Aplicação de Gauss em um grupo de Lie com métrica bi-invariante

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1 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Aplicação de Gauss em um grupo de Lie com métrica bi-invariante por Lindemberg Sousa Massa Brasília 2008

2 Agradecimentos -Primeiramente a Deus. -A meus pais Dionisio Massa e Divina M. Alves Sousa. -Ao professor Pedro Roitman. -Aos colegas do Departamento de Matemática da UnB e do Instituto de Matemática e Estatística da UFG. -Aos professores da banca examinadora: Profa. Keti Tenenblat e Prof. Walterson Pereira Ferreia. -Aos professores e funcionários da Universidade de Brasilia (UnB). -Aos professores e funcionários da Universidade Federal de Goiás (UFG). -Ao Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Cientíco (CNPq).

3 À minha família.

4 Resumo O tema principal deste trabalho é a chamada aplicação de Gauss em um grupo de Lie G munido de uma métrica bi-invariante. Em particular, com base em, Espirito Santo, Fornari, Frensel, Ripoll, apresentamos uma versão para hipersuperfícies orientadas imersas em G do teorema de Ruh-Vilms sobre a harmonicidade da aplicação de Gauss. Seguindo Masal'tsev, fazemos um estudo detalhado sobre o caso particular importante em que G é a esfera tridimensional S 3, munida da métrica canônica, e, inspirados em Urbano e Castro, relacionamos via aplicação de Gauss, superfícies mínimas em S 3 com superfícies mínimas lagrangeanas no produto de esferas S 2 S 2 munido com a métrica produto canônica.

5 Abstract The main theme of this work is the so-called Gauss map in a Lie group G with a bi-invariant metric. In particular, based in Espirito Santo, Fornari, Frensel, Ripoll, we present a version for oriented hypersurfaces immersed in G of the Ruh-Vilms theorem about the harmonicity of the Gauss map. Following Masal'tsev, we also treat in detail the important special case where G is the three-dimensional sphere S 3, with the canonical metric, and relate, inspired by Urbano e Castro, using the Gauss map, minimal surfaces in S 3 with minimal Lagrangian surfaces in the product of spheres S 2 S 2 whith the canonical product metric.

6 Sumário Introdução 1 1 Preliminares Grupos de Lie A álgebra de Lie Grupo de Lie com métrica bi-invariante Aplicação exponencial A álgebra dos Quatérnios Os grupos O(n) e SO(n) Aplicação de Gauss em superfícies de curvatura média constante em S Observações Preliminares Aplicação de Gauss em superfícies de curvatura média constante em S Aplicação de Gauss em hipersuperfícies de curvatura média constante em um grupo de Lie com métrica bi-invariante Aplicação de Gauss em hipersuperfícies de curvatura média constante em um grupo de Lie com métrica bi-invariante Superfícies mínimas Lagrangeanas Observações Preliminares Superfícies mínimas Lagrangeanas Bibliograa 47

7 Introdução A aplicação de Gauss clássica para superfícies orientadas no espaço euclidiano tri-dimensional R 3 é sem dúvida um dos conceitos mais importantes da geometria diferencial clássica. Propriedades analíticas desta aplicação reetem propriedades geométricas das superfícies. A aplicação de Gauss de uma superfície S orientada em R 3 é harmônica se, e somente se, S tem curvatura média constante. É natural tentar estender este resultado, e as suas conseqüências, denindo de maneira conveniente uma aplicação que faça o papel da aplicação de Gauss em variedades Riemannianas. Em [19], X. Liu sugeriu uma abordagem para a denição da aplicação de Gauss de uma subvariedade em um grupo de Lie compacto G. Esta abordagem é a seguinte. Denote por G k (g) a variedade Grassmaniana que consiste de todos subespaços vetoriais k-dimensionais da álgebra de Lie g de um dado grupo de Lie G. Seja L x a translação à esquerda por um elemento x G, e seja dl x a diferencial desta translação. A diferencial (dl x ) y em y G, leva vetores tangentes de T y M em vetores tangentes de T Lx(y)M, e esta ação pode ser estendida por linearidade a subespaços vetoriais de T y M. Liu chamou a aplicação G : M k G k (g), x (dl x 1)T x M, onde x M k G, a aplicação de Gauss de uma subvariedade M k G. Portanto, de acordo com Liu, a aplicação de Gauss associa a cada x M um subespaço vetorial k-dimensional na álgebra de Lie g. De maneira análoga esta aplicação pode ser denida pela translação à direira R x, por um elemento x G. O tema desta dissertação consiste em explicar a noção introduzida por Liu no caso em que M é uma hipersuperfície orientada suave contida em um grupo de 1

8 2 Lie (n+1)-dimensional G, com uma métrica bi-invariante, denindo a aplicação de Gauss da seguinte forma: g(η) : M S n, x (dl x 1) x (η(x)), onde x M e η é o campo normal unitário à hipersuperfície M, e S n é a esfera unitária de g. Para relacionar a noção acima com a introduzida por Liu, note que os subespaços orientados k-dimensionais se identicam naturalmente com pontos da esfera unitária da álgebra de Lie. A invariância à esquerda da métrica, permite descrever a aplicação introduzida por Liu em termos do campo η. Estruturamos este trabalho da seguinte maneira: No capítulo 1 foi feito um breve estudo sobre grupos Lie, abordando temas como a álgebra de Lie, grupo de Lie com métrica bi-invariante e aplicação exponencial em um grupo de Lie. Incluimos também uma noção sobre a álgebra dos quatérnios e sobre os grupos O(n) e SO(n). No capítulo 2, baseado em [11], estudamos o caso especíco em que M é uma superfície orientada em S 3, onde olhamos S 3 como o grupo de Lie dos quaternios unitários. E temos por objetivo principal provar uma versão análoga ao teorema de Ruh-Vilms para hipersuperfícies M n do espaço euclidiano. Teorema 2.2. A aplicação de Gauss g(η) : M 2 S 2 é harmônica se, e somente se, M 2 tem curvatura média constante. No capítulo 3, baseado em [4], abordamos a aplicação de Gauss de uma hipersuperfície orientada em um grupo de Lie (n+1)-dimensional com métrica bi-invariante, e provamos que o laplaciano da aplicação de Gauss, denota neste caso por N, é dado pela seguinte expressão. N(p) = n d(lp 1 ) p ( H(p)) ( B 2 + Ric(η(p)) ) N(p), onde B denota a segunda forma fundamental de M em G, Ric(η) a curvatura de Ricci de G na direção de η, H a curvatura média de M e H o gradiente de M. (Teorema 3.1). Em particular, a equação acima implica que N é harmônica se, e somente se, H é constante.

9 3 No capítulo 4, baseado em [3], voltamos a trabalhar com superfícies orientadas em S 3, e denimos a aplicação Φ : M S 3 S 2 S 2, Φ = (N, N + ), onde N e N + são as aplicações de Gauss dadas pelas translações à esquerda e à direita, respectivamente. Introduzimos a noção de imersão Lagrangeana e provamos o seguinte resultado. Teorema 4.4. Seja M S 3 uma superfície mínima orientada. Se a aplicação induzida Φ : M S 2 S 2 é uma imersão, então Φ é uma imersão Lagrangeana mínima. Além disso, a métrica induzida por Φ é conforme à métrica de M.

10 Capítulo 1 Preliminares 1.1 Grupos de Lie Denição 1.1. Um grupo de Lie é um grupo cujo conjunto subjacente tem uma estrutura de variedade diferenciável, de tal forma que a aplicação produto é diferenciável. p : (g, h) G G gh G Dado g G, as translações à esquerda e à direita L g : G G e R g : G G, são denidas respectivamente por L g (h) = gh e R g (h) = hg. Nota-se facilmente que são aplicações diferenciáveis. Exemplo 1.2. Seja Gl(n, R) o grupo das transformações lineares inversíveis de R n, que é naturalmente isomorfo ao grupo das matrizes n n inversíveis. Esse grupo é um subconjunto aberto do espaço vetorial M n (R) das matrizes n n, e portanto é uma variedade diferenciável. O produto no grupo Gl(n, R) é proveniente do produto usual de matrizes. Se X = (x ij ) e Y (y ij ) são matrizes n n, então Z = XY = (z ij ) é dado por z ij = x ik y kj, k=1 que é um polinômio de grau dois nas variáveis x ij, y ij e, portanto, é uma aplicação diferenciável. Por esta razão Gl(n, R) é um grupo de Lie. 4

11 A álgebra de Lie Uma álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial g munido de um produto (colchete) [.,.] : g g g que satisfaz as propriedades: 1. O colchete [.,.] é bilinear, isto é, linear em cada uma das variáveis. 2. Anti-simetria, isto é, [A, B] = [B, A], para A, B g. 3. Identidade de Jacobi: para A, B, C g, [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 Um subespaço h g de uma álgebra de Lie g é uma subálgebra de Lie se for fechado para a operação colchete. Nesse caso g é também uma álgebra de Lie. Um exemplo de álgebra de Lie é dado pelo espaço vetorial dos campos de vetores sobre uma variedade diferenciável munido do colchete de Lie de campos de vetores. Outro exemplo é a álgebra gl(n, R) formada pelas matrizes reais n n com o colchete dado pelo comutador de matrizes [A, B] = AB BA. Denição 1.3. Seja G um grupo de Lie. Um campo de vetores X em G é dito invariante à esquerda se para todo g G, d(l g ) h X(h) = X(gh) para todo g, h G. Os campos invariantes à esquerda ou à direita são completamente determinados por seus valores no elemento neutro e G, pois para todo g G a condição de invariança à esquerda, por exemplo, implica que X(g) = d(l g ) e (X(e)). Portanto, cada elemento do espaço tangente T e G determina um único campo invariante à esquerda e um único campo invariante à direita. Lema 1.4. Sejam X e Y campos invariantes à esquerda num grupo de Lie G. Então, o colchete de Lie [X, Y ] é invariante à esquerda. A mesma armação vale para campos invariantes à direita. Demonstração: Ver em [8], seção 1.7. Dito de outra maneira, os espaços dos campos invariantes à esquerda (inv L ) e de campos invariantes à direita (inv R ) são subálgebras de Lie da álgebra de Lie

12 6 de todos os campos de vetores em G. Em particular, ambos os espaços vetoriais admitem estruturas de álgebra de Lie. A álgebra de Lie do grupo G é qualquer uma das álgebras de Lie inv L ou inv R. Dado A T e G, a notação A L indica o campo invariante à esquerda, tal que A L (e) = A. E analogamente A R denota campos invariantes à direita. O espaço tangente T e G é isomorfo tanto a inv L quanto a inv R. Através dos isomorsmos o colchete de Lie restrito aos subespaços de campos invariantes induz colchetes [.,.] L e [.,.] R em T e G. Esses colchetes são dados por [A, B] L = [A L, B L ](e) e [A, B] R = [A R, B R ](e), A, B T e G. Denição 1.5. A álgebra de Lie de G, denotada por g, é qualquer uma das álgebras de Lie isomorfas inv L, inv R ou ainda (T e G, [.,.] e ). Para o estudo de grupos de Lie pode-se considerar qualquer umas dessas álgebras de Lie para representar (T e G, [.,.] e ). No entanto iremos considerar (T e G, [.,.] e ), como sendo a álgebra de Lie g do grupo de Lie G Grupo de Lie com métrica bi-invariante Denição 1.6. Uma métrica Riemanniana em G é invariante à esquerda se: u, v h = (dl g ) h (u), (dl g ) h (v) Lg(h), g, h G, u, v T gg. Isto é, se L g é uma isometria. De maneira análoga denimos métrica Riemanniana invariante à direita em G. Uma métrica invariante à esquerda e à direita é chamada bi-invariante. Proposição 1.7. Seja G um grupo de Lie com métrica bi-invariante, e X, Y, Z, campos unitários e invariantes à esquerda em G, então: A conexão Riemanniana de G é dada por: X Y = 1 [X, Y ]. 2 O tensor de curvatura R de G é dado por: R(X, Y )Z = 1 [[X, Y ], Z]. 4

13 7 É válida a seguinte identidade. [X, Y ], Z + [Z, Y ], X = 0 Demonstração: Ver em [2] Aplicação exponencial Seja X um campo invariante (à esquerda ou à direita em G). Denote por ϕ t o seu uxo. Em princípio ϕ t é um uxo local, isto é, para t xado, o domínio domϕ t de ϕ t é um subconjunto aberto de G das condições iniciais cujas soluções se prolongam até t. A invariância de X acarreta a seguinte simetria do uxo ϕ t : suponha que X inv L, tome g, h G com h domϕ t e considere a curva γ(t) = L g (ϕ t (h)) = gϕ t (h). O seu domínio é um intervalo aberto de R, contendo 0 com γ(0) = gh pois ϕ 0 (h) = h. Além disso, pela regra da cadeia γ (t) = d(l g ) ϕt(h)(x(ϕ t (h))), e como X é invariante à esquerda, segue que Portanto, γ é solução de dg dt ϕ t (gh). Isto signica que γ (t) = X(gϕ t (h)) = X(γ(t)). = X(g) com condição inicial γ(0) = gh, isto é, γ(t) = ϕ t (gh) = gϕ t (h) X inv L. Tomando h = e, ca ϕ t (g) = gϕ t (e). Isto é, a solução que passa por g é obtida por translação à esquerda da solução que passa pela identidade. De maneira análoga, se mostra que ϕ t (hg) = ϕ t (h)g X inv R. (e ϕ t (g) = ϕ t (e)g) se X é campo invariante à direita. Proposição 1.8. Seja G um grupo de Lie, g sua álgebra de Lie, e X g. As trajetórias de X, (X inv L ou X inv R ), determinam uma aplicação ϕ : ( ɛ, ɛ) G com ϕ(0) = e, ϕ (t) = X(ϕ(t)). Então ϕ(t) está denida para todo t R e ϕ(t + s) = ϕ(t).ϕ(s), (ϕ : R G é chamado de um subgrupo a 1-parâmetro de G).

14 8 Demonstração: Ver [2], capítulo 3. Essa descrição das trajetórias dos campos invariantes permite denir a aplicação exponencial. Denição 1.9. Seja X T e G. Então, expx = (X L ) t=1 (e) = (X R ) t=1 (e). A aplicação exponencial é da forma exp : g G. Considerando a álgebra de Lie g de G como espaço tangente ao elemento neutro. Pela identicação acima, se X é um campo invariante exp X faz sentido e é o valor em t = 1 da solução de X que passa pelo elemento neutro quando t = 0. Em virtude da proposição acima, a aplicação t exp (tx), X g, é um homomorsmo. Portanto, {exp (tx) : t R} é um subgrupo de G, denominado de subgrupo a 1-parâmetro gerado por X. A seguinte proposição reúne algumas propriedades da aplicação exponencial e dos uxos dos campos invariantes. Proposição São válidas as seguintes armações: 1. Se X é campo invariante à direita então ϕ t = R exp(tx), isto é, ϕ t (g) = exp(tx) g. 2. Se X é campo invariante à esquerda então ϕ t = L exp(tx), isto é, ϕ t (g) = g exp(tx). 3. exp(0) = e. 4. Para todo X g, e t, s R, exp((t + s)x) = exp(tx) exp(sx) = exp(sx) exp(tx), isto é, os elementos do subgrupo {exp(tx) : t R} comutam entre si. 5. Sejam X, Y g. Então, [X, Y ] = 0 se, e só se, exp(tx) exp(sy ) = exp(sy ) exp(tx).

15 9 Demonstração: Apenas a última propriedade não foi provada ainda. Mas ela é consequência da propriedade geral de campos de vetores que arma que seus uxos comutam se, e só se, o colchete de Lie entre eles se anula em todos os pontos. O item 4 garante que (expx) n = exp(nx) para todo n Z. Em particular, (expx) 1 = exp( X). 1.2 A álgebra dos Quatérnios A álgebra dos quatérnios é o espaço vetorial real, H = {a1 + bi + cj + dk} a, b, c, d R, A multiplicação em H é denida por bilinearidade de acordo com a seguinte tabela:. 1 i j k 1 1 i j k i i 1 k j j j k 1 i k k j i 1 (1.1) As operações de adição e multiplicação em H satisfazem todos os axiomas para corpos, exceto a comutatividade para multiplicação. É conveniente decompor um quatérnio em duas partes que são tradicionalmente chamadas de parte escalar e parte vetorial. Se q = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k, então escrevemos q = q 0 + q, onde q 0 = q 0 1 e q = q 1 i + q 2 j + q 3 k. Chamando q 0 parte escalar e q parte vetorial de q. Verica-se que o produto pq = (p 0 + p )(q 0 + q ) = (p 0 q 0 p q ) + (p 0 q + q0 p + p q ), (1.2) onde p q e p q são, respectivamente, produto interno e produto vetorial usuais em R 3. Tem-se também a operação conjugação em H. Se q = q 0 + q pertence a H então q = q 0 q é chamado conjugado de q. Vejamos algumas propriedade com relação à conjugação: pq = q p.

16 10 Da equação (1.2) obtemos qq = q q q q 2 3 = qq. Assim, se identicado H com R 4, associando q com o vetor (q 0, q 1, q 2, q 3 ) e denotando o produto interno euclidiano de p e q por p, q, então qq = q, q. Usando o fato de que qq e q, q são formas quadráticas, verica-se: pq + qp = 2 p, q. (1.3) Em particular, p é ortogonal a q se, e somente se, pq + qp = 0. Denota-se a norma euclidiana de um quatérnio q por q. comuta com qualquer quatérnio, Como um escalar pq 2 = pq, pq = pq pq = p q q p = p q 2 p = p 2 q 2. Temos então pq = p q. Tendo determinado a norma de um quatérnio, pode-se obter a fórmula do inverso de um quatérnio. Se q 0, então q 1 = q q 2. Se q H, com q = 1, que é chamado quatérnio unitário. Neste caso vale, q 1 = q. Se, em particular, u é um quatérnio unitário puro (isto é, u = u ), então u 1 = u. 1.3 Os grupos O(n) e SO(n) O grupo ortogonal O(n) pode ser denido como o grupo de isometrias do R n que xa a origem. Equivalentemente, é o grupo das matrizes A n n com entradas em R tal que AA t = I onde A t é a matriz transposta de A. O(n) é um subgrupo de GL n (R), general linear group, já apresentado no exemplo (1.2). A aplicação determinante O(n) {±1} é um homomorsmo sobrejetivo, tendo como núcleo o subgrupo SO(n), special orthogonal group, o qual tem índice 2.

17 11 Além disso, com esta aplicação temos que O(n) tem duas componentes conexas, distinguidas por det A = ±1. (Ver em [13], seção 8.4). A estrutura topologica de SO(n) para pequenos valores de n pode ser descrita em termos de alguns espaços conhecidos. SO(1), é um ponto. SO(2), são rotações de R 2, e respectivamente homeomorfo e isomorfo a S 1 e aos números complexos unitários. SO(3) é homeomorfo a RP 3. SO(4) é homeomorfo a S 3 SO(3). (Ver em [6]). Seja S 3 = {quatérnios unitários} = {q H q q = 1}. Note que S 3 tem duas estruturas: trata-se de um grupo sob multiplicação, e também tem a sua própria geometria como esfera unitária em R 4. Seja L x : S 3 S 3 a translação à esquerda por um elemento x S 3, e (dl x ) y : T y S 3 T xy S 3 sua diferencial. Com isto iremos considerar (dl x 1)v a translação à esquerda de um vetor arbitrário v T x S 3. Vemos facilmente que S 3 é um grupo de Lie, e que sua álgebra T e S 3 = T (1,0,0,0) S 3 R 3. Usando a representação ortogonal do grupo dos quatérnios unitários. Seja x = x 0 + ix 1 + jx 2 + kx 3, v = v 0 + iv 1 + jv 2 + kv 3 e x 1 = x 0 ix 1 jx 2 kx 3. Temos dl x 1v = φ(x 1 )φ(v) = x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 0 x 3 x 2 x 2 x 3 x 0 x 1 x 3 x 2 x 1 x 0 v 0 v 1 v 2 v 3 v 1 v 0 v 3 v 2 v 2 v 3 v 0 v 1 v 3 v 2 v 1 v 0 onde φ : H SO(4). Calculando os elementos da primeira coluna no produto das matrizes, notamos que

18 12 A x SO(4). (dl x 1)v = x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 0 x 3 x 2 x 2 x 3 x 0 x 1 x 3 x 2 x 1 x 0 v 0 v 1 v 2 v 3 = A xv, (1.4) Para o próximo teorema identicamos H com R 4, a forma quadrática q com a métrica euclidiana e o subespaço dos quatérnios puramente imaginários com R 3. Teorema Para todo p S 3, a multiplicação à esquerda a p : x px dene uma aplicação H H que é uma isometria que preserva orientação de H = R 4 com ponto xo na origem; o mesmo vale pra multiplicação à direita b q : x xq. 2. O homomorsmo φ(p, q) : S 3 S 3 SO(4) denido por φ(p, q) = a p b q : x p x q é sobrejetivo, e φ(p, q) = id H se, e somente se, (p, q) = (1, 1) ou (p, q) = ( 1, 1). 3. Para todo q S 3, a aplicação r q : x q x q é uma isometria que preserva orientação de H = R 4, o qual é a aplicação identidade para elementos reais de H e toma quatérnio puro imaginário de H e leva em quatérnio puro imaginário. Assim dene uma rotação do subespaço R 3 H dos quatérnios puro imaginários. 4. Todo q S 3, q não real, tem uma única expressão com a forma q = cos θ + Isen θ, onde I S 3 é um puro imaginário e θ (0, π). Então r q = Rot(I, 2θ) é rotação de R 3 sobre o eixo denido por I e um ângulo 2π. 5. O homomorsmo ψ : S 3 SO(3) denido por ψ(q) = r q é sobrejetivo, e ψ(q 1 ) = ψ(q 2 ) se, e somente se, q 1 = ±q 2. Demonstração: Ver [13], seção 8.5.

19 Capítulo 2 Aplicação de Gauss em superfícies de curvatura média constante em S 3 Neste capítulo apresentamos uma versão da aplicação de Gauss para uma superfície M 2 imersa em S 3 e, como resultado principal, uma versão análoga do teorema de Ruh-Vilms para hipersupefíces M n do espaço euclidiano, onde a aplicação de Gauss n : M n S n é harmônica se, e somente se, M n tem curvatura média constante. Os resultados apresentados foram obtidos por Masal'tsev [11]. 2.1 Observações Preliminares Seja M S 3 uma superfície orientada imersa em S 3, com campo normal unitário η. Considerando S 3 como um grupo de Lie, ver capítulo 1 seção 1.3, podemos denir a chamada aplicação de Gauss g(η) : M S 2 T e S 3 da seguinte maneira g(η)(x) = (dl x 1) x (η(x)), (2.1) onde x M. Note que como a métrica é invariante à esquerda g(η)(x) é um ponto da esfera unitária. Neste capítulo, será conveniente introduzir um parametrização local para M e expressar g(η) em coordenadas locais. Seja X(u, v) = (X 0 (u, v), X 1 (u, v), X 2 (u, v), X 3 (u, v)), (2.2) 13

20 14 uma parametrização local de M. Temos que {X u, X v, η, X} forma uma base de R 4, onde os três primeiros vetores formam uma base para T X S 3 e η é o vetor normal unitário da superfície em S 3. Em coordenadas locais temos onde o operador A X é dado pela equação (1.4). Introduzimos as matrizes J 1, J 2, J 3 SO(4): J 1 = , J 2 = g(η)(u, v) := A X η(x(u, v)), (2.3), J 3 = Onde J 1 representa a multiplicação à direita pelo quatérnio i : x y = xi. Analogamente, J 2 e J 3 representam a translação à direita pelos quatérnios j e k, respectivamente. Então a equação (2.3) dene a aplicação de Gauss g(η) da seguinte forma:. g(η)(x) = ( J 1 x, η(x), J 2 x, η(x), J 3 x, η(x) ). (2.4) Proposição 2.1. Seja X(u, v) uma superfície parametrizada suave em S 3, tal que a primeira e segunda forma são dadas por: I = e 2w(u,v) (du 2 + dv 2 ), (2.5) II = L(u, v)du 2 + 2M(u, v)dudv + N(u, v)dv 2. (2.6) Seja η o campo normal unitário induzido por X(u, v). Então: Os símbolos de Christoel da primeira forma da superfície podem ser escritos da seguinte forma: ( (Γ 1 wu w ij) = v w v w u ) (, (Γ 2 wv w ij) = u w u w v As derivadas dos vetores X u, X v e η, são espressadas por: X uu = w u X u w v X v + Lη e 2w X, ). X uv = w v X u + w u X v + Mη, X vv = w u X u + w v X v + Nη e 2w X, (2.7) η u = e 2w (LX u + MX v ), η v = e 2w (MX u + NX v ).

21 15 As equações de Codazzi e a expressão da curvatura média H são dadas por: M v + w u (L + N) = N u, M u + w v (L + N) = L v. (2.8) e 2w (L + N) = 2H. (2.9) Demonstração: Análoga à demonstração feita no caso das superfícies em R 3. No caso em que a superfície tem curvatura média constante, derivando (2.9), obtemos: L u + N u = 2w u (L + N), L v + N v = 2w v (L + N). (2.10) Combinando as equações acima com as equações de Codazzi, tem-se: (L + N)w u = L u + M v, (L + N)w v = N v + M u. (2.11) Na demonstração do Teorema 2.2, iremos usar o seguinte critério para harmonicidade de uma aplicação f = (f 1,..., f n+1 ) de uma variedade Riemanniana M m com métrica γ = (γ αβ ), α, β = 1,..., m, na esfera S n R n+1 com métrica usual g 0 (ver [8], cap. 8). A aplicação f : (M m, γ) (S n, g 0 ) é harmônica se, e somente se, isto é, M f(x) = 2e(f)f(x), x M m, (2.12) M f i (x) = 2e(f)f i (x), (2.13) para todo i = 1,..., n + 1, onde e(f) denota a densidade de energia de f, e e(f) = 1 2 γαβ (x)(g 0 ) ij (f(x)) f i (x) f j (x), (2.14) x α x β ( ) M f i (x) = γ αβ 2 f i x α x f i β Γτ αβ x τ é o valor em f i do operador de Beltrami-Laplace da variedade M m. (2.15) 2.2 Aplicação de Gauss em superfícies de curvatura média constante em S 3 Teorema 2.2. A aplicação de Gauss g(η) : M 2 S 2 é harmônica se, e somente se, M 2 tem curvatura média constante.

22 16 Demonstração: Sem perda de generalidade, vamos utilizar uma parametrização local como na Proposição 2.1. Primeiro calculamos a densidade de energia e(g(η)) de g(η) de M 2 S 3. Da equação (2.14) e da primeira forma da superfície, tem-se: ( 3 ( g ) e(g(η)) = e 2w i 2 ( ) g i 2 ) +. 2 u v Pelas expressões de (2.7) e da denição de g i (η) temos que analogamente, Portanto, g i u = u η, J ix = η u, J i X + η, J i X u (2.16) = e 2w (L X u, J i X + M X v, J i X ) + η, J i X u, g i v = e 2w (M X u, J i X + N X v, J i X ) + η, J i X v. (2.17) 3 ( ) g i 2 3 = L 2 e 4w X u, J i X 2 (2.18) u 3 +2LMe 4w X u, J i X X v, J i X 3 +M 2 e 4w X v, J i X 2 2Le 2w 2Me 2w + 3 X u, J i X η, J i X u 3 X v, J i X η, J i X u 3 η, J i X u 2. Vejamos como cada um dos somatórios acima pode ser reescrito de uma maneira simples. Notemos que para um vetor unitário a R 4, os vetores a, J 1 a, J 2 a, J 3 a formam uma base ortonormal de R 4, portanto 3 X u = X u, J i X J i X

23 17 onde X u, X = 0. Os valores X u, J i X são as projeções do vetor X u sobre os vetores da base ortonormal J i X. Com isto temos que, 3 X u, J i X 2 = X u 2 = e 2w. (2.19) Analogamente, o somatório da terceira linha da equação (2.18) ca determinado. Temos ainda que 3 η, J i X u 2 = 3 J i η, X u 2 = X u 2 = e 2w, (2.20) onde foi usado o fato de que a matriz J i é anti-simétrica ( J i a, b = a, J i b ). Decompondo η e X como combinação linear da base {X u, J 1 X u, J 2 X u, J 3 X u }, e fazendo uso da ortogonalidade de η e X temos: 0 = η, X = portanto, 3 η, J i X u X, J i X u e 2w = e 2w 3 η, J i X u J i X, X u, 3 X u, J i X η, J i X u = 0. (2.21) Com argumento análogo, temos que 3 X u, J i X X v, J i X = 0. (2.22) Usando a denição das matrizes {J i }, mostraremos que 3 X u, J i X η, J i X v = e 2w, (2.23) 3 X v, J i X η, J i X u = e 2w. (2.24) Faremos os cálculos para vericar (2.24), os cálculo referentes a (2.23) são análogos. Temos que J 1 X u, η J 1 X, X v = X u i, η Xi, X v = 1 4 (X uiη + ηx u i)(xix v + X v X i ) = 1 4 ( ix uη + ηx u i)( ixx v + X v Xi) = i, X u η i, XX v

24 18 análogamente, conclui-se que Portanto, J 2 X u, η J 2 X, X v = j, X u η j, XX v, J 3 X u, η J 3 X, X v = k, X u η k, XX v. 3 X v, J i X η, J i X u = X u η, XX v. Sabendo que {X, X u, X v, η} constitui uma base ortogonal e determina a mesma orientação, podemos assumir, sem perda de generalidade, que em (u 0, v 0 ), X(u 0, v 0 ) = 1, X u (u 0, v 0 ) = e 2w(u 0,v 0 ) i, X v (u 0, v 0 ) = e 2w(u 0,v 0 ) j, η(u 0, v 0 ) = k. Então, Xu η, XX v = e w(u 0,v 0 ) ik, 1e w(u 0,v 0 ) j = e 2w(u 0,v 0 ) ik, j = e 2(u 0,v 0 ), (2.25) vericando assim a equação (2.24). Logo, por (2.18), (2.19), (2.20), (2.21), (2.22) e (2.24) obtemos 3 ( ) g i 2 = e 2w (L 2 + M 2 ) + e 2w 2M. (2.26) Similarmente, u 3 ( ) g i 2 = e 2w (M 2 + N 2 ) + e 2w + 2M. (2.27) v Portanto, a densidade de energia da aplicação de Gauss é e(g(η)) = e 2w 2 ( 3 ( g ) i 2 ( ) g i 2 ) + = e 4w u v 2 (L2 + N 2 + 2M 2 ) + 1. (2.28) Agora iremos calcular o valor do operador de Beltrami-Laplace em uma coordenada arbitrária g i (η), (i = 1, 2, 3). Da equação (2.15) e da métrica da superfície (2.5), obtemos: ( ) M g i = e 2w 2 u + 2 g i. 2 v 2

25 19 Derivando (2.16), e utilizando (2.7) juntamente com a igualdade X u, J i X u = 0, obtemos: 2 g i u 2 = u ( e 2w (L X u, J i X + M X v, J i X ) + η, J i X u ) (2.29) = ( L u + 2Lw u M)e 2w X u, J i X Me 2w w u X u w v X v + Lη e 2w X, J i X +( M u + 2w u M) X v, J i X Me 2w w v X u + w u X v + Mη, J i X 2Me 2w X v, J i X u + η, J i (w u X u w v X v + Lη e 2w X) = e 2w ( L u + w u L Mw v ) X u, J i X + e 2w ( M u + w u M + Lw v ) X v, J i X ((L 2 + M 2 )e 2w + e 2w ) η, J i X 2Me 2w X v, J i X u +w u η, J i X u w v η, J i X v. Analogamente, de (2.17) obtemos a expressão para a segunda derivada com relação à v: 2 g i v 2 = v ( e 2w (M X u, J i X + N X v, J i X ) + η, J i X v ) (2.30) = e 2w ( M v + w v M + Nw u ) X u, J i X + e 2w ( N v + w v N Mw u ) X v, J i X ((M 2 + N 2 )e 2w + e 2w ) η, J i X 2Me 2w X u, J i X v w u η, J i X u + w v η, J i X v. Portanto, somando (2.29) e (2.30) e multiplicando o resultado por e 2w obtemos assim o valor do operador de Beltrami-Laplace da função g i, i = 1, 2, 3 M g i = (e 4w (L 2 + N 2 + 2M 2 ) + 2) η, J i X +e 4w ((L + N)w u L u M v ) X u, J i X +e 4w ((L + N)w v N v M u ) X v, J i X. Da equação de densidade de energia (2.28), e da denição das funções coordenadas da aplicação g, temos então: M g i = 2e(g(η))g i + e 4w ((L + N)w u L u M v ) X u, J i X (2.31) +e 4w ((L + N)w v N v M u ) X v, J i X. Como estamos assumindo que M tem curvatura média constante, de (2.11) e (2.31) segue que M g i = 2e(g(η))g i, i = 1, 2, 3. (2.32)

26 20 Portanto, o critério de harmonicidade (2.13) é satisfeito. Agora supondo que a aplicação g(η) : M S 2 é harmônica, isto é, o critério (2.13) é satisfeito, então a equação (2.32) é satisfeita. Segue que a equação (2.31) implica que para i = 1, 2, 3, vale a seguinte equação: ((L + N)w u L u M v ) X u, J i X + ((L + N)w v N v M u ) X v, J i X = 0. Multiplicando a equação acima por J i X e somando em i, i = 1, 2, 3, obtemos: ((L + N)w u L u M v ) X u + ((L + N)w v N v M u ) X v = 0. Logo, como X u e X v são linearmente independentes, as equações (2.11) são satisfeitas. O que implica que a superfície M tem curvatura média constante. Exemplo 2.3. Considere a superfície de revolução em S 3. X(u, v) = (a cos u a, asenu a, b cos v b, bsenv b ), onde a 2 + b 2 = 1 e as variáveis u e v pertencem aos intervalos 0 u 2π, 0 v 2π. A curvatura média da superfície em S 3 é constante H = 1 ( a 2 b b ). a A aplicação de Gauss g(η) da superfície é dada por ( ( u g(η)(u, v) = 0, cos a v ) ( u, sen b a v )). b Onde a desidade de energia de g(η) é igual a: e(g(η)) = 1 ( 1 2 a + 1 ). 2 b 2 Como a métrica da superfície X(u, v) é ds 2 = du 2 + dv 2, temos M = 2 u v 2, donde se verica diretamente o critério para harmonicidade de g(η) g i (η) = 2e(g(η))g i (η), i = 1, 2, 3.

27 21 Agora estudaremos algumas propriedades geométricas da aplicação g(η). Seja X(u, v), como em (2.2), uma parametrização para a superfície M 2. Então, para uma matriz C SO(4), a superfície transformada Y (u, v) = CX(u, v) pode ser representada em forma de quatérnios por Y = q 1 Xq 2, onde q 1 e q 2 são quatérnios com norma unitária. Como Y u = CX u, Y v = CX v, η(y ) = Cη(X), temos η(y ) = q 1 η(x)q 2, e a aplicação de Gauss da superfície Y (u, v) tem a seguinte forma. g(η(y )) = dl Y 1η(Y ) = φ(y 1 )φ(η(y )) = φ((q 1 Xq 2 ) 1 φ(q 1 η(x)q 2 ) = φ(q 1 2 )φ(x 1 )φ(η(x))φ(q 2 ) = φ(q 1 2 )g(η(x))φ(q 2 ). (2.33) Em particular, se a superfície Y (u, v) é obtida de X(u, v) por translação à esquerda Y = q 1 X, a aplicação de Gauss das superfícies coincidem: g(η(x)) = g(η(y )). Descreveremos agora a situação em que a aplicação de Gauss g(η) : M 2 S 2 é conforme. O resultado a seguir contrasta com a situação para superfícies em R 3, onde a aplicação de Gauss é conforme se, e somente se a superfície é totalmente umbílica ou mínima (ver em [15]). Teorema a) Seja X(u, v) uma parametrização isotérmica de uma superfície M 2 imersa em S 3, de forma que as expressões das formas fundamentais de M sejam dadas por (2.5) e (2.6). Então a métrica canônica de S 2 induzida pela aplicação de Gauss g é dado por: ds 2 g = (e 2w (L 2 + M 2 ) + e 2w 2M)du 2 + 2(e 2w M(L + N) + L N)dudv +(e 2w (N 2 + M 2 ) + e 2w + 2M)dv 2. (2.34) b) A aplicação de Gauss g(η) : M 2 S 2 é conforme se, e somente se, M 2 é totalmente umbílica em S 3. Demonstração: Os coecientes g 11 = g(η) u 2 e g 22 = g(η) v 2 já estão determinados pela equações (2.26) e (2.27); então devemos encontrar o coeciente g 12. Usando (2.16) e (2.17) temos: g(η) g 12 = u, g(η) v

28 22 =. 3 e 2w (L X u, J i X + M X v, J i X ) + η, J i X u ) 3 ( e 2w (M X u, J i X + N X v, J i X ) + η, J i X v ) = e 4w { + 3 [ LM Xu, J i X 2 + M 2 X u, J i X X v, J i X ] 3 [ NM Xv, J i X 2 + LN X v, J i X X u, j i X ] } e 2w { [M X u, J i X η, J i X u + N X v, J i X η, J i X u ] 3 [L X u, J i X η, J i X v + M X v, J i X η, j i X v ]} 3 η, J i X u η, J i X v. Usando as equações (2.23), (2.24) e as equações (2.19) e (2.21), onde obtidas também para X v. Então simplicando obtemos: Donde concluimos o primeiro item do teorema. g 12 = e 2w M(L + N) + L N. (2.35) Para o segundo item, sem perda de generalidade consideramos uma parametrização isotérmica. Basta comparar a métrica da superfície (2.5) e a métrica da aplicação de Gauss em S 2, dada por (2.34). Com isto obtemos um sistema de equações g 11 = g 22, g 12 = 0. (L 2 N 2 )e 2w = 4M, M(L + N)e 2w + L N = 0. Com a análise do sistema chegaremos que M = 0, e assim L = N, ou seja a superfície é totalmente umbílica. Corolário 2.5. A imagem da aplicação de Gauss da superfície M 2 é degenerada se, e somente se, a curvatura intrínseca da superfície for nula, isto é: K int = 0. Demonstração: Sem perda de generalidade podemos supor uma parametrização isotérmica, como no teorema 2.4.

29 23 A imagem da aplicação g(m 2 ) é degenerada se, e somente se D = g 11 g 22 (g 12 ) 2 for nulo. D = (e 2w (L 2 + M 2 ) + e 2w 2M)(e 2w (N 2 + M 2 ) + e 2w + 2M) (e 2w M(L + N) + L N) 2 = (e 2w (LN M 2 ) + e 2w ) 2 = 0, (2.36) que é equivalente a, e 4w + LN M 2 = 0. Temos que, pela equação de Gauss, K int K ext = 1, (ver [2], pág. 144). A superfície tem primeira e segunda forma fundamental dadas por (2.5), (2.6), então K int = w, (ver [1], pág. 283) e K e 2w ext = LN M 2. Logo, e 4w K int = w 2 LN M = 1 + = e4w + LN M 2 = 0 e2w e 4w e 4w O elemento de área de S 2 induzido pela aplicação g em coordenadas isotérmicas (u, v) é dado por, dσ g = e 2w (LN M 2 ) + e 2w du dv = K ext + 1 e 2w du dv. (2.37) Note que o elemento de área da métrica (2.5) é e 2w dudv. Com isto temos o seguinte corolário. Corolário 2.6. Para qualquer domínio A M 2 temos que: 1. Se 2 < K ext < 0, então: área(g(a)) < área(a). 2. Se K ext < 2 ou K ext > 0, então: área(g(a)) > área(a). 3. Se K ext = 0, ou K ext = 2, então: área(g(a)) = área(a). Apresentaremos agora um resultado similar à conjectura de Nirenberg, onde, se uma superfície mínima S em R 3 não é um plano, então a aplicação de Gauss é densa sobre a esfera unitária. Resultado provado por R. Osserman em [12]. Posteriormente, F. Xavier provou que a aplicacação de Gauss dessa superfície pode omitir no máximo seis pontos, [18]. Em 1989 Fujimoto provou que o complemento da imagem da aplicação de Gauss de uma superfície mínima não planar em R 3, consiste em no máximo quatro pontos. [5].

30 24 Lema 2.7. A aplicação g(n) : M 2 S 2 de uma superfície regular M 2 S 3 de curvatura média constante não pode ser constante. Demonstração: Suponha que p M é um ponto não umbílico. Como M tem curvatura média constante, então existe uma parametrização local X(u, v) de uma vizinhança de p que é isotérmica e por linhas de curvatura. Suponha que a aplicação de Gauss é constante em uma superfície regular X(u, v) em S 3, g(η) = (c 1, c 2, c 3 ). Sem perda de generalidade podemos supor que (c 1, c 2, c 3 ) = (1, 0, 0), já que a equação (2.33) implica que existe uma transformação C SO(4) tal que g(η(cx)) = (1, 0, 0). Como os vetores X, J 1 X, J 2 X, J 3 X formam uma base ortonormal g i = J i X, η, temos então η = 3 J i X, η J i X = J 1 X. (2.38) Por (2.7), como M = 0, para a parametrização X(u, v), obtemos η u = Le 2w X u, e fazendo o produto interno por X u obtemos, L = η u, X u = J 1 X u, X u = 0 e, analogamente, o produto interno de η v = Ne 2w X v com X v, implica N = η v, X v = J i X v, X v = 0. Portanto, a segunda forma fundamental (2.6) é nula e a superfície é uma grande esfera, com vetor normal constante η = (η 1 0, η 2 0, η 3 0). Então a equação (2.38) implica que X(u, v) = J 1 η = constante, o que contradiz o fato de que a superfície X(u, v) seja regular. Se p é um ponto umbílico isolado, então existe uma vizinhança de p onde conseguimos uma sequência de pontos não umbílicos convergindo para p. Assim para cada ponto da sequência é válido o resultado obtido acima. Portanto, por continuidade, temos que o resultado é válido também para p. Se p não é isolado, então M é parte de uma esfera umbílica. Neste caso, vericase facilmente que a aplicação de Gauss não é constante. Observação: No capítulo 4, Proposição 4.1, obtemos a aplicação de Gauss, como translação à esquerda e à direita, para o caso em que p não é um ponto umbílico isolado em M 2 S 3. No trabalho de B. Solomon ([16], Teorema 1) prova-se que, uma aplicação harmônica de uma variedade compacta em um hemisfério aberto é necessáriamente constante.

31 25 Portanto nos servindo de tal resultado e do Lema 2.7 chegaremos ao seguinte corolário. Corolário 2.8. A imagem da aplicação de Gauss g(η) : M 2 S 2 de uma superfície compacta de curvatura média constante em S 3 intersecta todos os grandes círculos Σ S 2.

32 Capítulo 3 Aplicação de Gauss em hipersuperfícies de curvatura média constante em um grupo de Lie com métrica bi-invariante Faremos neste capítulo um estudo mais amplo do que o apresentado no capítulo anterior. Estudaremos agora a aplicação de Gauss N em hipersuperfícies orientadas em um grupo de Lie G (n + 1)-dimensional com métrica bi-invariante. Mostraremos como o cálculo do Laplaciano de N nos leva a resultados interessantes quando a hipersuperfície tem curvatura média constante. Este capítulo é baseado no artigo de Espirito-Santo, Fornari, Frensel, Ripoll, [4]. 3.1 Aplicação de Gauss em hipersuperfícies de curvatura média constante em um grupo de Lie com métrica bi-invariante Seja G um grupo de Lie com métrica bi-invariante. Dada uma hipersuperfície orientada M G, denimos N : M S n T e G, por N(p) = d(l 1 p ) p (η(p)), 26

33 27 onde η é um campo unitário normal a M em G. Observamos que se n+1 N(p) = a i e i (p), onde {e 1,...e n+1 } é uma base ortonormal de T e G, então o Laplaciano de N é denido por: n+1 N = a i e i, onde a i é o Laplaciano de a i determinado pela métrica de M. Temos que N é harmônica se S nn = ( N) T = 0, onde ( ) T denota a projeção ortogonal em T S n. Dado p G, o tensor de Ricci Ric p de G é dado por: Ric p = traço(x R(U, X)V ) = n+1 R(U, E j )V, E j, onde {E i },...,n+1 é uma base ortonormal de T p G. A curvatura de Ricci de G na direção x = E n+1 é Ric p (x) = Ric p (x, x). Teorema 3.1. Seja G um grupo de Lie com métrica bi-invariante e seja M uma hipersuperfície orientada de G. Denota-se por B a norma da segunda forma fundamental de M em G e por H a curvatura média de M. Então N(p) = nd(l 1 p ) p ( H(p)) ( B 2 + Ric(η(p)) ) N(p) (3.1) para todo p M, onde H denota o gradiente de H em M. Demonstração: Seja p um ponto xado em M, e seja E i (p), i = 1,..., n, uma base ortonormal de autovetores da segunda forma de M em G com relação ao vetor normal η. Denotando por E i um referencial geodésico extendendo E i (p) em uma vizinhança de p em M. Considere Z i, i = 1, 2,..., n + 1, campos de vetores invariantes à esquerda de G, tais que Z i (p) = E i (p), se i = 1,..., n e Z n+1 (p) = η(p). Escrevendo n+1 η = a j Z j, (3.2)

34 28 obtemos com Temos então n+1 N = a j Z j (e), a j (p) = 0, j = 1,..., n a n+1 (p) = 1. (3.3) N = n+1 k=1 E i E i (a k )Z k (e). (3.4) Derivando η com relação a E i, usando (3.2), obtemos Portanto, de (3.3), em p, n+1 n+1 Ei η = E i (a j )Z j + a j Ei Z j. (3.5) n+1 Ei η = E i (a j )Z j + Ei Z n+1. (3.6) O produto interno de Z n+1 e Z j, j = 1, 2,..., n, com os lados esquerdo e direito de (3.6) implicam, respectivamente, E i (a n+1 )(p) = 0, i = 1,..., n e E i (a j )(p) = λ i δ ij Ei Z n+1, Z j, i, j = 1,..., n, (3.7) onde λ i é o autovalor do operador S η : T p M T p M, associado ao autovetor E i, onde S η X = ( X η), X T p M. De (3.5) obtemos, n+1 n+1 n+1 Ei Ei η = E i E i (a j )Z j + 2 E i (a j ) Ei Z j + a j Ei Ei Z j. (3.8) Agora, usando (3.3) e somando (3.8) em i, Ei Ei η = n+1 + n+1 E i E i (a j )Z j + 2 E i (a j ) Ei Z j Ei Ei Z n+1. (3.9)

35 29 O produto interno de Z k com os lados direito e esquerdo de (3.9), implica, em p, E i E i (a k ) = Ei Ei η, Z k 2 E i (a j ) Ei Z j, Z k Ei Ei Z n+1, Z k. (3.10) Para nalizar a demonstração, é necessário expressar o lado direito de (3.10) em termos geométricos envolvendo H e Ric(η) e B 2. Temos da denição de curvatura média e do tensor curvatura R que, em p, para k = 1,..., n, ( ) E k (nh) = E k Ei E i, η = Ek Ei E i, η = ( Ei Ek E i, η R(E k, E i )E i, η [Ei,E k ]E i, η ) = ( Ei Ek E i, η R(Z k, Z i )Z i, Z n+1 ). (3.11) A última igualdade se justica pelo fato de que, como {E i }, i = 1, 2,..., n é um referencial geodésico em M, vale, em p, [E i, E k ] = ([E i, E k ]) T = ( Ei E k Ek E i ) T = 0. Então [E i, E k ], η = 0 em M, e Ei [E i, E k ], η + [E i, E k ], Ei η = 0, Assim, temos em (3.11), E k (nh) = Ei Ei E k Ei Ek E i, η = 0. ( Ei Ei E k, η R(Z k, Z i )Z i, Z n+1 ). (3.12) Como E k, η = 0, então de (3.12), temos Ei Ei η, Z k = Ei Ei E k, η = E k (nh) R(Z k, Z i )Z i, Z n+1 = E k (nh) + Ric(Z k, Z n+1 ). (3.13)

36 30 Assim, obtemos uma expressão para a primeira parcela do lado direito de (3.10). Vamos agora obter uma expressão para a segunda parcela de (3.10). Note que η, η = 1 implica que Ei η, η = 0 e Ei Ei η, η + Ei η, Ei η = 0. Como λ i são autovalores da segunda forma fundamental de M em G, temos: e Ei Ei η, η (p) = λ 2 i, (3.14) Ei Ei η, η (p) = B 2. (3.15) De (3.7) e do fato que Ei Z i = Zi Z i = [Z i, Z i ] = 0 em p, 2 E i (a j ) Ei Z j, Z k = 2 = 2 (λ i δ ij + Ei Z n+1, Z j ) Ei Z j, Z k Ei Z n+1, Z j Ei Z j, Z k. Fazendo uso da proposição 1.7, notemos que: 2 n n E i Z n+1, Z j Ei Z j, Z k = 1 2 n n [Z i, Z n+1 ], Z j [Z i, Z j ], Z k = 1 2 n n [Z j, Z n+1 ], Z i [Z k, Z j ], Z i = 1 2 n [Zk, Z j ], n+1 [Z j, Z n+1 ], Z i Z i = 1 2 n [Z k, Z j ], [Z j, Z n+1 ] (3.16) = 1 2 n+1 [[Z n+1, Z j ], Z j ], Z k = 2 n+1 R(Z n+1, Z j )Z j, Z k Contudo, para 1 k n temos = 2 n+1 R(Z n+1, Z j )Z k, Z j. n+1 2 R(Z n+1, Z j )Z k, Z j = 2Ric(Z k, Z n+1 ), (3.17)

37 31 e, para k = n + 1 E segue que 2 n+1 2 R(Z n+1, Z j )Z n+1, Z j = 2Ric(η). (3.18) E i (a j ) Ei Z j, Z k = { 2Ric(η(p)) se k = n + 1 2Ric(Z k, Z n+1 ) se k {1,..., n} Falta então identicar a última parcela de (3.10). Para tal, façamos E i = n+1 b jz j, onde b j (p) = 0 se j i e b i (p) = 1. Então (3.19) Por outro lado, n+1 Ei Z n+1 = b j Zj Z n+1 = 1 n+1 b j [Z j, Z n+1 ]. (3.20) 2 Ei E i (p) = = n+1 n+1 E i (b j )Z j + b j Ei Z j n+1 E i (b j )Z j + Ei Z i. (3.21) Sendo {E i } um referêncial geodésico em p, Ei E i (p) = ( Ei E i (p)) = 0, e como em p, Ei Z i = 0, segue de (3.21) que E i (b j )(p) = 0, j = 1,..., n. De (3.20) obtemos: Ei Ei Z n+1 = 1 n+1 Ei (b j [Z j, Z n+1 ]) 2 = 1 n+1 (E i (b j )[Z j, Z n+1 ] + b j Ei [Z j, Z n+1 ]) 2 = 1 2 E i [Z i, Z n+1 ] = 1 4 [Z i, [Z i, Z n+1 ]] = R(Z n+1, Z i )Z i. (3.22) Portanto, de (3.22), temos que, para k = 1,..., n, Ei Ei Z n+1, Z k = R(Z n+1, Z i )Z i, Z k = R(Z n+1, Z i )Z k, Z i = Ric(Z k, Z n+1 )

38 32 e Ei Ei Z n+1, Z n+1 = R(Z n+1, Z i )Z i, Z n+1 = R(Z n+1, Z i )Z n+1, Z i. Então Ei Ei Z n+1, Z k (p) = { Ric(η(p)) se k = n + 1 Ric(Z k, Z n+1 ) se k {1,..., n} (3.23) Temos, portanto, de (3.15), (3.19) e (3.23) E i E i (a n+1 ) = B 2 2Ric(η(p)) + Ric(η(p)) = B 2 Ric(η(p)) e, para k = 1,..., n, de (3.13), (3.19) e (3.23) obtemos E i E i (a k ) = E k (nh) + Ric(Z k, Z n+1 ) 2Ric(Z k, Z n+1 ) + Ric(Z k, Z n+1 ) Logo N(p) = = E k (nh). = = = n+1 k=1 k=1 k=1 E i E i (a k )Z k (e) E i E i (a k )Z k (e) + E i E i (a n+1 )Z n+1 (e) E i E i (a k )Z k (e) ( B 2 + Ric(η(p)))N(p) ( E k (nh))z k (e) ( B 2 + Ric(η(p)))N(p) k=1 = nd(l 1 p Obtendo (3.1), nalizando assim o teorema. ) p ( H(p)) ( B 2 + Ric(η(p)))N(p). Tendo obtido tal fórmula para o Laplaciano da aplicação de Gauss da hipersuperfície M, esta nos servirá como base para os seguintes corolários, análogos aos já obtidos no primeiro capítulo para a aplicação de Gauss de uma superfície em S 3.

39 33 Corolário 3.2. Seja G um grupo de Lie com métrica bi-invariante. Seja M uma hipersuperfície conexa orientada em G, η um campo de vetores normal unitário de M em G, e N : M S n T e G, N(p) = d(l 1 p ) p (η(p)). Então as seguintes alternativas são equivalentes: i) M tem curvatura média constante, ii) a aplicação N : M S n é harmônica, iii) N satisfaz a equação: N(p) = ( B + Ric(η(p)))N(p). Corolário 3.3. Seja G um grupo de Lie com métrica bi-invariante. Seja M uma hipersuperfície conexa orientada em G, sem fronteira e com curvatura média constante. Então as seguintes alternativas são equivalentes: i) N(M) está contido em um hemisfério fechado de S n, ii) N(M) está contido em um equador de S n, iii) M é invariante por um subgrupo a 1-parâmetro de isometrias de M gerado por um campo de vetores invariantes à esquerda de G. Demonstração: Seja p um ponto xado de M, e seja E i (p), i = 1,.., n, e Z i, i = 1,.., n + 1, como no teorema 3.1. (i) (ii). Assumindo que N(M) está contido em um hemisfério fechado de S n, existe v S n tal que N(p), v 0 para todo p M. Observe que Ric(η) 0, De fato, pela equação (3.18), e pela equação (3.16), onde para k = n + 1 e observando a quarta igualdade, tem-se em p, n+1 2Ric(η) = 2 R(Z n+1, Z j )Z n+1, Z j

40 34 Assim, = 1 2 = 1 2 Ric(η) = 1 4 [Z n+1, Z j ], [Z j, Z n+1 ] [Z j, Z n+1 ] 2. [Z j, Z n+1 ] 2 0. Usando (3.1), e o fato que Ric(η) 0, obtemos: N, v = N, v = ( B 2 + Ric(η)) N, v 0, onde vemos que N, v é uma função subharmonica em uma variedade compacta M (ver [2], página 96). Segue portanto que N, v é constante e então N, v = 0; temos portanto ( B 2 + Ric(η)) = 0 ou N, v = 0. Se N, v = 0, então N(M) está contido em um equador {x S n x, v = 0}; (3.24) Agora suponha que B 2 + Ric(η) = 0. Temos, B 2 = 0 e M é totalmente geodésica. Note que as curvas integrais dos campos Z i, i = 1,..., n, são geodésicas de G, isto segue do primeiro item do teorema 1.7. Assim, como M é totalmente geodésica os campos Z i, i = 1,..., n, são tangentes a M não apenas em p, mas globalmente. Como Z n+1, Z i = 0 em G, a armação anterior implica que Z n+1 restrito a M é um campo ortogonal a M. Logo, pela conexidade de M e pelo fato de η(p) = Z n+1 (p), Z n+1 restrito a M coincide com η. Finalmente, como Z n+1 é invariante à esquerda N(p) = (dl 1 p ) p (η(p)) = (dl 1 p ) p (Z n+1 (p)), p M. Assim, N(M) é um único ponto. Com isto termina primeira implicação. (ii) (iii) Dado v g, v 0, seja V o campo invariante à esquerda gerado por v, V (e) = v. Então, dado p M, temos: η(p), V (p) = d(l p ) 1 p η(p), d(l p ) 1 p V (p) = N(p), v,

41 35 assim N(M) está contido no hemisfério (3.24) se, e somente se, V é um campo de vetores em M, isto é, se, e somente se, M é invariante por um subgrupo de isometrias determinado por V, a saber, Φ t = L exp(tv) : t R, onde exp : T e G G é a aplicação exponencial. (ii) (i) É obvia.

42 Capítulo 4 Superfícies mínimas Lagrangeanas Neste capítulo, mostramos como denir imersões de superfícies Lagrangeanas em S 2 S 2, o produto de esferas com a métrica produto canônica, partindo das aplicações de Gauss à esquerda e à direita de uma superfície orientada M S 3. Mostramos que se M é uma superfície mínima a imersão mencionada acima é também mínima. Este capítulo é baseado no trabalho de artigo de Castro e Urbano [3], e em notas obtidas por contato pessoal com W. P. Ferreira e P. Roitman. 4.1 Observações Preliminares Seja S 2 a esfera unitária em R 3 munida com a métrica canônica, e estrutura complexa dada por J p v = p v, p S 2, v T p S 2, onde é o produto vetorial usual do R 3. A 2-forma de Área em S 2 será denotada por ω 0. Para p S 2, temos ω 0 (v, w) = J p v, w = det{p, v, w}, v, w T p S 2. Dotando S 2 S 2 com a métrica produto (também denotado por, ), vamos considerar estrutura complexa J em S 2 S 2 dada por: J (p1,p 2 )(v) = (J p1 v 1, J p2 v 2 ) = (p 1 v 1, p 2 v 2 ), v = (v 1, v 2 ) T (p1,p 2 )(S 2 S 2 ), (p 1, p 2 ) (S 2 S 2 ). Seja Φ = (φ, ψ) : M S 2 S 2 uma imersão de uma superfície M e g = φ, +ψ, a métrica induzida. A 2-forma ω em S 2 S 2, dada por ω = π 1ω 0 +π 2ω 0, onde π i, i = 1, 2, são as projeções canônicas de S 2 S 2, torna S 2 S 2 uma variedade simplética. 36

43 37 A imersão é dita Lagrangeana se Φ ω = 0, isto é, φ ω 0 + ψ ω 0 = 0. Isto signica que ω 0 (dφ p (u), dφ p (v)) + ω 0 (dψ p (u), dψ p (v)) = Jdφ p (u), dφ p (v) + Jdφ p (u), dφ p (v) = (4.1) JdΦ p (u), dφ p (v) = 0, para quaisquer p M e v, w T p M. Se Φ = (φ, ψ) : M S 2 S 2 é uma imersão de uma superfíce orientada com 2-forma de área ω M, podemos denir o jacobiano de φ e ψ por φ ω 0 = Jac(φ)ω M, ψ ω 0 = Jac(ψ)ω M. Portanto, Φ é Langrangeana se, e somente se, Jac(ψ) = Jac(φ). 4.2 Superfícies mínimas Lagrangeanas Vamos agora mostrar como uma superfície orientada imersa em S 3, induz, via suas aplicações de Gauss, uma imersão Lagrangeana em S 2 S 2. O nosso ponto de vista difere de Castro e Urbano, onde utiliza-se a noção de aplicação de Gauss introduzida por Homan e Osserman para induzir imersões Lagrangeanas. Seja M uma superfície orientada com campo normal unitário η em S 3. Como vimos no segundo capítulo, podemos denir as aplicações N, N + : M S 3 T e S 3. N (p) = (dl p 1) p η(p) = p η(p), N + (p) = (dr p 1) p η(p) = η(p) p, onde L p, R p são translações à esquerda e à direita, respectivamente, por um elemento p M, e (dl p ) e (dr p ) suas respectivas derivadas. A notação envolvendo quatérnios introduzida no capítulo 1 será utilizada. Denimos a aplicação Φ : M S 3 S 2 S 2. Φ(p) = (N (p), N + (p)). (4.2) Mostraremos a seguir que a aplicação Φ, caso seja uma imersão, será uma imersão Lagrangeana. Por conveniência, ao longo deste capítulo, vamos utilizar uma parametrização local por linhas de curvatura para simplicar os cálculos. Para estender os resultados

44 38 de tais cálculos aos pontos umbílicos, utilizamos os argumentos usuais envolvendo continuidade e a classicação das superfícies totalmente umbílicas de S 3. Seja então p : U R 2 S 3 uma parametrização local de M por linhas de curvatura, onde U é um aberto de R 3, tal que p, p x, p y, η, forma uma base ortogonal de R 4 orientada positivamente. Utilizamos coordenadas (x, y) para denotar os pontos de U. Proposição 4.1. Se a aplicação Φ : M S 3 S 2 S 2 denida em (4.2) é uma imersão, então Φ é uma imersão lagrangeana. Demonstração: Seja p um ponto não umbílico de M, e p(x, y) uma parametrização por linhas de curvatura em uma vizinhança de p. Note que J N+ ( N + ) x = J( N + ) x = N + (N + ) x, J N (N ) x = J(N ) x = N (N ) x. (4.3) Analogamente para as derivadas em y. Então JΦ x, Φ y = (J(N ) x, J( N + ) x ), ((N ) y, ( N + ) y ) = J(N ) x, (N ) y + J( N + ) x, (N + ) y (4.4) = N (N ) x, (N ) y N + (N + ) x, (N + ) y = 0. Por (4.1) vemos que Φ é uma imersão Lagrangeana. Vamos analisar agora o caso em que p é um ponto umbílico. Suponha que existe uma seqüência de pontos não umbílicos convergindo para p. Assim, para cada ponto da sequência obtemos o resultado acima. Logo, por continuidade, podemos estender o resultado e Φ é uma imersão lagrangeana. Caso a seqüência acima não exista, existe uma vizinhança de p composta de pontos umbílicos. Esta vizinhança é parte de uma esfera umbílica. Neste caso, sem perda de generalidade, podemos parametrizar a esfera de raio sen z 0 em S 3 da seguinte forma: p(x, y) = (sen z 0 cos x sen y, cos z 0, sen z 0 sen x sen y, sen z 0 sen y),