Programação Inteira. Fernando Nogueira Programação Inteira 1

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1 Programação Inteira Fernando Nogueira Programação Inteira

2 A Programação Inteira pode ser entendida como uma caso específico da Programação Linear, onde as variáveis devem ser inteiras (ou ao menos, parte destas variáveis). A rigor, o nome mais correto para a Programação Inteira é Programação Linear Inteira. Quando todas as variáveis devam possuir valores inteiros, o modelo é denominado de um problema de Programação Inteira Pura, caso contrário, é denominado de um problema de Programação Inteira Mista. Modelo Formal Ma sueito (ou a n = Min) a i Ζ 0 b para para para =,2,...,p p +,...,n ( n) Fernando Nogueira Programação Inteira 2 i n = c = i =,2,...,m

3 Eemplos de Aplicações: ) Utilização de Equipamentos representa a quantidade de equipamentos. Por eemplo, = 2.33 navios petroleiros pode não ter significado prático. 2) Tamanhos de Lotes Em algumas situações de planeamento de produção, fazse necessário que = 0 ou > L, onde representa a quantidade de produtos produzidos e L uma quantidade mínima de produtos para compor um lote. Esta situação é um eemplo de restrição ou-ou (ou faz um mínimo ou não faz nada). 3) Decisões Sim-ou-Não = ou = 0 representando decisões sim ou não (também uma situação de ou-ou ). Por eemplo, = representa construir uma nova fábrica. 4) Otimização Combinatória lida com problemas de decisão de seqüências, programas e itinerários. Eemplos clássicos são: -Problema do Caieiro Viaante Para n cidades, eistem (n-)! diferentes percursos (e: n = 50, percursos diferentes). -Problema de Programação de Máquinas Para n itens a serem fabricados em cada uma de k máquinas eistem (n!) k seqüências possíveis (e: n = k = 0, seqüências diferentes). Fernando Nogueira Programação Inteira 3

4 Problemas de Programação Inteira (conunto solução discreto) são geralmente muito mais difíceis de serem resolvidos quando comparados aos Problemas de Programação Linear ordinários (conunto solução contínuo). Ma sueito 2 a , Ζ A solução ótima é = 0 e 2 = 3 (o que pode ser verificado por enumeração eaustiva). Uma maneira de resolver este eemplo seria, por eemplo, desconsiderar a restrição das variáveis serem inteiras e resolver utilizando o algoritmo Simple normalmente. A solução ótima neste caso é = 3/7 e 2 = 0. A solução arredondada é = 2 e 2 = 0, que é inviável. A solução arredondada para baio é = e 2 = 0, que é viável, porém longe de ser a ótima. A regra de arredondar a solução não funciona muito bem, e portanto, não é um procedimento robusto para solucionar problemas de Programação Inteira. Fernando Nogueira Programação Inteira 4

5 Uma dificuldade ainda mais séria é que não eiste maneira fácil de verificar se uma solução viável é ótima. Este fato representa uma importante diferença entre a Programação Linear e a Programação Inteira. Como eemplo, suponha que se queira testar se a solução = e 2 = é ótima. Assim, eaminando se a solução representa um ótimo local, no sentido que a função-obetivo não melhora em qualquer ponto inteiro vizinho viável = +a e 2 = +b, onde a,b = -,0,. Os pontos vizinhos neste caso são: (, 2 ) = (0,0), (0,), (0,2), (,0). A solução (,) é a melhor entre todas de sua vizinhança, porém não é a ótima. Com isso, um ponto pode ser ótimo localmente entre pontos vizinhos e ainda não ser ótimo global, apesar do modelo ser linear. Fernando Nogueira Programação Inteira 5

6 Algoritmo Branch-Bound (Ramifica-e-Limita) A abordagem mais amplamente adotada para resolver problemas de Programação Inteira utiliza um método de busca em árvore, também referido como um Algoritmo de Retrocesso (Backtracking). O método pode ser aplicado em Problemas de Programação Inteira Pura ou Mista. Admitindo que o problema de Programação Inteira sea modelo por: () sueito ( 2) Ma a n c a b para i =,2,...,m = i n = i () 3 Ι para =,2,...,p ( n) ( 4) 0 para = p +,..., n Supondo que para cada variável inteira sea possível fornecer limites inferiores L e superiores U que seguramente incluam os valores ótimos. () L U para =,2,..., p ( n) 5 A idéia principal do algoritmo Branch-Bound é oriunda de que um valor inteiro T qualquer contido no intervalo L e uma solução T U ótima também satisfará: ( 6) T + ( 7) T Fernando Nogueira Programação Inteira 6 ou

7 Como eemplo desta dicotomia, suponha que a restrição de inteiros (3) sea retirada e que uma solução ótima de Programação Linear para (), (2), (4) e (5) indique que =.67. Então formule e resolva mais 2 programas lineares com (), (2) e (4), porém com (5), para = modificado em um problema para: floor ( ) + U 2 U e o outro para: ( ) L L floor onde floor(.) é uma função que arredonda para baio. Suponha, além disto, que cada um destes 2 problemas tenha uma solução ótima que satisfaça às restrições de inteiros (3). Então, a solução que tenha o maior valor para a função-obetivo é de fato ótima para o problema original de Programação Inteira. Comumente, um destes problemas (ou ambos) não tem solução ótima que satisfaça (3) e, portanto, cálculos adicionais são necessários. O algoritmo abaio especifica uma maneira sistemática para obter uma solução ótima. Fernando Nogueira Programação Inteira 7

8 O Método Em qualquer iteração t, eiste um limite inferior Z t para o valor da função-obetivo. Além disto, eiste também um Lista-Mestra de problemas de Programação Linear a serem resolvidos com diferença entre eles apenas nos limites para as variáveis (5). Na iteração, eiste um único problema consistindo em (), (2), (4) e (5). O procedimento na iteração t é: Passo. Termine as computações se a Lista-Mestra estiver vazia, senão tire um problema de P.L. da Lista-Mestra. Passo 2. Resolva o problema escolhido. Se este não tiver nenhuma solução viável ou se o valor ótimo Z for menor ou igual a Z t, então faça Z t+ = Z t e retorne ao passo. Passo 3. Se a solução ótima obtida para o problema de P.L. satisfizer às restrições de inteiros, então registre-a, faça Z t+ ser o valor ótimo correspondente da funçãoobetivo Z e retorne ao Passo, senão, prossiga ao Passo 4. Passo 4. Escolha qualquer variável, com =, 2,...,p que não tenha um valor inteiro na solução ótima obtida para o problema escolhido de P.L. Faça b denotar este valor e [b ] significar o maior inteiro menor ou igual a b (arredondar para baio). Acrescente 2 problemas de P.L. à Lista-Mestra idênticos ao problema escolhido no Passo, eceto que em um o limite inferior L para é[b ] + e no outro o limite superior U para é[b ]. Faça Z t+ = Z t e retorne ao Passo. Fernando Nogueira Programação Inteira 8

9 No fim do algoritmo, se houver registrado uma solução viável com Z t, esta é ótima, caso contrário não eiste nenhuma solução viável. É bastante comum encontrar uma solução com valores inteiros antes da última iteração, porém só é possível afirmar que esta é ótima após a iteração final. O processo no Passo é chamado de ramificação porque ele envolve a seleção de um problema de P.L. para consideração posterior. O processo no Passo 2 é conhecido como afrouamento porque o problema de Programação Inteira é resolvido como um problema de P.L. ordinário (ignorando a restrição de inteiros). O processo no Passo 4 é conhecido como separação, onde um problema genitor de P.L. com Z maior que Z t dá origem a 2 descendentes. Eemplo(8) Ma sueito a (9) , 2, 3 0e Ι Admitindo limites para cada variável como ( 0) 0 5, =,2,3. Fernando Nogueira Programação Inteira 9

10 Uma vez que todo = 0 é uma solução viável para este problema, pode-se adotar o limite inferior Z = 0 para a iteração. A Lista-Mestra contém somente o problema de P.L. (8), (9) e (0), que é designado problema. Retire-o no Passo e no Passo 2 ache a solução ótima. () Z = 6 = 2 = = 0 (Problema ) Uma vez que a solução não apresenta valor inteiro, prossiga do Passo 3 ao Passo 4 e escolha. Então [b ] = floor(2.67) = 2, coloque na Lista-Mestra: (2) Problema 2: restrições (9) e Problema 3: restrições (9) e Retornando ao Passo com Z 2 = Z = 0, remova o problema 2. O Passo 2 estabelece que o problema 2 não tem solução viável. Então faça Z 3 = Z 2 = 0 e retorne ao Passo. Retire o problema 3 e obtenha, no Passo 2, a solução ótima: (3) Z = 5.7 = 2 = 2 3 = 0.28 (Problema 3), o qual por sua vez, também não tem valor inteiro. Portanto, vá do Passo 3 ao Passo 4, onde é escolhido 3. Uma vez que [b 3 ] = floor(0.28) = 0, coloque na Lista-Mestra: Fernando Nogueira Programação Inteira 0 5 5

11 Uma vez que a solução não apresenta valor inteiro, prossiga do Passo 3 ao Passo 4 e escolha. Então [b ] = floor(2.67) = 2, coloque na Lista-Mestra: (2) Problema 2: restrições (9) e Problema 3: restrições (9) e Retornando ao Passo com Z 2 = Z = 0, remova o problema 2. O Passo 2 estabelece que o problema 2 não tem solução viável. Então faça Z 3 = Z 2 = 0 e retorne ao Passo. Retire o problema 3 e obtenha, no Passo 2, a solução ótima: (3) Z = 5.7 = 2 = 2 3 = 0.28 (Problema 3), o qual por sua vez, também não tem valor inteiro. Portanto, vá do Passo 3 ao Passo 4, onde é escolhido 3. Uma vez que [b 3 ] = floor(0.28) = 0, coloque na Lista-Mestra: (4) Problema 4: restrições (9) e Problema 5: restrições (9) e Fernando Nogueira Programação Inteira

12 Observe que os problemas 4 e 5 diferem do problema 3 somente nos limites para 3. Retornando ao Passo com Z 4 = 0, remova o problema 4. A solução ótima é: (5) Z = 5 = 2 = = (Problema 4), o qual por sua vez, também não tem valor inteiro. Portanto, vá do Passo 3 ao Passo 4. Suponha que você escolha 2 (poderia ter escolhido também). Uma vez que [b 2 ] = floor(0.33) = 0, coloque na Lista-Mestra: (6) Problema 6: restrições (9) e Problema 7: restrições (9) e Observe que os problemas 6 e 7 diferem do problema 4 somente nos limites para 2. Retornando ao Passo com Z 5 = 0, remova o problema 6 de modo que os problemas 5 e 7 permaneçam na Lista-Mestra. O Passo 2 indicou que o problema 6 não tem solução viável. Então retorne ao Passo com Z 6 = 0. Remova então o problema 7, cua solução ótima é: (7) Z = 4.86 = 2 = 0 3 =.4 (Problema 7). Como 3 não é inteiro, então [b 3 ] = floor(.4) =, coloque na Lista-Mestra: 5 5 Fernando Nogueira Programação Inteira 2

13 Observe que os problemas 6 e 7 diferem do problema 4 somente nos limites para 2. Retornando ao Passo com Z 5 = 0, remova o problema 6 de modo que os problemas 5 e 7 permaneçam na Lista-Mestra. O Passo 2 indicou que o problema 6 não tem solução viável. Então retorne ao Passo com Z 6 = 0. Remova então o problema 7, cua solução ótima é: (7) Z = 4.86 = 2 = 0 3 =.4 (Problema 7). Como 3 não é inteiro, então [b 3 ] = floor(.4) =, coloque na Lista-Mestra: (8) Problema 8: restrições (9) e Problema 9: restrições (9) e Observe que os problemas 8 e 9 diferem do problema 7 somente nos limites para 3. Retornando ao Passo com Z 7 = 0, remova o problema 8. O Passo 2 indicou que o problema 8 não tem solução viável. Então retorne ao Passo com Z 8 = 0. Remova então o problema 9, cua solução ótima é: (9) Z = 3.5 = = 0 3 = (Problema 9). Como não é inteiro, então [b ] = floor(0.6) = 0, coloque na Lista-Mestra: Fernando Nogueira Programação Inteira 3 5

14 (20) Problema 0: restrições (9) e Problema : restrições (9) e Observe que os problemas 0 e diferem do problema 9 somente nos limites para. Retornando ao Passo com Z 9 = 0, remova o problema 0. O Passo 2 indicou que o problema 0 não tem solução viável. Então retorne ao Passo com Z 0 = 0. Remova então o problema, cua solução ótima é (repare que os valores de não podem mais variar): (2) Z = 3 = 0 2 = 0 3 = (Problema ). Portanto, no Passo 3 registra-se (2), uma vez que a solução acima é viável e inteira e Z = 3. Retornando ao Passo, observa-se que somente o problema 5 permanece na Lista- Mestra, portanto, ainda não é possível afirma que (2) é a solução ótima. Fernando Nogueira Programação Inteira 4

15 A solução ótima do problema 5 é: (22) Z = 3 = 2 2 = = 0 (Problema 5). Uma vez que Z = Z, retorna-se ao Passo e termina-se os cálculos, pois a Lista- Mestra está vazia. A solução ótima então é (2). O histórico das iterações pode ser eposto por meio de um diagrama em árvore. Cada nó na árvore representa um problema na Lista-Mestra. Note que, para o problema 5, o ramo está terminado, embora a solução ótima não tenha valor inteiro. A razão é que, quando atinge-se o problema 5 em t = e Z = 3, á eiste uma solução inteira com Z = 3 obtida no problema. Portanto, ramificar o problema 5 irá impor restrições mais fortes, ocasionando então valores menores de Z para os problemas descendentes do problema 5, o que ustifica então, o fim da busca na árvore. Fernando Nogueira Programação Inteira 5

16 Fernando Nogueira Programação Inteira 6

17 A tabela abaio, resume as operações de busca na árvore. Fernando Nogueira Programação Inteira 7

18 Problema do Caieiro Viaante - The Traveling Salesperson Problem O problema do Caieiro Viaante consiste em encontrar o caminho mais curto no qual ele visite cada cidade apenas uma vez e retorne a sua cidade de origem. Em termos técnicos, as cidades são os nós de uma rede e as estradas que ligam as cidades são os arcos da rede. Este problema pode ser resolvido como um problema de Programação Linear Inteira. Nesta metodologia o número de restrições é n 2 -n+2. Fernando Nogueira Programação Inteira 8

19 min Z = sueito a u n = n i= i i i i u = = n é o número de cidades. = =,2,..., n + n n i= = i n c i i é o fluo entre os nós i e ; i =,2,..., n Z é a distância (custo) total; e n, { 0,} ( i =,..., n; =,..., n) i c i = para i = c i é a distância (custo) entre os nós i e ; i = 2,3,..., n; = 2,3,..., n; i Fernando Nogueira Programação Inteira 9

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