Introdução à Matemática Financeira Intervalar: Análise Intervalar de Investimentos

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1 Introdução à Matemática Financeira Intervaar: náise Intervaar de Investimentos Gabriea do Carmo Pantoa Duarte Depto de Informática e Matemática picada, CCET, UFRN , Nata, RN E-mai: Benamin René Caeas Bedrega Depto de Informática e Matemática picada, CCET, UFRN , Nata, RN E-mai: Resumo: o seguinte trabaho apresenta um estudo de como apicar os conceitos da matemática intervaar, uma teoria cuo foco é o tratamento de imprecisões, a aguns conceitos de anáise de investimento da matemática financeira tradiciona. borda as razões peas quais a matemática intervaar é considerada tão importante, bem como suas características e definições, aém de mostrar como sua aderência aos conceitos financeiros pode servir para o aprimoramento de resutados empresariais. bstract: this paper presents a study of how to appy the concepts of interva mathematics, a theory whose focus is the treatment of inaccuracies, to some concepts of investment anaysis of traditiona financia mathematics. It shows the reasons why the interva mathematics is considered so important, as we as its characteristics and definitions. so, shows how it can serve for the improvement of business resuts. Introdução O sucesso de um processo de tomada de decisão consiste na capacidade de antecipar os acontecimentos futuros. Ta processo refete a essência da dinâmica empresaria, na qua o êxito de quaquer negócio depende da quaidade das decisões tomadas por seus administradores. Contudo, esse processo decisório assume certas compexidades e riscos, visto que vigora em um ambiente de incertezas. Desequiíbrios nas taxas de uros, competitividade acirrada, desaustes de mercado, dentre outros fatores exigem uma maior capacidade anaítica das unidades decisórias com reação aos riscos que corre uma empresa. Tem-se a matemática financeira como um forte auxíio na maximização e quaificação de resutados empresariais. No entanto, apurar de modo exato e, conseqüentemente, seguro os custos de uma empresa torna-se uma tarefa difíci, devido à imprecisão e variabiidade dos fatores necessários para ta. Tradicionamente, a incerteza na economia e nas finanças é descrita por modeos estatísticos. Todavia, em muitos casos seria mais viáve obter uma soução contida em um intervao, uma vez que nem sempre é possíve se ter conhecimento do vaor exato com o qua se deve trabahar. ssim, uma soução seria apicar os conceitos da matemática intervaar, uma teoria cuo foco é o tratamento de imprecisões, aos conceitos da matemática financeira, ferramenta imprescindíve na anáise de gestão empresaria. Matemática Intervaar matemática intervaar surgiu no fina da década de 50 com Ramon E. Moore [5] visando dar suporte a probemas que idam com a incerteza. Os números representados como intervaos servem como controadores da propagação do erro, á que garantem que a resposta correta de determinado probema pertença ao intervao obtido como soução. O sistema de ponto futuante dos computadores atuais não é capaz de representar exatamente os números reais, tampouco os resutados de operações com tais números. Esse 84

2 tipo de representação apresenta diversas desvantagens, dentre eas [4]: a. usência de controe de erros nas computações numéricas. Isto é, o procedimento é reaizado corretamente, porém o resutado perde o significado em virtude da inexatidão da representação numérica e de arredondamentos e/ou truncamentos apicados nas operações; b. usência de métodos responsáveis por ugar a quaidade dos resutados gerados; c. variedade de sistemas existentes em ponto futuante disponíve no mercado, o que acarreta o fato de que cácuos efetuados em máquinas distintas proporcionam resutados distintos. O Míssi Patriot em 99 e a exposão do foguete riane5 em 996 são exempos de probemas de representação. Tais catástrofes são resutados da imitação da máquina em não conseguir tratar os números em toda sua extensão. Com isso, o uso da matemática intervaar torna-se uma forte aternativa na resoução de probemas caracterizados pea fata de exatidão.. Definições Básicas da Matemática Intervaar.. Intervao de Números Reais Um intervao de reais é uma representação da forma [a; b], em que a e b R, e ta que a b. Logo, o conunto {x R / a x b} é um intervao de números reais. [a; b] {x R / a x b} Sabendo-se que um intervao é representado por um par de eementos em que o primeiro eemento do par representa o imite inferior e o segundo o imite superior, quando esses dois extremos são iguais, o intervao é dito degenerado. Dessa forma, o intervao [; ] apenas representa o número rea, á que o único eemento desse intervao é o próprio número... Conunto IR Define-se o conunto IR como sendo o conunto de todos os intervaos reais, ou sea:. Operações ritméticas em IR Seam [a ; a ] e B [b ; b ] IR, as operações aritméticas com intervaos são executadas sobre os extremos de seus intervaos. ssim, as operações de soma, subtração, mutipicação e divisão em IR são definidas por: B {a b/ a b B}, em que {, -, /, *}. No caso da divisão, assume-se que 0 B para que a operação sea bem definida. ssim, as operações entre os intervaos e B são dadas a seguir: B [(a b ); (a b )] B [(a b ); (a b )] * B [min(a *b, a *b, a *b, a *b ); max(a *b, a *b, a *b,, a *b )] a min B b com 0 [b ; b ]. a a a,,, b b b.3 Função Intervaar Sea f: X Y uma função. X F(X) a a a a ; max,,,, b b b b Se X Dom(f) IR e Y CD(f) IR, então diz-se que f é uma função intervaar de uma variáve intervaar..3. Função Potência Intervaar Sea um intervao de números reais IR, em que [a; b], define-se a função potência intervaar de como sendo: n { x n / x }.E é dada por [6]: F: IR IR F(), em que: n [0; max ( a, b ) ], se n é par e 0 F() n n n [ b ; a ], se n é par e b < 0 n n [ a ; b ], senão. IR {[a; b] / a, b R, a b} 85

3 .3. Incusão Monotônica incusão monotônica é definida do seguinte modo [7]: seam e B dois intervaos de números reais IR, se B, então F() F(B). Ta propriedade admite que quanto menor for o erro nos dados de entrada, menor será o erro do intervao resutante..3.3 Representação Intervaar representação intervaar (ou corretude) é definida da seguinte maneira [7]: uma função intervaar F é correta com respeito a uma função rea f se satisfaz a seguinte propriedade: x [a; b] f(x) F([a; b]) Representação Canônica Intervaar Enquanto que a representação intervaar diz respeito à corretude, a representação canônica intervaar (CIR), aém da corretude, diz respeito à otimaidade, visto que sempre retorna o mehor intervao contendo a imagem de f. Teorema [7]: Sea f: R R uma função rea. Se f é uma função rea nãoassintótica, então a função intervaar: CIR(f)([a; b]) [min f([a; b]); max f([a; b])] é bem definida e é chamada representação canônica intervaar para f. obs.: Uma função é dita assintótica se para quaquer intervao [a; b], o conunto {f(x) / a x b} ou não tem supremum ou não tem infimum. 3 Matemática Financeira: náise de Investimentos Diariamente, diretores, gestores e controadores têm a tarefa de tomar decisões a respeito de aspectos reacionados à empresa que dirigem. É imprescindíve que uma tomada de decisão empresaria passe previamente por uma anáise econômica, a qua deve ser idônea de definir, entre vários proetos, o mais rentáve. ssim, a anáise de investimentos visa permitir que o administrador financeiro tome a decisão que maximize a riqueza do investidor, considerando a vida úti do proeto envovido. guns métodos são utiizados para que sea feita essa anáise de investimentos, sendo os mais utiizados o Vaor Presente Líquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (TIR). 3. Vaor Presente Líquido O método do Vaor Presente Líquido (VPL) é obtido através da diferença entre o vaor presente dos benefícios (ou pagamentos) previstos de caixa e o vaor presente do fuxo de caixa inicia (investimento). O cácuo do VPL é expresso da seguinte forma []: VPL FC n ( i) FC em que FC representa o vaor de entrada de caixa previsto para cada intervao de tempo e FC 0 é o investimento inicia do proeto. Quando o vaor do VPL for positivo, significa que o investimento é viáve, ao contrário do que ocorre quando ee for negativo. Caso o vaor do VPL sea nuo, o investimento é considerado indiferente. Exempo: Uma empresa está avaiando um investimento no vaor de R$ ,00 do qua se esperam benefícios anuais de caixa de R$50.000,00 no primeiro ano, R$30.000,00 no segundo ano e R$ ,00 no terceiro ano. empresa definiu que a taxa de desconto a ser apicada aos fuxos de caixa do investimento é de 0%. ssim, i 0, e FC 0 R$ ,00. VPL (,) (,) (,) VPL ,05 Como o vaor do VPL é negativo, o investimento é considerado inviáve. 3. Taxa Interna de Retorno Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de uros que iguaa, em determinado momento do tempo, o vaor presente das entradas com o das saídas previstas de caixa []. TIR pode ser cacuada através da seguinte expressão []: 0 86

4 FC 0 n ( i) FC em que FC 0 é o vaor do investimento inicia, FC são fuxos previstos de entradas de caixa em cada período de tempo e i representa a TIR. Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser comparada com a Taxa Mínima de tratividade (TM). ssim, quando o vaor da TIR for superior ao da TM, o investimento é viáve, ao contrário do que ocorre se a TM for superior. Caso o vaor da TIR sea igua ao da TM, o investimento é indiferente. Exempo: Uma empresa está avaiando um investimento de R$70.000,00 com expectativa de benefícios de caixa de R$0.000,00 no primeiro ano, R$40.000,00 no segundo ano, R$45.000,00 no terceiro ano e R$30.000,00 no quarto ano. Para apurar a Taxa Interna de Retorno: FC 0 R$70.000, ( i ) ( i) 3 ( i) 4 ( i) Efetuando esse cácuo, apura-se uma TIR de 30% ao ano. Logo, ao se descontarem os fuxos previstos de caixa pea TIR cacuada, o vaor atuaizado será exatamente igua ao montante do investimento de R$70.000, Dificudades na náise de Investimentos principa dificudade na anáise de investimentos é a obtenção de dados confiáveis, principamente as proeções de fuxo de caixa. Estas se originam, basicamente, de estimativas. Logo, a precisão nunca chega a ser máxima e uma anáise, para ser eficaz, deve estar fundamentada em proeções corretas. Como essas decisões estão fundamentamente votadas para o futuro, a incerteza torna-se um dos mais significativos aspectos do estudo das operações do mercado financeiro e das finanças corporativas. Os métodos de anáise de investimentos vistos anteriormente são comumente enriquecidos com agumas técnicas mais sofisticadas, como árvores de decisão [], anáise de Monte Caro [], anáise de sensibiidade [], método de Hertz [3], método de Hiier [3], regra de Hurwicz [], dentre outras. No presente trabaho, no entanto, serão utiizados os conceitos intervaares para idar com o risco e a incerteza reacionados com os dados de proetos empresariais. principa vantagem de se utiizar este método em reação aos demais é que o resutado obtido na forma de um intervao conterá, seguramente, a soução rea. Destarte, a tomada de decisão pode ocorrer de forma mais segura, visto que o risco é conhecido quando se tem a ciência do mehor e do pior caso. 4 náise Intervaar de Investimentos 4. Metodoogia Utiizando-se a matemática intervaar a fim de se maximizar a quaidade dos resutados empresariais, tem-se que uma variáve cua determinação não possa ser feita de modo preciso irá ser representada por um intervao, no qua ea ocorra com determinada margem de segurança. Por sua vez, variáveis portadoras de vaores pontuais terão seus vaores transformados em intervaos degenerados. Outra observação é que para os intervaos obtidos será considerada uma precisão de duas casas decimais, uma vez que se está idando com vaores monetários. Para isso, será usado arredondamento direcionado a fim de que se garanta a corretude do intervao, ou sea, a obtenção do mehor intervao possíve em termos de extensão, o qua, seguramente, contenha a soução rea. Nesse tipo de arredondamento, dado um intervao [a; b], o imite inferior do intervao é arredondado para o maior número representáve menor do que a. Em contraste, o imite superior é arredondado para o maior número representáve maior do que b. É, também, imprescindíve mencionar que as fórmuas do VPL e TIR intervaares sempre emitirão o mehor intervao possíve, em termos de corretude e otimaidade, visto que retornarão a representação canônica intervaar (CIR) da função. ssim, será obtido como resutado um intervao com a menor extensão 87

5 possíve, o qua contém, seguramente, o vaor rea do VPL ou da TIR, dependendo do caso. 4. Métodos de náise Intervaar de Investimentos 4.. Vaor Presente Líquido Intervaar No VPL, a determinação de fuxos de caixa futuros compreende uma das grandes dificudades na anáise de investimentos, visto que são embasados em estimativas e especuações. Dessa forma, fuxos de caixa futuros serão tratados como intervaos. s demais variáveis que constituem o cácuo do VPL: taxa de retorno, investimento inicia e períodos, serão tidas, no exempo, como pontuais. fórmua do VPL Intervaar é dada a seguir: n EC k SC n 0 ; EC k SC I 0 ( ) ( ) ( ) I ( ) I I I I em que EC e EC representam, respectivamente, o imite inferior e o imite superior do intervao correspondente às entradas de caixa no período ; SC e SC representam, respectivamente, o imite inferior e o imite superior do intervao correspondente às saídas de caixa no período ; I e I representam, respectivamente, o imite inferior e o imite superior do intervao correspondente à taxa de retorno e I 0 e I 0 representam os extremos do intervao equivaente ao investimento inicia. fórmua do VPL Intervaar foi obtida a partir da apicação dos conceitos intervaares à fórmua do VPL Tradiciona, de modo que o cácuo do intervao foi organizado para que os imites inferior e superior seam o menor e o maior possíve, respectivamente. Por exempo, no cácuo do primeiro somatório do imite inferior, utiiza-se o menor vaor de entrada de caixa e o maior vaor da taxa de retorno, visto que o resutado da divisão deve ser o menor possíve. Todavia, isso só ocorre se ambos, divisor e dividendo, forem positivos. No segundo somatório, como a saída de caixa constitui um número negativo, deve-se obter o menor vaor de taxa de retorno para que se chegue ao menor resutado possíve, o qua será negativo. Exempo: Uma empresa está avaiando uma proposta de proeto, cuas informações estão descritas a seguir: Proeto I 0 (R$) ,00 nos Fuxos Esperados de Caixa () em R$ [75.000,00; 8.00,00] [67.000,00; 7.000,00] 3 [-6.000,00; ,00] Tabea : exempo VPL Intervaar taxa de desconto mínima aceitáve é de 0%, representada peo intervao degenerado [0,; 0,]. Dessa forma, o cácuo do VPL Intervaar do proeto é dado da seguinte maneira: EC EC SC [75.000; 8.00 ] [67.000; ] [ ; ] 3 ([;] [0,;0,]) ([;] [0,;0,]) ([;] [0,;0,]) Invest. Inicia [50.000;50.000] Dessa fórmua, obtém-se: [75.000; 8.00] [67.000; 7.000] [-6.000; ] [,;,] [,44;,44] [,78;,78] [50.000; ] º) Limite inferior do intervao ( ): n EC k SC ( ) I ( I ) (-6.000), ,45,44,78 I º) Limite superior do intervao ( ): n EC k SC ( ) I ( I ) I 0 88

6 (-5.500) ,0,44, ,99 ssim, o VPL Intervaar do proeto é dado peo intervao [ ,45; ,99]. Como no intervao obtido os dois extremos são menores que zero, tem-se que o investimento não é economicamente atrativo. De outra forma, quando se obtém um intervao cuos imites inferior e superior estão acima de zero, o investimento é considerado viáve. Nesses dois casos, não se sabe com exatidão quanto é o vaor do VPL, mas sim um intervao no qua ee seguramente se encontra. ém dos dois casos descritos, há a situação em que o intervao pode apresentar imite inferior negativo e imite superior positivo. Como, por exempo, em [-.000,00; 5.000,00]. Nesse caso, aém de não se ter certeza do vaor rea do VPL, mas apenas um intervao em que este se encontra, também não haverá certeza se o investimento será viáve ou não. Logo, cabe ao investidor anaisar as conseqüências do resutado de acordo com a sua situação. Por exempo, se o investimento aparentar ser promissor e a perda de R$.000,00 não impicar forte preuízo, o investidor pode optar por correr o risco ou, caso contrário, decidir não investir. Todavia, é importante mencionar que no caso descrito o método não garantirá nem sucesso, nem insucesso. Essa tavez sea a principa desvantagem da apicação da matemática intervaar na anáise de investimentos. Uma soução seria, portanto, a apicação de outro método capaz de apresentar um resutado menos vago. 4.. Taxa Interna de Retorno Intervaar ssim como ocorre no VPL, os fuxos de caixa futuros são obtidos através de estimativas, não podendo ser afirmados com tota precisão. Dessa forma, estes serão tratados como intervaos, ao passo que as demais variáveis do cácuo da TIR: investimento inicia e períodos de tempo, serão tidas, no exempo, como vaores pontuais. fórmua da TIR Intervaar foi obtida apicando-se os conceitos intervaares à fórmua da TIR Tradiciona: [ I ; I ] 0 0 ; n EC k SC n EC k SC ( i i ( i ) ) ( ) ( i ) em que I e I representam os extremos do 0 0 intervao equivaente ao investimento inicia, EC e EC representam os extremos do intervao correspondente às entradas de caixa no período ; SC e SC representam os extremos do intervao correspondente às saídas de caixa no período ; i e i representam os extremos do intervao correspondente à Taxa Interna de Retorno. Exempo: Uma empresa está avaiando uma proposta de proeto, cuas informações estão descritas a seguir: Proeto I 0 (R$) 5.400,00 nos Entradas Esperadas de Caixa () em R$ [0.050,00; 0.700,00] [-4.000,00; ,00] Tabea : exempo TIR Intervaar Dessa forma, o cácuo da TIR Intervaar do proeto é dado da seguinte maneira: [5.400;5.400] 443 Invest. Inicia EC SC [0.050; 0.700] [ ; ] ([;] [ i ; i ]) ([;] [ i ; i ]) º) Cácuo do imite inferior i : n EC k SC I 0 ( ) i ( i ) (-4.000) ( i ) ( i ) 7,5 ± (7,5) 4 * 54 * ( 6,5) i 0,84386 * 54 º) Cácuo do imite superior i : 89

7 n EC k SC I 0 ( i ) ( i ) (-3.600) ( i ) ( i ) ± 4 * 54 * ( 7) i 0, * 54 Desse modo, a TIR Intervaar do proeto é o intervao [0,84386; 0,559007]. Utiizando arredondamento direcionado com precisão de duas casas decimais, tem-se o novo intervao [0,8; 0,56]. Isso significa dizer que o vaor rea da TIR estará, provavemente, de acordo com as estimativas reaizadas, dentro do intervao obtido como soução. 5 Concusão Na matemática financeira atua são usadas técnicas de estatística para que sea minimizada a incerteza de dados empresariais. Entretanto, apesar de existir ta subsídio, decisões errôneas ainda são tomadas constantemente. quaidade das informações é a diretriz para a quaidade da decisão. Dados errados, desatuaizados ou ma interpretados acarretam escohas equivocadas. ém disso, nem sempre é possíve saber o vaor exato com o qua se deva trabahar. Nesse caso, aproximações podem evar a resutados desastrosos e impicar uma decisão errônea. ssim, em muitos casos é mais viáve obter uma soução contida em um intervao, como foi visto no caso do VPL Intervaar e da TIR Intervaar. De acordo com [8], tratar custos imprecisos através de intervaos não torna o resutado fina do custo mais exato, mas permite conhecer o tamanho da incerteza. Essa informação certamente será úti para que o gestor da empresa tome suas decisões com um maior embasamento, o que se poderá traduzir em mehores decisões para a empresa. o utiizar os custos como intervaos, após serem feitas as operações tem-se a garantia de que o vaor rea estará dentro do intervao dado como soução. Dessa forma, a tomada de decisão pode ser considerada mais segura, pois o risco que se está correndo é conhecido, uma vez que se têm o mehor e o pior caso. inda, a fim de se dar um maior aprimoramento aos resutados empresariais intervaares, outros métodos, como os citados na seção 3.3, podem ser utiizados como auxíio para indicar se a soução tem maior tendência para o imite inferior ou para o superior, aperfeiçoando, pois, o processo de tomada de decisão. Referências [] SSF, exandre. Matemática Financeira e Suas picações. 9 ed. São Pauo: tas, 006. [] BRUNI, driano Lea; FONSEC, Yonara Datro da. Técnicas de vaiação de Investimentos: uma Breve Revisão da Literatura. Cadernos de náise Regiona: São Pauo, 003, v., p [3] GLESNE, ain; FENSTERSEIFER, Jaime; LMB, Roberto. Decisões de Investimentos da Empresa. São Pauo: tas, 999. [4] HOLBIG, Caros mara; DIVERIO, Tiarau. Sistema de Ponto Futuante e o Padrão IEEE (Reatório de Pesquisa) - Porto egre: Instituto de Informática - UFRGS, 994. [5] MOORE, Ramon Edgar. Interva naysis. New Jersey: Prentice Ha, 966. [6] MORES, DLCIDIO et a. Introdução a Teoria dos Intervaos. In: ROQUE, Wadir L. (Org.). EIMC'96 - Escoa de Inverno de Matemática picada e Computaciona. Porto egre: UFRGS, 996, v., p [7] SNTIGO, Regivan Hugo; BEDREGL, Benamin R. Caeas; CIÓLY, Benedito Meo. Forma spects of Correctness and Optimaity of Interva Computations. Journa Forma spects of Computing. New York: Berin-Heideberg, 006, v. 8, p [8] SILV, Ivanosca ndrade da et a. n Interva pproach for Imprecise Cost. rtigo submetido ao Esevier Science, março de

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