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1 MQI 00 Estatística para Metrologia semestre LISTA DE EXERCÍCIOS # - GABARITO PROBLEMA Uma empresa de TV a cabo toma uma amostra de 000 clientes, com o objetivo de verificar a relação entre a renda familiar e o pacote escolhido. Atualmente a empresa possui pacotes de serviços: básico, completo, premium e super-premium. Pacote escolhido Básico Completo Premium Super Renda Familiar Premium até 0 S.M a 0 S.M a 0 S.M mais de 0 S.M Uma pessoa é escolhida ao acaso. Calcule as seguintes probabilidades: a) De que a pessoa tenha renda em cada uma das categorias. b) Qual a probabilidade de uma pessoa assinar o pacote básico? E o completo? E o premium? E o super-premium? c) Dado que a pessoa tem renda entre 0 e 0 S.M., qual a probabilidade de que ela assine o pacote premium? d) Dado que uma pessoa assina o pacote super-premium, qual a probabilidade da sua renda familiar estar acima de 0 S.M.? e) Eiste independência entre faia de renda e o tipo de pacote adquirido? Por que (eplique claramente ou dê um eemplo)? a) Sejam R {renda até 0 S.M}, R {renda entre 0 e 0 S.M}, R {renda entre 0 e 0 S.M} e R {renda acima de 0 S.M}. Pr(R ) (806000)/000 0/ Pr(R ) 0.0; Pr(R ) 0.; Pr(R ) 0. b) Sejam C {pacote básico}, C {pacote completo}, C {pacote premium}, C {pacote super premium}. Então: Pr(C ) 60/ , Pr(C ) 0.5, Pr(C ) 0.0 e Pr(C ) 0.. c) Agora vamos restringir a amostra apenas aos assinantes com renda entre 0 e 0 S.M, isto é, 00 assinantes. Pr(premium renda entre 0 e 0 S.M.) 0/ d) Agora só olhamos para os assinantes do pacote super premium.

2 Pr(renda acima de 0 S.M pacote super premium) 60/ e) Não eiste independência entre faia de renda e o tipo de pacote adquirido. Para comprovar isso, basta mostrar que Pr(R i C j ) Pr(R i ).Pr(C j ) para algum par i, j. Por eemplo, no caso i j : Pr(renda abaio de 0 S.M e pacote básico) 80/ Pr(renda abaio de 0 S.M).Pr(pacote básico) (0.)(0.6) 0.0 PROBLEMA A probabilidade de uma pessoa entrar numa loja e comprar um certo produto é uma variável aleatória contínua X com densidade f() k..(-), onde 0 < <. a) Encontre a constante k que faz desta epressão uma densidade. b) Calcule a função de distribuição de X. a ) 0 k. ( ) d k( ) d k k k 0 b) F( ) Pr ( X ) 0 se < 0 se > 0 ( u u ) du ( ) se 0 PROBLEMA Uma caia contém 6 bolas brancas e bolas azuis. Uma bola é selecionada aleatoriamente e então é jogada fora e substituída por uma bola da cor oposta. a) Qual a probabilidade de que a segunda bola selecionada seja branca? b) Qual a probabilidade de que a segunda bola selecionada seja azul? Uma bola é selecionada aleatoriamente e então é jogada fora e substituída por duas bolas da cor oposta. c) Qual a probabilidade de que a segunda bola selecionada seja branca? d) Qual a probabilidade de que a segunda bola selecionada seja azul? Sejam: A a. bola selecionada é azul A a. bola selecionada é azul B a. bola selecionada é branca (é o complemento de A ) B a. bola selecionada é branca (é o complemento de A ) a) Então Pr(A ) /8 e Pr(B ) 6/8

3 Se saiu uma bola branca na a. retirada, a caia ficou com 5 bolas brancas e azuis. Logo: Pr(B B ) 5/8 e Pr(A B ) - 5/8 /8 Se saiu uma bola azul na a. retirada, a caia ficou com 7 bolas brancas e azuis. Logo: Pr(B A ) 7/8 e Pr(A B ) /8 Pr(B ) Pr(B B ) Pr(B A ) Pr(B B ).Pr(B ) Pr(B A ).Pr(A ) (5/8)(6/8) (7/8)(/8) / 0.5 b) Pr(A ) - Pr(B ) c) Neste caso, Pr(A ) /8 e Pr(B ) 6/8 mas Se saiu uma bola branca na a. retirada, a caia ficou com 5 bolas brancas e azuis. Logo: Pr(B B ) 5/ e Pr(A B ) / Se saiu uma bola azul na a. retirada, a caia ficou com 8 bolas brancas e azuis. Logo: Pr(B A ) 8/ e Pr(A B ) / Pr(B ) Pr(B B ) Pr(B A ) Pr(B B ).Pr(B ) Pr(B A ).Pr(A ) (5/)(6/8) (8/)(/8) 6/ 0.68 d) Pr(A ) - Pr(B ) PROBLEMA Uma empresa de telefonia celular quer saber como funciona a relação entre o uso do telefone e a renda de seus clientes. Uma pesquisa anterior revelou que: 0 % dos clientes pertencem à classe A. 5% dos clientes pertencem à classe B. 5% dos clientes pertencem à classe C. 0% dos clientes pertencem à classe D. Dentre os clientes da classe A, 0% usam telefone pré-pago. Dentre os clientes da classe B, 0% usam telefone pré-pago. Dentre os clientes da classe C, 70% usam telefone pré-pago. Dentre os clientes da classe D, 5% usam telefone pré-pago. Um cliente é escolhido aleatoriamente e tem o serviço pré-pago. Qual a probabilidade dele pertencer a cada uma das classes? (ESCREVA CLARAMENTE OS EVENTOS DE INTERESSE NESTE PROBLEMA) Pr(A) 0.0, Pr(B) 0.5, Pr(C) 0.5, Pr(D) 0.0. Seja R o evento {utilizar serviço pré-pago}. Então: Pr(R A) 0.0, Pr(R B) 0.0, Pr(R C) 0.70, Pr(R D) 0.5

4 A probabilidade de um cliente qualquer utilizar roaming é: Pr( R) Pr( R A) Pr( A) Pr( R B) Pr( B) Pr( R C) Pr( C) Pr( R D) Pr( D) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Sabendo que um cliente utiliza roaming, a probabilidade dele pertencer a cada uma das classes de consumo é: Pr( R A) Pr( A) Pr ( A R) 0.7 Pr( R) 0.0 Pr( R B) Pr( B) Pr ( B R) 0. Pr( R) 0.0 Pr( R C) Pr( C) Pr ( C R) 0.8 Pr( R) 0.0 Pr( R D) Pr( D) Pr ( D R) 0.06 Pr( R) 0.0 PROBLEMA 5 O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória R com função de probabilidade dada a seguir: r -5 % 0 % 5 % 0 % 5 % Pr(R r) Considere agora a variável aleatória X, onde X 0 se houve retorno negativo ou zero, e X ("sucesso") se houve retorno positivo. Suponha que você aplica o seu dinheiro por meses consecutivos, e que as aplicações em meses subseqüentes são independentes e com a mesma probabilidade de "sucesso". Qual a probabilidade de obter retorno positivo em ou mais meses? a) O retorno médio mensal, em percentual, é: E(R) (-5)(0.5) 0(0.5) (5)(0.0) (0)(0.0) 5(0.0).75% b) X é uma variável Binomial com parâmetros n e p 0.50, pois a probabilidade de um retorno positivo num dado mês é 0.5 da tabela acima. Queremos encontrar Pr(X ) Pr(X )... Pr( X ).

5 5 Pr(X ) 5.7% 0.6% 0.% 0.0% soma 7.0% Logo, Pr(X ) 7.0%. PROBLEMA 6 A probabilidade de uma pessoa ser fumante na população é 8%. Você é fumante e quer acender seu cigarro mas perdeu seu isqueiro. Suponha que os eventos {ter isqueiro} e {ser fumante} são equivalentes. Você sai perguntando a cada pessoa numa enorme fila se elas têm isqueiro. a) Qual a probabilidade de precisar perguntar a pelo menos cinco pessoas antes de encontrar um fumante? Seja X o número de pessoas a quem você tem que perguntar até encontrar um fumante. Você que encontrar Pr(X 5). Mas, X é uma variável Geométrica com parâmetro p Então: Pr(X ) (0.) -.(0.08) para,,,... Pr(X 5) Pr( X ) Pr( X ) Pr( X ) Pr(X ) Pr(X ) 8.00% 7.6% 6.77% 6.% soma 8.6% Pr(X > 5) 7.6% PROBLEMA 7 Um terrorista quer envenenar as pessoas numa festa. Nela, são servidas 60 refeições individuais, das quais 6 estão envenenadas. Qual a probabilidade de, numa mesa de 8 convidados, pelo menos uma pessoa ser envenenada?

6 6 Seja X o número de pessoas envenenadas nesta mesa. Então: Pr ( X ) 60 8 Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos uma pessoa envenenada, isto é, Pr(X) Pr(X)... Pr(X8) Pr(X 0) Mas, Pr ( X 0) E a probabilidade desejada é: PROBLEMA 8 O salário (em milhares de reais) dos funcionários numa empresa pode ser modelado por uma variável contínua X com a seguinte densidade: f( ) c se X 8 a) Ache a constante c que faz de f() uma densidade. b) Encontre a função de distribuição de X para qualquer número real. c) Ache o ponto m entre e 8 tal que Pr(X m) Este ponto é a mediana de X, ou seja, o salário mediano dos funcionários desta empresa. 8 c 8 8 a) d c c c c 8 8 b) F() 0 se e F() se F( ) dt t t se < < 8 c) Para achar m é preciso resolver: 8 5 m 6 / 5. m m 6 m 6 6

7 7 PROBLEMA Você está procurando emprego e está enviando seu CV. Apenas 0% dos CVs enviados resultam numa entrevista. Calcule as seguintes probabilidades: a) De que a primeira entrevista ocorrerá no envio do 0 o. CV. b) Você manda eatamente 5 CVs, qual a probabilidade de ser chamado para entrevistas? c) Você manda eatamente 0 CVs. Qual a probabilidade de ser chamado para menos de entrevistas? Seja p a probabilidade de um curriculum enviado resultar numa chamada para entrevista. Então p 0.0. a) Neste caso queremos encontrar a probabilidade de falhas seguidas de um sucesso, que é: ( 0.) ( 0.) b) Neste caso o número de repetições (número de CVs enviados) é fio, ou seja, temos uma distribuição Binomial com n 5 e probabilidade de sucesso (ser chamado para entrevista) igual a 0.. A probabilidade desejada é: Pr 5 ( X ) ( 0.) ( 0.) 0.66 c) Neste caso n 0 e desejamos encontrar: Pr( X < ) Pr( X 0) Pr( X ) ( 0.) ( 0.) ( 0.) ( 0.) PROBLEMA 0 A Embratur realiza diversas pesquisas sobre a demanda turística no Brasil. Em 00 observou-se que: 6.% dos turistas estrangeiros residem na Europa; 8.6% residem na América do Sul;.% residem na América do Norte;.% residem na Ásia; % residem em outras regiões. Dentre os residentes na Europa, 0% viajam ao Brasil a negócios; Dentre os residentes na América do Sul, 5% viajam a negócios; Dentre os residentes na América do Norte, 5% viajam a negócios; Dentre os residentes na Ásia, 70% viajam a negócios; Dentre os residentes de outras partes do planeta, 60% viajam a negócios.

8 8 Entrevista-se um turista estrangeiro aleatoriamente e ele está no Brasil a negócios. Qual a probabilidade dele ser proveniente de cada uma das regiões indicadas? Sejam: A Europa A América do Sul A América do Norte A Ásia A 5 outros Pr(A ) 6.%, Pr(A ) 8.6%, Pr(A ).%, Pr(A ).%, Pr(A 5 ) % N viagem de negócios Pr( N ) Pr( N A ) Pr( A ) Pr( N A ) Pr( A ) Pr( N A ) Pr( A ) Pr( N A ) Pr( A ) Pr( N A5 ) Pr( A5 ) 0(6.) 5(8.6) 5(.) 70(.) 60() 0.5 Pr( N ) (00) 0000 Pr( A Pr( A Pr( A 56 N) N) N) Pr( A Pr( A 5 7 N) N) PROBLEMA O tempo entre as chegadas de tái num cruzamento é uma variável Eponencial com λ /0 chegadas por minutos. Calcule: a) A probabilidade de alguém ter que esperar mais de 60 minutos por um tái. b) A probabilidade de um tái demorar menos de 0 minutos para passar. Seja T o tempo entre chegadas de um tái, isto é, o tempo que você terá que esperar por um tái nesta esquina. T é uma variável Eponencial com λ /0. Sabemos que, para uma variável Eponencial, a função de distribuição é F(t) Pr(T t) ep(-λ.t) e também Pr(T > t) F(t) ep(-λ.t). Logo: a) Pr(T > 60) ep(-60/0) ep(-6) b) Pr(T < 0) ep(-0/0) ep(-) 0.6 PROBLEMA A distância entre buracos numa estrada é uma variável Eponencial com λ /5 buracos por km. Qual a probabilidade de não eistirem buracos num trecho de 0 km da estrada?

9 Seja T a distância entre os buracos numa estrada. Pelo enunciado, T é uma variável Eponencial com λ /5 buracos por km. Queremos encontrar Pr( T > 0) ep(-0/5) ep(-) 0.5. PROBLEMA Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro. A distância (em km) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com densidade: 50 se 50 < f ( ) 50 - se 00 < Eistem duas opções de diárias de aluguel: ) Opção : R$ 70 R$0.5 por km rodado; ) Opção : R$ 0 se rodar até 0 km e R$ 0 se rodar mais de 0 km num dia. Qual das opções é mais vantajosa, em termos de apresentar o menor custo esperado de aluguel? Seja C o custo diário de aluguel. Na primeira opção: C X e então o custo esperado é E(C) E(X) Na a. Opção: 0 se 50 X 0 C 0 se 0 < X 50 E(C) 0.Pr(50 < X < 0) 0.Pr( 0 < X < 50) Mas, E ( X ). f ( ) d d 500 d Então, na a. Opção o custo esperado é: E(C) (00) R$ Para o cálculo do custo sob a a. Opção precisamos calcular Pr(50 < X < 0) e Pr( 0 < X < 50). Note que: Pr(50 < X < 0) Pr( 50 < X < 00) Pr( 00 < X < 0) ½ 8/ Também,

10 0 Pr( 0 < X < 50) d Logo, o custo esperado sob a a. Opção é: E(C) 0(0.8) 0(0.8) R$ 7. Logo, a a. Opção é mais econômica. Problema Seja X uma variável aleatória contínua com densidade Uniforme no intervalo (-, ). Em cada caso abaio calcule de forma a satisfazer a condição dada. a) Pr( X > /) / b) Pr( X < /) / c) Pr( X > /). Pr( X < -) d) Pr( X < /). Pr( X > /) A variável Uniforme no intervalo (-, ) tem densidade: ( ) < < f se a) Pr( X > /) / d b) Pr( X < /) / 8 8 / d c) Pr( X > /) / d e. Pr( X < -) ( ) d Logo:.5 6 d) Pr( X < /). Pr( X > /)

11 Logo: Problema 5 A ocorrência de enchentes de verão no Rio de Janeiro é uma variável aleatória. Toma-se um período de 0 verões, e estamos interessados na variável X que representa o número total de verões em que ocorreram enchentes nestes 0 verões. Suponha que a ocorrência de uma enchente num certo verão não afeta a probabilidade de ocorrência de enchentes em outros verões, e que a probabilidade de enchente em um verão qualquer é %. Qual a função de probabilidade de X? a) Calcule a probabilidade de ocorrerem menos de 5 enchentes nestes 0 verões. b) Aproime a probabilidade do item a) usando uma distribuição de Poisson apropriada. Qual o erro percentual absoluto desta aproimação? Defina o erro percentual absoluto como: prob. real prob. aproimada Erro 00. prob. real NOTA: Sugiro usar o Ecel A função de probabilidade de X é Binomial com n 0 e p 0.0. Logo, como n é grande e p é pequeno, esta distribuição pode ser aproimada por uma Poisson com a mesma média, a saber λ n.p (0)(0.0) 0.. A probabilidade de ocorrerem menos de 5 enchentes neste verão é: Pr(X < 5) Pr(X0) Pr(X)... Pr(X) A tabela a seguir eibe as probabilidades para X 0,,,, e Pr(X < 5). Pr(X ) Binomial Pr(X ) Poisson Assim, a probabilidade eata é: Pr(X < 5) e a aproimada é: Pr(X < 5) Problema 6 A duração média em DIAS (antes de uma recarga) de baterias de celular é modelada pela seguinte densidade de probabilidade:

12 Densidade f() f ( ) se 0 ( ) Considere X dia horas na discussão a seguir Calcule: a) A probabilidade de que uma bateria precisar ser recarregada antes de 0 horas. b) A probabilidade de uma bateria durar mais de horas. c) A probabilidade da bateria durar entre e horas. Atenção: todas as probabilidades a calcular envolvem horas, portanto é preciso epressá-las em termos de dias. Por eemplo, 0 horas (0/) de um dia. É convieniente escrever a função de distribuição acumulada: ( ) ( ) ( y) F Pr X dy para todo 0 y 0 0 ( ) ( ) a) Pr(X < 0 horas) Pr(X < 0/ dias) F(0/) b) Pr(X > horas) Pr(X > dia) F() c) Pr( horas< X < horas) F() F(/) Problema 7 O número de minutos que você usa no celular a cada mês é uma variável aleatória com densidade f() dada por: se f ( ) 0 se 60 < A operadora de celular oferece dois planos:

13 Plano A: tarifa de R$5 (que não inclui nada) e R$ 0.75 por minuto de ligação. Plano B: tarifa de R$55 (que inclui 5 minutos em ligações) e R$ 0.0 por minuto adicional. Qual o custo médio em cada um dos planos? Em média, qual plano será mais vantajoso para você? Seja C C(X) a função custo em cada um dos planos. No plano A: CA *X No plano B: CB *(X 5) Para calcular o custo médio em cada um dos planos é necessário calcular o seu consumo médio (em minutos), E(X). 60 ( ) 0. ( ) 600 E X f d d d ( 600) 8 60( )( 600) ( 600) 60 ( ) ( 60) ( 60) O que poderia ser percebido também por simetria. Logo, os custos médios em ambos os planos são: Plano A E(CA) 50.75(60) 80 Plano B 0 E(CB) *(60 5) ( 80 ) 600 ( 600) 0 ( 600) ( 60)( 600) ( 60)( 600) ( 60)( 600) O plano B é mais vantajoso na média, pois tem custo mais baio Problema 8 O salário dos funcionários numa empresa pode ser modelado por uma variável contínua X com a seguinte densidade: ( ). f c se 000 X 8000 a) Ache a constante c que faz de f() uma densidade. b) Qual o salário médio? c) Ache o ponto m entre 000 e 8000 tal que Pr(X m) Este ponto é a mediana de X, ou seja, o salário mediano dos funcionários desta empresa? a) Para achar c precisamos satisfazer a condição: c 50 c c d c. ( 0) { 5 } c ( ) ( )

14 b) O salário médio é dado por: E( X ). f ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 05)( 0) 000( 05) ( ) 50 ( ) ( 5) c) O salário mediano é obtido resolvendo-se: m f ( ) d m 0 m ( ) 50 c c d 0.5 m ( m 0 ) 5 0 m ( ) ( m 0 ) 0.5 { 56.5} m 0 ( 56.6) / Problema Você comprou um sofisticadíssimo videogame e os sites e blogs especializados dizem que a sua chance de conseguir chegar ao final do jogo sem gastar todas as suas vidas é de apenas 5/00. Você é um cara muito persistente, e decide jogar até alcançar o primeiro sucesso, ou seja, terminar o jogo sem morrer (considere isso como ganhar o jogo). Suponha também que você não aprende NADA a cada jogada, e então a probabilidade de chegar ao final do jogo sempre está fia (e igual a 5/00), e que todas as jogadas são independentes. Calcule as seguintes probabilidades: a) De você ter que jogar menos de partidas até ganhar o jogo. b) De você ter que jogar mais de 5 partidas até ganhar o jogo. c) Suponha agora que você decide jogar EXATAMENTE 0 partidas. Qual a probabilidade de ganhar menos de vezes? a) Seja X o número de partidas jogadas até o º. Sucesso, ou seja, até você conseguir ganhar o jogo. X é uma variável Geométrica com p 5/00. Então: n ( ) ( ) ( ) f n Pr X n p p onde n,,,... Pr( X < ) Pr( X ) Pr( X ) Pr( X ) ( 0.05)( 0.5) 0.6 b) Aqui queremos Pr(X > 5) Pr(X6) Pr(X7)... Pr(X) Pr(X) Pr(X5) nas mesmas condições do item anterior. Pr( X > 5) 5 ( 0.05)( 0.5)

15 5 c) Agora você decide jogar um número fio (0) de partidas, e X mede o número de vezes em que você ganha o jogo e é então uma variável Binomial com parâmetros n 0 e p Você quer achar Pr(X < ) Pr(X 0) Pr(X ) Problema 0 Toda manhã você tem que passar por um certo sinal de trânsito bastante demorado. Suponha que a probabilidade do sinal estar aberto é 0.0 e que cada manhã representa uma repetição independente. a) Numa seqüência de 5 manhãs, qual a probabilidade de você encontrar o sinal aberto em eatamente uma manhã? b) Numa seqüência de 5 manhãs, qual a probabilidade de você encontrar o sinal aberto em mais de manhãs? c) Qual a probabilidade de você demorar até a ª manhã consecutiva para encontrar o sinal aberto pela ª vez? d) Qual a probabilidade de que o sinal esteja fechado por 0 manhãs consecutivas? e) Em média, quantas manhãs você vai passar pelo sinal até encontrá-lo aberto pela primeira vez? O sinal aberto pode ser encarado como um sucesso com probabilidade p 0.0 e o sinal fechado é uma falha com probabilidade -p q No item a) você faz eatamente 5 repetições, ou seja, passa eatamente 5 vezes pelo sinal, a variável X que mede o número de vezes em que encontra o sinal aberto nestas 5 repetições é Binomial com n 5 e p 0.. Pr(X ) 5(0.) (0.7) 0.60 No item b) temos agora uma variável Binomial, mas com n 5 e p 0.. Pr(X > ) Pr(X 5) Pr(X 6)... Pr(X5) Pr(X 0) Pr(X) -... Pr(X) 0.85 prob soma soma 0.85 c) Isso significa obter a seqüência FFFS, que tem probabilidade (0.7) (0.) 0.0 (Você pode também pensar na variável Geométrica com probabilidade de sucesso p 0. e em demorar repetições para encontrar o º. Sucesso)

16 6 d) É apenas a probabilidade da sequência FFFFFFFFFF (0.7) e) É a média da variável Geométrica, /p /0.0 0/.