xfh + Xgh S.A. Xab + Xac + Xae Xab + Xbc + Xbd Xac + Xbc + Xcd + Xce + Xcg Xbd + Xcd + Xdf Xae + Xce + Xeg Xdf + Xfg + Xfh Xeg + Xfg + Xgh Xfh + Xgh Xab, Xac, Xae,..., Xgh 0 Xab, Xac, Xae,..., Xgh inteiras a b d f c e g h

47 Resolução do problema da árvore geradora mínima: Algoritmo de resolução: Seja N={,,, n} o conjunto de nós de uma rede, Ck o conjunto de nós conectados de forma permanente na iteração k e Ĉk o conjunto de nós anda não conectados de forma permanente na iteração k. Passo 0: C0 = e Ĉ0 = N Passo : Comece em qualquer nó i do conjunto Ĉ0, faça C = {i} e Ĉ = N-{i} Passo geral k: selecione o nó j* de Ĉk- que resulte no menor arco até um nó do conjunto Ck-. Coloque j* permanentemente em Ck- e remova este de Ĉk-, ou seja, Ck = Ck- + {j*} e Ĉk = Ĉk- {j*}

48 Resolução do problema da árvore geradora mínima: Solução: Passo 0: C0 = e Ĉ0 = {a,b,c,d,e,f,g,h} Passo : C = {e} e Ĉ = {a,b,c,d,f,g,h} Passo : C = {e,c} e Ĉ = {a,b,d,f,g,h} Passo : C = {e,c,a} e Ĉ = {b,d,f,g,h} Passo : C = {e,c,a,d,b} e Ĉ = {f,g,h} Passo 6: C = {e,c,a,d,b,f} e Ĉ = {g,h} Passo 7: C = {e,c,a,d,b,f,g} e Ĉ = {h} Passo 8: C = {e,c,a,d,b,f,g,h} e Ĉ = Passo : C = {e,c,a,d} e Ĉ = {b,f,g,h}

49 EXEMPLO: ÁRVORE GERADORA MÍNIMA

50 MOQ PROBLEMA DO FLUXO MÁXIMO Professor: Rodrigo A. Scarpel

51 Problema do fluo máimo: O problema do fluo máimo é um problema de enumeração de cortes. Um corte define um conjunto de arcos que, quando eliminado da rede, causará um rompimento total do fluo entre o nó de origem e o nó sorvedouro. A capacidade do corte é igual à soma das capacidades de seus arcos.

52 Formulação do problema do fluo máimo: Var. decisão: ij = qtde (volume) que deve ir da origem i para o destino j Maimizar Z icorte ij jcorte S. A. j ij ij kj C ij, (i, j) 0, (i, j) i ik 0, (i, j) origem ou destino

53 Planejamento da Freqüência de Vôos: Uma empresa de transporte aéreo deseja determinar quantos vôos com coneão podem ser realizados entre Manaus e Salvador. Os vôos devem fazer coneão primeiro em Belém e depois em Brasília ou em Fortaleza. Em função da previsão de demanda e do tamanho da frota, determinou-se o numero máimo de vôos diários entre pares de cidade. Formular e resolva o problema objetivando maimizar o número de vôos diários entre Manaus e Salvador. Manaus Belém Fortaleza Cidades Número Máimo de Vôos Diários Manaus - Belém Belém - Brasília Belém - Fortaleza Brasília - Salvador Fortaleza - Salvador Brasília Salvador

54 Planejamento da Freqüência de Vôos: Variável de Decisão: Q i-j =Qtde de i para j Manaus Belém F.O. MAX = Q MAN-BEL Brasília Fortaleza Salvador S.A. Q MAN-BEL Q BEL-BRA Q BEL-FOR Q BRA-SAL Q FOR-SAL Limite Restrições de Solução: Manaus Belém Fortaleza Q MAN-BEL = Q BEL-BRA + Q BEL-FOR Q BEL-BRA = Q BRA-SAL Q BEL-FOR = Q FOR-SAL Q i-j 0 Restrições de Balanceamento Brasília Salvador

55 Resolução do problema do fluo máimo: Resolução do problema de fluo máimo por enumeração: Entre todos os possíveis cortes na rede, o que tiver a menor capacidade dá o fluo máimo na rede. Uma alternativa para determinar o fluo máimo é enumerar todos os cortes. Em grandes redes a enumeração pode ser uma tarefa difícil. Assim, nestes casos, a necessidade de um algoritmo (ou heurística) eficiente é imperativa.

56 Resolução do problema do fluo máimo: Algoritmo do fluo máimo: IT: S MANAUS = {Belém} Manaus [,Manaus] Belém [,Belém] K = Belém e C MANAUS-BELÉM = MAX{} = S BELÉM = {Fortaleza;Brasília} [,-] Brasília Fortaleza [,Fortaleza] Salvador K = Fortaleza pois C BELÉM-FORTALEZA = MAX{,} = S FORTALEZA = {Salvador} K = Salvador e C FORTALEZA-SALVADOR = MAX{} = FLUXO NA ITERAÇÃO = MIN{,,,} = Atualizar as capacidades (C)

57 Resolução do problema do fluo máimo: Algoritmo do fluo máimo: IT: S MANAUS = {Belém} Manaus [,Manaus] Belém K = Belém e C MANAUS-BELÉM = MAX{} = S BELÉM = {Fortaleza;Brasília} [,-] Fortaleza 0 K = Brasília pois C BELÉM-BRASÍLIA = MAX{,} = Brasília [,Belém] Salvador S BRASÍLIA = {Salvador} [,Belém] K = Salvador e C BRASÍLIA-SALVADOR = MAX{} = FLUXO NA ITERAÇÃO = MIN{,,,} = Atualizar as capacidades (C)

58 Resolução do problema do fluo máimo: Algoritmo do fluo máimo: IT: Como todos os nós que partem [,Manaus] de Manaus (ou chegam a Manaus [,-] 0 Belém Brasília Fortaleza [,Belém] 0 Salvador Salvador) têm capacidade residual 0, não há mais nenhuma rota de passagem possível. Assim, [,Belém] 0 FLUXO MÁXIMO NA REDE (F) = f + f = + = vôos

59 Para casa: Lista de Eercícios 0 Leitura Taha: 6, 9.. e 9. Winston: 8. a 8.6 e 9. a 9.6

60 OBSERVAÇÃO Este material refere-se às notas de aula do curso MOQ- (Pesquisa Operacional) do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Não substitui o livro teto, as referências recomendadas e nem as aulas epositivas. Este material não pode ser reproduzido sem autorização prévia do autor. Quando autorizado, seu uso é eclusivo para atividades de ensino e pesquisa em instituições sem fins lucrativos.