Jogos Olímpicos de Verão - Londres 2012

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores Investigação Operacional o Mini-teste Prova com consulta Duração: 1h30min Jogos Olímpicos de Verão - Londres 2012 Os Jogos Olímpicos de verão de 2012, oficialmente conhecidos como Jogos da XXX Olimpíada, terão lugar na cidade de Londres, entre 27 de julho e 12 de agosto de 2012, seguidos pelos Jogos Paraolímpicos de verão de 2012, que se realizarão entre 29 de agosto e 9 de setembro. Londres será, assim, a primeira cidade a sediar oficialmente os Jogos Olímpicos da Era Moderna por três vezes - as anteriores foram em 1908 e O programa para os Jogos Olímpicos contempla 26 modalidades num total de 39 disciplinas, com a participação esperada de cerca de atletas. Os Jogos Paraolímpicos abrangem 20 modalidades e 21 disciplinas, com atletas. A organização espera uma afluência de 9 milhões de espectadores durante todo o evento. Um dos fatores principais para a escolha de Londres como cidade acolhedora dos Jogos, foi a sua eficiente infraestrutura de transportes públicos, imprescindível para a mobilidade de atletas e público num evento com esta dimensão. A organização estabeleceu como meta que, pelo menos 80% dos atletas se deverão conseguir deslocar em menos de 20 minutos para os locais de competição. A rede de metropolitano está a ser alvo de uma requalificação e expansão e um novo comboio de alta-velocidade irá entrar em funcionamento. O Parque Olímpico será servido por 10 linhas ferroviárias, com uma capacidade total para servir passageiros por hora. Existem também planos para reduzir os níveis de tráfego na cidade durante a realização dos Jogos. adaptado de consultado em

2 1. (60%) A Thomas Cook é a agência oficial para a venda de pacotes de estadias curtas para os Jogos Olímpicos e Paraolímpicos de Londres Um pacote de estadia curta consiste no alojamento em regime de bed and breakfast, em Londres ou seus arredores, e em bilhetes garantidos para as modalidades selecionadas. Sob este contrato de agência oficial a Thomas Cook tem direito à compra antecipada de bilhetes, que vai então posteriormente oferecer nos seus pacotes de estadias curtas. A publicidade da Thomas Cook para esta oferta afirma: Book Olympic tickets for a range of different London 2012 events with the peace of mind of a booked hotel close by too. As modalidades que a Thomas Cook comercializa, com preços de venda (por pessoa) abaixo das 400, são: Voleibol, Luta Livre, Pentatlo Moderno, Meias-Finais de Andebol e Atletismo. Os preços de venda dependem, obviamente, do número de dias e do número de eventos que estão envolvidos em cada pacote. A cada um desses pacotes está também associado um custo para a Thomas Cook, relativo à aquisição dos bilhetes à organização dos jogos e ao alojamento. Quer o preço de venda quer o custo estão representados na Tabela 1. Para cada um destes pacotes, existe uma procura estimada, que é o número máximo de pacotes que se admite ser possível vender: até este número, se forem colocados à venda, vendem-se de certeza. No entanto, da experiência de eventos anteriores, a Thomas Cook sabe que se investir numa campanha de marketing para cada um dos pacotes, dirigida a segmentos de mercado muito específicos, consegue aumentar ainda a procura de pacotes. Contudo, a Thomas Cook tem disponíveis apenas para a compra dos pacotes (que têm que ser pagos antecipadamente aos promotores dos jogos e hotéis) e para as eventuais campanhas de marketing. Os dados sobre a procura estão também representados na Tabela 1. Adicionalmente, por questões de estratégia empresarial relativamente à diversificação de produtos, nenhum dos pacotes poderá representar mais do que 40% do número total de pacotes a adquirir. A Thomas Cook pretende saber quantos pacotes comprar de cada modalidade e quanto investir em marketing, também para cada modalidade, de forma a que o seu lucro seja máximo. Tabela 1: Dados relativos a cada um dos pacotes de estadias curtas comercializado pela Thomas Cook. Pacote Preço Custo Procura Aumento da procura por libra ( ) de venda estimada investida em marketing Voleibol Luta Livre Pentatlo Moderno Meias-Finais de Andebol Atletismo (a) i) Decisões (1) Descreva por palavras as variáveis de decisão para este problema. (2) Quantas são as variáveis de decisão de cada tipo? (3) Represente matematicamente as variáveis de decisão para este problema. ii) Restrições (1) Descreva por palavras os diferentes tipos de restrições para este problema. (2) Quantas são as restrições de cada tipo? (3) Represente matematicamente as restrições para este problema na forma linear. iii) Objetivo (1) Descreva por palavras a função objetivo para este problema. (2) Represente matematicamente essa função objetivo na forma linear. (b) Após alguma discussão interna, venceu a ideia de que a Thomas Cook não deve apresentar-se no mercado com mais do que 3 pacotes de estadias curtas. Adicionalmente, a Thomas Cook nunca porá à venda o pacote das Meias Finais de Andebol se não puser também à venda o pacote do Voleibol. Altere a formulação que apresentou na alínea anterior de forma a incluir estas condições adicionais. 2

3 2. (40%) O triatlo é um desporto olímpico desde o ano de 2000 que combina as modalidades de natação, bicicleta e corrida. A origem do triatlo é desconhecida contudo algumas pessoas acreditam que teve origem em França entre as duas guerras mundiais, outras defendem que foi inventado nos Estados Unidos no final da década de 70. Independentemente da sua origem, o triatlo é hoje em dia um desporto em crescente expansão por todo mundo. Nos jogos olímpicos de Londres 2012, o triatlo vai ser disputado no conhecido Hyde Park onde são esperados milhares de apoiantes fervorosos. O campeão olímpico de triatlo, Jan Frodeno, está em risco de perder o seu maior patrocinador se não conseguir bater o record de 110 minutos nos jogos olímpicos de Londres. Para averiguar a condição física de Jan e consequentemente ponderar a continuação do financiamento, o patrocinador pretende que Jan efetue um dos dois seguintes treinos (com apenas duas provas): Treino 1 A primeira prova a correr e a segunda prova a nadar ou a andar de bicicleta. Treino 2 A primeira prova a nadar e a segunda prova a correr ou a andar de bicicleta. No caso de Jan terminar a primeira prova de corrida antes de 30 minutos, é garantido que Jan bate o record olímpico pois a segunda prova pode ser feita a andar de bicicleta. Caso contrário, Jan terá que fazer a segunda prova a nadar, e existe uma probabilidade de 20% de não bater o record. Alternativamente, se Jan optar por nadar na primeira prova do treino e terminar antes de 30 minutos, é garantido que também bate o record pois faz a segunda prova a andar de bicicleta. Caso contrário, Jan terá que fazer a segunda prova a correr e existe uma probabilidade de 15% de não bater o record. Com base nos desempenhos anteriores, o treinador de Jan sabe que a probabilidade de Jan concluir as primeiras provas de cada treino antes de 30 minutos é de 90%. O valor atual do patrocínio, e , pode então vir a ser alterado de acordo com a prestação de Jan no treino. O patrocinador está disposto a aumentar o patrocínio em 30% se Jan bater o record olímpico a nadar e depois a correr e em 20% se o bater a correr e depois a nadar. Caso Jan bata o record terminando o treino de bicicleta o patrocínio tem um aumento de e20 000, caso tenha iniciado a prova a nadar, e de e30 000, caso tenha iniciado a prova a correr. Se Jan não bater o record olímpico durante o treino, o patrocínio é-lhe retirado. (a) Desenhe a árvore de decisão que representa o problema descrito, apresentando todas as ações alternativas, os estados da natureza e respetivas probabilidades, bem como os valores dos patrocínios para cada caso. (b) Indique qual a decisão que Jan deve tomar com base no critério da Maximização do Valor Esperado. (c) As probabilidades acima dadas foram calculadas pelo treinador de Jan. No entanto, Jan não está muito seguro da probabilidade de 20% de não bater o record caso opte por correr na primeira prova do treino e termine depois de 30 minutos. Entre que valores pode variar essa probabilidade para que a decisão indicada na alínea anterior continue a ser a que maximiza o valor esperado. 3

4 Resolução 1. (a) i) Decisões Número de pacotes a adquirir de cada uma das modalidades e quanto investir em marketing para promover cada um dos pacotes. Número de variáveis de decisão: 5 relativas ao número de pacotes a comprar e 5 relativas oa investimento em marketing, num total de 10. Representação matemática: x i = número de pacotes da modalidade i a adquirir. y i = libras ( ) a investir no marketing do pacote da modalidade i. ii) Restrições Restrições para o problema: Tipo 1 : Não adquirir mais pacotes do que os que é possível vender. Tipo 2 : Não ultrapassar o orçamento disponível para comprar os pacotes e investir em marketing. Tipo 3 : Nenhum pacote ultrapassar os 40% do total de pacotes. Número de restrições de cada tipo: Tipo 1 : 5 restrições, uma por cada modalidade. Tipo 2 : 1 restrição. Tipo 3 : 5 restrições, uma por cada modalidade. Representação matemática: Tipo 1 : Não adquirir mais pacotes do que os que é possível vender. x V y V x L y L x P y P x M y M x A y A Tipo 2 : Não ultrapassar o orçamento disponível para comprar os pacotes e investir em marketing. 90x V + 100x L + 185x P + 160x M + 300x A + y V + y L + y P + y M + y A Tipo 3 : Nenhum pacote ultrapassar os 40% do total de pacotes. x V 0, 4 (x V + x L + x P + x M + x A ) x L 0, 4 (x V + x L + x P + x M + x A ) x P 0, 4 (x V + x L + x P + x M + x A ) x M 0, 4 (x V + x L + x P + x M + x A ) x A 0, 4 (x V + x L + x P + x M + x A ) iii) Objetivo Maximizar o lucro total da Thomas Cook. 4

5 Representação matemática: max Lucro = (99 90)x V + ( )x L + ( )x P +( )x M + ( )x A y V y L y P y M y A (b) A modelização desta condição adicional obriga a incorporação no modelo de variáveis binárias adicionais, que vão dizer se um dado pacote é comprado ou não: δ i = { 1, se são adquiridos pacotes da modalidade i. 0, se não são adquiridos pacotes da modalidade i. Com estas variáveis é possível escrever que não se podem comprar mais do que 3 pacotes de estadias curtas: δ V + δ L + δ P + δ M + δ A 3 No entanto, é preciso agora garantir que não se compra, nem se investe em marketing, pacotes que se decidiu não comprar, isto é, cuja variável binária vale zero. Para isso precisaremos de nos socorrer de uma constante de valor muito elevado (M ): x V δ V M x L δ L M x P δ P M x M δ M M x A δ A M y V δ V M y L δ L M y P δ P M y M δ M M y A δ A M Finalmente, colocar à venda o pacote das Meias Finais de Andebol implica colocar também à venda o pacote do Voleibol : δ V δ M 5

6 2. (a) Uma possível árvore de decisão para o problema descrito é a representada na figura seguinte: antes 30 min 530 Correr após 30 min 480 bate record não bate 0 Nadar antes 30 min após 30 min bate record não bate (b) Jan deve optar por efetuar o Treino 1. O valor máximo do patrocinio que Jan pode obter é de euros. (c) Para que a decisão tomada na alínea b) se mantenha, a probabilidade pedida (Y) pode variar entre 0% e 22,9%: 600 X 0, 1 + 0, > 523, 25 X > 0, 771, logo Y < (1 0, 771) 100 < 22, 9%. 6