PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. Modelagem de falhas, Técnicas de Markov para modelagem da confiabilidade de sistemas

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1 ROCESSOS ESTOCÁSTICOS Modelagem de falhas, Técnicas de Markov para modelagem da confiabilidade de sistemas

2 Modelagem de falhas Confiabilidade de sistemas Necessário modelar o comportamento do sistema, identificando os seus estados. Importância do estado fora de operação, que é causado por uma falha. ara mensurar a confiabilidade, geralmente através de uma probabilidade, torna-se indispensável obter alguma medida da freqüência com que o sistema falha: Taxa de falha (transição, risco Hazard Rate) Considerar a possibilidade de reparo.

3 Taxa de falha em um momento t Z(t) f (t) F(t) f (t) R(t) rob.de falha entre t e t rob.de sobrevivência de 0 a t Z(t): taxa de falha no momento t f(t): função densidade de probabilidades de falha F(t): função distribuição acumulada de falha. R(t): confiabilidade do sistema Raciocínio análogo para a taxa de reparo (t). 3

4 Dados para os modelos de falha Testes de tempo de vida. Dados operacionais do sistema (campo). Em t = 0, N componentes são colocados em operação, e no tempo t existem apenas n(t) sobreviventes Deduzir as expressões da função densidade de falha e da taxa de falha propriamente dita. 4

5 Função densidade de falha f d (t) Supõe-se que N componentes foram colocados em operação no instante t = 0, e no tempo t há apenas n(t) sobreviventes. f d (t) definida no intervalo de tempo t i < t < t i + t i : f F d d (t) (t) n(t t 0 i f ) n(ti t t d i (t) dt i ) / N R d Velocidade global das falhas (t) F d (t) 5

6 Taxa de falha Z d (t) Z Taxa de falha no intervalo ti < t < ti + ti d (t) n(t i ) n(ti t t i i ) / n(t i ) Velocidade instantânea das falhas Questão: relacionar as funções com o tempo para a falha dos componentes probabilidade de falha em função do tempo? 6

7 Tempo de falha Variável aleatória : tempo de falha de um componente. ( t) = F(t) rob. de sucesso: R(t) = F(t) = ( > t) f (t) lim t0 n(t) n(t t) Nt N dn(t) dt opulação de N elementos com a mesma distribuição de falhas no tempo, com probabilidade de sucesso dada por R(t). Se N(t) é uma v.a. que representa o número de sobreviventes no tempo t: N(t) tem distribuição binomial com p = R(t) n(t) = E[N(t)]= NR(t) R(t) = n(t)/n 7

8 Taxa de falha Z(t) Z(t) lim t0 n(t) n(t t) n(t) t lim t0 n(t) n(t t t) n(t) Nf(t) n(t) Z(t) f (t) R(t) N dn(t) dt N n(t) d dt [ln n(t)] ln n(t) t 0 Z(t)dt n(t) Ne t Z(t)dt 0 R(t) n(t) N e t Z(t)dt 0 Modelos para Z(t) 8

9 rincipais modelos de falha ) Taxa de falha crescente: útil no período de envelhecimento dos componentes. Z(t) = Kt f (t) Kte Kt R(t) e Kt K K e f(t) e R(t) t t K K 9

10 rincipais modelos de falha ) Taxa de falha linearmente decrescente: útil quando as falhas vão diminuindo ao longo do tempo (fase inicial de vida do equipamento). Z(t) K0 Kt 0 K(t t 0) 0 t K K 0 t / K 0 t 0 t / K t 0 K 0 Z(t) K 0 /K t 0

11 rincipais modelos de falha 3) Curva usual para risco de falha: curva da banheira Z(t) Vida útil Queima Envelhecimento

12 rincipais modelos de falha 4) Taxa de falha constante: Z(t) =. f(t) = e -t R(t) = e -t = F(t) Distribuição independe do passado : vida restante não depende de quanto tempo o componente está em funcionamento Z(t) t e f(t) e t F(t) t e R(t) t

13 Tempo Médio ara Falha Caracterização do modelo de falha por um único parâmetro. Do teste de vida feito em uma população de N elementos com tempos de falhas t, t,..., t n : n TMF t i N Usando um modelo de risco: TMF E(t) tf(t)dt 0 i TMF E(t) ara a exponencial: R(0) =, R( ) = 0. tr(t) TMF 0 R(t) dt 0 0 R(t)dt 3

14 Tempo Médio Entre Falha Somente tem sentido se houver renovação: reparo ou troca do componente falhado. t TMR t TMR t 3 TMF TMF TMF TMEF = TMF + TMR = taxa de falha = taxa de reparo Exponencial: TMF=/ 4

15 Exemplo Seja z uma taxa de transição qualquer: se falha =, se reparo =, se é uma transição do estado para o =. TMF = /, TMR = / Estado Estado 5 TMF / T = n i i no. falhas 3 tempooperação 8 = 8/ 5

16 Modelagem de um sistema por cadeias de Markov Sistemas sem memória : somente o estado imediatamente anterior influencia o estado futuro. rocesso estacionário: probabilidades de transição de um estado para outro são as mesmas em qualquer instante de tempo. roblema: Encontrar as probabilidades de transição a partir de dados históricos ou experimentais; Encontrar as probabilidades limites do sistema estar em cada um dos seus estados. 6

17 Matriz de transição Matriz de transição estocástica ( estados): Soma de cada linha = ij = probabilidade da transição do estado i para o estado j, depois de intervalo de tempo, dado que o sistema estava no estado i no início do intervalo. 7

18 robabilidades de Estados As probabilidades do sistema estar nos estados e após n períodos de tempo: n n 0 0 n 0 e 0 são as condições iniciais do sistema: se o sistema partir do estado, 0 = e 0 = 0, e vice-versa caso partir do estado. 8

19 robabilidades limite Sob certas condições, as probabilidades de estado estabilizam-se após vários períodos de tempo em determinados valores, denominadas probabilidades limite (ou de regime permanente) da cadeia de Markov. As probabilidades serão denominadas e para o caso de dois estados, e satisfazem à equação: Sabendo-se que + = 9

20 Exemplo rocesso com dois estados possíveis: tempo bom e tempo ruim / / Tempo bom () /4 Tempo ruim () 3/4 0

21 robabilidades de transição Como estará o tempo após transições ( dias), supondo que a condição inicial seja tempo bom estado : árvore de probabilidades. / / t / 0 (CI) 0 / /4 / / 3/4 3/8 5/8 CI: t =0 t = t =

22 Exemplo Continuação Matriz de transição: / / 4 / 3/ 4 Após intervalos de tempo: / / 4 / 3/ 4 Após n intervalos de tempo: 3/8 5/8 5/6 /6 n / / 4 / 3/ 4 n

23 Exemplo robabilidades Limite Após estados quais são as probabilidades do sistema estar nos estados e? Supondo 0 = e 0 = 0: 3/8 5/6 0 3/8 5/8 Supondo 0 = 0 e 0 = : 5/8 /6 3/8 5/6 5/8 /6 0 5/6 /6 3

24 Exemplo robabilidades Limite (/ ) (/ ) / / 4 / 3/ 4 (/ 4) (3/ 4) Mas, sabe-se que + = Eqs. Linearment e Dependentes (/ ) (/ 4) robabilidades limite (/ 4) (/ ) 0,3333 0, 6667 (3/ 4) (3/ 4) 4

25 Exemplo - robabilidades Limite robabilidades de estado em função das condições iniciais: estado ou 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Tempo () () 0 () 0 () A condição inicial modifica as probabilidades transitórias, mas não as probabilidades limite, que permanecem as mesmas. 5

26 Aplicação de Cadeias de Markov: um componente sujeito a renovação rocessos a arâmetros Contínuos e Estados Discretos, com restauração (possibilidade de reparo taxa de reparo ). Seja um sistema com um único componente sujeito à renovação com taxas de falha e reparo caracterizadas por distribuições exponenciais: - Operando () Falhado () - 6

27 robabilidades limite ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Eqs. L.D. Lembrando: TM TM Mas, sabe-se que + = TMF TMR TMF TMF TMR TMR TMF TMR 7

28 Exemplo - Continuação Sabendo que taxa de falha igual a / (probabilidade de tempo mudar de bom para ruim) e que taxa de reparo igual a /4 (probabilidade de tempo mudar de ruim para bom, as probabilidades limites de cada estado (- tempo bom e tempo ruim) serão: / 4 / / 3 / / / 4 / / 4 3 8

29 robabilidades transitórias Influenciadas pelas condições iniciais ( = ). Se houver necessidade de calculá-las: ( )t t 0 0 e 0 0 ( )t t 0 0 e 0 0 9

30 Disponibilidade e Indisponibilidade Disponibilidade A(t) (Availability): probabilidade do elemento estar disponível em qualquer tempo, em um processo sujeito a reparo. Indisponibilidade U(t) (Unavailability): A(t) + U(t) = A(t) U(t) 30

31 Aplicação de Cadeias de Markov: componentes sujeitos a renovação Seja um sistema com dois componentes sujeitos à renovação com taxas de falha e reparo caracterizadas por distribuições exponenciais: O em operação; NO Fora de operação. 3 O O O NO NO NO 3

32 Matriz de transição Cadeia de Markov: apenas transição entre estados adjacentes. ij = ij t

33 Exemplo 3 Suponha um gerador elétrico que tenha taxas de falha e de reparo constante: = 0,00 falhas/hora; = 0,49 ocorrências/hora Calcule as probabilidades limite do gerador estar nos estados de operação e não operação. operar 0,49 0,00 0,49 0,99796 não operar 0,00 0,00 0,49 0,

34 Exemplo 4 Sejam agora dois geradores elétricos idênticos, que tenham taxas de falha e de reparo constante: = 0,00 falhas/hora; = 0,49 ocorrências/hora Calcule as probabilidades limite do sistema formado pelos dois geradores estar nos estados: ambos operando, apenas um operando, nenhum operando. 0,49 (0,00 0,49) 0,000,49 (0,00 0,49) 0,9959 0,004 0,00 (0,00 0,49)