TEOREMAS DA EFICIÊNCIA DO CIRCUITO EQUIVALENTE DE THÉVENIN Ivo Barbi, Fellow, IEEE (*)

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1 EOREMS D EFICIÊNCI DO CIRCUIO EQUIVLENE DE HÉVENIN Ivo Barbi, Fellow, IEEE (*) RESUMO: Neste documento são apresentados dois teoremas tratando das perdas e da eficiência do circuito equivalente de hévenin. É demonstrado analiticamente e confirmado por simulação numérica, que a eficiência do circuito equivalente de hévenin, para qualquer rede onde ele exista, é sempre maior ou igual à eficiência do circuito real. (a) Seja uma rede resistiva linear, representada na Fig. (a) por N, com dois terminais, a e b. Uma resistência externa R encontra-se conectada entre os pontos a e b. Δ Δ I. INRODUÇÃO De acordo com eorema de hévenin, qualquer circuito linear visto de um par de terminais pode ser representado por uma fonte de tensão (igual à tensão medida no par de terminais em circuito aberto) em série com uma impedância (igual à impedância do circuito vista do mesmo par de terminais). Esta configuração é chamada de Circuito Equivalente de hévenin, em homenagem a Léon Charles hévenin ( ). É um conceito de grande utilidade prática na análise de circuitos, pois permite a redução de um circuito dado, a um circuito equivalente de menor complexidade, com apenas dois elementos vistos a partir de um par de terminais, onde se deseja, por exemplo, determinar as grandezas elétricas como tensão, corrente ou potência. pesar da importância desse teorema e de sua popularidade, não há referência na literatura consultada pelo autor deste documento, sobre a eficiência do circuito equivalente, comparada com a eficiência do circuito original. No presente documento essa questão é analisada e demonstra-se que a eficiência do circuito equivalente é sempre maior ou igual à eficiência do circuito original sendo, portanto, limitada a sua equivalência. II. ROOSIÇÃO E DEMONSRÇÃO DO RIMEIRO EOREM Δ Fig. : (a) Rede N formada por resistores e fontes com R conectado; (b) Rede N com a resistor R desconectado; (c) Circuito equivalente de hévenin da rede N com o resistor R conectado. representa a potência dissipada no resistor R. Δ representa a potência dissipada nas resistências internas do circuito N, quando o resistor R está conectado. (b) Seja a Fig. (b), onde R é removido; desse modo a tensão entre os terminais a e b, denominada V, é a tensão do circuito equivalente de hévenin. Nesse caso, a potência dissipada nos resistores internos do circuito é representada por Δ. (c) Seja o circuito equivalente de hévenin, representado na Fig. (c), onde V representa a tensão equivalente enquanto R representa a resistência equivalente de hévenin. potência dissipada em R é representada por Δ. O teorema proposto é enunciado como segue. potência dissipada nos resistores da rede real, com o resistor de carga R conectado, é igual à soma da potência dissipada no resistor R do circuito equivalente de hévenin com R conectado, com a potência dissipada nos resistores internos da rede real com R desconectado (I = ). (*) Instituto de eletrônica de otência Departamento de Engenharia Elétrica EEL Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC

2 Esta proposição é traduzida matematicamente pela expressão (). Δ = Δ +Δ () demonstração do teorema é apresentada a seguir. d) De acordo com o princípio da superposição podemos escrever a expressão (2), que demonstra o teorema proposto. Δ =Δ +Δ (2) (a) Seja a Fig. 2. Segundo o eorema da Substituição, R pode ser substituído por uma fonte de corrente com valor igual a I, como está representado na Fig. 3. (b) Seja I = ; o circuito para esse caso encontra-se Δ Δ representado na Fig. 4. potência dissipada pela rede N é igual a Δ. (c) Sejam todas as fontes internas de tensão curtocircuitadas (e as fontes internas de corrente abertas). Essa situação, para I, é mostrada nas Figs. 5 (a) e (b), que são equivalentes. Nesse caso, a resistência vista dos terminais a e b é a resistência R de hévenin. potência dissipada em R é representada por Δ. Fig. 5: Rede N com fonte de corrente I conectada entre os pontos a e b. III. ROOSIÇÃO E DEMONSRÇÃO DO EOREM D EFICIÊNCI DO CIRCUIO EQUIVLENE DE HÉVENIN (Segundo eorema) O segundo teorema, aqui denominado de eorema da Eficiência do Circuito Equivalente de hévenin, é assim enunciado: eficiência do circuito equivalente de hévenin é maior ou igual à eficiência do circuito real. Fig. 2: Rede N com o resistor R conectado. Δ demonstração deste teorema é apresentada a seguir. Seja uma rede N, com 2 terminais a e b, nos quais é conectado um resistor externo R, como está representado na Fig. 6. Sejam as seguintes definições: Fig. 3: Rede N conectada a uma fonte I, de acordo com o princípio da substituição. otência entregue à carga; Δ otência dissipada internamente; otência entregue pelas fontes do circuito. Δ Δ Fig. 4: Rede N com os terminais a e b abertos. Fig. 6: Rede N com resistor R conectado nos terminais a e b. 2

3 De acordo com o princípio de conservação de energia, = +Δ (3) Seja o circuito equivalente mostrado na Fig.7. Δ Δ () Fica então demonstrado que a eficiência do circuito equivalente de hévenin é maior ou igual à eficiência do circuito real. igualdade das eficiências ocorre quando Δ =. IV. VERIFICÇÃO NUMÉRIC DOS DOIS EOREMS Fig. 7: Circuito equivalente. Seja o circuito representado na Fig. 8, com os parâmetros indicados. De acordo com o primeiro eorema apresentado, Então, Δ = Δ +Δ (4) = +Δ +Δ (5) eficiência do circuito real é definida pela expressão (6). = = +Δ +Δ eficiência do circuito equivalente de hévenin é definida pela expressão (7). (6) Fig. 8: Circuito utilizado para a verificação numérica dos teoremas enunciados, por simulação. O circuito foi simulado numericamente e os seguintes resultados foram encontrados: ( ) = 253,6 W fornecida por V e V (2) 2 = 6, 7 W ( entregue à carga) (3) ortanto: = = +Δ (7) ( ) Δ = 37,56 W perdida em R e R (4) 2 Em seguida, foi simulado o circuito mostrado na Fig. 9, onde R = 6,666 Ω. +Δ +Δ = +Δ (8) Δ Δ = +Δ +Δ +Δ (9) Desse modo: Δ = + +Δ () Fig. 9: Circuito simulado numericamente. Foram obtidos os seguintes valores: 3

4 (perdida em R e R 2 quando I = ) Δ = 4, 83 W (5) Δ = 96,73 W (6) = 6,67 W (7) ortanto, ortanto, Δ +Δ = 96, ,83 = 37, 56 W (8) como prevê o primeiro eorema. Δ +Δ =Δ (9) partir dos resultados obtidos na simulação, podem ser determinadas as eficiências, como segue. 6,7 = = =, 452 (2) 253,6 Fig. : Circuito de corrente alternada simulado para a verificação dos teoremas propostos. Foram empregados os seguintes os parâmetros: V = 2sen(377t) ; V 2 = 4sen(377t + º); R = Ω; R = 2 Ω; R 2 = 5 Ω; L = 2 mh; L = 5 mh; Foram encontrados os seguintes valores para as potências e o rendimento do circuito: = 685,8 W (23) ortanto, = = = +Δ,545 (2) > (22) = 284,9 W (24) Δ = 4,8 W (25) 284, 9 = =, 762 (26) 685, 8 o que está de acordo com o segundo eorema. Em seguida foi simulado o circuito mostrado na Fig., tendo sido encontrados os resultados apresentados a seguir. V. EXENSÃO DOS DOIS EOREMS R CIRCUIOS DE CORRENE LERND COM OU SEM ELEMENOS REIVOS Embora não tenha sido explicitamente enunciado nem demonstrado, verificou-se por simulação que ambos os teoremas são também válidos para circuitos de corrente alternada, com ou sem a presença de elementos reativos. Um circuito simulado, tomado como exemplo, encontra-se representado na Fig.. Fig. : Circuito de corrente alternada simulado para a verificação dos teoremas propostos. = 284,9 W (27) Δ = 45,95 W (28) 4

5 Δ = 256,49 W (29) = 54,32 W (3) 284, 9 = =,834 (3) 54, 32 ortanto, >, como prevê o segundo eorema. dicionando-se as potências, obtém-se: Δ +Δ = 45, ,49 = 42, 44 W (32) Fica então confirmado que Δ =Δ +Δ como prevê o primeiro eorema. VI. DISCUSSÃO DICIONL Foi demonstrado, tanto para circuitos de corrente contínua quanto para circuitos de corrente alternada, que onde Δ =Δ +Δ (33) Δ otência perdida no circuito real. Δ otência perdida no circuito equivalente de hévenin. De fato esta parcela da potência é perdida na componente resistiva da impedância equivalente de hévenin. Então podemos concluir que Δ é uma potência que depende da carga e que se torna nula quando a corrente de carga é nula. VII. CONCLUSÃO O presente documento apresentou dois teoremas sobre a eficiência do circuito equivalente de hevenin. O segundo torema, neste documento denominado eorema da Eficiência do Circuito Equivalente de hévenin, estabelece que tal eficiência é de fato sempre maior ou igual à eficiência do circuito real, tanto para circuitos de corrente contínua quanto para circuitos de corrente alternada. lém da demonstração matemática, o teorema proposto foi verificado através de exaustivas simulações numéricas de diferentes circuitos para diferentes combinações paramétricas. partir dos estudos apresentados, pode-se afirmar que o circuito equivalente de hévenin só é equivalente para a análise da tensão, corrente e potência da carga, não sendo válido para a análise das grandezas elétricas que ocorrem no circuito interno ou no circuito visto pela carga. GRDECIMENOS O autor agradece ao rof. Hans Helmut Zürn, por seus comentários construtivos e por ter observado que os teoremas propostos são igualmente válidos para o circuito equivalente de Norton, dual do circuito equivalente de hévenin; agradece também ao rof. Enio Valmor Kassick por seus comentários criteriosos, por ter contribuído para o aperfeiçoamento do texto e por ter observado que a eficiência do circuito equivalente é igual à eficiência do circuito original, para o caso particular em que Δ =, situação não prevista pelo autor deste documento em sua primeira reflexão. or outro lado, a potência Δ não depende da carga; é uma parcela constante, dissipada internamente pelo circuito real a vazio. Há um caso particular, que é aquele em que as perdas do circuito interno são nulas quando a carga é removida, onde a eficiência do circuito equivalente é igual à eficiência do circuito original. 5