REPRESENTAÇÃO DE CÉLULAS VEGETAIS EM DUAS DIMENSÕES

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1 ISSN Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária Centro Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento de Instrumentação Agropecuária Ministério da Agricultura e do Aastecimento Rua XV de Novemro, Caixa Postal CEP São Carlos - SP Teleone: (16) Fax: (16) postmaster@cnpdia.emrapa.r COMUNICADO TÉCNICO Nº 1, set/97, p.1-6 REPRESENTAÇÃO DE CÉLULAS VEGETAIS EM DUAS DIMENSÕES José Dalton Cruz Pessoa1 Ricardo Osiro Este traalho apresenta um método de discretização de células vegetais em duas dimensões para simulação de prolemas com ronteira móvel, onde são descritos os algoritmos de reconstrução da orda, cálculo do perímetro e da área, e são mostrados alguns exemplos com células do ulo de ceola ( Alium cepa) e do pecíolo de aipo ( Apium graveolens). Não sendo uma comunicação exaustiva algumas passagens matemáticas oram suprimidas, as quais são descritas no relatório técnico (Osiro, 1997). A implementação dos algoritmos pretende compor uma ilioteca em C++ para auxiliar a simulação numérica de variáveis ísico-químicas, ormando um conjunto de erramentas que permitam a utilização de descritores de orma que ampliem os recursos para validação de teorias e modelos. A representação proposta consiste em reescrever a projeção planar da célula na orma matricial, cujos elementos são os Fatores de Preenchimento (Fp), deinidos como a ração de área ocupada pela projeção do ojeto em cada retículo de uma malha quadrada. A igura 1 mostra parte de uma representação idimensional discretizada em uma malha 5x5 onde Fp assume os valores: Fp=0 ora da projeção; 0<Fp<1 na orda; e Fp=1 no interior. Vários tipos de corpos como sementes, células e corpos luidos cuja orda é descrita por uma curva suave e contínua podem ser representados por uma matriz de atores de preenchimento, cujo principal mérito é sua adequação a métodos numéricos de resolução de equações dierenciais que descrevem a evolução temporal de diversos enômenos. Sugere-se que a reconstrução da orda da projeção planar de uma célula a partir da matriz de atores de preenchimento seja eita pelo algoritmo Flair (Flux Line-segment Model or Advection and Interace Reconstruction), idelalizado por Ashgriz e Poo (1991) para simulação de corpos luidos. O Flair reconstrói a orda de uma projeção planar a partir da matriz de Fp aproximando-a por segmentos de reta (igura ), determinadas através da análise das rações de área de dois retículos vizinhos. 1 MSc. Físico, Emrapa Instrumentação Agropecuária, C. P. 741, CEP , São Carlos - SP Graduando em Ciência da Computação /UFSCar, estagiário olsista da Emrapa Instrumentação Agropecuária

2 CT/1, CNPDIA, out/97, p. Figura 1: discretização em uma malha 5x5 de uma projeção idimensional, onde Fp=0 ora da projeção, 0<Fp<1 na orda e Fp=1 dentro. A representação proposta corresponde à matriz ormada pelos atores de preenchimento da malha. Figura : no algoritmo Flair a orda é reconstruída por semi-retas Para cada par de retículos da grade deine-se a, a ração de área do retículo à esquerda, e a ração de área do retículo a direita. Analisando as possíveis situações das rações de área de um par de retículos vizinhos pode-se identiicar os seguintes casos, mostrados na igura 3 e descritos na taela 1. Caso Retículo a Retículo 1 0<a<1 =0 a=0 0<<1 3 a=0 =0 4 a=1 =0 5 a=0 =1 6 a=0 =0 7 a=1 0<<1 8 0<a<1 =1 9 0<a<1 0<<1 Taela 1: um par de retículos vizinhos de uma grade quadrada apresenta uma destas nove conigurações

3 CT/1, CNPDIA, out/97, p.3 Figura 3: representação gráica das nove conigurações da taela 1, onde as semiretas correspondem às reconstruções do Flair A identiicação dos coeicientes das semi-retas que ormam a orda da imagem no par de retículos é eita pela análise do caso 9 da igura 3, para o qual os demais casos podem ser reduzidos. Analisando as ormas de como as retas poderão estar dispostas quanto à posição de início e im da reta, pode-se identiicar quatro possíveis disposições, que denominaremos de sucasos de 9, como mostra a igura 4. No sucaso a a reta inicia na lateral do retículo a e termina na lateral do retículo, no sucaso a reta inicia na lateral do retículo a e termina no lado inerior do retículo, no sucaso c a reta inicia no lado superior do retículo a e termina na lateral do retículo e no sucaso d a reta inicia no lado superior do retículo a e termina no lado inerior do retículo. Figura 4: o caso 9 da Figura 3 (0< a<1 e 0< <1) pode ser sudividido nos quatro casos acima Portanto, a reconstrução da orda de uma imagem a partir da matriz dos atores de preenchimento deve escolher um vizinho do elemento para o qual a semireta será calculada e determinar a qual su-caso (igura 4) este par pertence. A identiicação é eita oservando-se a posição do ponto ( a, ) no espaço a vs., de acordo com as regiões limitadas pelas curvas C, C, C e C : 1 3 4

4 CT/1, CNPDIA, out/97, p.4 Curva C1: Curva C: Curva C3: Curva C4: 3 a a a a a Figura 5: gráico das curvas C1, C, C3 e C4 que limitam as regiões do espaço a vs. para identiicação dos su-casos 9. O sucaso A corresponde à região entre as curvas OA, OB e BA, o sucaso B à região entre as curvas OB, OC e BC, o sucaso C à região entre as curvas OA, OD e DA e o sucaso D acima das curvas OD e OC. A área da imagem pode ser calculada de duas ormas distintas: 1- pela soma de todos os atores de preenchimento; - pela soma dos elementos com Fp=1 mais a área dos elementos de orda calculada a partir dos parâmetros das semi-retas. Para calcular a área através dos parâmetros de reta a e, é necessário identiicar as possíveis disposições das retas dentro do retículo (Figura 6). Nos casos 1,4, 6 e 8 a área (clara ou escura) corresponde à área de um triângulo e nos casos,3,5 e 7 a de um trapézio.

5 CT/1, CNPDIA, out/97, p.5 Figura 6: possíveis disposições da reta para o cálculo da área nos retículos onde 0<Fp<1 O perímetro pode ser calculado por meio dos parâmetros de reta. Para cada situação mostrada na igura 6, pode-se encontrar um triângulo, onde a hipotenusa corresponde ao comprimento do segmento de reta (segmento do perímetro). Assim, asta calcular todos os segmentos de reta e somá-las para oter o perímetro. Exemplo 1: Imagem de uma célula da epiderme de um ulo de ceola ( Alium cepa). Figura 7 a esquerda: célula original à direita: reconstrução para uma grade de 60x60 comprimento do retículo (h): 5pixel Area (pela soma dos atores): 151,05 h Area (pela reconstrução da orda): h Perimetro = 8,15 h

6 CT/1, CNPDIA, out/97, p.6 Exemplo : Imagem de uma célula do colênquima do pecíolo de aipo ( Apium graveolens). Figura 8. À à esquerda: célula original Á direita: reconstrução para grade 30x30 comprimento do retículo (h): 10 pixel Área (pela soma dos atores): 106,83 h Área (por reconstrução da orda): 106,8 h Perímetro: 36,18 h O método de representação proposto neste traalho não é capaz de registrar um número grande de inormações (como os protocolos gi e jpg) nem reconstruir a orda do ojeto com pereição, mas esta em adaptado aos procedimentos de resolução numérica como as dierenças initas e elementos initos. Além disto corresponde a um avanço em relação a métodos equivalentes, como o "Volume o Fluid" (Mashayek & Ashgriz, 1995) que limita a posição dos segmentos de reta a duas: horizontal e vertical. Reerências Biliográicas ASHGRIZ, N.; POO, J.Y. FLAIR: Flux line-segment model or advection and interace reconstruction. Journal o Computational Physics, v.93, p , MASHAYEK, F; ASHGRIZ, N. A hyrid inite-element-volume-o-luid method or limulating ree surace lows and interaces. International Journal o Numerical Methods in Fluids, v.0, p , OSIRO, R. Desenvolvimento do módulo de visualização de células e tecidos otidos por modelamento matemático. Relatório de estágio p. Reerências Adicionais ASAITHAMBI, N.S. Computation o ree-surace lows. Journal o Computational Physics, San Diego, v.73, p , HIRT, C.W.; NICHOLS, B.D. Volume o luid (VOF) method or the dynamics o ree oundaries. Journal o Computational Physics, San Diego, v.39, p.01-5, BRACKBILL, J.U.; KOTHE, D.B.; ZEMACH, C. A continuum method or modeling surace tension. Journal o Computational Physics, San Diego, v.100, p , 199.